Stochastik für Physiker: Aufgaben und Lösungsvorschläge

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1 Stochastik für Physiker: Aufgabe ud Lösugsvorschläge Simo Stützer Stad: 4. Februar 9 Aufgabe : Vergleiche Sie die Wahrscheilichkeit, beim Spiel mit eiem Würfel i 4 Würfe midestes eimal 6 zu würfel, mit der Wahrscheilichkeit, beim Spiel mit zwei Würfel i 4 Würfe midestes eie Doppel-6 zu würfel. Lösugsvorschlag : Spiel mit eiem Würfel ud vier würfe Wahrscheilichkeitsraum: [,..., 6} 4, p (,..., 6} 4), P ] P bei jedem Wurf die Gleichverteilug auf,..., 6 Ereigis: A... midestes eimal wird die 6 gewürfelt P (A) P (A C ) AC Ω Spiel mit zwei Würfel wobei 4 mal gewürfelt wird [, Wahrscheilichkeitsraum: } (..., 6} 4, } ) ], p..., 6} 4, P Ereigis: B... midestes eie Doppel- 6 wird gewürfelt ( ) Lösugsvorschlag (Variate): P (B) P (B C ) BC Ω Wahrscheilichkeitsraum: [, } 4, p (, } 4), P ] dabei bedeutet es fällt keie 6 es fällt eie 6 ( ) P ist u Beroulli-Verteilug mit Erfolgswahrscheilichkeit p 6 P (A) P (A C ) P (,,, }) Wahrscheilichkeitsraum: [, } 4, p (, } 4), P ] dabei bedeutet es fällt keie Doppel- 6 es fällt eie Doppel- 6 ( ) ( 4 6 6) ( ) P ist u Beroulli-Verteilug mit Erfolgswahrscheilichkeit p ( ) ( P (B) P (B C ) ) 4 ( ) 4 35

2 Stochastik für Physiker: Aufgabe ud Lösugsvorschläge Aufgabe : Es seie A, B, C drei Ereigisse aus dem Grudraum Ω. Als Ergebis eies Experimets erscheit das Elemet ω Ω. Gebe Sie Ausdrücke für die folgede Sachverhalte a: a) Es tritt keies dieser Ereigisse ei. b) Es tritt geau eies dieser Ereigisse ei. c) Es tritt höchstes eies dieser Ereigisse ei. d) Es trete midestes zwei dieser Ereigisse ei. Lösugsvorschlag : a) ω A C B C C C } b) ω A B C C C } A C B C C } A C B C C} M c) ω M A C B C C C} M d) ω M C A B/C} A C/B} B C/A} A B C} Aufgabe 3: Gegebe seie ei Wahrscheilichkeitsraum [Ω, a, P ] ud für die Ereigisse A, B, C die Wahrscheilichkeite P (A) 3, P (B), P (A B) 3 4 ud P (C). Bereche Sie die Wahrscheilichkeite folgeder Ereigisse: AA... Weder A och B tritt ei BB... es trete A ud B ei CC... das Ereigis C tritt icht ei DD... es tritt A aber icht B ei Lösugsvorschlag 3: P (AA) P (A C B C ) P ((A C B C ) C ) P (A B) P (BB) P (A B) P (A) + P (B) P (A B) P (CC) P (C C ) P (C) P (DD) P (A/B) P (A/A B) P (A) P (A B) 3 4 Aufgabe 4: Es wird mit zwei Würfel gewürfelt. Gebe Sie bei de folgede Aufgabe immer zuerst eie passede W.-Raum a, beschreibe Sie aschließed das zu betrachtede Ereigis ud bereche Sie da die gefragte Wahrscheilichkeit. a) Die Würfel seie uterscheidbar. Beide Augezahle werde beobachtet. Beschreibe Sie das Experimet durch eie W.-Raum. Bereche Sie die W. dafür, daß das Maximum der Augezahle gleich 3 ist. b) Es wird ur das Maximum der Augezahle beobachtet. Beschreibe Sie das Experimet durch eie W.-Raum. Bereche Sie die W. dafür, daß das Maximum der Augezahle gleich 3 ist. c) Die Würfel seie icht uterscheidbar (ud sie solle auch icht uterscheidbar gemacht werde). Beide Augezahle werde beobachtet. Beschreibe Sie das Experimet durch eie W.- Raum. Bereche Sie die W. dafür, daß das Maximum der Augezahle gleich 3 ist. d) Es wird ur die Summe der Augezahle beobachtet. Beschreibe Sie das Experimet durch eie W.-Raum. Bereche sie die W. dafür, daß die Summe der Augezahle kleier oder gleich 3 ist. Lösugsvorschlag 4: a) Wahrscheilichkeitsraum: [,..., 6}, p(,..., 6} ), P ] P ist Gleichverteilug auf,..., 6 Ereigis: A... das Maximum der Augezahle ist 3 P (A) A Ω,, 3} /, } 9 4 5

3 Stochastik für Physiker: Aufgabe ud Lösugsvorschläge 3 b) Wahrscheilichkeitsraum: [,..., 6}, p(,..., 6}), P ] P ist Gleichverteilug auf,..., 6 Ereigis: A... das Maximum der Augezahle ist 3 c) Wahrscheilichkeitsraum: [r,..., r 6 }, p(,..., 6}), P ] P (A )... 5 P ist Maxwell-Boltzma-Verteilug, Zustäde: 6, Teilchezahl: r Ereigis: A... das Maximum der Augezahle ist 3 P (A ) P (,,,,, },,,,,, },,,,,, }) P (,,,,, }) + P (,,,,, }) + P (,,,,, }) 6!!!!!!! + 6!!!!!!! + 6 d) Wahrscheilichkeitsraum: [,..., }, p(,..., }), P ] Ereigis: B... die Summe der Augezahle ist kleier oder gleich 3!!!!!!! 5 P (B) P (, },, }, }) + + Aufgabe 5: Acht Kugel falle rei zufällig ud uabhägig voeiader i drei Fächer. Gebe Sie eie passe- de W.-Raum a, so daß Sie die folgede Frage beatworte köe: Mit welcher Wahrscheilichkeit bleibt midestes ei Fach leer? Lösugsvorschlag 5: Wahrscheilichkeitsraum: [r, r, r 3 }, p(r, r, r 3 }), P ] P ist Maxwell-Boltzma-Verteilug Ereigis: A... midestes ei Fach bleibt leer P (A) 3 P (,, 8}) + 6 P (,, 7}) + 6 P (,, 6}) + 6 P (, 3, 5}) + 6 P (, 4, 4}) ( ! 8! + 6 8! ) 7! + 6 8!! 6! + 6 8! 3! 5! + 3 8! 4! 4! Aufgabe 6: Beim Wurf eier Müze erscheie mit Wahrscheilichkeit etweder Kopf oder Zahl. Bestimme Sie die miimale Azahl vo Würfe, bei der mit Wahrscheilichkeit größer oder gleich, 95 weigstes eimal Kopf ud eimal Zahl erscheit. Lösugsvorschlag 6: Wahrscheilichkeitsraum: [, }, p(, } ), P ] P ist Berpulli-Verteilug mit Erfolgswahrscheilichkeit p/ ud Ereigis: A... es fällt midestes eimal Kopf ud eimal Zahl P (A) P (A C ).5 [ ( ) ( ) + ( ) l(4) l() 5.3 es fällt Kopf es fällt Zahl ( ) ( ) ]!.95 Es muss 6 mal gewürfelt werde.

4 Stochastik für Physiker: Aufgabe ud Lösugsvorschläge 4 Aufgabe 7: Es seie [R, R, P ] ei Wahrscheilichkeitsraum ud F die Verteilugsfuktio zu P. Drücke Sie die folgede Wahrscheilichkeite vo Itervalle mit Hilfe der Verteilugsfuktio aus: P ((a, b)), P ((a, b]), P ([a, b)), P ([a, b]) wobei a, b R, a < b. Wie köe diese Wahrscheilichkeite mit Hilfe eier Verteilugsdichte ausgedrückt werde, falls eie existiert? Lösugsvorschlag 7: Wahrscheilichkeitsraum: [R, R, P ] Verteilugsfuktio: F : R [, ], F (x) ((, x])x R, F (x) ( Vorüberlegug: P ([a, a]) P x f(t)dt ) ( ] a, a lim P (( a, a]) ( ( )) lim F (a) F a ( ( P ((a, b)) P ((a, b]) P (b}) F (b) F (a) lim F (b) F b )) P ((a, b]) F (b) F (a) P ([a, b)) P ([a, a]) + P ((a, b]) P (b}) lim P ([a, b]) P ([a, a]) + P ((a, b]) lim ( F (a) F ( ( F (a) F a ( a )) + F (b) F (a) )) ( ( + F (b) F (a) lim F (b) F b )) Aufgabe 8: Zwei Volumia mit de Ihalte V, V kommuiziere durch eie Ö?ug. Sie ethalte isgesamt Moleküle ohe Wechselwirkug. Zeige Sie, dass die Wahrscheilichkeit dafür, dass sich im Volume V geau k Moleküle befide, gleich ( + γ) ( ) ( k)γ k ist, wobei γ V ud k,..., Lösugsvorschlag 8: isgesamt Moleküle V X... Azahl der Moleküle i V Ereigis: A... Es sid k Moleküle im Volume V P (X k) ( + γ) ( ) k γ k i-tes Molekül ist iv X i eue Zufallsgröße mit i-tes Molekül ist iv Wahrscheilichkeitsraum: [, }, p(, } ), P ] mit P Biomialverteilug ( ) ( ) P (X i ) V V +V + V V + γ γ γ+ X i B,p i.i.d. mit p γ+ γ ud X X i i Abbildug : Zwei durch eie Öffug verbudee Volumia ( ) ( ) k ( γ P (X k) γ k γ + γ + ( ) ( ) k ( γ k γ + γ + ( ) ( γ k k γ + ) k ) k ) ( + γ) ( k ) γ k

5 Stochastik für Physiker: Aufgabe ud Lösugsvorschläge 5 Aufgabe 9: Die Spieler A ud B würfel abwechseld mit eiem Paar vo (gleichmäßige) Würfel. A gewit, we seie Gesamtaugezahl bei eiem Wurf geau 6 ist, bevor B bei eiem Wurf die Augezahl 7 würfelt. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass Spieler A gewit, we er begit? Aufgabe : Aus eiem Skatblatt werde acheiader zufällig zwei Karte gezoge (ohe Zurücklege) ud verdeckt higelegt. Es wird die als zweite gezogee Karte aufgedeckt. Wie groß ist die Wahrschei- lichkeit, daß die zuerst gezogee Karte ei As ist, we die zweite Karte ei As ist? Gebe Sie zuächst eie passede W.-Raum ud da die betrachtete Ereigisse ud Wahr- scheilichkeite a. Lösugsvorschlag : Wahrscheilichkeitsraum: [, }, p(, } ), P ] mit kei Ass Ass alterativ: Wahrscheilichkeitsraum: [,..., 3}, p(,..., 3} ), P ] wobei,..., 4 die Asse sid Ereigis: A... erste Karte ist ei Ass; B... zweite Karte ei Ass ist P (A B) P (A B) P (B) P (B A) P (A) P (B) Aufgabe : Für ei -gliedriges Beroulli-Schema werde die Ereigisse A... es tritt keie auf, A... es tritt höchstes eie auf, B... i de erste 5 Versuche tritt keie auf betrachtet. Bereche Sie die bedigte Wahrscheilichkeite P (A B), P (A B), P (B A ), P (B A ). 3 3 Aufgabe : Für ei Produkt sei bekat folgedes bekat: Vo der Gesamtproduktio habe 5% das Merkmal D (z.b. Defekt ). Die agewedete Utersuchugsmethode liefert i 8% der Fälle die richtige Diagose, we das utersuchte Produkt icht das Merkmal D hat ud i 9% der Fälle die richtige Diagose, we das Produkt das Merkmal D hat. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, daß ei zufällig ausgewähltes Produkt das Merkmal D hat, we die Diagosemethode das Ergebis liefert: Produkt hat Merkmal D? Gebe Sie eie passede W.-Raum a ud verwede Sie die Bayessche Formel! Lösugsvorschlag : Wahrscheilichkeitsraum: [w, w }, p(w, w )] mit w Diagose, w Zustad ud Ereigis: A... Produkt hat Merkmal D ; B... Produkt ist defekt bekat: P (A).5 P (B C A C ).8 P (B A).9 gesucht: P (A B) icht defekt defekt mit P (A B) P (B C A C ) P (BC A C ) P (A C ) P (A B) P (B) P (B A) P (A) P (B) P (BC ) + P (A C ) P (B C A C ) P (A C ) P (B) + P (A) ( P ((BC A C ) C )) P (A) P (B) + P (A) ( P (B A)) P (A) P (B) + P (A) ( P (B A) P (A)) P (A)

6 Stochastik für Physiker: Aufgabe ud Lösugsvorschläge 6 P (B) + P (B A) P (A) P (A) P (B C A C )( P (A)) P (A B) P (B A) P (A) + P (B A) P (A) P (A) P (B C A C )( P (A)).95 Aufgabe 3: Es seie X, X,..., X uabhägige Zufallsgröße. Jede vo ihe habe die Verteilugsfuktio F (d.h., die Zufallsgröße sid idetisch verteilt). a) Bereche Sie die Verteilugsfuktioe der Zufallsgröße maxx, X,..., X } ud mix, X,..., X }. b) Bestimme Sie die Verteilugsdichte vo Miimum ud Maximum für de Fall, dass die Zu- fallsgröße auf dem Itervall (, ) gleichverteilt sid. Lösugsvorschlag 3: zu a) X,..., X i.i.d. mit Verteilugsfuktio F X (x), d.h F X (x) F X (x)... F X (x) F Xi (x) P (X i x) F maxx,...,x }(x) P (maxx,..., X } x) P (X x,..., X x) P (X i x) i F X (x) F X (x) i F mix,...,x }(x) P (mix,..., X } x) P (mix,..., X } > x) P (X > x,..., X > x) P (X i > x) i ( F X (x)) ( F X (x)) x zu b) X i U(, ) also Verteilugsdichte F X (x) x x x > x x F maxx,...,x }(x) F X (x) x x f(x) x x x > x > i x F mix,...,x }(x) ( F X (x)) ( x) x x > x f(x) ( x) x x > Aufgabe 4: Zeige Sie: We X eie Cauchy-verteilte Zufallsgröße ist, da ist auch die Zufallsgröße X Cauchy-verteilt.

7 Stochastik für Physiker: Aufgabe ud Lösugsvorschläge 7 Aufgabe 5: Die Zufallsgröße X sei gleichverteilt auf (, ). Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass X eie Wert aimmt, bei dem a) die erste Dezimalstelle eie ist? b) die zweite Dezimalstelle eie 5 ist? c) die erste Dezimalstelle der Quadratwurzel eie 3 ist? Lösugsvorschlag 5: X U(, ) Ereigis: A... erste Dezimalstelle ist eie Ereigis: B... die zweite Dezimalstelle ist eie 5 Ereigis: C... die erste Dezimalstelle der Quadratwurzel ist eie 3 P (A) P (X.) P (X.) F X (.) F X (.)... P (B) (P (X.6) P (X.5)). P (C) P ( X [.3,.4) P (.3 X <.4) P (.9 X <.6).6.9 f(t)dt.7 Aufgabe 6: Die Zufallsgröße X sei gleichverteilt auf dem Itervall (, ), d.h. X U(, ). Bereche Sie Verteilugsfuktioe ud Verteilugsdichte folgeder Zufallsgröße: X, X, X, X, l X. Lösugsvorschlag 6: x x F X (x) f(t)dt x x x x f(x) x x x F X (x) P ( X x) P ( x X) P (X x) F X ( x) x x x x x x x f(x) x U(, ) x x x x F X (x) P (X x) P (X + x) F X ( + x) + x x f(x) x x x F X (x) P (X x) P (X x) F X ( x x x) x x f(x) x x x x U(, )

8 Stochastik für Physiker: Aufgabe ud Lösugsvorschläge 8 Aufgabe 7: Die Verteilug eier Zufallsgröße X heißt logarithmische Normalverteilug (oder Logormalvertei- lug), we l X ormalverteilt ist. Bestimme Sie die Dichtefuktioe aller Logormalverteilu- ge. Lösugsvorschlag 7: X logarithmisch ormalverteilt, we l X N µ.σ, µ R, σ > Y l X X e Y > also P (X > ) F l X (x) f(x) für x P (X x) P (l X l x) F l X (l x) l x x πσ e (t µ) σ dt Substitutio: l s t s e t, dt ds s (l s µ) s e σ ds f(s) πσs (l s µ) πσs e σ s > Aufgabe 8: Bei eiem Ferseh-Gewispiel gibt es folgede Kostellatio: Es sid drei geschlossee Türe aufgebaut, ud hiter geau eier dieser Türe steht ei Preis ( Ziege ). Ei Kadidat, der de Preis gewie möchte, aber atürlich die richtige Tür icht ket, ka eie Tür auswähle, die aber zuächst icht geöffet wird. Daraufhi stellt sich der Quizmaster (der die richtige Tür ket), vor eie adere Tür ud erklärt wahrheitsgemäß, dass der Preis icht dahiter steht. Nu ka der Kadidat sich etscheide: Er ka die Tür öffe, vor der er bereits steht, oder er ka och eimal wechsel ud die adere Tür öffe, vor der weder er steht och der Quizmaster. Der Kadidat bekommt de Preis, we er die richtige Tür öffet. Was ist für de Kadidate die bessere Strategie: Die Tür och eimal zu wechsel oder die afags gewählte Tür zu öffe? Lösugsvorschlag 8: Wahrscheilichkeitsraum: [Z, N, N }, p(z, N, N }), P ] P ist Gleichverteilug auf Ω mit P (ω}) 3 Ereigis: A... Spieler gewit mit Strategie icht-wechsel Ereigis: B... Spieler gewit mit Strategie wechsel P (A) 3 P (B) 3 Aufgabe 9: Aus eiem gut durchmischte Teig, der geau Rosie ethält, wird ei Kuche gebacke, der i Stücke gleicher Größe zerschitte wird. Uter der Aahme, dass die Orte der als puktförmig vorgestellte Rosie voeiader uabhägig ud jeweils gleichverteilt im gesamte Kuchevolume sid, soll die Wahrscheilichkeit berechet werde, dass ei zufällig ausgewähltes Stück Kuche geau 5 Rosie ethält. Lösugsvorschlag 9: Zufallsgröße X... Azahl der Rosie im Stück, Zufallsgröße X i i-te Rosie icht im Stück i-te Rosie im Stück i,..., P (X i ) P (X i ) u X X i i X biomialverteilt mit Parameter, p.5; X B,p P (X k) ( ) p k ( p) k k ( 5 ) ( ) 5 ( )

9 Stochastik für Physiker: Aufgabe ud Lösugsvorschläge 9 Aufgabe : Die Zufallsgröße X sei ormalverteilt mit dem Mittelwert µ ud der Variaz σ. Bereche Sie folgede Wahrscheilichkeite: a) P (µ σ < X < µ + σ) b) P (µ σ < X < µ + σ) c) P (µ 3σ < X < µ + 3σ) Lösugsvorschlag : P (µ λ σ < X < µ + λ σ) F }} X (µ + λ σ) F X (µ λ σ) A ( ) ( ) µ + λ σ µ µ λ σ µ Φ Φ Φ(λ) Φ( λ) σ σ Φ(λ) ( Φ(λ)) Φ(λ) P (A(λ )).683 P (A(λ )).955 P (A(λ 3)).997 P (A(λ 4)) Aufgabe : Es sei X eie ormalverteilte Zufallsgröße mit dem Erwartugswert µ 3 ud der Variaz σ 4. Bestimme Sie mit Hilfe eier Tabelle der Stadardormalverteilug a) die Wahrscheilichkeit dafür, dass X im Itervall (, ) liegt b) ei Itervall edlicher Läge, i dem X mit Wahrscheilichkeit.95 liegt c) die Zahl c, für die gilt, dass X mit Wahrscheilichkeit.8 i (c, ) liegt d) Gebe Sie mit Hilfe der Verteilugsfuktio Φ der Stadard-Normalverteilug eie Formel für de Wert a a, für de gilt, dass P (µ aσ < X < µ + aσ) α, α (, ). Welcher Wert a ergibt sich für α.5? Lösugsvorschlag : X N µ,σ, µ 3, σ 4, σ a) ( ) ( ) µ µ P (X [, ]) P ( X ) F X () F X ( ) Φ Φ σ σ Φ(.5) Φ() b) P (X [µ c, µ + c]) P (µ c X µ + c) F X(µ + c) F X (µ c) ( ) ( ) 3 + c 3 3 c 3 ( c Φ Φ Φ )!.95 c Φ (.975) 3.9 c) d) P (µ aσ < X < µ + aσ) Φ(a) α a Φ ( α ) α.5.96

10 Stochastik für Physiker: Aufgabe ud Lösugsvorschläge Aufgabe : Eie Fluggesellschaft hat die lagjährige Erfahrug gemacht, dass ur 95% der Gesamtzahl der Persoe, die sich eie Platz reserviere ließe, zum Abflug erschiee. Deshalb verkauft die Gesellschaft für ei Flugzeug, das 95 Plätze hat, Tickets. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass alle Persoe, die zu eiem bestimmte Abflug erscheie, eie Platz bekomme? Bestimme Sie sowohl die exakte Lösug (uter der Aahme, dass alle Ticket- Ihaber ihre Etscheiduge uabhägig voeiader ud mit der gleiche Wahrscheilichkeit treffe) als auch eie Näherugslösug mit Hilfe des Poissosche Grezwertsatzes. Aufgabe 3: Bestmme Sie die Verteilug des Miimums vo i.i.d. expoetialverteilte Zufallsgröße. Lösugsvorschlag 3: Aufgabe 4: Aufgabe 5: Aufgabe 6: Ei Stab der Läge werde a zwei Stelle zerbroche. Dabei seie die Koordiate der Bruch- stelle uabhägig voeiader ud jeweils gleichverteilt auf dem Itervall (, ). Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass aus de drei Bruchstücke ei Dreieck zusammegelegt werde ka? Lösugsvorschlag 6: Koordiate der zwei Bruchstelle sid X, Y U(, ) damit Ereigis: A... Dreieck ka gelegt werde eitritt, müsse zwei Seite je läger sei als die Dritte X + (Y X) > Y Y > X Y Y (Y X) + ( Y ) > X X < ( Y ) + X > (Y X X + > Y die Skizze im Parameterraum führt zum Ergebis P (A) A Ω X Aufgabe 7: Für das zweimalige Würfel mit eiem Würfel bezeiche die Zufallsgröße X mi das Miimum der beide Augezahle ud die Zufallsgröße X max das Maximum. Gebe Sie das gemeisame Vertei- lugsgesetz ud die Radverteiluge des zufällige Vektors (X mi, X max ) a. Lösugsvorschlag 6: X mi \X max

11 Stochastik für Physiker: Aufgabe ud Lösugsvorschläge Aufgabe 8: Die Wahrscheilichkeit dafür, dass bei eiem Flugzeug auf eier bestimmte Strecke ei Motor ausfällt, sei p. Bei mehrmotorige Flugzeuge wird ageomme, dass die Motore uabhägig voeiader ausfalle. Ei Flugzeug ist flugfähig, we weigstes die Hälfte seier Motore arbeitet. Für welche Werte vo p ist ei zweimotoriges Flugzeug eiem viermotorige vorzuziehe? Lösugsvorschlag 8: eue Zufallsgröße X i i-ter Motor kaputt i-ter Motar gaz, u Azahl der kaputte Motore X X i B,p i Ereigis: A... zweimotorige Maschie ist och flugfähig P (A) P (X ( ) ) P (X ) + P (X ) p ( p) + ( p) + p( p) ( p)( + p) p Ereigis: B... viermotorige Maschie ist och flugfähig P (B) P (X ) + P (X ) + P (X ) ( p) 4 + 4p( p) 3 + 6p ( p) ( ) 4 p ( p) 4 + wa ist ei zweimotoriges Flugzeug eiem viermotorige Flugzeug vorzuziehe? P (A) P (B) ( ) p ( p) ( ) 4 p ( p) 3 + ( p)( + p) ( p)( p)( + p + 3p ) p... p( 3p) p, p 3 ( ) 4 p ( p) für p 3 ist eie zweimotorige Maschie vorzuziehe Aufgabe 9: Es sei (X, Y ) ei stetiger zufälliger Vektor. Bestimme Sie Verteilugsdichte für das Produkt X Y ud de Quotiete X/Y. Welche Formel ergebe sich, we X ud Y uabhägig sid? Lösugsvorschlag 9: F X Y (x) P (X Y x) (,x] (t t )f X (t, t )dt dt Substitutio: s t t, ds t dt (,x] (s)f X ( s t, t ) t dt ds X Y hat Verteilugsdichte f X Y (s) sid X ud Y uabhägig gilt f X Y (s) ( ) X F X (x) P Y Y x f X ( s t ) f Y (t) t dt ( ) t (,x] f X (t, t )dt dt Substitutio: s t, ds dt t t t (,x] (s) f X (s t, t ) t dt ds X Y hat die Verteilugsdichtef X (s) Y sid X ud Y uabhägig gilt f X (s) Y f X (s t)f Y (t) t dt f X ( s t, t ) t dt f X (s t, t) t dt

12 Stochastik für Physiker: Aufgabe ud Lösugsvorschläge Aufgabe 3: Die Zufallsgröße X, X seie uabhägig ud idetisch gleichverteilt auf dem Itervall (, ). Bereche Sie Verteilugsdichte der Zufallsgröße X + X ud X X. Aufgabe 3: Die Zufallsgröße X,..., X seie uabhägig ud idetisch stadardormalverteilt. a) Bestimme Sie eie Verteilugsdichte der Zufallsgröße X. Zu welcher Familie vo Verteiluge gehört die Verteilug vo X? b) Bestimme Sie eie Verteilugsdichte der Zufallsgröße S Xi. (Das Verteilugsgesetz dieser Summe vo Quadrate heißt Chi-Quadrat-Verteilug mit Freiheitsgrade.) i c) Bestimme Sie eie Verteilugsdichte der Zufallsgröße S. (Für 3 wird das Verteilugsgesetz dieser Zufal lsgröße als Maxwell-Verteilug bezeichet.) Lösugsvorschlag 3: X,..., X N,, Stadardormalverteilug f X (x) π e x Gamma-Verteilug mit Parameter a, b > f X (x) ba Γ(a) xa e bx (, ) (x) a) F X (x) P (X x) x> x P ( X x) x > P ( x X x) P (X [ x, ]) + P (X [, x]) x x e t dt + π x e t dt Substitutio: u t, t u, dt π u du πu e u du fx (x) πx e x Γ, b) sid X ud X uabhägige Zufallsgröße ud X i Γ ai,b, a, a, b > da gilt X + X Γ a+a,b S i X i Γ, ( ) Γ ( )x ( ) e x (, ) (x) c) F S (x) P ( S x) x> f S (x) x P (S x ) x > P (S x ) F S (x ) f S (x) d dx F S (x ) f S (x ) x ( ) Γ ( )x ( ) e x (, ) (x) x ( ) Γ ( )x ( ) e x (, ) (x) 3 Maxwell-Verteilug, Γ ( ) ( 3 Γ + ) Γ(/) π f S (x) π u e x

13 Stochastik für Physiker: Aufgabe ud Lösugsvorschläge 3 Aufgabe 3: Die Zufallsgröße X ud Y seie uabhägig ud idetisch stadard-ormalverteilt. Bestimme Sie die Verteilug des Quotiete X/Y. Lösugsvorschlag 3: X, Y N, i.i.d., f X (x) π e x utze Resultat aus Aufgabe 9 f X (s) Y π π f X (s t)f Y (t) t dt π + s t e t (s +) dt + u } e u } du π e x t e (s t) e t dt t e t (s +) dt Substitutio: u t (s + ) + s Stadard-Cauchy-Verteilug Aufgabe 33: Bereche Sie de Erwartugswert der Zufallsgröße X, falls dieser existiert, we a) X auf dem Itervall (, ) gleichverteilt ist, b) X auf dem Itervall (a, b), < a < b <, gleichverteilt ist (verwede Sie zur Vereifachug der Rechug möglichst das Resultat aus a)), c) X Cauchy-verteilt ist, d) X geometrisch verteilt ist mit dem Parameter p (, ). e) X gammaverteilt ist mit de Parameter (a, b), a >, b >. Lösugsvorschlag 33: a) X U(, ) EX x (,) (x)dx b) X U(a, b), es sei Y U(, ) da sei X (b a)y + a xdx EX E((b a)y + a) (b a)ey + a b a c) X Cauchyverteielt, Prüfug auf Existez des Erwartugswertes x f X (x)dx x π ( + x ) x π + x dx π ( + x ) d) X geometrische Verteilug, p (, ), P (X k) ( p) k p, k,,,... k + a a + b EX existiert icht EX k( p) k p p ( p) k( p) k p Substitutio: q p p ( p) k k d dq qk p ( p) d dq q k p ( p) d dq k p( p) ( q) p( p) p p p p q

14 Stochastik für Physiker: Aufgabe ud Lösugsvorschläge 4 Aufgabe 34: Es seie X,..., X i.i.d. Zufallsgröße, dere Variaze existiere ud edlich sid. a) Drücke Sie Erwartugswert ud Variaz des arithmetische Mittels X vo X aus. b) Bereche Sie de Erwartugswert der Zufallsgröße σ Lösugsvorschlag 34: (X i X) i X i durch die etsprechede Parameter i a) ( ) EX E X i i ( ) varx var X i i EX EX i i varx varx b) E σ E(X i X) E(Xi X i X + X ) i EX i + EX E(X i ) + EX E(X i X j ) EXi + EX EX i EX j + E(X i ) j j i j E(X i ) + }} varx +(EX ) ( ) (EX ) E(X i) E(X) }} varx +(EX) + ( ) (EX ) (varx + (EX ) ) + varx + (EX ) + (EX ) (EX ) varx (da für i j uabhägig) Aufgabe 35: Es seie X eie Zufallsgröße ud k N mit E X k <. Zeige Sie (für die beide Fälle, dass X diskret oder stetig ist), dass da E X l < für alle l N, l < k. Lösugsvorschlag 35: X Zufallsgröße, k, l N, l < k; zu zeige: we E X k < da auch E X l < X l, falls X < X k F X l(x) P ( X l, für x > x), falls X F X k(x), für x > E X l F X l(x)dx dx F X k(x)dx + F X k(x)dx + E X k <

15 Stochastik für Physiker: Aufgabe ud Lösugsvorschläge 5 Aufgabe : Bereche Sie die Variaze, sofer diese existiere, für die Zufallsgröße aus Aufgabe 33 ud außerdem die Variaze biomialverteilter ud expoetialverteilter Zufallsgröße. Lösugsvorschlag : X U(, ) varx E((X EX) ) E(X ) (EX) x (,) dx 4 x3 3 4 X U(a, b), f(x) b a [a,b](x) varx E((X EX) ) E(X ) (EX) b a ( ) a + b x dx x3 3 b a (a + b) ( a + b x [a,b] (x)dx )

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