2.1.2 Konkretisierte Unterrichtsvorhaben auf der Basis des Lehrwerks

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1 Qualifikationsphase GRUNDKURS QI Konkretisierte Unterrichtsvorhaben auf der Basis des Lehrwerks Buch: Elemente der Mathematik, Qualifikationsphase NRW Grundkurs, Braunschweig 2015, Westermann Schroedel Diesterweg Verlag, ISBN Unterrichtsvorhaben I Funktionen als mathematische Modelle Wiederholung: Noch fit in Differenzialrechnung? (Durchschnittliche Änderungsrate, Ableitung an einer Stelle, Ableitungsfunktion, Ableitungsregeln) Wiederholung: Noch fit in Funktionsuntersuchungen? (Globalverlauf, Symmetrie des Funktionsgraphen, Nullstellen ganzrationaler Funktionen, Monotonie, Extrempunkte und Sattelpunkte, Lokale, globale Extrema und Randextrema, Monotonie und Extrempunkte, Kriterien für Extremstellen) 1.1 Weiterführung der Differenzialrechnung Wendepunkte Linkskurve, Rechtskurve (Ableitungen berechnen, Links- und Rechtskurven bestimmen, grafisch argumentieren, Sätze und Definitionen kennen) Kriterien für Extrem- und Wendepunkte Selbst lernen (Extrem- und Wendepunkte berechnen, Aussagen über Extrem- und Wendestellen beurteilen, Sätze und Definitionen kennen und anwenden, Vernetzte Aufgaben) Ableitung von Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten (Anwenden der Ableitungsregeln, Ableitung der Quadratwurzelfunktion, Steigungen von Funktionen, verwenden notwendige Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien sowie weitere hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Extrem- und Wendepunkten beschreiben das Krümmungsverhalten des Graphen einer Funktion mit Hilfe der 2. Ableitung interpretieren Parameter von Funktionen im Kontext und untersuchen ihren Einfluss auf Eigenschaften von Funktionenscharen bilden die Ableitungen von Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten verwenden digitale Werkzeuge zum Berechnen der Ableitung einer Funktion an einer Stelle verwenden digitale Werkzeuge zum Darstellen von Modellieren Strukturieren Annahmen treffen und begründet Vereinfachungen einer realen Situation vornehmen, Mathematisieren zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle übersetzen, mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells erarbeiten, Validieren die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation beziehen die Angemessenheit aufgestellter (ggf. konkurrierender) Modelle für die Fragestellung beurteilen. Problemlösen Erkunden Fragen zu einer gegebenen Problemsituation finden und stellen einfache und komplexe mathematische Probleme, analysieren und strukturieren die

2 Unterrichtsvorhaben I Funktionen als mathematische Modelle Tangentengleichung, Vernetzte Aufgaben) Funktionen grafisch und als Wertetabelle Problemsituation erkennen und formulieren, Aspekte von Funktionsuntersuchungen Lösen Ideen für mögliche Lösungswege entwickeln, (Aspekte von Funktionsuntersuchungen, Rechnerfenster kritisch hinterfragen, Argumentieren mit Eigenschaften von Funktionen, Untersuchung von Eigenschaften in Abhängigkeit von einem Parameter bei ganzrationalen Funktionen, Vernetzte Aufgaben) ausgewählte Routineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung einsetzen, einschränkende Bedingungen berücksichtigen einen Lösungsplan zielgerichtet ausführen Argumentieren 1.2 Extremwertprobleme (Geometrische Körper und Figuren, Flächeninhalte und Funktionsgraphen, Aufgaben aus der Wirtschaft) Wiederholung: Noch fit im Lösen linearer Gleichungssysteme? (Einsetzungsverfahren, Additionsverfahren, Sonderfälle bei der Lösungsmenge) 1.3 Lösen linearer Gleichungssysteme GAUSS- Algorithmus verwenden notwendige Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien sowie weitere hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Extrempunkten führen Extremalprobleme durch Kombination mit Nebenbedingungen auf Funktionen einer Variablen zurück und lösen diese stellen lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektor- Schreibweise dar Begründen mathematische Regeln bzw. Sätze und sachlogische Argumente für Begründungen nutzen, vermehrt logische Strukturen berücksichtigen (notwendige / hinreichende Bedingung, Folgerungen / Äquivalenz, Und- / Oder- Verknüpfungen, Negation, All- und Existenzaussagen), Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen Darstellen von Funktionen (grafisch und als Wertetabelle), zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen, grafischen Messen von Steigungen Berechnen der Ableitung einer Funktion an einer Stelle Der GAUSS-Algorithmus zum Lösen eines linearen Gleichungssystems Lineare Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen oder ohne Lösung beschreiben den Gauß-Algorithmus als Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme wenden den Gauß-Algorithmus ohne digitale Werkzeuge auf Gleichungssysteme mit maximal drei Unbekannten an, die mit geringem Rechenaufwand lösbar sind interpretieren die Lösungsmenge von linearen Gleichungssystemen

3 Unterrichtsvorhaben I Funktionen als mathematische Modelle verwenden digitale Werkzeuge zum Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen 1.4 Bestimmen ganzrationaler Funktionen (Bestimmen einer Funktion mit vorgegebenem Grad, Bestimmen einer Funktion ohne vorgegebenen Grad, mit ganzrationalen Funktionen modellieren) bestimmen Parameter einer Funktion mit Hilfe von Bedingungen, die sich aus dem Kontext ergeben ( Steckbriefaufgaben ) 1.5 Vermischte Aufgaben Das Wichtigste im Überblick Klausurtraining Unterrichtsvorhaben II Integralrechnung 2.1 Rekonstruktion eines Bestandes aus Änderungsraten (Rekonstruktion einer Größe aus dem Graphen der Änderungsrate, Rekonstruktion einer Größe aus gegebenen Änderungsraten) 2.2 Das Integral als Grenzwert von Produktsummen (Integrale näherungsweise mithilfe von Produktsummen bestimmen, Integrale der Quadratfunktion mithilfe der Formel interpretieren Produktsummen im Kontext als Rekonstruktion Gesamtbestandes oder Gesamteffektes einer Größe deuten die Inhalte von orientierten Flächen im Kontext des ermitteln den Gesamtbestand oder Gesamteffekt einer Größe aus der Änderungsrate oder der Randfunktion erläutern und vollziehen an geeigneten Beispielen den Übergang von der Produktsumme zum Integral auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs Argumentieren Vermuten Begründen Vermutungen aufstellen, Vermutungen beispielgebunden unterstützen, Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berücksichtigung der logischen Struktur präzisieren, Zusammenhänge zwischen Begriffen herstellen (Ober- / Unterbegriff) vorgegebene Argumentationen und mathematische Beweise erklären

4 Unterrichtsvorhaben II Integralrechnung berechnen, Integrale als Summen orientierter Flächeninhalte nutzen die Intervalladditivität von Integralen Kommunizieren bestimmen) Rezipieren Informationen aus zunehmend verwenden digitale Werkzeuge zum Ermitteln des Wertes komplexen mathematikhaltigen Texten eines bestimmten Integrales und Darstellungen, aus authentischen 2.3 Integrale mithilfe von Stammfunktionen berechnen bestimmen Stammfunktionen ganzrationaler Funktionen Texten, mathematischen Fachtexten sowie aus Unterrichtsbeiträgen erfassen, strukturieren und formalisieren, (Stammfunktionen, Integrale mithilfe von Stammfunktionen begründen den Hauptsatz der Differential- und Beobachtungen, bekannte berechnen, die passende Stammfunktion zu einem Integralrechnung unter Verwendung eines anschaulichen Lösungswege und Verfahren Anfangswert finden, orientierte Flächeninhalte, Integrale Stetigkeitsbegriffs beschreiben, mathematische Begriffe in mithilfe eines Rechners bestimmen, Vernetzte Aufgabe bestimmen Integrale numerisch und mithilfe von theoretischen und in Sachzusammenhängen erläutern. gegebenen oder Nachschlagewerken entnommenen Produzieren eigene Überlegungen formulieren und Stammfunktionen eigene Lösungswege beschreiben, begründet eine geeignete nutzen die Linearität von Integralen Darstellungsform auswählen, 2.4 Integralfunktionen Selbst lernen skizzieren zu einer gegebenen Randfunktion die flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen wechseln, Arbeitsschritte nachvollziehbar (Graph einer Integralfunktion näherungsweise aus einem zugehörige Flächeninhaltsfunktion dokumentieren, Ausarbeitungen erstellen und Graphen rekonstruieren, Integralfunktionen erläutern den Zusammenhang zwischen Änderungsrate und präsentieren Integralfunktion 2.5 Berechnen von Flächeninhalten Fläche zwischen einem Funktionsgraphen und der x- Achse (Flächeninhalte bei Graphen einer gegebenen Funktion f bestimmen, passende Funktionen bestimmen und Flächeninhalte berechnen) Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen (Flächeninhalte von Flächen zwischen den Graphen zweier gegebener Funktionen berechnen, passende Funktionen bestimmen und Flächeninhalte zwischen den Graphen der Funktionen berechnen, Vernetzte Aufgaben) verwenden digitale Werkzeuge zum Messen von Flächeninhalten zwischen Funktionsgraph und Abszisse bestimmen Integrale mithilfe von gegebenen Stammfunktionen und numerisch, auch unter Verwendung digitaler Werkzeuge bestimmen Flächeninhalte mit Hilfe von bestimmten und uneigentlichen Integralen Messen von Flächeninhalten zwischen Funktionsgraph und Abszisse, Ermitteln des Wertes eines bestimmten Integrales, mathematische Hilfsmittel und digitale Werkzeuge zum Erkunden und Recherchieren, Berechnen und Darstellen nutzen, Argumentieren Vermuten Vermutungen aufstellen, Vermutungen beispielgebunden unterstützen, Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berücksichtigung der logischen Struktur

5 Unterrichtsvorhaben II Integralrechnung präzisieren, Begründen Zusammenhänge zwischen Begriffen herstellen (Ober- / Unterbegriff) Blickpunkt: Näherungsweise Bestimmung von π vorgegebene Argumentationen und mathematische Beweise erklären Das Wichtigste im Überblick Klausurtraining Kommunizieren Rezipieren Produzieren Informationen aus zunehmend komplexen mathematikhaltigen Texten und Darstellungen, aus authentischen Texten, mathematischen Fachtexten sowie aus Unterrichtsbeiträgen erfassen, strukturieren und formalisieren, Beobachtungen, bekannte Lösungswege und Verfahren beschreiben, mathematische Begriffe in theoretischen und in Sachzusammenhängen erläutern. eigene Überlegungen formulieren und eigene Lösungswege beschreiben, begründet eine geeignete Darstellungsform auswählen, flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen wechseln, Arbeitsschritte nachvollziehbar dokumentieren, Ausarbeitungen erstellen und präsentieren Messen von Flächeninhalten zwischen Funktionsgraph und Abszisse, Ermitteln des Wertes eines bestimmten Integrales, mathematische Hilfsmittel und digitale Werkzeuge zum Erkunden und Recherchieren, Berechnen und Darstellen nutzen,

6 Unterrichtsvorhaben III Wachstum mithilfe der e-funktion beschreiben Wiederholung: Noch fit in exponentiellem Wachstum? (Exponentielles Wachstum, Eigenschaften der Exponentialfunktionen) 3.1 Exponentielles Wachstum Wachstumsgeschwindigkeit e-funktion (Exponentialfunktionen mit beliebiger Basis Ableitung, Verknüpfungen von ganzrationalen Funktionen mit der e- Funktion, Flächenberechnungen und Stammfunktionen bei verknüpften Funktionen, Vernetzte Aufgaben) Ableitung von Funktionen f mit f(x) = e kx+n (e-funktionen mit linearen Funktionen im Exponenten, Ableitungen, Steigungen und Tangenten, Stammfunktionen und Integrale, Vernetzte Aufgaben Beschreibung von exponentiellem Wachstum mit Hilfe der e- Funktion (Wachstumsprozesse mit der e- Funktion beschreiben, Ableitungen bestimmen, Gleichungen mit Hilfe des natürlichen Logarithmus lösen, Integrale berechnen, vernetzte Aufgaben Wachstumsprozesse untersuchen Selbst lernen (Exponentielle Abnahme und Zunahme mithilfe der e- Funktion modellieren, Halbwertzeit Verdopplungszeit, Wachstumsgeschwindigkeit exponentieller Prozesse experimentelle Bestimmung von k) bilden die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion bilden die Ableitung von Exponentialfunktionen mit beliebiger Basis beschreiben die Eigenschaften von Exponentialfunktionen und begründen die besondere Eigenschaft der natürlichen Exponentialfunktion verwenden Exponentialfunktionen zur Beschreibung von Wachstums- und Zerfallsvorgängen und vergleichen die Qualität der Modellierung exemplarisch mit einem begrenzten Wachstum nutzen den natürlichen Logarithmus als Umkehrung der natürlichen Exponentialfunktion rechnerisch Modellieren Strukturieren Validieren Problemlösen Erkunden Lösen Argumentieren Vermuten Begründen Beurteilen Annahmen treffen und begründet Vereinfachungen einer realen Situation vornehmen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation beziehen, die Angemessenheit aufgestellter (ggf. konkurrierender) Modelle für die Fragestellung beurteilen, aufgestellte Modelle mit Blick auf die Fragestellung verbessern, die Abhängigkeit einer Lösung von den getroffenen An-nahmen reflektieren Muster und Beziehungen erkennen, Informationen recherchieren ausgewählte Routineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung einsetzen, Werkzeuge auswählen, die den Lösungsweg unterstützen, geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Problemlösung auswählen einschränkende Bedingungen berücksichtigen Vermutungen aufstellen und mithilfe von Fachbegriffen präzisieren math. Regeln und Sätze für Begründungen nutzen überprüfen, inwiefern Ergebnisse, Begriffe und Regeln verallgemeinert werden können, Argumentationsketten hinsichtlich ihrer

7 Unterrichtsvorhaben III Wachstum mithilfe der e-funktion beschreiben Reichweite und Übertragbarkeit beurteilen 3.2 Verknüpfung von e- Funktionen und ganzrationalen Funktionen Produktregel Wachstumsvergleich von e- Funktionen und ganzrationalen Funktionen (Anwenden der Ableitungsregeln Untersuchen des Global- verlaufs, Aspekte von Funktionsuntersuchungen, Argumentieren und Begründen) Modellieren mit zusammengesetzten Funktionen (Typische Aufgabenstellungen bei komplexen Anwendungssituationen) Aspekte von Funktionsuntersuchungen mit e- Funktionen (Einzelaspekte von Funktionsuntersuchungen bearbeiten, zusammengesetzte Exponentialfunktionen in Sachzusammenhängen untersuchen -beschreiben die Veränderungen des Graphen der e- Funktion durch Verkettung mit einer linearen Funktion - wenden Ableitungsregeln (Produkt- und Kettenregel) sowie lineare Substitution zur Untersuchung des Verlauf s des Graphen an - nutzen mathematische und digitale Werkzeuge zur Untersuchung zusammengesetzter Funktionen - Parameter von Funktionen im Sachkontext interpretieren Erkunden Darstellen von Funktionen (graphisch und als Wertetabelle), grafischen Messen von Steigungen, Berechnen der Ableitung einer Funktion an einer Stelle Die Möglichkeiten und Grenzen mathematischer Hilfsmittel und digitaler Werkzeuge reflektieren und begründen Problemlösen Lösen Argumentieren Vermuten Begründen Beurteilen heuristische Strategien und Prinzipien nutzen, Werkzeuge auswählen, die den Lösungsweg unterstützen, geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Problemlösung auswählen Vermutungen aufstellen, beispielgebunden unterstützen und mithilfe von Fachbegriffen präzisieren, math. Regeln und Sätze für Begründungen nutzen sowie Argumente zu Argumentationsketten verknüpfen, verschiedene Argumentationsstrategien nutzen lückenhafte Argumentationsketten erkennen und vervollständigen, fehlerhafte Argumentationsketten erkennen und korrigieren Das Wichtigste im Überblick Klausurtraining Kommunizieren Produzieren eigene Überlegungen formulieren und eigene Lösungswege beschreiben,

8 Unterrichtsvorhaben III Wachstum mithilfe der e-funktion beschreiben Fachsprache und fachspezifische Notation verwenden, zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen, grafischen Messen von Steigungen Berechnen der Ableitung einer Funktion an einer Stelle Möglichkeiten und Grenzen mathematischer Hilfsmittel und digitaler Werkzeuge reflektieren und begründen. Unterrichtsvorhaben IV Vektoren, Geraden, Ebenen und Winkel im Raum Dieses Unterrichtsvorhaben wird in der QII fortgesetzt 4.1 Punkte und Vektoren im Raum - Wiederholung Lage von Punkten im Raum beschreiben (Zeichnen von Punkten und Körpern in Koordinatensystemen; Lage von Punkten im Koordinatensystem erkennen und beschreiben; Projektion und Spiegelung von Punkten) Vektoren (Verschiebungen, Vektoren und Pfeile; Längen von Vektoren berechnen) Addition und Subtraktion von Vektoren (Summen und Differenzen von Vektoren berechnen und zeichnen; Dreiecksregel anwenden Abstände zwischen zwei Punkten bestimmen; Bewegungen mit Vektoren bestimmen; Parallelogramme mit Vektoren beschreiben; Vgl. Eph Modellieren Strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit Blick auf eine konkrete Fragestellung erfassen und strukturieren, Annahmen treffen und begründet Vereinfachungen einer realen Situation vornehmen, Mathematisieren zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle übersetzen, mithilfe math. Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des math. Modells erarbeiten, Validieren die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation beziehen, die Angemessenheit aufgestellter (ggf. konkurrierender) Modelle für die Fragestellung beurteilen, aufgestellte Modelle mit Blick auf die Fragestellung verbessern

9 Unterrichtsvorhaben IV Vektoren, Geraden, Ebenen und Winkel im Raum Dieses Unterrichtsvorhaben wird in der QII fortgesetzt Eigenschaften von Dreiecken untersuchen) Geodreiecke, geometrische Modelle und dynamische Vervielfachen von Vektoren Selbst lernen Geometrie-Software nutzen; (Mit Vektoren rechnen; Vektoren in Figuren bestimmen; Mittelpunkt einer Strecke berechnen) Blickpunkt: Bewegungen auf dem Wasser 4.2 Geraden im Raum Parameterdarstellung einer Geraden (Parameterdarstellungen einer Geraden bestimmen, Beschreibung von Strecken Punktprobe) Lagebeziehungen zwischen Geraden (Lagebeziehungen von Geraden zueinander untersuchen, Geraden mit vorgegebenen Lagen zueinander bestimmen, Geraden in geometrischen Figuren, Geraden in Anwendungen) Blickpunkt: Licht und Schatten stellen Geraden in Parameterform dar interpretieren den Parameter von Geradengleichungen im Sachkontext stellen geradlinig begrenzte Punktmengen in Parameterform dar untersuchen Lagebeziehungen zwischen Geraden nutzen dabei digitale Werkzeuge bestimmen Geradengleichungen nach vorgegebenen Eigenschaften grafischen Darstellen von Ortsvektoren, Vektorsummen und Geraden Problemlösen Erkunden wählen heuristische Hilfsmittel (z. B. Skizze, informative Figur, Tabelle, experimentelle Verfahren) aus, um die Situation zu erfassen Lösen Ideen für mögliche Lösungswege entwickeln Werkzeuge auswählen, die den Lösungsweg unterstützen, heuristische Strategien und Prinzipien (z. B. [...]Darstellungswechsel, Zerlegen und Ergänzen, Symmetrien verwenden, Invarianten finden, Zurückführen auf Bekanntes, Zerlegen in Teilprobleme, Fallunterscheidungen, Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten, [ ])nutzen, einen Lösungsplan zielgerichtet ausführen, Reflektieren verschiedene Lösungswege bezüglich Unterschieden und Gemeinsamkeiten vergleichen, Lösungswege mit Blick auf Richtigkeit und Effizienz beurteilen und optimieren, Ursachen von Fehlern analysieren und reflektieren. Kommunizieren Produzieren die Fachsprache und fachspezifische Notation in angemessenem Umfang verwenden, begründet eine geeignete Darstellungsform auswählen, Arbeitsschritte nachvollziehbar dokumentieren, Ausarbeitungen erstellen und präsentieren

10 Unterrichtsvorhaben IV Vektoren, Geraden, Ebenen und Winkel im Raum Dieses Unterrichtsvorhaben wird in der QII fortgesetzt Diskutieren ausgearbeitete Lösungen hinsichtlich ihrer Verständlichkeit und fachsprachlichen Qualität vergleichen und beurteilen. Das Wichtigste im Überblick Klausurtraining Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen