Das ist. Mathematik 3. Lösungen. Testen und Fördern.

Transkript

1 Das ist Mathematik 3 Testen und Fördern

2 Inhaltsverzeichnis Kompetenztest Wiederholung aus der 2. Klasse Kompetenztest Ganze und rationale Zahlen Fördermaterial Ganze und rationale Zahlen mit dem Zahlenstrahl umgehen rationale Zahlen vergleichen mit negativen Zahlen operieren Rechengesetze zum vorteilhaften Rechnen nutzen Kompetenztest Algebra Fördermaterial Algebra Rechnen mit Variablen Rechnen mit Potenzen Rechnen mit Vielfachen von Rechengesetze zum vorteilhaften Rechnen nutzen Gleichungen erstellen und lösen Kompetenztest Proportionen; Ähnlichkeit Fördermaterial Proportionen; Ähnlichkeit Anteile und Verhältnisse bestimmen Umformen von Proportionen direkte und indirekte Proportionalität erkennen Figuren und geometrische Eigenschaften erkennen Kompetenztest Prozentrechnung Fördermaterial Prozentrechnung mathematische Sprache deuten mit Prozenten rechnen Zinsen berechnen Kompetenztest Statistik Fördermaterial Statistik Daten aus Diagrammen ablesen statistische Darstellungen interpretieren statistische Kennwerte kennen und bestimmen Kompetenztest Flächeninhalt Fördermaterial Flächeninhalt Dreiecke und ihre Eigenschaften kennen Vierecke und ihre Eigenschaften kennen Flächeninhalte bestimmen Berechnungen an zusammengesetzten Flächen Kompetenztest Satz des Pythagoras Fördermaterial Satz des Pythagoras Dreiecke und ihre Eigenschaften kennen Rechnen mit Wurzeln Figuren und geometrische Eigenschaften erkennen Kompetenztest Körper Fördermaterial Körper Körper und ihre Eigenschaften kennen Körpernetze zuordnen Flächeninhalte bestimmen Rauminhalte bestimmen

3 Wiederholung aus der 2. Klasse 1) Ordne richtig zu. Verkauf Einnahmen Arbeiter für die Arbeit benötigte Zeit direkte Proportionalität Anzahl der Kühe Platz im Stall pro Kuh Anzahl der Pferde Zeit die der Futtervorrat reicht indirekte Proportionalität Fahrzeit Treibstoffverbrauch Treibstoffverbrauch Kosten Alle Rechte vorbehalten / 9 5 Wiederholung aus der 2. Klasse 2) Welches Viereck hat die beschriebene Eigenschaft? Wähle das passende Viereck aus. a) Bei mir sind alle vier Seiten gleich lang, jedoch besitze ich keinen rechten Winkel. Ich bin ein/eine Raute. (Trapez, Raute, Parallelogramm, Rechteck) b) Bei mir stehen die Diagonalen normal aufeinander, die Seiten sind aber nicht alle gleich lang. Ich bin ein/eine Deltoid. (Deltoid, Quadrat, Rechteck, Parallelogramm) c) Ich besitze genau ein Paar paralleler Seiten. Ich bin ein/eine Trapez. (Rechteck, Raute, Deltoid, Trapez) d) Meine gegenüberliegenden Seiten sind parallel und ich habe keine rechten Winkel. Ich bin ein/eine Parallelogramm. (Deltoid, Parallelogramm, Quadrat, Trapez) 3) Besondere Punkte im Dreieck. Markiere die richtige Antwort. Wie nennt man den Schnittpunkt der Schwerlinien? Höhenschnittpunkt Inkreismittelpunkt Umkreismittelpunkt Schwerpunkt Wie nennt man den Schnittpunkt der drei Winkelsymmetralen? Höhenschnittpunkt Inkreismittelpunkt Umkreismittelpunkt Schwerpunkt Wie nennt man den Schnittpunkt der drei Streckensymmetralen? Höhenschnittpunkt Inkreismittelpunkt Umkreismittelpunkt Schwerpunkt Alle Rechte vorbehalten / 9 6 3

4 Wiederholung aus der 2. Klasse 4) Verbinde mit dem gesuchten Begriff. Von 300 Personen nehmen 45 an der Mathe- Olympiade teil. 45 ist der... Prozentanteil Der Warenpreis von 45 wurde um 6 % gesenkt. 6 % sind der... Grundwert Ein LKW mit 4,5 t Nutzlast ist mit 3,8 t beladen. 4,5 t sind der... Prozentsatz 5) Berechne die Prozentanteile und entscheide, ob die Behauptung stimmt. 4 % von 350 = % von 48 kg = 9,6 kg falsch 75 % von 8 m = 6 m 40 % von 5 = 3 richtig 8 % von 150 kg = 11 kg 90 % von 50 t = kg Alle Rechte vorbehalten / 9 7 Wiederholung aus der 2. Klasse 6) Orde richtig zu. Mittelwert Anzahl der Beobachtungen mit einem bestimmten Merkmal absolute Häufigkeit relative Häufigkeit mal 100 % prozentuelle Häufigkeit Summe aller Werte durch die Anzahl der Werte relative Häufigkeit Anteil der Beobachtungen mit einem Merkmal an der Gesamtanzahl 7) Löse die Gleichung durch Umkehrung der Rechenoperationen. a) 3 a 2 = 10 a = 4 b) (b 3) : 2 = 5 b = 13 c) c : = 8 c = 16 d) 5 + d 2 = 17 d = 6 8) Ermittle die Lösung. a) Nachdem der Warenpreis um 20 % gesenkt wurde, kostete ein CD-Player 45. Vor der Preissenkung kostete er 56,25. (56,25, 63, 565,20, 65,25 ) b) Ein Straßenstück von m, das entspricht 70 % der Gesamtlänge, konnte bereits ausgebessert werden. Die Gesamtlänge der Straße beträgt m. (1 750 m, m, m, m) Alle Rechte vorbehalten / 9 8 4

5 Wiederholung aus der 2. Klasse 9) Berechne und verbinde mit dem richtigen Ergebnis. 10) Wie lautet die richtige Lösung? a) Der Umsatz eines Unternehmens konnte von auf gesteigert werden. Diese Steigerung beträgt 25 %. (2,5 %, 25 %, 12,5 %, 125 %) b) Ein gebrauchter Wagen wird um 85 % des Gesamtwertes von weiterverkauft. Nun kostet er für den Käufer noch (12 580, , 125,80, ) Alle Rechte vorbehalten / 9 9 Wiederholung aus der 2. Klasse 11) Berechne und verbinde mit dem richtigen Ergebnis. Alle Rechte vorbehalten /

6 Wiederholung aus der 2. Klasse 12) In einer größeren Gruppe wurde die Augenfarbe erhoben. Markiere die richtigen Antworten. Welche Augenfarbe wurde am häufigsten genannt? braun grau grün blau Wie viele Leute haben geantwortet? Mit welcher relativen Häufigkeit (gerundet) wurde grün genannt? 0,05 0,11 0,51 0,55 13) Eine Zahl ist durch 2 und durch 5 teilbar. Welche Ziffern können an der Einerstelle stehen? Alle Rechte vorbehalten / 9 11 Wiederholung aus der 2. Klasse 14) Lies die Koordinaten der Punkte ab und ergänze den Punkt D so, dass ein Parallelogramm entsteht. D A( 1 1 ) B( 5 2 ) C( 5 5 ) D( 1 4 ) 15) Markiere das richtige Ergebnis. a) Wie lautet der ggt von 45, 75 und 90? b) Wie lautet das kgv von 2, 6 und 9? c) Wie lautet der ggt von 24, 64 und 112? d) Wie lautet das kgv von 24, 64 und 112? Alle Rechte vorbehalten /

7 Wiederholung aus der 2. Klasse 16) Welche Eigenschaften hat das gleichschenklige Dreieck? Kreuze an. Es gibt eine Symmetrieachse. Zwei Seiten sind gleich lang. Die Winkelsumme beträgt 360. Die Basiswinkel sind gleich groß. 17) Ist das Dreieck eindeutig konstruierbar, nicht eindeutig konstruierbar oder überhaupt nicht konstruierbar? a = 25 mm, b = 30 mm, c = 40 mm α = 25, β = 65, γ = 90 eindeutig konstruierbar a = 35 mm, b = 20 mm, α = 40 α = 15, β = 45, γ = 115 nicht eindeutig konstruierbar a = 60 mm, c = 40 mm, γ = 30 a = 45 mm, b = 20 mm, c = 70 mm nicht konstruierbar Alle Rechte vorbehalten / 9 13 Ganze und rationale Zahlen 1) Ordne die Zahlen. Beginne mit der kleinsten Zahl. 1, 10, 6, -2, 8, -4, -5, -1, 0, 3-5, -4, -2, -1, 0, 1, 3, 6, 8, 10 2) Berechne und verbinde das Ergebnis mit dem richtigen Kasten. (-1) + (-6) = (-2) + (+2) = < 0 (negativ) (+3) (+4) = (+2) (-2) = (+5) (+5) = = 0 (-3) (-3) = (-8) (-3) = (+6) (+3) = > 0 (positiv) (-2) + (-2) = (-1) + (+8) = Alle Rechte vorbehalten /

8 Ganze und rationale Zahlen 3) Beantworte die Fragen. Welche Temperatur wird angezeigt? -2 C 2 C -0,2 C -3 C Die Temperatur steigt um 9 C. Gib die neue Temperatur an. 8,8 C 7 C 11 C 5 C Die Temperatur fällt um 7 C. Gib die neue Temperatur an. -11 C -9 C -5 C -7,2 C 4) Ordne die rationalen Zahlen der Größe nach. Beginne mit der kleinsten. 0,9; -0,35; -6,93; 2,6; -0,6; 8,56; 0,76; -7,5-7,5; -6,93; -0,6; -0,35; 0,76; 0,9; 2,6; 8,56 5) Welche Zahl steht an der entsprechenden Stelle? Wähle die richtige Zahl aus. Stelle A: -3,1-2,8 2,8-2,4 Stelle B: -2,2-3,4-2,1-3,8 Stelle C: -0,08 1,2-1,2-0,8 Stelle D: 0,9 0,08 0,4 0,8 Alle Rechte vorbehalten / 7 15 Ganze und rationale Zahlen 6) In welchem Quadranten liegen die Punkte im Koordinatensystem? Ordne die Punkte den vier Quadranten zu. (-5-2) (3-1) 1. Quadrant (-5-3) (2 7) 2. Quadrant (-2-1) (-1 1) 3. Quadrant (3 5) (-5 3) 4. Quadrant (5-2) (-2 8) Alle Rechte vorbehalten /

9 Ganze und rationale Zahlen 7) Berechne und verbinde mit dem richtigen Ergebnis. (-3) + (-5) = +8 (-5) (-3) = -8 (+3) + (+5) = -2 (-3) + (+5) = +2 8) In drei Städten wurde zu einer bestimmten Zeit die Temperatur notiert. Beantworte die folgenden Fragen. Wähle die richtige Antwort aus. Ist es in Wien wärmer als in München? ja nein Wie groß ist der Temperaturunterschied zwischen Wien und Moskau? 14 C 15 C 9 C 12 C In Wien fällt die Temperatur in der Nacht um 7 C. Gib die neue Temperatur an. -10 C -4 C 3 C -7,3 C In München steigt die Temperatur am nächsten Tag um 12 C. Gib die neue Temperatur an. -8 C 16 C 4 C 8 C Alle Rechte vorbehalten / 7 17 Ganze und rationale Zahlen 9) Berechne und ordne die Rechnungen nach der Größe ihrer Ergebnisse. Beginne mit dem kleinsten Ergebnis. 2 (+6) : (+3) (+5) (+3) = 1 (-4) + (+5) (-4) = 3 (-4) + (-8) (-2) = 4 (-3) (+2) (+10) (-5) = 10) Ist das Ergebnis positiv oder negativ? (a und b sind positiv.) -(+a) = (-a) (+b) = (-a) (-b) = positiv (+a) (-b) = (-a) : (+b) = +(+a) = (-a) : (-b) = (+a) : (+b) = (+a) (+b) = negativ -(-a) = +(-a) = (+a) : (-b) = 11) Multipliziere und kreuze das richtige Ergebnis an. (-5) (-3) (+2) = Alle Rechte vorbehalten /

10 Ganze und rationale Zahlen 12) Berechne und verbinde mit dem richtigen Ergebnis. (-3,2) + (-7,1) (-4,7) = -15 (+3,2) (-7,1) + (-4,7) = -5,6 (-3,2) (+7,1) (+4,7) = +5,6 (+3,2) (-7,1) + (+4,7) = 15 13) Multipliziere und kreuze das Produkt an. (-8) (-2) (-2) = ) Gib den Quotienten an. (-30) : (-5) = (+12) : (-2) = (-14) : (-2) = (+24) : (+12) = (-16) : (+4) = Alle Rechte vorbehalten / 7 19 Ganze und rationale Zahlen 15) Berechne und verbinde mit dem richtigen Ergebnis. 16) Eine Wanderung führt auf den Hohen Dachstein mit etwa 3000 m Höhe. In Hallstatt, dem Ausgangspunkt der Wanderung auf etwa 500 m Seehöhe, hat es 14,5 C. Die Temperatur sinkt mit steigender Seehöhe. Je 100 m nimmt sie um etwa 0,75 C ab. Wie kalt ist es am Gipfel? Auf dem Hohen Dachstein hat es -4,25 C. Alle Rechte vorbehalten /

11 Ganze und rationale Zahlen mit dem Zahlenstrahl umgehen Welche ganzen Zahlen sind durch Kreuze markiert? Markiere die Zahlen -11, 8, -3, 12 und -14 auf der Zahlengeraden! Welche rationalen Zahlen sind durch Kreuze markiert? -0,7-0,5-0,2 0,4 0, Zeichne eine geeignete Zahlengerade und markiere die Zahlen - 11 ; 0; -1; - 11 ; 11 ; 00, 33 und 55! , Alle Rechte vorbehalten / 2 21 Ganze und rationale Zahlen mit dem Zahlenstrahl umgehen Lies die Koordinaten der Punkte A, B, C und D ab! A (0,5 2) 1. Quadrant B (2,5-3) 4. Quadrant C (-2,5 4,5) 2. Quadrant D (-2-2) 3. Quadrant Zeichne die Punkte R, S und T in das Koordinatensystem ein! Wo muss der Punkt Q liegen, damit ein Deltoid ensteht? R (-1 4,5) S (-3 2,5) T (-1-2) Q (1 2,5) Alle Rechte vorbehalten /

12 Ganze und rationale Zahlen rationale Zahlen vergleichen Ordne die Zahlen der Größe nach! Beginne mit der größten Zahl! -9, 12, 1, -3, 0, -14, -1, -8, 6, -5 12, 6, 1, 0, -1, -3, -5, -8, -9, -14 Setze das richtige Zeichen (<, > oder =) ein! - 2 < 1-0,8 < < = -0,25 0 > > Gib die nächstgrößere und die nächstkleinere ganze Zahl an! -4 < -3,8 < -3-8 < < -7 2 < < < < -2-1 < -0,002 < 0-9 < -8,12 < -8 Gib drei rationale Zahlen an, die zwischen den gegebenen Zahlen liegen! ZB: -2 < -1,5 < -1 < 0 < < -1 < < < < < < < 0-1,75 < -1,5 < -1,25 < -1 < Alle Rechte vorbehalten / 1 23 Ganze und rationale Zahlen mit negativen Zahlen operieren Berechne! (-3) + (-2) = -5 (+12) (-4) = 16 (-3) (+4) = -12 (+8) : (-2) = -4 (+4) + (-6) = -2 (-4) (+3) = -7 (-4) (-5) = 20 (-6) : (+3) = -2 (-2) + (-2) = -4 (-2) (-2) = 0 (-2) (-2) = 4 (-2) : (-2) = 1 (+10) + (-12) = -2 (+8) (+3) = 5 (+5) (-1) = -5 (-12) : (-4) = 3 Beantworte die Fragen! Welche Temperatur zeigt das Thermometer an? 3 C Wenn es 12 C kälter wird, wie viel Grad hat es dann? -9 C Die Temperatur fällt zuerst um 7 C. Danach steigt sie wieder um 3 C. Was zeigt das Thermometer dann an? -1 C Berechne und verbinde mit dem richtigen Ergebnis! (-3) + (-7) (-4) = -24 [(+2) (-6)] (-3) = -70 (-5) [(+12) (+8) : (-4)] = -14 (+9) (-6) (-3) + (-5) = -6 Alle Rechte vorbehalten /

13 Ganze und rationale Zahlen mit negativen Zahlen operieren Führe mit jeder Zahl in der ersten Spalte die Rechenoperationen in der ersten Zeile durch! (-2) 1 : (-3) : 2 : Berechne die neue Temperatur und kreuze die richtige Antwort an! Um 6:00 Uhr Früh hat es in Wattens -4 C. Die Temperatur steigt an diesem Tag bis 11:00 Uhr um 0,25 C pro Stunde. Wie kalt ist es um 11:00 Uhr? -1,5 C 0 C -2,75 C -3,25 C Berechne und verbinde mit dem richtigen Ergebnis! (-5,7) + (-7,1) (-4,7) = -12 (+8) : [(-1,4) + (-2,6)] = -36 [(-3,2) (-2)] [(+7) (-3)] = -2 (+15) [(-8,1) + (-4,2) (+2)] = -13,5 (-4) (+4,5) (-4,5) (-4) = -8,1 (+7,5) : (-3) + (-5) (+2,2) = 31,5 Alle Rechte vorbehalten / 2 25 Ganze und rationale Zahlen Rechengesetze zum vorteilhaften Rechnen nutzen Gib ohne zu rechnen an, ob das Ergebnis positiv oder negativ ist! (-7) + (-8) = positiv negativ (-3) (+2) = positiv negativ (+14) (-8) = positiv negativ (+6) + (-9) = positiv negativ (-28) : (-7) = positiv negativ (-2) (-5) = positiv negativ Gib zuerst an, ob das Ergebnis positiv oder negativ ist! Berechne danach! = 1 4 positiv negativ = positiv negativ 3 4 : 1 2 = positiv negativ = 1 12 positiv negativ = 7 10 positiv negativ = 1 5 positiv negativ Alle Rechte vorbehalten /

14 Algebra 1) Martin kauft im Supermarkt drei Liter Milch um je m, zwei Packungen Toastbrot um t und eine Packung Butter um b. Stelle eine Formel für den Gesamtpreis P auf. P = 3m + 2t + b Berechne den Gesamtpreis, wenn Milch 0,85 pro Liter, eine Packung Toastbrot 1,29 und eine Packung Butter 1,89 kostet. P = 7,02 2) Vereinfache den Term. Kreuze die richtige Lösung an. 3a + 4b 2a + 3b 2a + 6b = a + 13b -a + 13b 3a 13b Alle Rechte vorbehalten / 8 27 Algebra 3) Vereinfache die Terme und ordne die richtigen Binome zu. -a + 3b 5b + a 3a = a + 3b 4b 2a + b + a 2b = 2a 2b -3a + 5b 2b + 4a = -3a 2b -3a + 5b + 5a 7b = -a + 3b 4) Beschreibe, wie mit Termen gerechnet wird. Wähle aus den angebotenen Möglichkeiten die passenden aus. 3a b + 5a + 3b = 8a + 2b Bei Addition und Subtraktion können nur gleiche Variablen zusammengefasst werden. nur gleiche Variablen alle Variablen verschiedene Variablen 3a 5a = 15a² Terme werden miteinander multipliziert, indem man jedes Glied des einen Terms mit jedem Glied des anderen Terms multipliziert. den Variablen im zweiten Term den Zahlen im zweiten Term jedem Glied des anderen Terms die Zahlen im ersten Term jedes Glied des einen Terms die Variablen im ersten Term 14a (5a + 6a) = 3a Steht vor einem Klammerausdruck ein Minuszeichen, werden beim Auflösen die Rechenzeichen Plus und Minus Mal und Dividiert Plus und Minus Plus und Mal in der Klammer vertauscht. Alle Rechte vorbehalten /

15 Algebra 5) Beachte die Vorrangregeln und berechne. Markiere die richtigen. 2² 2³ = ² (-2)³ = ² = (3 5)² = (3 1³) = (3 1)³ = ) Vereinfache die Terme und verbinde mit dem richtigen Kasten. 3ab² 4 12a²b³ 3ab 4ab² 12a² b 12a³b² 6a³b 2b a²b 12ab 12ab² 2b² 6a²b 4b 3ab 12a²b Alle Rechte vorbehalten / 8 29 Algebra 7) Wende die binomischen Formeln an. Verbinde gleichwertige Terme. (x + 2)² = x² 1 (x 1)² = x² + 4x + 4 (x + 1) (x 1) = x² 4x + 4 (x 2)² = x² 2x + 1 8) Vereinfache die Terme so weit wie möglich. Verbinde mit dem passenden Term. 4 (3x + 5) 2 (2x 7) = 12x x 3 (3x + 5) + 10 = 4x 27 (3x + 2)² 9x² = 11x 5 20x 4x² + (2x 4)² = 8x x² + 40x 3 (2x + 3)² = 4x ) Welcher Rechenausdruck ergibt dasselbe Ergebnis wie 1, ,5 3? 3,0 10 1, ,5 10 1,5 4 Alle Rechte vorbehalten /

16 Algebra 10) Forme die Terme durch Herausheben aller gemeinsamen Faktoren um. a) 8ab + 12a + 4ac = 4a ( 2b c ) b) 5x 15x² + 10xy² = 5x ( 1 3x + 2y² ) c) 13ef + 2ef² 4e²f² = ef ( f 4ef ) 11) Verbinde die gleichwertigen Rechenausdrücke. Achtung: Auch Mehrfachzuordnungen sind möglich! ,1 ( ) 4 3, ,5 3, , , , ,5 6 3, ,5 9 3,5 3,5 (2 + 7) , Alle Rechte vorbehalten / 8 31 Algebra 12) Können die Terme als Quadrate von Binomen geschrieben werden? Denke an die binomischen Formeln (a + b)² = a² + 2ab + b² und (a b)² = a² 2ab + b². a² ab + b² x² 4x + 4 Quadrat eines Binoms 16x² + 24x + 9 2r² 2r a² 12a + 4 kein Quadrat eines Binoms a² 10a s² + 4s + 1 Alle Rechte vorbehalten /

17 Algebra 13) Wie lautet die Zahl ausgeschrieben? 27, Alle Rechte vorbehalten / 8 33 Algebra 14) Löse die Gleichungen, indem du die angegebenen Äquivalenzumformungen durchführst. 4x 12 = x = 34 : 4 x = 8,5 5y + 3 = 3y 7-3y 2y + 3 = y = -10 : 2 y = -5 15) Frau Mayer kauft auf dem Markt 1,8 kg Äpfel und 1,2 kg Birnen und bezahlt insgesamt 6,42. Die Birnen kosten pro Kilogramm 60 c mehr als die Äpfel. Wie viel kostet ein Kilogramm Äpfel? Wähle die Gleichung aus, die den Text beschreibt. 1,8x + 1,2 (x 0,6) = 6,42 1,8 (x + 0,6) + 1,2x = 6,42 1,8 (x 0,6) + 1,2x = 6,42 1,8x + 1,2 (x + 0,6) = 6,42 Ein Kilogramm Äpfel kostet: 2,38 1,90 2,50 1,78 Alle Rechte vorbehalten /

18 Algebra Rechnen mit Variablen Vereinfache den Term so weit wie möglich! a) a + b + a + a b + b = 3a + b d) 2e + f + 3f 3e + e + 2f = 6f b) c d 4 + d + d + c 2 = 2c + d 6 e) 5 2g + h 3 + 3g 4h = g 3h + 2 c) s t + 4 s 2 + t s = -s + 2 f) 12p 6 8p + 3q 7q = 4p 4q 6 Multipliziere und vereinfache den Term so weit wie möglich! a) 3 (u + v w) = 3u + 3v 3w d) e (2f + 3) + 2ef = 4ef + 3e b) (4s + t) 5 = 20s + 5t e) (-2g) (g + h 3) + 3 (g 2 + gh) = g 2 + 6g + gh c) (-2) (2a 3b + a) = -6a + 6b f) (p + 2) (3 2p) = -2p 2 p + 6 Die folgenden Termumformungen sind falsch. Stelle sie richtig! a) (a + b + c) 3 = 3a + c + 3b (a + b + c) 3 = 3a + 3b + 3c b) (-4) (-2x 3xy) = -8x 12xy (-4) (-2x 3xy) = 8x + 12xy c) (3s + 2t) (2 2t) = 2t 4t 2 (3s + 2t) (2 2t) = 6s 6st + 4t 4t 2 d) 3g 2 (2g + g 2 ) = 6g 2 + 3g 4 3g 2 (2g + g 2 ) = 6g 3 + 3g 4 e) 4x 3 + x 2 (2x 3) = 8x 6 3x 2 4x 3 + x 2 (2x 3) = 6x 3 3x 2 f) 2 (3a + (b 2a) 3) = 6a + 6b 2 (3a + (b 2a) 3) = -6a + 6b Alle Rechte vorbehalten / 1 35 Algebra Rechnen mit Potenzen Gib in Potenzschreibweise an! a) = 5 5 d) a a b b b b b = a 2 b 5 b) = e) r s t r r s t = r 3 s 2 t 2 c) = f) 3 e e f e 4 e = 12 e 4 f Berechne ohne Taschenrechner! a) 4 2 = 16 b) 5 2 = 25 c) 2 3 = 8 d) (-3) 3 = -27 Vereinfache die Terme! a) 3a 3 + 2a 3 = 5a 3 e) 4g 2 h 3 2gh 2 = 8g 3 h 5 b) (2b) 2 2b 2 = 2b 2 f) (2x) 3 (3x) 2 = 72x 5 c) 5r 4 + (2r) 4 = 21r 4 g) 6s2 t 3 2s = 3st3 d) 2e 2 ef = 2e 3 f h) 3a4 b a 2 b = 3a2 Vereinfache die Terme so weit wie möglich! a) s 3 + 5s + 2 s 2 + 2s = s 3 s 2 + 7s + 2 d) 3e 2 + 2ef (4e 2 f) = -e 2 +2ef + f b) 4 (2x + 3) (3x + 7) = 5x + 5 e) 3x (4y + 4x) (12xy + 7) = 12x 2 7 c) 20a 2 4a (4 + 5a) = -16a f) 4h (g + 3gh (g + gh)) = 8gh 2 Alle Rechte vorbehalten /

19 Algebra Rechnen mit Vielfachen von 10 Gib die Zahl in Gleitkommadarstellung mit einer möglichst kleinen natürlichen Zahl als Vorzahl an! a) = d) = b) = e) = c) = f) = Schreibe das Ergebnis als Produkt einer natürlichen Zahl mit einer Zehnerpotenz! a) = d) = b) = e) = c) = f) = Wie lautet die Zahl ausgeschrieben? a) 0, = d) 0, = b) 1, = e) 3, = c) 7, = f) 12, = Rechne mit Zehnerpotenzen und schreibe als natürliche Zahl! a) = c) 0, = b) = d) 4, = Alle Rechte vorbehalten / 1 37 Algebra Rechengesetze zum vorteilhaften Rechnen nutzen Wende die binomischen Formeln an! a) (a + 2) 2 = a 2 + 4a + 4 c) (5 + c) 2 = c + c 2 b) (b 3) 2 = b 2 6b + 9 d) (4 d) 2 = 16 8d + d 2 Wende die binomischen Formeln an! a) (3a + 2) 2 = 9a a + 4 d) (5x + y) 2 = 25x xy + y 2 b) (2b 4) 2 = 4b 2 16b + 16 e) (e 3f) 2 = e 2 6ef + 9f 2 c) (2c + 2a) 2 = 4c 2 + 8ac + 4a 2 f) (-2g + h) 2 = 4g 2 4gh + h 2 Schreibe als Quadrat eines Binoms! a) 25x x + 1 = (5x + 1) 2 c) x 2 4xy + 4y 2 = (x 2y) 2 b) 16a 2 24a + 9 = (4a 3) 2 d) 4p 2 + 4pq + q 2 = (2p + q) 2 Verbinde die gleichwertigen Terme! 2a 2 + 4ab 2b b 2 = a 2 + 2ab b 2 (a + b)(a b) + 2ab = 3b + (2a + 2b)(2a 2b) 3b 2 (a 3b) 2 = 3ab(2a + 1) 2a(a + 2) 4a 2 4b 2 + 3b = 2a(a + 2b) (2b + b 2 ) 6a 2 b + 3ab 2a 2 4a = -2a ab + 3b 18b 2 Alle Rechte vorbehalten /

20 Algebra Gleichungen erstellen und lösen Löse die Gleichung, indem du die angegebenen Äquivalenzumformungen durchführst! a) 5x + 3 = 18-3 b) 3y 1 = 8 + 6y -6y 5x = 15 : 5-3y 1 = 8 +1 x = 3-3y = 9 : (-3) y = -3 Berechne die Unbekannte! Überprüfe mit einer Probe! a) 2x + 4 = x 5 -x b) (y + 3) 2 = y 2 9 x + 4 = -5-4 y 2 + 6y + 9 = y 2 9 -y 2 x = -9 6y + 9 = y = -18 : 6 y = -3 Probe: Probe: linke Seite: 2 (-9) + 4 = -14 linke Seite: (-3 + 3) 2 = 0 rechte Seite: -9 5 = -14 rechte Seite: (-3) 2 9 = 9 9 = 0 Alle Rechte vorbehalten / 2 39 Algebra Gleichungen erstellen und lösen Wähle aus, welche Gleichung der Textaufgabe entspricht, und löse diese! a) Elisabeth und Fabian sammeln Fußballsticker. Fabian hat um 112 Sticker mehr gesammelt als Elisabeth. Gemeinsam haben sie bereits 422 Sticker. Wie viele Sticker hat Elisabeth? (y + 112) 2 = 422 y = Elisabeth hat Sticker. 2y 422 = 112 y = Elisabeth hat Sticker. 2y = 422 y = 155 Elisabeth hat 155 Sticker. b) In einer Eishalle befinden sich 34 Erwachsene und 52 Kinder. Der Eintritt für Erwachsene ist um 1,50 teurer als der Eintritt für ein Kind. Von den derzeitigen Gästen wurden 137 an Eintrittsgeldern eingenommen. Wie viel kostet der Eintritt für ein Kind? 34x + 52(x 1,50) = 137 x = Der Eintritt für ein Kind kostet. 34(x + 1,50) + 52x = 137 x = 1 Der Eintritt für ein Kind kostet 1. ( )x + 1,5x = 137 x = Der Eintritt für ein Kind kostet. Stelle eine zur Textaufgabe passende Gleichung auf und löse diese! a) Ein Anhänger wird bis zu seinem höchsten zulässigen Gesamtgewicht von 750 kg beladen. Der Anhänger selbst wiegt 264 kg. Die Ladung besteht aus doppelt so viel Sand wie Schotter. Wie viel Schotter wurde geladen? 3x = 750 ; x = 162 Es wurden 162 kg Schotter geladen. b) Für welche Zahl ist das Doppelte der Zahl um 5 kleiner als das Dreifache der Zahl? 2y + 5 = 3y ; y = 5 Für die Zahl 5. c) Eine 15 cm hohe Kerze wird gleichzeitig mit einer dickeren, 10 cm hohen Kerze angezündet. Die dünne Kerze brennt in der Stunde 1,2 cm hinunter, die dickere 0,7 cm. Nach welcher Zeit sind die Kerzen gleich hoch? 15 1,2 x = 10 0,7 x ; x = 10 Nach 10 Stunden sind sie gleich hoch. Alle Rechte vorbehalten /

21 Proportionen; Ähnlichkeit 1) Setze die fehlenden Begriffe ein. Je mehr mehr weniger Produkte verkauft werden, desto größer sind die Einnahmen. Direktes Verhältnis Direktes Indirektes Je größer die Entfernung ist, desto länger Direktes Indirektes länger kürzer Direktes Verhältnis dauert die Fahrt. Je kleiner die Fliesen sind, umso mehr Badezimmers. mehr weniger Stück braucht man zum Verfliesen des Indirektes Verhältnis Direktes Indirektes Je größer die Geschwindigkeit ist, umso weiter kommt man in einer bestimmten Zeit. größer kleiner Direktes Verhältnis Direktes Indirektes Je mehr Leute sich an den Kosten für das Geburtstagsgeschenk beteiligen, desto weniger mehr weniger muss jeder Einzelne bezahlen. Indirektes Verhältnis Direktes Indirektes Alle Rechte vorbehalten / 7 41 Proportionen; Ähnlichkeit 2) Verpackungsmengen sind nicht immer gleich. Was kostet jeweils die Einheitsmenge? 5,2 kg Kaffee kosten 41,60. Ein Kilogramm Kaffee kostet daher: Stück Pralinen kosten 12. Eine Praline kostet demnach: 0,75 0,80 1,20 34 dag Wurst kosten 3,22. Ein Kilogramm kostet daher gerundet: 94 9,47 4,40 56 Liter Treibstoff kosten 85,12. 1 Liter kommt auf: 0,90 1,52 1,20 3) Die sportlichen Leistungen der österreichischen Schifahrer im Abfahrtslauf werden in den Medien besonders hervorgehoben. Welches der angegebenen Verhältnisse zeigt die Leistung besonders deutlich? Zwei der ersten Vier sind Österreicher Drei der ersten Fünf sind Österreicher Vier der ersten Sechs sind Österreicher Fünf der ersten Acht sind Österreicher Ergebnisse des Abfahrtslaufes: 1. Miller USA 2. Hirscher AUT 3. Defago ITA 4. Raich AUT 5. Mayer AUT 6. Pranger AUT 7. Svindal NOR 8. Schörnhuber AUT Alle Rechte vorbehalten /

22 Proportionen; Ähnlichkeit 4) Berechne die Anzahl der gesuchten Personen. Markiere die richtige Lösung. Bei einer Befragung von 360 Personen stimmten diese im Verhältnis 5 : 4 für die Einführung von Parkpickerln ab. Für JA stimmten daher Personen. Bei einer Volksabstimmung nahmen nur 5 von 12 Stimmberechtigten teil. Wenn in einem Ort 336 Personen stimmberechtigt waren, nahmen Personen teil. Von den 560 abgegebenen Stimmen haben die JA-Stimmen gegenüber den NEIN-Stimmen ein Verhältnis von 3 : 7. Es haben daher Personen mit NEIN gestimmt. 5) Ergänze zu einer richtigen Verhältnisgleichung. 3 : 8 = 57 : : 8 = 57 : : 8 = 57 : : 8 = 57 : : 9 = 200 : : 4 = 200 : : 12 = 200 : : 9 = 200 : : 25 = 68 : : 25 = 68 : : 25 = 68 : : 25 = 68 : 100 Alle Rechte vorbehalten / 7 43 Proportionen; Ähnlichkeit 6) Wie verhalten sich die Größen zueinander? Gib die Verhältnisse mit möglichst kleinen natürlichen Zahlen an. 2 km verhalten sich zu 2 m wie : 1. 1,2 kg verhalten sich zu 6,4 kg wie 3 : 16. 2,5 l verhalten sich zu 5 dl wie 5 : 1. 7) Für das Getränk Mango-Lassi werden Trinkjoghurt und Mangosaft im Verhältnis 2 : 1 gemischt. Im Supermarkt kosten 0,5 l Trinkjoghurt 1,15 und 1 l Mangosaft 2,25. Wie viel kosten die Zutaten für 6 l Mango-Lassi im Supermarkt? 4,55 6,85 13,70 27,30 8) Eine Spedition hat LKWs in zwei Größen. Die Größen verhalten sich wie 2 : 3. Mit den kleineren LKWs braucht die Spedition sechs Fahrten, um einen Auftrag zu erledigen. Wie viele Fahrten sind mit den größeren nötig? drei Fahrten vier Fahrten sechs Fahrten neun Fahrten Alle Rechte vorbehalten /

23 Proportionen; Ähnlichkeit 9) Welche Vierecke sind ähnlich zueinander? 10) Es ist jeweils eine Streckenlänge und ein Vergrößerungsverhältnis gegeben. Ordne die passenden Längen zu. Streckenlänge: 5 cm Vergrößerung: 1 : 7 28 cm Streckenlänge: 8 cm Vergrößerung: 2 : 7 40 cm Streckenlänge: 12 cm Vergrößerung: 4 : 9 35 cm Streckenlänge: 15 cm Vergrößerung: 3 : 8 27 cm Alle Rechte vorbehalten / 7 45 Proportionen; Ähnlichkeit 11) Welche Dreiecke sind ähnlich zueinander? Dreiecke sind ähnlich Dreiecke sind nicht ähnlich Alle Rechte vorbehalten /

24 Proportionen; Ähnlichkeit 12) Welche Eigenschaften führen sicher zur Ähnlichkeit von Dreiecken? Ordne richtig zu. Eine Seite und ein Winkel sind gleich groß. Dreiecke sind ähnlich Zwei Winkel sind gleich groß. Eine Seite ist gleich lang. Die drei Seitenlängen stehen im selben Verhältnis. Dreiecke sind nicht zwingend ähnlich 13) Eine Strecke AB soll im Verhältnis 3 : 5 geteilt werden. Bringe die angegebenen Konstruktionsschritte in die richtige Reihenfolge. 3 Auf dem Hilfsstrahl acht gleich lange Strecken abtragen. 1 Die Strecke AB zeichnen. 2 Von A aus einen Hilfsstrahl zeichnen. 4 Die letzte Markierung (Punkt VIII) auf dem Hilfsstrahl mit B verbinden. 5 Eine Parallele zur Verbindung von VIII und B durch den Punkt III zeichnen und mit AB schneiden. Alle Rechte vorbehalten / 7 47 Proportionen; Ähnlichkeit Anteile und Verhältnisse bestimmen Drücke das Verhältnis mit möglichst kleinen natürlichen Zahlen aus! a) 825 : = 11 : 16 d) 4 5 : 2 = 2 : 5 b) 2,5 : 15 = 1 : 6 e) 2 3 : 3 2 = 4 : 9 c) 7,8 : 1,2 = 13 : 2 f) 5 6 : 2 3 = 5 : 4 Wie verhalten sich die Größen zueinander? Gib das Verhältnis mit möglichst kleinen natürlichen Zahlen an! 30 Jahre verhalten sich zu 60 Jahren wie 1 : 2. 2 km verhalten sich zu 250 m wie 8 : Cent verhalten sich zu 3 wie 1 : kg verhalten sich zu 4,2 kg wie 410 : 21. Berechne den gesuchten Anteil! a) Bei einer Wahl nahmen sieben von acht Wahlberechtigten teil Personen waren wahlberechtigt. Wie viele nahmen an der Wahl teil? Personen b) Jeder dritte Bienenstock ist mit einem Virus infiziert. Ein Imker besitzt 450 Bienenstöcke. Wie viele seiner Stöcke sind vom Virus befallen? 150 Stöcke c) Eine Abstimmung im Nationalrat ging im Verhältnis 5 : 2 für den gestellten Antrag aus. Wie viele der 182 Abgeordneten haben für den Antrag gestimmt? 130 Abgeordnete Alle Rechte vorbehalten /

25 Proportionen; Ähnlichkeit Umformen von Proportionen Überprüfe, ob die Proportion richtig ist! Wenn nicht, ändere die letzte Zahl so, dass die Proportion stimmt! a) 56 : 8 = 7 : 1 richtig falsch Korrektur: b) 4 : 12 = 75 : 220 richtig falsch Korrektur: 4 : 12 = 75 : 225 c) 35 : 55 = 42 : 65 richtig falsch Korrektur: 35 : 55 = 42 : 66 d) 9 : 2 = 72 : 16 richtig falsch Korrektur: Es ist die Länge einer Strecke im Plan und der Maßstab gegeben. Wie lang ist die Strecke in der Wirklichkeit? Strecke im Plan Maßstab Länge in der Wirklichkeit a) 12 cm 1 : km b) 4,2 cm 1 : ,4 km c) 3,5 cm 1 : m d) 8 mm 1 : m Zwei Zahlen verhalten sich wie 5 : 9. Ihre Summe beträgt 168. Wie lauten die beiden Zahlen? Die Zahlen lauten 60 und 108. Alle Rechte vorbehalten / 1 49 Proportionen; Ähnlichkeit direkte und indirekte Proportionalität erkennen Handelt es sich um ein direkt proportionales Verhältnis, ein indirekt proportionales Verhältnis oder um keines von beiden? direkt indirekt weder noch Menge : Preis einer Ware Dauer der Ausbildung : Gehalt Geschwindigkeit : Dauer der Heimfahrt Anzahl der Umzugskartons : Fahrten beim Transport Alter eines Baumes : Größe Länge : Breite des Rechtecks bei konstantem Flächeninhalt Anzahl der Ziegen : nötige Futtermenge Ist der in der Tabelle dargestellte Zusammenhang proportional? Wenn ja, gib ihn als Formel an! Liter Benzin Preis in 40 55, , ,50 Semmeln Preis in 2 0,90 5 2, ,90 Geschwindigkeit Zeit 50 km/h 4,4 h 80 km/h 2,75 h 110 km/h 2 h ja direkt ja indirekt ja direkt ja indirekt ja direkt ja indirekt Formel: y = 1,38 x Formel: Formel: y = 220 x x... Liter Benzin, y... Preis nein x... Geschwindigkeit, y... Zeit nein nein Alle Rechte vorbehalten /

26 Proportionen; Ähnlichkeit Figuren und geometrische Eigenschaften erkennen Welche der Figuren sind ähnlich zueinander? Kreuze an! Miss benötigte Winkel und Längen in der Zeichnung ab! ähnlich ähnlich nicht ähnlich nicht ähnlich ähnlich nicht ähnlich ähnlich nicht ähnlich ähnlich nicht ähnlich ähnlich nicht ähnlich ähnlich nicht ähnlich Alle Rechte vorbehalten / 2 51 Proportionen; Ähnlichkeit Figuren und geometrische Eigenschaften erkennen Teile die vorgezeichneten Strecken im angegebenen Verhältnis! a) 4 : 3 b) 3 : 1 Berechne die orange markierten Streckenlängen mit dem Strahlensatz! (Maße in Zentimeter) _3 : 6 = x : 7 ; x = 3,5 cm 5 : 10 = y : 6 ; y = 3 cm _ Alle Rechte vorbehalten /

27 Prozentrechnung 1) Überlege, welcher der Begriffe passt. Von 300 wurden 30 % gespart. 300 entspricht dem Grundwert. 30 % ist der Prozentsatz. Grundwert Prozentsatz Prozentanteil Grundwert Prozentsatz Prozentanteil 12 % Rabatt, oder 25 konnten sich die Kunden vom Kaufpreis abziehen. 25 entspricht dem Prozentanteil. 12 % ist der Prozentsatz. Grundwert Prozentsatz Prozentanteil Grundwert Prozentsatz Prozentanteil Von 450 Museumsbesuchern waren 120 Frauen. 450 entspricht dem Grundwert. 120 stellt den Prozentanteil dar. Grundwert Prozentsatz Prozentanteil Grundwert Prozentsatz Prozentanteil Alle Rechte vorbehalten / 7 53 Prozentrechnung 2) Überlege dir, wie hoch hier der Grundwert ist. 40 % entsprechen 65. Grundwert = % konnten gespart werden. Das waren 120. Grundwert = 80,00 7,50 waren 8 % des Gesamtpreises. Grundwert = 93,75 85 % des Betrages entsprachen 68. Grundwert = 162,50 3) Welchem Prozentsatz entspricht der angegebene Anteil? Markiere den richtigen Prozentsatz. 3 von 5 Stück entspricht: 6 % 35 % 60 % 7 von 8 entspricht: 8,75 % 85 % 87,5 % 6 von 15 Kindern entspricht: 6 % 15 % 40 % Alle Rechte vorbehalten /

28 Prozentrechnung 4) Überlege, ob der Prozentsatz kleiner als 33,3 % ist, zwischen 33,3 % und 66,6 % liegt oder größer als 66,6 % ist. Verbinde die Angabe mit dem richtigen Kasten. 48 von cm von 1 m x < 33,3 % 195 Personen von 600 Personen 60 cm von 80 cm 9 von 60 33,3 % < x < 66,6 % von m von 2,5 m 144 Stück von 240 Stück 66,6 % < x 5) Bei welchem Angebot und bei welchem Kapital erhalte ich nach einem Jahr die meisten Zinsen? Ordne die Angebote. Beginne mit dem ertragreichsten. 2 K = ; p = 1,5 % 1 K = ; p = 1,25 % 4 K = ; p = 0,8 % 3 K = ; p = 0,75 % Alle Rechte vorbehalten / 7 55 Prozentrechnung 6) Welche der angegebenen Formeln passt? Kreuze an. Gesucht sind die Zinsen für ein Kapital von für einen Zeitraum von 5 Monaten bei einem Nettozinssatz von 2,5 % p.a. Z = (2,5 : 100) 5 Z = ,5 (5 : 360) Z = (2,5 : 100) (5 : 12) Z = ,5 (5 : 12) 7) Berechne die Promillesätze und verbinde. 56 von von von von Alle Rechte vorbehalten /

29 Prozentrechnung 8) Wie kann der gesuchte Prozentanteil berechnet werden? Kreuze die richtigen Möglichkeiten an. Von 240 ha Wald wurden 75 % durch einen Brand zerstört. A = 240 0,75 A = 240 : 100 0,75 A = A = : 100 9) Berechne das Gefälle in Prozent. Der Höhenunterschied beträgt 85 m bei einer waagrechten Entfernung von 200 m. Das Gefälle beträgt 42,5 %. 42,5 % 4,25 % 25 % Der Höhenunterschied ist 15 m bei einer Entfernung von 250 m. Die Steigung beträgt 6 %. 60 % 0,6 % 6 % Der Höhenunterschied beträgt 350 m bei einer waagrechten Entfernung von 1 km. Das Gefälle beträgt 35 %. 3,5 % 70 % 35 % Alle Rechte vorbehalten / 7 57 Prozentrechnung 10) Im Leben spielen Prozent- und Promillewerte eine wichtige Rolle. Welche Angaben passen zueinander? Steigung bei Eisenbahntrassen 0,125 % Promille-Grenze beim Autofahren in Österreich bis 30 Analphabetenrate (>14 J) in Ägypten 0,5 Eckzinssatz (2013) 32 % Steigung bei Autobahnen bis 8 % 11) Eine Bank bietet ein Sparbuch an, dass im ersten Jahr mit 2 % verzinst wird. Nach dem ersten Jahr gilt ein Zinssatz von 1,5 % p.a. Die Kapitalertragssteuer wird von den Zinsen abgezogen und beträgt in Österreich 25 %. Der Nettozinssatz beträgt daher für das erste Jahr 1,5 % und für die Folgejahre 1,125 %. Alina zahlt auf ein solches Sparbuch ein. Wie viel Zinsen bekommt Alina für das erste Jahr? (nach Steuern) 75 Sie lässt das Geld auf dem Sparbuch liegen. Wie hoch ist dann das Startkapital zu Beginn des zweiten Jahres? Wie groß ist Alinas Guthaben nach insgesamt drei Jahren? Runde auf Cent ,83 Alle Rechte vorbehalten /

30 Prozentrechnung 12) Dragan hat eine Eigentumswohnung in Wien im Jahr 2008 um gekauft. In den vergangenen Jahren sind die Immobilienpreise im Durchschnitt jährlich um ca. 6 % angestiegen. Wie viel wird Dragans Wohnung bei einem Verkauf 2016 vermutlich größenordnungsmäßig kosten? ) Eine Bank bietet einen Nettozinssatz von 2 % p.a. für täglich fällige Spareinlagen an. Ordne den angegebenen Startguthaben und der Zeit, die das Geld veranlagt wird, die passenden Endbeträge zu. Startguthaben: Zeit: 2 Jahre 1 877,75 Startguthaben: Zeit: 1 Jahr 1 872,72 Startguthaben: Zeit: 9 Monate Startguthaben: Zeit: 9 Jahre 1 852,39 Alle Rechte vorbehalten / 7 59 Prozentrechnung mathematische Sprache deuten Markiere in den Texten Grundwerte gelb, Anteile grün und Prozentsätze rot! Von 90 ha Wald sind 75 % verbrannt. Von den 46 eingeladenen Personen sind nur 15 erschienen. 6 der 30 Schafe auf der Weide sind schwarz. In Wien leben ca. 1,7 Mio. Menschen. 10 % aller Wiener wohnen in Favoriten. Der Verkaufspreis wurde von 190 auf 228 erhöht. Das entspricht einer Erhöhung um 20 %. Bei einer Gruppengröße von 15 Personen gibt ein Museum 10 % Rabatt auf die 7 Eintritt pro Person. Von den rund 510 Mio. km 2 Erdoberfläche sind nur etwa 148 Mio. km 2 Landfläche. Die Ticketpreise sind um fast 40 c gestiegen. Das entspricht einer Erhöhung um 21 %. Ist der Anteil kleiner als, größer als oder gleich groß wie der Grundwert beim gegebenen Prozentsatz? p = 75 % A < G A = G A > G p = 130 % A < G A = G A > G p = 0 % A < G A = G A > G p = 100 % A < G A = G A > G Alle Rechte vorbehalten /

31 Prozentrechnung mit Prozenten rechnen Fülle die Tabelle aus! Grundwert Anteil Prozentsatz 20 % 40 % 50 % 150 % 36 % 75 % 125 % 180 % Berechne und ergänze den fehlenden Wert! 6 von 30 Stück entspricht 20 %. 6 Schafe sind 1 % von % Rabatt von 62 sind 7,44. 9,75 ha von 75 ha sind 13 %. 6 Personen sind 3 von Personen. 0,3 g Wirkstoff in 150 g Creme sind % von 76 sind 87, Stück sind 5 von Stück. Berechne die fehlenden Werte in der Tabelle! Alter Preis ,50 37,50 72,60 46 Preisänderung - 15 % + 18 % + 6 % - 25 % + 20 % - 10 % - 5 % + 2,5 % Neuer Preis 193,8 271,40 15, ,75 68,97 47,15 Alle Rechte vorbehalten / 1 61 Prozentrechnung Zinsen berechnen Berechne die Zinsen für ein Jahr (ohne Steuern)! a) K0 = 2 000, p = 2 % 40 c) K0 = 5 300, p = 0,75 % 39,75 b) K0 = 1 800, p = 1,2 % 21,60 d) K0 = 800, p = 1,25 % 10 Wie kann man berechnen, wie viel Geld nach 7 Monaten auf einem Sparbuch liegt, wenn ursprünglich eingezahlt wurden und der Nettozinssatz 1,8 % pro Jahr beträgt? Kreuze die richtige Formel an! , , , Silvia hat vor drei Jahren 800 auf ein Sparbuch mit einer Verzinsung von 2,1 % p.a. eingezahlt. Sie möchte nun das angesparte Geld abheben. Ergänze die fehlenden Zahlenwerte in der Formel und berechne wie viel Geld Silvia von der Bank erhält. (Runde auf Cent!) K = , , ,40 Warum wird der Zinssatz mit 0,75 multipliziert? Weil 25 % von den Zinsen als Kapitalertragssteuer abgezogen werden. Alle Rechte vorbehalten /

32 Prozentrechnung Zinsen berechnen Du hast 1 000, die du sparen möchtest. Vergleiche die angegebenen Werbeangebote verschiedener Banken miteinander! Bei welchem Angebot hast du nach fünf Jahren das meiste Geld? Generali Bank Premium Konto Fixe Zinsen: 2,0 % p.a. BAWAG PSK Kletterzins Sparbuch 1. Jahr bis 3. Jahr: 1,0 % p.a. 4. Jahr bis 5. Jahr: 3,0 % p.a. Volksbank Goldenes Kapitalsparbuch für 4 Jahre Fixe Zinsen: 1,875 % p.a. danach Kapitalsparbuch für 1 Jahr Fixe Zinsen: 1,0 % p.a. Spar Bank Konto Box fix für 3 Jahre Fixe Zinsen: 2,5 % p.a. danach Kapitalsparbuch für 2 Jahre Fixe Zinsen: 0,75 % p.a. Generali Bank Nach fünf Jahren: K = , , ,28 Bawag PSK Nach drei Jahren: K = , , ,67 Nach fünf Jahren: K = 1022, , , ,21 Volksbank Nach vier Jahren: K = , , ,45 Nach fünf Jahren: K = 1057, , , ,38 Spar Bank Nach drei Jahren: K = , , ,31 Nach fünf Jahren: K = 1057, , , ,24 Alle Rechte vorbehalten / 2 63 Statistik 1) In einem Sportverein wurde eine Umfrage durchgeführt. Es wurde nach dem Alter der Kinder gefragt. Alle Kinder haben geantwortet. Lies aus dem Säulendiagramm ab. Wie viele Kinder sind 12 Jahre alt? 7 Kinder 12 Kinder 6 Kinder 5 Kinder Wie viele Kinder sind jünger als 9 Jahre? 5 Kinder 27 Kinder 6 Kinder 19 Kinder Wie viele Kinder sind 15 Jahre und älter? 3 Kinder 9 Kinder 10 Kinder 14 Kinder Wie viele Kinder sind insgesamt im Sportverein? 14 Kinder 60 Kinder 17 Kinder 69 Kinder Alle Rechte vorbehalten /

33 Statistik 2) Welche Begriffe sind hier beschrieben? Manchmal ist es sinnvoll, Daten in Gruppen zusammenzufassen. Dabei muss beachtet werden, dass keine Daten verlorengehen, weil sie keiner Gruppe zugeordnet werden können. Hierbei handelt es sich um eine Klasseneinteilung. Mittelwertberechnung Ordnung der Daten der Größe nach Klasseneinteilung Die relativen Häufigkeiten sind die absoluten Häufigkeiten dividiert durch die Gesamtanzahl der Daten. Wenn diese noch mit 100% multipliziert werden erhält man die prozentuellen Häufigkeiten. die prozentuellen Häufigkeiten eine Klasseneinteilung das arithmetische Mittel 3) Bei einer Sportveranstaltung gab es einen 10-km-Dauerlauf. Nicht alle Kinder sind bis zum Ende mitgelaufen. In der Tabelle ist die Anzahl der Kinder am Start angegeben und wie viele es ins Ziel geschafft haben. Haben es mehr Buben oder mehr Mädchen ins Ziel geschafft? gleich viele mehr Buben mehr Mädchen Wer hat relativ betrachtet besser abgeschnitten? die Buben die Mädchen beide gleich Welcher Prozentsatz der Teilnehmer ist bis ins Ziel gekommen? 80,6 % 77,5 % 75 % Alle Rechte vorbehalten / 6 65 Statistik 4) Setze die richtigen Begriffe ein. Hat man sehr viele verschiedene sehr viele verschiedene sehr wenige nur gleiche Messwerte, ist eine Klasseneinteilung Kreuztabelle Klasseneinteilung Kürzung sinnvoll. Die Klassengrenzen sollten so gewählt werden, dass kein eine Klassengrenze fällt. jeder ein kein Wert auf Die Häufigkeiten Größen Mittelwerte Häufigkeiten man mit einem Histogramm Histogramm Stabdiagramm Kreisdiagramm derartigen Graphik haben die Balken keine von in Klassen eingeteilten Werten kann graphisch darstellen. In einer keine große kleine Abstände, weil alle Werte erfasst sind. Alle Rechte vorbehalten /

34 Statistik 5) Im abgebildeten Histogramm sollen die beiden letzten Klassen zusammengefasst werden. Wie hoch und wie breit wird die Klasse von 150,5-210,5 Minuten dann gezeichnet? Kreuze an. Jede Klasse ist in der Zeichung 2 cm breit. Vier Spiele haben zwischen 150,5 min und 180,5 min gedauert und zwei Spiele zwischen 180,5 min und 210,5 min. Die Höhe der neuen Klasse ist = 6, die Breite ist 2 cm. Die Höhe der neuen Klasse ist (4 + 2) : 2 = 3, die Breite ist 2 cm. Die Höhe der neuen Klasse ist (4 + 2) : 2 = 3, die Breite ist = 4 cm. Man darf die Klassen nicht zusammenfassen, weil verschieden viele Werte darin liegen. 6) Ein Versandhaus teilt die verschickten Pakete in Klassen ein. An einem Tag wurden einige verschieden schwere Pakete versendet: 10 bis 2 kg, 15 bis 4 kg, 20 bis 6 kg, 20 bis 8 kg, 25 bis 10 kg, 10 bis 12 kg, 4 bis 14 kg, 3 bis 16 kg, 2 bis 18 kg Welche Histogramme stellen die Daten richtig dar? Alle Rechte vorbehalten / 6 67 Statistik 7) Im Punktwolkendiagramm sind die Körpergröße und das Gewicht der Mädchen einer Schulklasse eingetragen. Zeigt die Graphik einen starken Zusammenhang zwischen der Körpergröße und dem Gewicht? Ja (Ja/Nein) Wie groß ist das größte Mädchen in dieser Klasse? 172 cm Wie viel wiegt sie? 70 kg Alle Rechte vorbehalten /

35 Statistik 8) Die Kreuztabelle zeigt die besetzten und freien Sitzplätze in einem Zug der ÖBB für die erste und zweite Klasse. Wie viel Prozent der ersten Klasse bleiben in diesem Zug frei? 10 % 43 % 57 % 68 % Wie viel Prozent der zweiten Klasse sind besetzt? 20 % 75 % 80 % 97 % Wie gut ist der gesamte Zug ausgelastet? zu 20 % zu 25 % zu 75 % zu 80 % Alle Rechte vorbehalten / 6 69 Statistik Daten aus Diagrammen ablesen Das Punktwolkendiagramm zeigt den Zusammenhang zwischen der Anzahl der Sonnentage und der Durchschnittstemperatur in Graz. Lies aus dem Punktwolkendiagramm ab! Wie warm war es in dem Monat mit 10 Sonnentagen durchschnittlich? 4 C Wie viele Sonnentage gab es in dem Monat mit durchschnittlich 10 C? 16 Wie viele Sonnentage gab es im wärmsten Monat? 22 Zeigt das Diagramm einen starken Zusammenhang? Ja Ein Verlag bietet am Spielefest Brettspiele zum Ausprobieren an. Das Histogramm zeigt die durchschnittliche Dauer für einen Spieldurchgang für diese Spiele. Lies aus dem Diagramm ab! Wie lange dauern die meisten Spiele? zwischen 60,5 und 90,5 min (durchschnittlich 75 min) Wie viele Spiele dauern länger als zwei Stunden? 16 Wie viele Spiele hat der Verlag zur Verfügung gestellt? 84 Alle Rechte vorbehalten /

36 Statistik statistische Darstellungen interpretieren Ein Getränkehändler beobachtet welche Produkte von welcher Kundschaft gekauft werden. In der Kreuztabelle sind die Werte eines Tages festgehalten. a) Produkt Männer Frauen gesamt Cola light Cola zero Cola gesamt b) Welches Getränk ist allgemein das beliebteste? Cola light c) Ist Cola zero beim Männern und Frauen gleich beliebt? nein (17 % der Männer aber 19 % der Frauen kaufen Cola zero.) d) Wie viel Prozent der Käufe wurden von Frauen getätigt (gerundet)? 47 % Zeichne ein Punktwolkendiagramm, das einen starken Zusammenhang zeigt, und eines, bei dem kein starker Zusammenhang zu sehen ist. ZB: _Umfrage: Was wird lieber gegessen, Äpfel Das Alter von Müttern und ihren Kindern oder Birnen (Skala von 1 bis 10). Alle Rechte vorbehalten / 2 71 Statistik statistische Darstellungen interpretieren Wurden die Klassen im rechten Histogramm richtig zusammengefasst? Wenn nein, stelle richtig! Ja Nein Alle Rechte vorbehalten /

37 Statistik statistische Kennwerte kennen und bestimmen Vervollständige den Text! Kreuztabellen sind sinnvoll, wenn man zwei Merkmale gleichzeitig betrachtet. Mit Kreuztabellen kann man den Zusammenhang von zwei Merkmalen untersuchen. In einem Punktwolkendiagramm kann man darstellen, wie stark zwei Merkmale zusammenhängen. Liegen die Punkte nahe an einer gedachten Linie, dann besteht ein starker Zusammenhang. Hat man sehr viele verschiedene Messwerte (zb das Alter aller Österreicherinnen und Österreicher), ist es günstig, eine Klasseneinteilung zu machen. Die Grenzen der Klassen sollte man so wählen, dass keine Werte darauf liegen. Mit einem Histogramm kann man die Häufigkeiten von in Klassen eingeteilten Werten darstellen. Die Balken in einem Histogramm haben keine Abstände. Man darf Klassen im Histogramm auch zusammenfassen. Alle Rechte vorbehalten / 1 73 Flächeninhalt 1) Einige Formeln sind angegeben. Kreuze die richtigen an. Flächeninhalt eines Rechtecks: A = a + b Umfang eines Quadrats: u = 4a Flächeninhalt eines Quadrats: A = d² : 2 Umfang eines Rechtecks: A = 2a + 2b 2) Ordne die Flächeninhaltsformeln den richtigen Figuren zu. A = c hc : 2 A = (a + c) h : 2 A = a² A = e f : 2 Alle Rechte vorbehalten /

38 Flächeninhalt 3) Berechne den Flächeninhalt. Rechteck: a = 5 cm, b = 9 cm 28 cm² Parallelogramm: a = 7 cm, ha = 4 cm 48 cm² Trapez: a = 5 cm, c = 7 cm, h = 8 cm 45 cm² Dreieck: c = 8 cm, hc = 4 cm 16 cm² 4) Berechne den Flächeninhalt und ordne der Größe nach. Beginne mit der größten Fläche. 3 Parallelogramm: a = 7 cm, ha = 3 cm 4 Rechteck: a = 3 cm, b = 5 cm 2 Deltoid: e = 8,5 cm, f = 6 cm 1 Quadrat: a = 6 cm 5 Dreieck: b = 5 cm, hb = 3 cm 6 Rhombus: e = 3 cm, f = 4 cm 5) Berechne den Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks. Der rechte Winkel ist bei Punkt C. a) a = 15 cm, b = 8 cm, c = 17 cm Der Flächeninhalt beträgt: 30 cm² 120 cm² 60 cm² b) a = 21 cm, b = 20 cm, c = 29 cm Der Flächeninhalt beträgt: 420 cm² 210 cm² 2,2 cm² Alle Rechte vorbehalten / 5 75 Flächeninhalt 6) Markiere alle richtigen Flächeninhaltsformeln. Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks: A = a ha : 2, A = a c : 2, A = c hc : 2 Flächeninhalt des Deltoids: A = (a + c) d : 2, A = e f : 2, A = e f Flächeninhalt des Trapezes: A = (a + c) h : 2, A = (a + b) h, A = a h : 2 Flächeninhalt des Parallelogramms: A = a ha, A = (a + b) 2, A = b hb 7) Kreuze die richtigen Aussagen an. Der Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks entspricht der Differenz aller Seiten. Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks entspricht dem halben Produkt der Katheten. Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen stumpfen Winkel. Der Flächeninhalt eines Dreiecks ABC ist genau halb so groß wie der des Parallelogramms ABCD. Alle Rechte vorbehalten /

39 Flächeninhalt 8) Umkehraufgaben: Markiere jeweils die richtige Lösung. a) Von einem Trapez kennt man A = 12 cm², a = 6 cm und c = 2 cm. Wie groß ist die Höhe h? h = 2 cm, h = 3 cm, h = 3,5 cm a) Von einem Parallelogramm kennt man hb = 2,4 cm und A = 18 cm². Wie groß ist die Seite b? b = 7,5 cm, b = 6,2 cm, b = 8 cm a) Von einem Deltoid kennt man A = 12,71 cm² und f = 4,1 cm. Wie groß ist die Diagonale e? e = 3,1 cm, e = 6,2 cm, e = 8,61 cm 9) Johanna und Maia werden gefragt, ob die Dreiecke auf dem Bild denselben Flächeninhalt haben. Kreuze die richtige Aussage an. Johanna: Die Flächeninhalte können nicht gleich sein, weil die Seitenlängen verschieden sind. Maia: Die Flächeninhalte müssen gleich sein, weil die Seite c und die Höhe hc bei beiden Dreiecken gleich sind. Alle Rechte vorbehalten / 5 77 Flächeninhalt 10) Berechne den Flächeninhalt. Lies die benötigten Seitenlängen aus den Koordinaten ab. A1 = 4,875 cm² A2 = 17,5 cm² A3 = 2,625 cm² A4 = 2,5 cm² Flächeninhalt des allgemeinen Vierecks: A = 27,5 cm² 11) Berechne den Flächeninhalt des allgemeinen Vielecks durch Zerlegen in zwei Trapeze. Der Flächeninhalt des allgemeinen Vielecks ist 30 cm². Alle Rechte vorbehalten /

40 Flächeninhalt Dreiecke und ihre Eigenschaften kennen Kreuze die richtigen Aussagen an! Der Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks lässt sich mit A = a c : 2 berechnen. Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC ist genau halb so groß wie der Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD. Der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks ist das halbe Produkt der Katheten. Der Flächeninhalt des Dreiecks ist doppelt so groß wie der des Parallelogramms. Drücke aus den Formeln für den Flächeninhalt jeweils die gesuchte Größe aus! a = A 2 : ha ha = A 2 : a b = A 2 : hb hb = A 2 : b c = A 2 : hc hc = A 2 : c Erkläre warum die beiden Dreiecke denselben Flacheninhalt haben müssen! Die Dreiecke haben dieselbe Seitenlänge c weil A und B gleich sind und dieselbe Höhe hc weil die Punkte C und C1 denselben Normalabstand von c haben, daher müssen die Flächeninhalte auch gleich groß sein. Alle Rechte vorbehalten / 1 79 Flächeninhalt Vierecke und ihre Eigenschaften kennen Kreuze die richtigen Aussagen an! Der Flächeninhalt des Parallelogramms lässt sich auch mit A = e f berechnen. Der Flächeninhalt des Trapezes ist genau halb so groß wie der Flächeninhalt eines Parallelogramms mit der Seitenlänge (a + c). Der Rhombus ist sowohl ein Deltoid als auch ein Parallelogramm, daher kann man beide Flächeninhaltsformeln verwenden. Alle Parallelogramme mit dem gleichen Flächeninhalt haben die gleiche Form. Drücke die gesuchten Größen aus den Flächeninhaltsformel aus! Parallelogramm: b = A : hb Rhombus: ha = A : a Rechteck: a = A : b Deltoid: e = A 2 : f Trapez: h = A 2 : (a + c) Trapez: c = A 2 : h a Begründe mit Hilfe des Bildes, dass man den Flächeninhalt des Deltoids mit A = e f : 2 berechnen kann! Das Rechteck hat die Seitenlängen e und f. Sein Flächeninhalt ist daher A = e f. Die grauen Flächen des Rechtecks sind jeweils genau gleich groß wie die weißen Flächen im Deltoid. Das Rechteck ist also doppelt so groß wie das Deltoid. Für den Flächeninhalt des Deltoids gilt daher A = e f : 2. Alle Rechte vorbehalten /

41 Flächeninhalt Flächeninhalte bestimmen Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms! a) a = 65 mm, ha = 23 mm A = mm² b) b = 1,2 cm, hb = 3 cm A = 3,6 cm² c) a = 7,2 cm, ha = 5,2 cm A = 37,44 cm² Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks! a) a = 33 mm, ha = 14 mm A = 231 mm² b) b = 4,6 cm, hb = 3,8 cm A = 8,74 cm² c) c = 6,9 cm, hc = 5,3 cm A = 18,285 cm² Berechne den Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks! Der rechte Winkel ist bei Punkt C. a) a = 24 mm, b = 32 mm, c = 40 mm A = 384 mm² b) a = 2,7 cm, b = 3,6 cm, c = 4,5 cm A = 4,86 cm² Berechne den Flächeninhalt des Deltoids! a) e = 5 cm, f = 3,6 cm A = 9 cm² b) e = 4,8 cm, f = 2,7 cm A = 6,48 cm² c) e = 98 mm, f = 54 mm A = mm² Alle Rechte vorbehalten / 2 81 Flächeninhalt Flächeninhalte bestimmen Berechne den Flächeninhalt des Trapezes! a) a = 45 mm, c = 21 mm, h = 32 mm A = mm² b) a = 6,8 cm, c = 4,7 cm, h = 4 cm A = 23 cm² c) a = 2,5 cm, c = 5,6 cm, h = 1,4 cm A = 5,67 cm² Bestimme jeweils die in der Umkehraufgabe gesuchte Größe! a) Rechteck: b = 30 mm, A = mm² a = 56 mm b) Rhombus: ha = 2 cm, A = 7 cm² a = 3,5 cm c) Trapez: a = 2,4 cm, h = 3,2 cm, A = 12,8 cm² c = 5,6 cm d) Dreieck: b = 64 mm, A = mm² hb = 48 mm e) Rhombus: e = 4,7 cm, A = 6,11 cm² f = 2,6 cm f) Parallelogramm: ha = 36 mm, A = mm² a = 49 mm Von einem Parallelogramm kennt man die Seite a = 44 mm und die Höhe ha = 20 mm. Ein Dreieck mit gleich großem Flächeninhalt soll dieselbe Höhe ha haben. Wie lang ist die Seite a des Dreiecks? Begründe dein Ergebnis! Dreiecksseite a = 88 mm Der Flächeninhalt des Dreiecks ist genau halb so groß wie der eines Parallelogramms mit derselben Seitenlänge und Höhe. Soll der Flächeninhalt und die Höhe gleich sein, muss die Dreiecksseite doppelt so lang wie die Parallelogrammseite sein. ODER: AP = ap ha; AD = ad ha : 2 wenn AP = AD, dann ist ad = ap 2 Alle Rechte vorbehalten /

42 Flächeninhalt Berechnungen an zusammengesetzten Flächen Berechne den Flächeninhalt des allgemeinen Vierecks! Lies die benötigten Seitenlängen aus den Koordinaten ab! A1 = 4,5 cm² A2 = 9 cm² A3 = 2,625 cm² A4 = 3,375 cm² Flächeninhalt des allgemeinen Vierecks: A = 19,5 cm² Berechne den Flächeninhalt des allgemeinen Vielecks, indem du die außerhalb des Vielecks liegenden Dreiecke vom umliegenden Rechteck abziehst! ARechteck = 35,75 cm² A1 = 2,25 cm² A1 A2 A2 = 2 cm² A3 = 3,375 cm² A4 = 2,625 cm² A3 A4 Flächeninhalt des allgemeinen Vielecks: A = 25,5 cm² Alle Rechte vorbehalten / 2 83 Flächeninhalt Berechnungen an zusammengesetzten Flächen Berechne den Flächeninhalt des Vielecks! Wähle selbst geeignete Teilfiguren! Lies benötigte Seitenlängen aus den Koordinaten ab! Flächeninhalt des Vielecks: A = 30,5 cm² Berechne den Flächeninhalt der Figur! Wähle selbst geeignete Teilfiguren! (Maße in cm) Flächeninhalt des Vielecks: A = 29,5 cm² Alle Rechte vorbehalten /

43 Satz des Pythagoras 1) Bringe die Satzteile in die richtige Reihenfolge. (Es sind zwei Sätze.) 3 den rechten Winkel einschließen 2 heißen die Seiten, die 4 Katheten, 1 Im rechtwinkligen Dreieck 7 Hypotenuse. 9 gilt nur im 6 gegenüberliegt, heißt 10 rechtwinkligen Dreieck. 5 die Seite, die dem rechten Winkel 8 Der pythagoreische Lehrsatz Alle Rechte vorbehalten / 6 85 Satz des Pythagoras 2) Ergänze zu richtigen Aussagen. a) Beim rechtwinkligen Dreieck gilt: a2 + b 2 = c 2 rechtwinkligen gleichschenkligen gleichseitigen b) Die Summe Hypotenuse. Differenz Summe Potenz der Quadrate der Katheten ist gleich dem Quadrat der Flächeninhalt Rechteck Quadrat c) Beim rechtwinkligen Dreieck lässt sich bei zwei gegebenen Seiten die dritte Seite berechnen. rechtwinkligen drei gleichseitigen einer stumpfwinkligen zwei 3) Berechne den Umfang des rechtwinkligen Dreiecks. Der rechte Winkel ist bei Punkt C. a) Rechtwinkliges Dreieck: a = 5 cm, b = 12 cm c = 13 cm c = 9 cm c = 12 cm u = 29 cm u = 30 cm u = 26 cm b) Rechtwinkliges Dreieck: a = 9 cm, c = 41 cm b = 9 cm b = 42 cm b = 40 cm u = 92 cm u = 90 cm u = 59 cm 4) Ziehe die Wurzel aus 3, ,8 0,18 Alle Rechte vorbehalten /

44 Satz des Pythagoras 5) Entscheide, ob die Behauptungen wahr oder falsch sind. Verbinde mit dem richtigen Kästchen. wahr falsch 6) Ziehe die Wurzel aus 0, ,225 0,0005 0,15 Alle Rechte vorbehalten / 6 87 Satz des Pythagoras 7) Bestimme jeweils die fehlende Seitenlänge des rechtwinkligen Dreiecks. a) a = 15 cm, b = 8 cm c = 17 cm b) a = 21 cm, c = 29 cm b = 20 cm c) a = 7,0 cm, b = 2,4 cm c = 7,4 cm d) b = 3,75 cm, c = 9,75 cm a = 9 cm 8) Markiere richtige Aussagen. Mit dem Satz von Pythagoras bestimmt man den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks. Mit dem Satz von Pythagoras kann man aus zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks die dritte berechnen. Mit dem Satz von Pythagoras kann man die Höhe des gleichschenkligen Dreiecks aus seinen Seitenlängen bestimmen. 9) Ordne richtig zu. a = 12 cm, b = 5 cm, c = 13 cm a = 3 cm, b = 4 cm, c = 7 cm rechtwinkliges Dreieck a = 8 cm, b = 6 cm, c = 10 cm a = 7 cm, b = 8 cm, c = 10 cm kein rechtwinkliges Dreieck a = 8 cm, b = 15 cm, c = 17 cm Alle Rechte vorbehalten /

45 Satz des Pythagoras 10) Bestimme die Länge der fehlenden Seite im rechtwinkligen Dreieck. Der rechte Winkel ist bei Punkt C. a = 35 cm, b = 12 cm a = 7 cm b = 20 cm, c = 29 cm c = 52 cm b = 24 cm, c = 25 cm a = 21 cm a = 20 cm, b = 48 cm c = 37 cm 11) Von einem rechtwinkligen Dreieck sind der Flächeninhalt und die Kathete a gegeben. Berechne die zweite Kathete b und die Hypotenuse c. A = 480 mm 2, a = 48 mm b = 5 mm b = 240 mm b = 10 mm b = 20 mm c = 49 mm c = 48 mm c = 245 mm c = 52 mm 12) Hannes will mit einer Leiter zu einem Fenster in 4,5 m Höhe gelangen. Er stellt die Leiter 2 m von der Wand entfernt auf. Er hat mehrere Leitern zur Auswahl welche sollte er benutzen? Die 4 m lange Leiter. Die 5 m lange Leiter. Die 6,5 m lange Leiter. Alle Rechte vorbehalten / 6 89 Satz des Pythagoras 13) Heike nimmt gerne die Abkürzung und geht diagonal über den Fußballplatz. Der Platz ist 100 m lang und 45 m breit. Wie lang ist ihre Abkürzung? Runde auf ganze Meter. Ihre Abkürzung ist ca. 110 m lang. 14) Eine Treppe mit 15 Stufen führt in den zweiten Stock. Der Handlauf entlang der Treppe ist 4,87 m lang. Die Auftrittsfläche einer Stufe ist 27 cm tief. Wie hoch ist er erste Stock? Runde auf zwei Dezimalen. 2,70 m Wie hoch ist eine Stufe? Runde auf ganze Zentimeter. 18 cm Alle Rechte vorbehalten /

46 Satz des Pythagoras Dreiecke und ihre Eigenschaften kennen Gib an, welche Beziehung auf Grund des pythagoreischen Lehrsatzes zwischen den Seitenlängen besteht! r 2 = p 2 + q 2 x 2 = z 2 y 2 h 2 = s 2 m 2 p 2 = r 2 q 2 y 2 = z 2 x 2 m 2 = s 2 h 2 q 2 = r 2 p 2 z 2 = x 2 + y 2 s 2 = m 2 + h 2 Markiere die richtigen Aussagen! Im rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse die längste Seite. Mit dem pythagoreischen Lehrsatz erhält man aus zwei Dreiecksseiten die dritte. Der Satz von Pythagoras gilt auch im gleichseitigen Dreieck. Der Satz von Pythagoras gilt nur im rechtwinkligen Dreieck. In der Tabelle sind die Seitenlängen von Dreiecken angegeben. Welche der Dreiecke sind rechtwinklig? Markiere sie! Dreieck A B C D E F G H I a b c Alle Rechte vorbehalten / 1 91 Satz des Pythagoras Rechnen mit Wurzeln Berechne die Quadratwurzel! a) 9 = 3 c) 25 = 5 e) 64 = 8 g) 1 = 1 b) 16 = 4 d) 144 = 12 f) 121 = 11 h) 81 = 9 Berechne die Quadratwurzel mit dem Taschenrechner! a) 0,25 = 0,5 c) 0,04 = 0,2 e) 6,25 = 2,5 g) 0,01 = 0,1 b) 2,25 = 1,5 d) 4,84 = 2,2 f) 0,16 = 0,4 h) 0,0256 = 0,16 Bestimme die fehlende (größte) Zahl des pythagoreischen Tripels! a) 3; 4; 5 b) 6; 8; 10 c) 5; 12; 13 d) 18; 80; 82 Gegeben sind zwei Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks. Bestimme die dritte! (Der rechte Winkel ist bei Punkt C.) a) a = 3,60 cm, c = 4,5 cm; b = 2,7 cm g) b = 3,75 cm, c = 7,20 cm; a 6,15 cm b) b = 12 cm, c = 12,5 cm; a = 3,5 cm h) a = 8,23 m, c = 9,00 m; b 3,64 m c) a = 2,40 m, b = 7,00 m; c = 7,40 m i) a = 2,4 cm, c = 5,6 cm; b 5,1 cm d) b = 8,4 mm, c = 11,6 mm; a = 8,0 mm j) b = 10,5 mm, c = 12,6 mm; a 7,0 mm e) a = 1,20 cm, c = 3,70 cm; b = 3,50 cm k) a = 13,75 m, b = 9,41 m; c 16,66 m f) a = 12,7 m, b = 12,7 m; c 18,0 m l) b = 15,3 cm, c = 21,5 cm; a 15,1 cm Alle Rechte vorbehalten /

47 Satz des Pythagoras Figuren und geometrische Eigenschaften erkennen Eine Girlande soll diagonal durch einen rechteckigen Raum gespannt werden. Der Raum ist 6 m lang und 4,5 m breit. Wie lang muss die Girlande mindestens sein? 6 m 7,5 m 8 m 10 m Von einem Quadrat ist der Flächeninhalt gegeben. Berechne die Seitenlänge und die Länge der Diagonale des Quadrats! a) A = 144 cm 2, a = 12 cm, d 17 cm b) A = 256 cm 2, a = 16 cm, d 22 cm Ein Elektriker soll eine Deckenlampe in einem 3,75 m hohen Raum montieren. Er hat eine Doppelleiter mit, die zusammengeklappt 4 m lang ist und deren Beine beim Aufstellen 2,5 m weit voneinander entfernt stehen. Wie hoch ist die Leiter, wenn sie aufgestellt ist? rund 3,80 m Kann er mit dieser Leiter die Deckenlampe montieren? Wenn nein, gib eine Begründung an! Ja Nein Die Leiter ist zu hoch. Er kann sie in diesem Raum nicht aufstellen. Von einem gleichschenkligen Dreieck ist der Flächeninhalt und die Höhe gegeben. Wie groß sind die Seitenlängen? a) A = 10,92 cm 2, hc = 8,4 cm b) A = 3,468 m 2, hc = 2,55 m a = 8,5 cm, c = 2,6 cm a = 2,89 m, c = 2,72 m Alle Rechte vorbehalten / 1 93 Körper 1) Welche idealisierten Grundformen entsprechen den Bildern? Ordne die Bezeichnungen den Bildern zu. vierseitiges Prisma regelmäßige dreiseitige Pyramide regelmäßiges sechsseitiges Prisma regelmäßige vierseitige Pyramide Alle Rechte vorbehalten /

48 Körper 2) Verbinde den Begriff mit dem richtigen Kasten. Prisma Würfel Fünfeck Körper Quader Trapez Quadrat Fläche Pyramide Raute 3) Richtig oder falsch? Stimmen die Aussagen zu den Körpern? a) Gegenüberliegende Flächen des Quaders sind gleich groß. richtig falsch b) Jeder Quader hat 8 Kanten. richtig falsch c) Die Seitenflächen der Pyramide sind Dreiecke. richtig falsch Alle Rechte vorbehalten / 9 95 Körper 4) Welches Netz gehört zu dem abgebildeten dreiseitigen Prisma? 5) Entscheide dich für die richtige Anzahl. Ein regelmäßiges dreiseitiges Prisma hat 9 Kanten, 5 Seitenflächen 12 4 und 6 Eckpunkte Ein regelmäßiges achtseitiges Prisma hat 24 Kanten, 10 Seitenflächen und 16 Eckpunkte Alle Rechte vorbehalten /

49 Körper 6) Welches Netz gehört zur abgebildeten quadratischen Pyramide? 7) Ergänze die richtige Anzahl. Eine quadratische Pyramide hat 8 Kanten Eine regelmäßige achtseitige Pyramide hat 9 Begrenzungsflächen. 10 Eine regelmäßige siebenseitige Pyramide hat 8 Ecken. Eine dreiseitige Pyramide hat 4 Begrenzungsflächen Alle Rechte vorbehalten / 9 97 Körper 8) Eine der Abbildungen ist kein Netz eines Prismas. Markiere sie. 9) Aus wie vielen quaderförmigen Bausteinen, die 1 cm breit, 1 cm lang und 2 cm hoch sind, kann man einen Würfel bauen? Markiere die passenden Möglichkeiten Alle Rechte vorbehalten /

50 Körper 10) Ordne die Volumsformeln den Körpern richtig zu. vierseitiges Prisma mit einem Rechteck als Grundfläche regelmäßiges vierseitiges Prisma regelmäßige vierseitige Pyramide dreiseitiges Prisma mit einem rechtwinkligen Dreieck als Grundfläche Alle Rechte vorbehalten / 9 99 Körper 11) Wie kann das Volumen des abgebildeten Körpers berechnet werden? Markiere die richtigen Möglichkeiten. Als Volumen eines liegenden vierseitigen Prismas mit einem Trapez als Grundfläche. Als Summe der Volumina eines vierseitigen Prismas und einer Pyramide. Als Summe der Volumina eines vierseitigen Prismas und eines dreiseitigen liegenden Prismas. Als Summe von zwei Trapezen und vier Rechtecken. 12) Berechne das Volumen des abgebildeten Prismas. (Maße in Zentimeter) V = cm³ Alle Rechte vorbehalten /

51 Körper 13) Von einer regelmäßigen vierseitigen (quadratischen) Pyramide kennt man die Länge der Grundkante a und die Höhe h. Berechne das Volumen und markiere die richtige Lösung. a) a = 3 cm, h = 7 cm V = 18 cm³ V = 21 cm³ V = 31,5 cm³ V = 63 cm³ b) a = 1,5 cm, h = 1,8 cm V = 1,35 cm³ V = 0,9 cm³ V = 4,05 cm³ V = 2,025 cm³ 14) Berechne das Volumen und die Oberfläche der regelmäßigen vierseitigen Pyramide. Die Grundkante a und die Höhe h sind gegeben. a = 10 m, h = 12 m Das Volumen beträgt V = 400 m³. Für die Oberfläche muss man zuerst h1 mit dem Satz von Pythagoras berechnen. h1 = 13 m Die Oberfläche beträgt O = 360 m². Alle Rechte vorbehalten / Körper 15) Eine Turmspitze in Form einer regelmäßigen achtseitigen Pyramide wird neu gedeckt. Die Länge der Grundkante a und die Seitenflächenhöhe h1 sind bekannt. Wie groß ist die zu deckende Fläche? a = 4,2 m, h1 = 13,4 m Fläche des Daches: A = 225,12 m² 16) Berechne das Volumen und die Oberfläche des abgebildeten Prismas. V = 72 m³ Für die Oberfläche muss man zuerst die Länge der Seite x mit dem Satz von Pythagoras bestimmen. x = 5 cm O = 130 cm² Alle Rechte vorbehalten /

52 Körper Körper und ihre Eigenschaften kennen Ordne die Bezeichnungen richtig zu! Trage die Buchstaben in die Lücken ein! Regelmäßige vierseitige Pyramide D Liegendes fünfseitiges Prisma E Gerades vierseitiges Prisma F A B C Regelmäßiges dreiseitiges Prisma A Schiefe dreiseitige Pyramide C Regelmäßiges sechsseitiges Prisma B D E F Beantworte die Fragen! Welche Art Vielecke sind die Seitenflächen von geraden Prismen? Rechtecke... von schiefen Prismen? Parallelogramme... von Pyramiden? Dreiecke Alle Rechte vorbehalten / Körper Körper und ihre Eigenschaften kennen Welche der Aussagen sind richtig, welche sind falsch? Die Seitenflächen jedes Prismas sind Rechtecke. richtig falsch Grund- und Deckfläche eines Prismas sind parallel. richtig falsch Die Begrenzungsflächen einer regelmäßigen vierseitigen Pyramide sind alle gleich groß. richtig falsch Jeder Quader hat 12 Kanten. richtig falsch Die Seitenflächen jeder Pyramide sind gleichseitige Dreiecke. richtig falsch Ergänze jeweils die richtige Anzahl! Ein regelmäßiges fünfseitiges Prisma hat 10 Ecken. Ein liegendes dreiseitiges Prisma hat 5 Begrenzungsflächen. Ein vierseitiges Prisma hat 12 Kanten. Eine regelmäßige vierseitige Pyramide hat 5 Begrenzungsflächen. Eine achtseitige Pyramide hat 9 Ecken. Eine zwölfseitige Pyramide hat 24 Kanten. Ein n-seitiges Prisma hat n+2 Begrenzungsflächen. Ein n-seitiges Prisma hat n 2 Ecken. Ein n-seitiges Prisma hat n 3 Kanten. Eine n-seitige Pyramide hat n+1 Begrenzungsflächen. Eine n-seitige Pyramide hat n+1 Ecken. Eine n-seitige Pyramide hat n 2 Kanten. Alle Rechte vorbehalten /

53 Körper Körpernetze zuordnen Welche der folgenden Abbildungen sind Würfelnetze? Kreuze die richtigen an! Kennzeichne die der blauen Fläche gegenüberliegende Würfelseite in den richtigen Netzen! Warum kann die Abbildung nicht das Netz eines Prismas sein? Begründe! Es müsste das Netz eines Prismas mit einem Rechteck als Grundfläche sein. Das ist aber nicht möglich, weil die beiden größeren Seitenflächen im Netz nicht nebeneinander liegen können. Alle Rechte vorbehalten / Körper Körpernetze zuordnen Zu welchem Körper gehört das Netz? Gib die Bezeichnung an! (ZB: dreiseitige Pyramide) dreiseitiges Prisma vierseitiges Prisma (regelmäßige) vierseitige Pyramide (regelmäßiges) dreiseitiges Prisma Skizziere ein Netz der abgebildeten regelmäßigen dreiseitigen Pyramide! (Alle Begrenzungsflächen sind gleich groß.) ZB: Alle Rechte vorbehalten /

54 Körper Flächeninhalte bestimmen Bestimme die Oberfläche der regelmäßigen vierseitigen Pyramide! Die Grundkante a und die Höhe h sind gegeben. (Um die Oberfläche zu bestimmen, musst du zuerst die Seitenflächenhöhe h1 mit dem Satz von Pythagoras berechnen.) a) a = 60 cm, h = 90 cm h1 = aa h 2 95 cm AGrundfläche = cm 2 AMantel cm 2 O cm 2 b) a = 4,8 m, h = 6 m h1 6,5 m AGrundfläche = 23,04 m 2 AMantel 62,40 m 2 O 85,44 m 2 Berechne die Oberfläche des liegenden Prismas mit einem Parallelogramm als Grundfläche! AGrundfläche = cm 2 AMantel = cm 2 O = cm 2 Alle Rechte vorbehalten / Körper Rauminhalte bestimmen Berechne das Volumen des angegebenen Prismas! a) Quader: a = 3 cm, b = 4 cm, h = 5 cm V = 60 cm 3 b) dreiseitiges Prisma mit einem rechtwinkligen Dreieck als Grundfläche: a = 2,5 cm, b = 3,9 cm, h = 8 cm V = 39 cm 3 c) regelmäßiges vierseitiges Prisma: a = 12 mm, h = 33 mm V = mm 3 Berechne das Volumen der regelmäßigen vierseitigen Pyramide! Die Länge der Grundkante a und die Höhe h sind gegeben. a) a = 5 cm, h = 9 cm V = 75 cm 3 b) a = 44 mm, h = 36 mm V = mm 3 c) a = 3,2 m, h = 4,5 m V = 15,36 m 3 Alle Rechte vorbehalten /

55 Körper Rauminhalte bestimmen Bestimme den Rauminhalt des abgebildeten liegenden Prismas mit einem Parallelogramm als Grundfläche! G = cm 2 V = cm 3 Wie groß ist der Brutto-Rauminhalt (das Gesamtvolumen) des Gartenhäuschens? Bestimme das Volumen auf zwei Arten! 1) Als Summe der Volumina zweier Prismen: VPrisma1 = 72 m 3 VPrisma2 = 42 m 3 VGesamt = 114 m 3 2) Als Volumen eines liegenden fünfseitigen Prismas: G = 19 m 2 V = 114 m 3 Alle Rechte vorbehalten /