VORLESUNG 14 Lineare Optimierung, Dualität (Viele Folien nach Ulf Lorenz, jetzt TU Darmstadt)
|
|
- Dirk Bruhn
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 VORLESUNG 14 Lineare Optimierung, Dualität (Viele Folien nach Ulf Lorenz, jetzt TU Darmstadt) 96 H. Meyerhenke: Kombinatorische Optimierung
2 Dualität bei linearen Programmen Def.: Es sei (L): c T x max udn Ax b x 0 ein LP in kanonischer Form. L heißt primales Problem Das LP (D): b T u min udn A T u c, u 0 u T A = (A T u) T heißt das zu L duale LP (D = dual(l)). Bsp.: a 11 x 1 + a 12 x 2 b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 b 3 c 1 x 1 + c 2 x 2 à max u 1 a 11 + u 2 a 21 + u 3 a 31 c 1 u 1 a 12 + u 2 a 22 + u 3 a 32 c 2 u 1 b 1 + u 2 b 2 + u 3 b 3 à min 97
3 Zahlenbeispiel! Aufgabe: Stellen Sie das primale und das duale Tableau auf für folgende Problemstellung:! Eine Ölraffinerie kann zwei Prozesse zur Weiterverarbeitung zu drei Endprodukten e i fahren:! Prozess 1 erzeugt 2e 1, 2e 2 und 1*e 3 bei Kosten 3 EUR! Prozess 2 erzeugt 1*e 1, 2e 2 und 4e 3 bei Kosten 5 EUR! Es müssen mindestens produziert werden (Liefervertrag):! 3e 1,! 5e 2 und! 4e 3! Frage: Mit welcher Prozessaufteilung (P1, P2) produzieren Sie möglichst billig? 98
4 Primales und duales Problem Lemma: Es sei (L): Ax b, c T x max ein LP. Dann ist Beweis: Übung! dual(dual(l)) = L dual(l): A T u c, b T u min äquivalent zu D : (-A) T u -c (-b) T u max Dann ist dual(d ): ((-A) T ) T y -b Ay b (-c) T y min c T y max = (L) 99
5 Beziehungen zwischen primalen und dualen Variablen und Nebenbedingungen Primales LP Duales LP (P 1 ) max c T x, Ax b, x 0 (D 1 ) min b T u, A T u c, u 0 (P 2 ) min c T x, Ax b, x 0 (D 2 ) max b T u, A T u c, u 0 (P 3 ) max c T x, Ax = b, x 0 (D 3 ) min b T u, A T u c (P 4 ) min c T x, Ax = b, x 0 (D 4 ) max b T u, A T u c, (P 5 ) max c T x, Ax b (D 5 ) min b T u, A T u = c, u 0 (P 6 ) min c T x, Ax b (D 6 ) max b T u, A T u = c, u H. Meyerhenke: Kombinatorische Optimierung
6 Schwache Dualität Satz ( Schwache Dualität ): Es sei (L): Ax b, c T x max ein LP. D := dual(l). Seien z L und z D die optimalen Zielfunktionswerte für L und D. Ist beliebiges x zulässig für L und beliebiges u zulässig für D, dann ist c T x z L z D b T u Bew: (a) Wegen x 0 und u T A c T ist c T x u T Ax (b) Wegen u 0 und Ax b ist u T Ax u T b = b T u, weil u,b R m. Erinnerung: L: Ax b, c T x max D: A T u c, b T u min Es ist also c T x b T u für alle x und u (jeweils zulässig). Insbesondere ist damit auch z L b T u für alle zulässigen u und damit auch z L z D 101
7 Schwache Dualität: Folgerungen! Folgerung 1: Wenn x primal zulässige Lösung ist, y dual zulässige Lösung und c T x = b T u, dann sind x und u optimale Lösungen.! Frage: Warum?! Antwort: Kleiner kann b T u wegen schwacher Dualität nicht werden, und c T x auch nicht größer.! Folgerung 2: Es sei (L) ein LP, D = dual(l). Ist L unbeschränkt, so hat D keine Lösung.! Frage: Warum?! Antwort: Wegen schwacher Dualität ist z D α für alle α R. 102
8 Starke Dualität Satz ( Starke Dualität ): Wenn das primale oder das duale Problem eine optimale Lösung mit endlichem Wert besitzt, dann besitzt auch das Gegenstück eine optimale Lösung und max c T x = min b T u. Bew.: Gezeigt wird: Wenn das primale Problem eine optimale Lösung x besitzt, dann gibt es eine dual zulässige Lösung u, so dass c T x = b T u. Sei x eine optimale primal zulässige Basislösung, generiert vom Simplexalgorithmus. Also: Ax = (A B,A N ) b mit x B = A B b, x N =0. Sei u := (A BT ) c B. Dann: c A T c u = B - A T (A B ) T c 0 B B. = c 0 N A NT (A B ) T c B c N A N T x B x N Reduzierte Kosten: und c T x = c BT (A B b) = (c BT A B )b = (A B -T c B ) T b = u T b Erinnerung: L: Ax b, c T x max D: A T u c, b T u min c N T c BT A B A N = c N (c BT A B A N ) T 103
9 Überblick zur Art der Lösungen dual endliches unbegrenzt keine Optimum Lösung primal endliches Optimum unbegrenzt keine Lösung 104
10 Zahlenbeispiel Primales und duales Problem haben beide keine Lösung: Maximiere 3x 1 + 2x 2 u.d.n.: 2x 1 2x 2-2x 1 + 2x 2-4 x 1, x 2 0 Minimiere u 1-4u 2 u.d.n. 2u 1 2u 2 3-2u 1 + 2u 2 2 u 1, u
11 Dualer Simplex-Algorithmus Vorbereitung: geg. L: Ax b, x 0, c T x max, mit Schlupfvariablen t 1,...,t m, t i R 0 L: Ax b Ax - b = -t x 0 bzw. x 0, t 0 c T x max c T x max primal zulässig, wenn b 0 MAX x 1... x n a a 1n b 1 = -t a m1... a mn b m = -t m c 1... c n z MAX x 1... x n D: A T u c A T u c = s u 0 bzw. u 0, s 0 b T u min -b T u max dual zulässig, wenn c 0 Überschussvariablen u 1... u m a a 1n b 1 = -t a m1... a mn b m = -t m c 1... c n =...= s 1... s n z 106
12 Dualer Simplex-Algorithmus Für dual zulässige Tableaus Ein Tableau heißt dual zulässig, wenn c 0. 1) if (b 0) then opt. Lösung gefunden mit Gewinn z : Stop. 2) Wähle s 2 {1,..., m} mit b s < 0 3) if (A s* 0) then System ist unzulässig: Stop. 4) Wähle r 2 {1,..., n} so dass c s /a sr = min { c j /a sj a sj < 0} 5) Pivotschritt mit a sr 6) Gehe nach 1) 1 j n
13 Beispiel: Dualer Simplex L: max -4x 1 2x 2 udn. -x 1 2x 2-2 -x 1 + x 2 MAX x 1 x 2 x 3 x = -x = -x D: min -2u 1 u 2 max 2u 1 + u 2 udn. u 1 + u 2 4 2u 1 - u 2 2 MAX u 1 u 2 u 3 u = -u = -u MAX x 1 x 2 x 3 x 4 1/2 1 /2 0 1 = -x 2-3/2 0 1/2 1-2 = -x MAX u 1 u 2 u 3 u 4 0 3/2 1 /2 3 = -u 3 1 /2 0 1/2 1 = -u MAX x 1 x 2 x 3 x /3 /3 1/3 = -x /3-2/3 4/3 = -x MAX u 1 u 2 u 3 u /3 /3 2 = -u /3 1/3 2 = -u /3 /
14 Komplementärer Schlupf Satz: Es sei (L): Ax b, c T x max ein LP. D := dual(l). x* ist optimale Lösung von L und u* ist optimale Lösung von D genau dann, wenn (A T u*-c) T x* = 0 und (b-ax*) T u* = 0 (*) Weil (A T u*-c) 0, x* 0, (b-ax*) 0 und u* 0, heißt das: (A T u*-c) i = 0 oder x* i = 0, für alle i = 1,...,n und (b-ax*) j = 0 oder u* j = 0, für alle j = 1,...,m Bew.: Für alle zulässigen u und x gilt: (**) c T x u T Ax und u T Ax u T b = b T u (schwache Dualität), also c T x u T Ax b T u Also: Wenn (*) gilt, gilt die Gleichheit: c T x = u T Ax = b T u Umgekehrt: Wenn c T x = b T u gilt, gilt für (**) jeweils die Gleichheit, und das heißt: (A T u*-c) T x* = 0 und (b-ax*) T u* = 0 109
15 Bemerkungen zum komplem. Schlupf Satz: Es sei (L): Ax b, c T x max ein LP. D := dual(l). x* ist optimale Lösung von L und u* ist optimale Lösung von D, genau dann wenn (A T u*-c) T x* = 0 und (b-ax*) T u* = 0 (*) Weil (A T u*-c) 0, x* 0, (b-ax*) 0 und u* 0, heißt das: (A T u*-c) i = 0 oder x* i = 0, für alle i = 1,...,n und (b-ax*) j = 0 oder u* j = 0, für alle j = 1,...,m! Zulässige Lösungen eines primal-dualen Paares sind genau dann optimal, wenn i) eine Variable in dem einen Problem 0 ist, wann immer die dazugehörige Ungleichung nicht die Gleichheit erfüllt (Schlupfvariable echt positiv) und ii) eine Schlupfvariable 0 ist, (also die zugehörige Ungleichung als Gleichung erfüllt ist) wann immer die dazugehörige Variable im Schwesterproblem echt positiv ist. 110
6 Korrektheit des Simplexalgorithmus
6 Korrektheit des Simplexalgorithmus Folgerung: Es sei L: Ax = b, c T x max LP und A B nicht-degenerierte PZB von L und es gebe c r := c r c B A B A r > 0 a) Falls a r := A B a r 0, dann L unbeschränkt
MehrH. Meyerhenke: Kombinatorische Optimierung. Paralleles Rechnen, Institut für Theoretische Informatik, Fakultät für Informatik
VORLESUNG 13 Smoothed Analysis des Simplex-Algorithmus Nach Heiko Röglin, Universität Bonn, Vorlesungsskript Introduction to Smoothed Analysis vom 9. Januar 2012 78 Wiederholung Simplex-Algorithmus! Korrektheit:!
MehrVORLESUNG 12 Lineare Optimierung (Viele Folien nach Ulf Lorenz, jetzt TU Darmstadt)
VORLESUNG 12 Lineare Optimierung (Viele Folien nach Ulf Lorenz, jetzt TU Darmstadt) 53 Wiederholung! Basis-Startlösung berechnet! Künstliche Variablen! Erkennung von unlösbaren Problemen! Eliminierung
MehrVORLESUNG 11 Lineare Optimierung (Viele Folien nach Ulf Lorenz, jetzt TU Darmstadt)
VORLESUNG Lineare Optimierung (Viele Folien nach Ulf Lorenz, jetzt TU Darmstadt) 3 Wiederholung! Lineare Programme häufig geeignete Modellierung von Optimierungsproblemen! Verschiedene Darstellungen sind
MehrKap. 4.3: Das Dualitätstheorem der linearen Optimierung
Kap. 4.3: Das Dualitätstheorem der linearen Optimierung Professor Dr. Petra Mutzel Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 Fakultät für Informatik, TU Dortmund 18. VO A&D WS 08/09 18.12.2008 1 Literatur
MehrDualitätssätze der linearen Optimierung
Kapitel 9 Dualitätssätze der linearen Optimierung Sei z = c T x min! Ax = b 9.1 x 0 mit c, x R n, b R m, A R m n ein lineares Programm. Definition 9.1 Duales lineares Programm. Das lineare Programm z =
MehrStudientag zur Algorithmischen Mathematik
Studientag zur Algorithmischen Mathematik Lineare Optimierung Winfried Hochstättler Diskrete Mathematik und Optimierung FernUniversität in Hagen 1. Juli 2012 Outline Lineares Programm (LP) in Standardform
MehrSimplex-Verfahren. Kapitel 4. Simplex-Verfahren. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298
Kapitel 4 Simplex-Verfahren Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester 24 86 / 298 Inhalt Inhalt 4 Simplex-Verfahren Dualer Simplexalgorithmus Vermeidung von Zyklen Peter Becker (H-BRS)
MehrLösung allgemeiner linearer Programme
Lösung allgemeiner linearer Programme Bisher: Für Anwendung des Simplexalgorithmus muss eine primal oder eine dual zulässige Basislösung vorliegen. Für allgemeine lineare Programme können wir dies direkt
MehrKombinatorische Optimierung
Kombinatorische Optimierung Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke PARALLELES RECHNEN INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, FAKULTÄT FÜR INFORMATIK KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales
MehrAufgabe 3.1: LP-Problem mit allen Bedingungstypen
Johann Wolfgang Goethe-Universität Frankfurt am Main Lehrst.f.BWL, insb. Quant. Methoden Prof. Dr. Dietrich Ohse Interpretation, zulässige Lösung, Dualität 18. Mai 2004 Aufgabe 3.1: LP-Problem mit allen
MehrSchranken für zulässige Lösungen
Schranken für zulässige Lösungen Satz 5.9 Gegeben seien primales und duales LP gemäß der asymmetrischen Form der Dualität. Wenn x eine zulässige Lösung des primalen Programms und u eine zulässige Lösung
Mehr3.2.5 Dualität der linearen Optimierung I
3..5 Dualität der linearen Optimierung I Jedem linearen Programm in Standardform kann ein sogenanntes duales Programm zugeordnet werden. Es entsteht dadurch, daß man von einem Minimierungsproblem zu einem
MehrMinimumproblem. Definition 4.7. Ein LP der Form. unter den Nebenbedingungen. d ij x j b i (i =1,...,m)
Minimumproblem Definition 4.7 Ein LP der Form nx Minimiere Z = c j x j j=1 unter den Nebenbedingungen nx d ij x j b i (i =1,...,m) j=1 und den Vorzeichenbedingungen x j 0(j =1,...,n) heißt Minimumproblem.
MehrEigenschaften von LPs
2 Lineare Programmierung Eigenschaften von LPs Eigenschaften von LPs Definition 24 Eine Menge K IR n heißt konvex gdw für je zwei Punkte Punkte x (1) K und x (2) K auch jeder Punkt mit 0 λ 1 zu K gehört
MehrOptimierung. Optimierung. Vorlesung 8 Lineare Programmierung III: Simplex Algorithmus Fabian Kuhn
Optimierung Vorlesung 8 Lineare Programmierung III: Simplex Algorithmus 1 Resource Allocation Beispiel aus Vorlesung 6 Primales LP: Duales LP: max 3 4 2 2 4 2 8 3 6 0, 0, 0 min 4 8 6 2 3 3 4 2 2 0, 0,
Mehr1 Der Simplex Algorithmus I
1 Nicoletta Andri 1 Der Simplex Algorithmus I 1.1 Einführungsbeispiel In einer Papiermühle wird aus Altpapier und anderen Vorstoffen feines und grobes Papier hergestellt. Der Erlös pro Tonne feines Papier
MehrOptimierung für Wirtschaftsinformatiker: Dualität, Ganzzahlige lineare Optimierung
Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Dualität, Ganzzahlige lineare Optimierung Dr. Nico Düvelmeyer Freitag, 24. Juni 2011 1: 1 [1,1] Inhaltsübersicht für heute 1 Dualität Motivation Duales LP Dualitätssätze
MehrOptimierung. Optimierung. Vorlesung 7 Lineare Programmierung II. 2013 Thomas Brox, Fabian Kuhn
Optimierung Vorlesung 7 Lineare Programmierung II 1 Lineare Programme Lineares Programm: Lineare Zielfunktion Lineare Nebenbedingungen (Gleichungen oder Ungleichungen) Spezialfall der konvexen Optimierung
MehrKapitel 7 : Lineare Programmierung Die Simplexmethode (G.B.Dantzig, 1947) Beispiel:
Kapitel 7 : Lineare Programmierung Die Simplexmethode (G.B.Dantzig, 1947) Beispiel: Eine Firma produziert die Produkte P 1, P 2,..., P q aus den Rohstoffen R 1, R 2,..., R m. Dabei stehen b j Einheiten
MehrOperations Research. Die Simplexmethode. LP-Dualität. Die Simplexmethode. Rainer Schrader. 18. Juni Zur Erinnerung: Gliederung
Operations Research Rainer Schrader Die Simplexmethode Zentrum für Angewandte Informatik Köln 18 Juni 00 1 / 1 / 1 Gliederung LP-Dualität ein lineares Produktionsmodell der Simplexalgorithmus Phase I Endlichkeit
MehrKap. 4: Lineare Programmierung
Kap. 4: Lineare Programmierung Professor Dr. Petra Mutzel Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 Fakultät für Informatik, TU Dortmund 13./14. VO A&D WS 08/09 27.11./2.12.2008 Petra Mutzel Alg. & Dat.
MehrLineare Programmierung (2)
Inhalt Rückblick Motivation - linearen Programmierung Flussprobleme Multiple Warenflüsse Fortsetzung Simplex Algorithmus Initialisierung Fundamentalsatz der linearen Programmierung schwache Dualität Dualität
MehrOptimierung. Vorlesung 04
Optimierung Vorlesung 04 Übungsbetrieb Mangels Teilnehmer keine Dienstagsübung mehr. Prüfung laut Paul: Di, 10. Feb. 2015 00:01-23:59 2 Was bisher geschah LP: Maximiere c T x unter Ax = b, x 0. Basis:
MehrWiederholung. Wir gehen von LP s in Standardform aus, wobei A R m n vollen Zeilenrang hat: minc T x A x = b
Wiederholung Wir gehen von LP s in Standardform aus, wobei A R m n vollen Zeilenrang hat: minc T x A x = b x 0. x R n heißt Basislösung, wenn Ax = b und rang(a J ) = J, wobei J = {j x (j) 0}; Basislösung
MehrInhaltsübersicht für heute:
Inhaltsübersicht für heute: Dualität Anwendung: Spieltheorie Komplementarität und Sensitivitätsanalyse Spaltengenerierung Schnittebenenverfahren Welchen Simplex wann? Inhaltsübersicht für heute: Dualität
MehrKapitel 5. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298
Kapitel 5 Dualität Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester 2014 241 / 298 Inhalt 5 Dualität Dualitätssätze Zweiphasen-Simplexalgorithmus Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester
MehrAlgorithmik WS 07/ Vorlesung, Andreas Jakoby Universität zu Lübeck
Lemma 15 KLP 1 ist genau dann lösbar, wenn das dazugehörige LP KLP 2 eine Lösung mit dem Wert Z = 0 besitzt. Ist Z = 0 für x 0, x 0, dann ist x eine zulässige Lösung von KLP 1. Beweis von Lemma 15: Nach
MehrDie duale Simplexmethode
Kapitel 0 Die duale Simplexmethode Bei der dualen Simplexmethode ist eine Startlösung oftmals leichter angebbar als bei der Simplexmethode für das ursprüngliche lineare Programm, da man keine Nichtnegativitätsanforderungen
MehrLineare Optimierung Teil 2
Lineare Optimierung Teil 2 Primale Degeneration Duale Degeneration = Mehrdeutigkeit Normalform kanonische Form Duale Simplexmethode HTW-Berlin FB3 Prof. Dr.F. Hartl 1 Primale Degeneration/1 Besitzt eine
MehrAbbildung 1: Graphische Lösung der ersten Übungsaufgabe
Lösungen zu den Übungsaufgaben im Kapitel 1 des Lehrbuches Operations Research Deterministische Modelle und Methoden von Stephan Dempe und Heiner Schreier 1. Lösen Sie die folgende lineare Optimierungsaufgabe
MehrDer Simplex-Algorithmus
5 Lineare Programmierung Simplex-Algorithmus Der Simplex-Algorithmus Standardverfahren zur Lösung von LPs, von G B Dantzig entwickelt Grundidee: Versuche ausgehend von einer Startecke mit einer Ausgangsbasis
MehrOptimierung I. Dr. Ulf Lorenz F2.413
Optimierung I Dr. Ulf Lorenz F2.413 flulo@upb.de Organisation Dozent: Dr. Ulf Lorenz F2.413 Fürstenallee 11 email: flulo@upb.de WWW: http://www.upb.de/cs/flulo (hier auch aktuelle Infos + Ü-Zettel) Vorlesungen:
MehrComputer Science Department - High Performance and Web Computing Group. Optimierungsprobleme
Optimierungsprobleme Häufig in Alltagssituationen anzutreffen (z.b. Kauf eines Gerätes) Optimierungsprobleme (OPs) sind Probleme, die i.a. viele zulässige Lösungen besitzen Jeder Lösung ist ein bestimmter
Mehr4. Dualität Dualität 4.1 Dualität von LPs und der Dualitätssatz. Die duale Form eines LP in allgemeiner Form. Herleitung der dualen Form
2... 22 4.2 Die Bedingungen vom komplementären Schlupf... 23 4.3 Das Kürzeste-Wege-Problem und zugehörige duale Problem... 24 4.4 Das Farkas Lemma... 25 4.5 Duale Information im Tableau... 26 4.6 Der duale
MehrOperations Research. Flüsse in Netzwerken. Flüsse in Netzwerken. Unimodularität. Rainer Schrader. 2. Juli Gliederung.
Operations Research Rainer Schrader Flüsse in Netzwerken Zentrum für Angewandte Informatik Köln 2. Juli 2007 1 / 53 2 / 53 Flüsse in Netzwerken Unimodularität Gliederung Netzwerke und Flüsse bipartite
Mehr4.3.3 Simplexiteration
7. Januar 2013 53 4.3.3 Simplexiteration Eine Simplexiteration entspricht dem Übergang von einer Ecke des zulässigen Bereiches in eine benachbarte Ecke Dabei wird genau eine Nichtbasisvariable (die zugehörige
MehrOptimierung für Nichtmathematiker
Optimierung für Nichtmathematiker Prof. Dr. R. Herzog WS2010/11 1 / 1 Teil IV Konvexe und ganzzahlige Optimierung Vorlesung 11 IV Konvexe und ganzzahlige Optimierung 2 / 34 Inhaltsübersicht 29Lineare Optimierung
MehrZugeordneter bipartiter Graph
Zugeordneter bipartiter Graph Für ein Transportproblem sei A = {A 1,...,A m } die Menge der Fabriken und B = {B 1,...,B n } sei die Menge der Warenhäuser. Wir ordnen nun einem Transportproblem einen bipartiten
MehrOptimierung für Wirtschaftsinformatiker: Lineare Programme
Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Lineare Programme Dr. Nico Düvelmeyer Dienstag, 31. Mai 2011 1: 1 [1,1] Inhaltsübersicht für heute 1 Lineare Programme Allgemeine Form 2 Spezielle Darstellungen
MehrEffiziente Algorithmen Lineares Programmieren 216. Schwache Dualität
Effiziente Algorithmen Lineares Programmieren 216 Schwache Dualität Sei wieder z = max{ c T x Ax b, x 0 } (P ) und w = min{ b T u A T u c, u 0 }. (D) x ist primal zulässig, wenn x { x Ax b, x 0 }. u ist
MehrVorlesung Lineare Optimierung (Sommersemester 2009)
1 Vorlesung Lineare Optimierung (Sommersemester 2009) Kapitel 7: Der Simplex-Algorithmus Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 18. Juni 2009) Gliederung 2 Ecken, Kanten, Extremalstrahlen
MehrÜberblick. Kap. 1.4: Minimum Weight Perfect Matching. 1.3 Blüten-Schrumpf Algorithmus für Maximum Matching
Kap. 1.4: Minimum Weight Professor Dr. Petra Mutzel Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 4. VO 6. November 2006 Überblick kurze Wiederholung: 1.2 Blüten-Schrumpf-Algorithmus für Perfektes Matching
MehrLineare und kombinatorische Optimierung
Lineare und kombinatorische Optimierung Theorie, Algorithmen und Anwendungen Prof. Dr. Peter Becker Fachbereich Informatik Hochschule Bonn-Rhein-Sieg Wintersemester 2017/18 Peter Becker (H-BRS) Lineare
Mehr10.2 Dualitätstheorie Operations Research. In der Standardform eines Maximierungsproblem: b e ) mit ( w) + a ej ) x j + x g = ( b g + g G
48 0 Operations Research In der Standardform eines Maximierungsproblem: Max ( w) mit ( w) + u. d. N. z + x l + n ( a gj + j= g G e E n d j x j = z 0 j= n a l j x j = b l für alle l L j= x g n + a gj x
MehrGrundlagen der Optimierung. Übung 6
Technische Universität Chemnitz Chemnitz, 2. November 24 Prof. Dr. R. Herzog, J. Blechschmidt, A. Schäfer Abgabe am 28. November 24 Grundlagen der Optimierung Übung 6 Aufgabe 2: Verschiedene Verfahren
MehrSeminar Ausgewählte Kapitel des Operations Research Die Allgegenwärtigkeit von Lagrange (Teil 1)
Seminar Ausgewählte Kapitel des Operations Research Die Allgegenwärtigkeit von Lagrange (Teil 1) Anna Raaz 21.12.2007 Einführung Die Relaxierung von Lagrange wird in der stochastischen Optimierung meistens
MehrÜbung 3, Simplex-Algorithmus
Übung 3, 21.6.2011 Simplex-Algorithmus Aufgabe 3.1 Lösen Sie das folgende Optimierungsproblem (von Aufgabe 2.3) graphisch. Substituieren Sie dazu z = 5 y um ein 2-dimensionales Problem zu erhalten. Rechnung
MehrLineare Programmierung Teil I
Seminar über Algorithmen Prof. Dr. Helmut Alt Lineare Programmierung Teil I Lena Schlipf, Benjamin Jankovic Lena Schlipf, Benjamin Jankovic Seminar über Algorithmen SS05 1 Struktur des Vortrags 1. Was
Mehr3.1. Existenzsatz und Struktur der Lösungsmenge
3. EXISTENZ UND DUALITÄT 3.1. Existenzsatz und Struktur der Lösungsmenge Nach dem Satz von Weierstraß besitzt eine lineare Funktion auf einem Polytop stets ein Minimum und ein Maximum. Im allgemeinen Fall
MehrVorlesung Wirtschaftsmathematik I WS 2007/2008, Wirtschaftingenieurwesen. Kapitel IV: Grundlagen der Linearen Optimierung
Vorlesung Wirtschaftsmathematik I WS 2007/2008, Wirtschaftingenieurwesen Kapitel IV: Grundlagen der Linearen Optimierung Inhaltsverzeichnis Abschnitt 3-5 3 Der Simplexalgorithmus 58 3.1 Grundlagen..............................
Mehrλ i x i λ i 0, x i X, nur endlich viele λ i 0}.
jobname LinOpt Sommer Aufgabe a) Sei X R n. Dann ist b) Cone X = { x i X λ i x i λ i, x i X, nur endlich viele λ i }. x Cone S = Lin S x Lin S = Cone S. Also gibt es nicht-negative Koeffizienten µ i von
MehrAufgabe 5.3 Duale Simplexverfahren
Aufgabe 5.3 Knut Krause Thomas Siwczyk Stefan Tittel Technische Universität Dortmund Fakultät für Informatik Algorithmen und Datenstrukturen 15. Januar 2009 Gliederung 1 Aufgabenstellung und Motivation
MehrAlgorithmen. Spieltheorie. Nash-Gleichgewichte in endlichen Nullsummenspielen. Kodierung als Lineares Programm. Nash-Gleichgewichts-Berechnung
Spieltheorie Albert-Ludwigs-Universität Freiburg Bernhard Nebel und Robert Mattmüller Arbeitsgruppe Grundlagen der Künstlichen Intelligenz 14. Mai 2012 14. Mai 2012 B. Nebel, R. Mattmüller Spieltheorie
Mehr1. Transport- und Zuordnungsprobleme Optimierungsalgorithmus für Transportprobleme. Duales Problem. a i u i + i=1. j=1
1. Transport- und Zuordnungsprobleme Optimierungsalgorithmus für Transportprobleme Duales Problem Lemma 1.4. Das zum Transportproblem duale Problem lautet: max unter den Nebenbedingungen m a i u i + i=1
MehrSpieltheorie. Nash-Gleichgewichts-Berechnung. Bernhard Nebel und Robert Mattmüller. Arbeitsgruppe Grundlagen der Künstlichen Intelligenz 14.
Spieltheorie Nash-Gleichgewichts-Berechnung Albert-Ludwigs-Universität Freiburg Bernhard Nebel und Robert Mattmüller Arbeitsgruppe Grundlagen der Künstlichen Intelligenz 14. Mai 2012 14. Mai 2012 B. Nebel,
MehrEinführung in die Lineare Programmierung
Einführung in die Lineare Programmierung Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 RWTH Aachen 28. Mai 2008 Elementares Beispiel Die kanonische Form Die algebraische Gleichungsform Gegeben seien
MehrTeil I. Lineare Optimierung
Teil I Lineare Optimierung 5 Kapitel 1 Grundlagen Definition 1.1 Lineares Optimierungsproblem, lineares Programm. Eine Aufgabenstellung wird lineares Optimierungsproblem oder lineares Programm genannt,
MehrProduktionsplanung und Lineare Optimierung im Rahmen des Projekts Mathematik und Ökonomie 12./13. November 2003 in Düsseldorf.
Übungsaufgaben Aufgabe 1a Medikamentenmischung Ein Pharmaziehersteller möchte ein neues Medikament auf den Markt bringen. Das Medikament kann aus vier verschiedenen Komponenten (K1 K4) zusammengestellt
MehrKlausurrepetitorium ABWL
Klausurrepetitorium ABWL Planungs- und Südwestfälische Industrie- und Handelskammer 9. August 5 Dr. Friedhelm Kulmann, Sandra Rudolph 9.8.5 Gliederung. Nichtlineare Optimierungsprobleme.. Quadratisches
MehrNumerische Lineare Algebra
Numerische Lineare Algebra Vorlesung 7 Prof. Dr. Klaus Höllig Institut für Mathematischen Methoden in den Ingenieurwissenschaften, Numerik und Geometrische Modellierung SS 200 Prof. Dr. Klaus Höllig (IMNG)
MehrIII. Transportaufgaben 1. Problemstellung 2. Analyse 3. Bestimmung der Startecke 4. Eckenaustausch 5. Umladeprobleme 6. Zuordnungsprobleme
III. Transportaufgaben 1. Problemstellung 2. Analyse 3. Bestimmung der Startecke 4. Eckenaustausch 5. Umladeprobleme 6. Zuordnungsprobleme H. Weber, FHW, OR SS07, Teil 6, Seite 1 1. Problemstellung Wir
Mehr1 Lineare Optimierung, Simplex-Verfahren
1 Lineare Optimierung, Simplex-Verfahren 1.1 Einführung Beispiel: In einer Fabrik werden n Produkte A 1, A 2,..., A n hergestellt. Dazu werden m Rohstoffe B 1, B 2,..., B m (inklusive Arbeitskräfte und
MehrOperations Research. Ganzzahlige lineare Programme. ganzzahlige lineare Programme. Ganzzahlige lineare Programme. Rainer Schrader. 25.
Operations Research Rainer Schrader Ganzzahlige lineare Programme Zentrum für Angewandte Informatik Köln 25. Juni 2007 1 / 49 2 / 49 Ganzzahlige lineare Programme Gliederung ganzzahlige lineare Programme
MehrDas Lagrange-duale Problem
Das Lagrange-duale Problem Tobias Kulke 29. April 2010 1 Einführung Für jedes Paar (λ, ν) mit λ 0 liefert die Langrange-duale Funktion ( ) p g(λ, ν) = inf L(x, λ, ν) = inf f 0 (x) + λ i f i (x) + ν i h
Mehr6. Softwarewerkzeuge für die Lineare Programmierung
6. Softwarewerkzeuge für die Lineare Programmierung Inhalt 6. Softwarewerkzeuge für die Lineare Programmierung GNU Linear Programming Kit Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS 2013 314 GNU
MehrLeibniz Universität Hannover Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät Institut für Produktionswirtschaft Prof. Dr. Stefan Helber
Leibniz Universität Hannover Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät Institut für Produktionswirtschaft Prof. Dr. Stefan Helber Sitzplatznr.: Wiederholungsklausur zur Vorlesung Operations Research im Wintersemester
MehrApproximationsalgorithmen
Approximationsalgorithmen 1. Vorlesung Joachim Spoerhase Alexander Wolff Lehrstuhl für Informatik I Wintersemester 2017/18 Bücher zur Vorlesung Vijay V. Vazirani Approximation Algorithms Springer-Verlag
MehrMaximiere Gesamtgewinn aus verschiedenen Produkten unter Restriktionen an Produktmenge (Lagermenge, Transportmenge)
Beispiel: Produktionsplanung Maximiere Gesamtgewinn aus verschiedenen Produkten unter Restriktionen an Produktmenge (Lagermenge, Transportmenge) Produktionskapazität Ressourcenmenge bei als fest angenommenem
MehrGraphentheorie. Kürzeste Wege. Kürzeste Wege. Kürzeste Wege. Rainer Schrader. 25. Oktober 2007
Graphentheorie Rainer Schrader Zentrum für Angewandte Informatik Köln 25. Oktober 2007 1 / 20 2 / 20 Wir werden Optimierungsprobleme vom folgenden Typ betrachten: gegeben eine Menge X und eine Funktion
MehrStandard-/kanonische Form Simplex Dualität Kompl./Sensitivität Spaltengen. Schnittebenen Welchen? Inhalt
Inhalt Lineare Optimierung Standardform und kanonische Form Der Simplex-Algorithmus Dualität Komplementarität und Sensitivitätsanalyse Spaltengenerierung Schnittebenenverfahren Welchen Simplex wann? 54:
MehrVortrag 20: Kurze Vektoren in Gittern
Seminar: Wie genau ist ungefähr Vortrag 20: Kurze Vektoren in Gittern Kerstin Bauer Sommerakademie Görlitz, 2007 Definition und Problembeschreibung Definition: Gitter Seien b 1,,b k Q n. Dann heißt die
MehrSattelpunkte und Optimalitätsbedingungen bei restringierten Optimierungsproblemen
Sattelpunkte und Optimalitätsbedingungen bei restringierten Optimierungsproblemen Sandro Grunert WS 08/09 Seminar Optimierung Technische Universität Chemnitz 1 Inhaltsverzeichnis 0 Grundlegende Situation
MehrMathematische Methoden der Algorithmik
Mathematische Methoden der Algorithmik Dozent: Prof. Dr. Sándor P. Fekete Assistent: Nils Schweer Digitalisierung: Winfried Hellmann Wintersemester 2008/2009 Inhaltsverzeichnis 2 1 Einführung Problem 1.1
MehrDiskrete Optimierung
Alexander Martin, Sven O. Krumke Diskrete Optimierung SPIN Springer s internal project number, if known 14. April 2009 Springer Berlin Heidelberg NewYork Hong Kong London Milan Paris Tokyo Wir widmen
MehrKonvexe Optimierungsprobleme
von: Veronika Kühl 1 Konvexe Optimierungsprobleme Betrachtet werden Probleme der Form (P) min x C f(x) wobei f : C R eine auf C konvexe, aber nicht notwendigerweise differenzierbare Funktion ist. Ziel
MehrGeometrische Interpretation
Geometrische Interpretation Stefanie Riedel 10. Mai 2010 1 Starke und schwache Dualität über Wertemengen Wir betrachten eine einfache geometrische Interpretation dualer Funktionen aus der Menge G: G =
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme Definition. Sei K ein Körper, a ij K für 1 i m, 1 j n und b 1,..., b m K. Dann heißt a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2......
MehrGanzzahlige lineare Programme
KAPITEL 5 Ganzzahlige lineare Programme Wir betrachten nun Optimierungsprobleme vom Typ (42) min c T x s.d. Ax = b, x 0, x ganzzahlig, wobei die Matrix A R m n und die Vektoren c R n, b R m gegeben seien.
MehrDas Linear Ordering Problem Exakte Lösungsverfahren. für NP-schwierige. VO Algorithm Engineering
Das Linear Ordering Problem Exakte Lösungsverfahren VO Algorithm Engineering für NP-schwierige Professor Dr. Petra Mutzel kombinatorische Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 Optimierungsprobleme
Mehr2. Optimierungsprobleme 6
6 2. Beispiele... 7... 8 2.3 Konvexe Mengen und Funktionen... 9 2.4 Konvexe Optimierungsprobleme... 0 2. Beispiele 7- Ein (NP-)Optimierungsproblem P 0 ist wie folgt definiert Jede Instanz I P 0 hat einen
MehrKAPITEL 3. Konvexe Funktionen
KAPITEL 3 Konvexe Funktionen Sei F R n ein Definitionsbereich und f : F R eine Funktion. Unter dem Epigraphen von f versteht man die Menge epif = {(x, z) R n+1 x F, z R, z f(x)}. Man nennt f konvex, wenn
MehrKlausur zur Vorlesung Mathematische Grundlagen für Wirtschaftswissenschaftler
Wintersemester 2007/08 27.2.2008 Dr. Sascha Kurz Klausur zur Vorlesung Mathematische Grundlagen für Wirtschaftswissenschaftler Bitte lesbar ausfüllen, Zutreffendes ankreuzen Herr Frau Name, Vorname: Anschrift:
MehrMethoden des Operations Research von W. Hauenschild
Skript zur Vorlesung Methoden des Operations Research von W. Hauenschild Wintersemester / Sommersemester L A TEX-Satz von G. Schmidt. Juli Warnung Dieses Skript ist nur die elektronische Fassung einer
Mehr3. Schnittebenenverfahren
3. Schnittebenenverfahren Themen 3. Schnittebenenverfahren Ganzzahlige lineare Programmierung Schnittebenenverfahren Konstruktion von Schnittebenen Auswahl von Schnittrestriktionen Operations Research
Mehr8. Lineare Optimierung
8. Lineare Optimierung 1 Einführung (1) Praktische Probleme sind oft Probleme mit Nebenbedingungen, z.b.: Ein Produktionsprozess hängt von Lieferterminen ab Die Menge der verstaubaren Güter ist durch die
MehrSattelpunkt-Interpretation
Sattelpunkt-Interpretation Vinzenz Lang 14. Mai 2010 Die Sattelpunkt-Interpretation befasst sich mit der Interpretation der Lagrange- Dualität. Sie wird im weiteren Verlauf des Seminars nicht noch einmal
MehrInnere-Punkt-Methoden
Innere-Punkt-Methoden Johannes Stemick 26.01.2010 Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden 26.01.2010 1 / 28 Übersicht 1 Lineare Optimierung 2 Innere-Punkt-Methoden Path-following methods Potential reduction
MehrDie duale Simplexmethode zur Lösung rein ganzzahliger linearer Programme
Kapitel 11 Die duale Simplexmethode zur Lösung rein ganzzahliger linearer Programme Wir betrachten folgendes Optimierungsproblem z = c T x min! Ax = b (11.1) (11.2) x j ganz für j = 1,..., n 1 n, (11.3)
Mehr3. Grundlagen der Linearen Programmierung
3. Grundlagen der linearen Programmierung Inhalt 3. Grundlagen der Linearen Programmierung Lineares Programm Grafische Lösung linearer Programme Normalform Geometrie linearer Programme Basislösungen Operations
MehrOperations Research. Konvexe Funktionen. konvexe Funktionen. konvexe Funktionen. Rainer Schrader. 4. Juni Gliederung
Operations Research Rainer Schrader Konvexe Funktionen Zentrum für Angewandte Informatik Köln 4. Juni 2007 1 / 84 2 / 84 wir haben uns bereits mit linearen Optimierungsproblemen beschäftigt wir werden
MehrProbeklausur Optimierung
Universität Hamburg Fakultät für Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften Dr. Nico Düvelmeyer Hamburg, 4. Juli 2011 Probeklausur Optimierung Bitte selber ausfüllen: Name: (darf anonymisiert werden)
MehrLineare Programmierung. Beispiel: Wahlkampf. Beispiel: Wahlkampf. Mathematische Schreibweise. Lineares Programm. Datenstrukturen & Algorithmen
Datenstrukturen & Algorithmen Einführung Standard- und Schlupfformen Simplex Algorithmus Matthias Zwicker Universität Bern Frühling 2009 2 Beispiel: Wahlkampf Ziel: mit möglichst wenig Werbung eine gewisse
MehrDie lineare Programmierung. Die Standardform 1 / 56
Die lineare Programmierung Die Standardform 1 / 56 Die Standardform der linearen Programmierung - Für n reellwertige, nichtnegative Variablen x 1 0,..., x n 0 erfülle die m linearen Gleichungen n a ij
MehrCARL HANSER VERLAG. Peter Stingl. Operations Research Linearoptimierung
ARL HANSER VERLAG Peter Stingl Operations Research Linearoptimierung -446-228-6 wwwhanserde 2 Lineare Optimierungsprobleme x 2 6 P P sentartete Ecke ( 4) x +x 2 5 PPPPPPPPPPPPPPP X x + x 2 7 2x +x 2 8
MehrMaximale s t-flüsse in Planaren Graphen
Maximale s t-flüsse in Planaren Graphen Vorlesung Algorithmen für planare Graphen 6. Juni 2017 Guido Brückner INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg
MehrOptimale Steuerung 1 Prozessoptimierung 1
Optimale Steuerung 1 Prozessoptimierung 1 Kapitel 2: Lineare Optimierung Prof. Dr.-Ing. Pu Li Fachgebiet Simulation und Optimale Prozesse (SOP) Lineare Algebra (Mathematische Grundlagen) 2 Beispiel: Produktionsplanung
MehrAufgaben zu Kapitel 23
Aufgaben zu Kapitel 23 Aufgaben zu Kapitel 23 Verständnisfragen Aufgabe 23 Bestimmen Sie grafisch die optimale Lösung x der Zielfunktion z = c T x unter den Nebenbedingungen mit dem Zielfunktionsvektor
Mehr4. ggt und kgv. Chr.Nelius: Zahlentheorie (SS 2007) 9
Chr.Nelius: Zahlentheorie (SS 2007) 9 4. ggt und kgv (4.1) DEF: Eine ganze Zahl g heißt größter gemeinsamer Teiler (ggt) zweier ganzer Zahlen a und b, wenn gilt: GGT 0 ) g 0 GGT 1 ) g a und g b GGT 2 )
MehrLineare Optimierung und Differenzialgleichungen
Lineare Optimierung und Differenzialgleichungen Delio Mugnolo (delio.mugnolo@uni-ulm.de) Ulm, 29. Juli 2011. Lineare Optimierung und Differenzialgleichungen Published by Delio Mugnolo under Creative Commons
Mehr