Integralrechnung als Verallgemeinerung der Summenbildung

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1 Integlechnung ls Vellgemeineung de Summenildung Die Beechnung des estimmten Integls eine Funktion uf einem Intevll lässt sich ls eine "unendlich feine" Addition uffssen (A. 5). Aildung 5 Aus de Fläche F n x i i (ei gleiche Bsislänge x de Rechtecke und ei positiven Funktionsweten) wid ei Üegng zu imme kleineen Bsislängen im Genzfll ds Integl F f ( x) dx. De fomle Ausduck "dx" hinte dem Integlzeichen knn hie ls "unendlich kleine" Bsislänge de Rechtecke ufgefsst weden. Diese Intepettion des Integls ls Genzfll eine Summe mit unendlich vielen, unendlich kleinen Summnden gilt nicht nu fü die Flächeneechnung. Es git uch nicht-geometische Anwendungen, z.b. in de Whscheinlichkeitsechnung. Bei einem Zufllsexpeiment mit endlich vielen möglichen Ausgängen x ist de Mittelwet definiet ls x x eltive Häufigkeit( x) lle Egenisse x (mn denke etw n ds Beispiel "Notenduchschnitt ei eine Klusu", wo x die Noten von is 6 duchläuft). In Vellgemeineung hievon definiet mn den Ewtungswet eine Zufllsgöße, die unendlich viele Wete zwischen und + nnehmen knn, ls ds Integl + E x f ( x) dx Hiein ist f(x) eine Funktion, die die Zufllsgöße chkteisiet, die sogennnte Whscheinlichkeitsdichtefunktion. Zufllsgößen und ihe Ewtungswete weden in de Biometie usfühlich ehndelt.

2 Zusmmenfssung: Integtion von Funktionen mehee Vilen De Funktionsgph eine Funktion von zwei Vilen ist eine Fläche im deidimensionlen Rum. Ds Volumen, ds zwischen diese Fläche und einem echteckigen Ausschnitt B de xy-eene liegt, können wi duch Säulen imme kleinee Bsisfläche x y usschöpfen, is wi im Genzfll "unendlich viele, unendlich dünne" Säulen mit eine infinitesiml kleinen Bsisfläche dx dy ehlten (A. 6) nlog zum Üegng von de Summe zum Integl im Fll eine einzigen Vilen x. Aildung 6 B V f ( x, y) dxdy Wi können somit ds estimmte Integl eine Funktion f(x) üe einem Intevll [, ] vellgemeinen uf eellwetige Funktionen f(x, y) mit zwei Vilen, woei de Integtionseeich B (welche ds Intevll uf zwei Dimensionen vellgemeinet) zunächst ein Rechteck ist. (Allgemeine knn mn uch nhezu elieige Teilmengen de xy-eene ls Integtionseeich vewenden.) Mn spicht von einem Geietsintegl üe dem Geiet B. Aildung 7 stellt die eiden Fälle (Integl eine Funktion mit eine und mit zwei Vilen) neeneinnde.

3 Aildung 7 Wie lässt sich nun so ein Geietsintegl konket eechnen? Glücklicheweise uchen wi keine gnz neuen Rechenegeln fü diesen Typ von Integl einzufühen, sonden es ist eine Rückfühung uf eine zweimlige "einfche" Integtion möglich. Aildung 8 vedeutlicht dies: Fü ein festes x können wi die Schnittfläche S(x) des zu estimmenden Volumens mit de duch den festen x-wet definieten Eene usechnen ls ein einfches Integl. Bei diese Integtion viiet nu noch y ls Integtionsvile. Aildung 8 Schnittfläche d S ( x) f ( x, y) dy (x fest). c Ds Volumen V ekommen wi nun, indem wi die Schnittflächen fü lle veschiedenen x ufintegieen: V S( x) dx. Eine ndee Möglichkeit esteht din, zuest die Schnitte fü festes y zu estimmen und dnn üe y zu integieen. Zusmmenfssend ehlten wi fü die Beechnung von Geietsinteglen üe echteckigen Geieten B den Stz von Fuini: Es sei B ds Rechteck [, ] [c, d] in de xy-koodinteneene, dieses ist lso egenzt duch die Bedingungen x und c y d. Die Funktion f(x, y) sei uf B definiet und stetig. Dnn gilt: d d f x y dxdy f x y dy dx f x y dx (, ) (, ) (, ) dy. B c c Ds Geietsintegl wid so lso uf einfche Integle zuückgefüht, woei die Integtionseihenfolge vetuscht weden df. 4

4 Beispiel: f(x, y) x+y, [, ] [; ], [c, d] [; 4]: y 4 f ( x, y) dxdy ( x + y) dy dx [ xy + y ] y dx B 4 ( x + 6) dx [ x + 6x] Zusmmenfssung: (4x + 8 x ) dx Die Sustitutionsmethode ei Geietsinteglen Wenn wi eine Neusklieung de Koodintenchse duchfühen (ws eine Sustitution etw von g(u) fü x entspicht; A. 9 Beispiel: logithmische Sklieung, x ln u), so wid eim Integieen von Funktionen f(x), wie wi fühe schon gesehen hen, ein Koektufkto efodelich: Aildung 9 f x) dx f ( g( u)) g ( u) ( du (Sustitutionsegel fü einfche Integle). 5

5 Eine nloge Sitution hen wi ei Geietsinteglen. Alledings etifft hie eine Neusklieung ode Koodintentnsfomtion im Allgemeinen eide Koodintenchsen; die Tnsfomtion wid eschieen duch zwei Funktionen g und h gemäß x g(u, v) und y h(u, v). Dei ist (u, v) ds Ausgngssystem und (x, y) ds tnsfomiete Koodintensystem (Beispiel: Üegng von Polkoodinten zu ktesischen Koodinten; A. ). Aildung Die Neusklieung (Koodintentnsfomtion) efodet fü ds Integl uch hie einen Koektufkto, wenn mn zu den neuen Integtionsvilen üegeht. Wi nennen diesen Fkto, de sich etws kompliziete eechnet ls im eindimensionlen Fll, (u, v): f ( x, y) dxdy f ( g( u, v), h( u, v)) ( u, v) dudv De Koektufkto lässt sich eechnen ls eine Deteminnte us ptiellen Aleitungen, die sogennnte Funktionldeteminnte: gu ( u, v) g v ( u, v) ( u, v). h ( u, v) h ( u, v) u De Integtionseeich muss wie eim eindimensionlen Fll eenflls mittnsfomiet weden. Dmit gelngen wi zu Sustitutionsegel fü Geietsintegle: Es sei B eine Teilmenge de (x, y)-eene, x g(u, v), y h(u, v) mit diffeenzieen Funktionen g und h (Koodintentnsfomtion). B' sei ds Uild von B in de (u, v)-eene unte g und h: v Dnn gilt (unte geeigneten Voussetzungen fü die Funktionen f, g und h): B f ( x, y) dxdy f ( g( u, v), h( u, v)) ( u, v) du dv. B Din ist (u, v) die Funktionldeteminnte de Sustitution (g, h) (siehe oen). 6

6 Zusmmenfssung: Beispiel: Tnsfomtion uf Polkoodinten (, ). Es sei B die Keisscheie mit Rdius ; f ( x, y) x y escheit eine Hlkugelschle üe B. Gefgt ist nch dem dunte efindlichen Volumen (untee Begenzung: xy- Eene; A. ). Aildung Polkoodinten: x g(, ) cos, y h(, ) sin. Fü die Funktionldeteminnte enötigen wi die ptiellen Aleitungen von g und h: g (, ) cos, g (, ) sin, h (, ) sin, h (, ) cos. Dus ehlten wi: (, ) cos² + sin². 7

7 8 Ein Keis ht in Polkoodinten eine esondes einfche Dstellung: De Keis B ist dduch chkteisiet, dss von is, und von is 6, zw. (in Bogenmß) von is läuft. Somit ist B' [; ] [; ]. Ds heißt, wi hen us dem Keis ein Rechteck gemcht! Somit gilt: B B d d f dxdy y x f V ' ), ( ) sin, cos ( ), ( sin cos d d d d (wegen cos² + sin² ); ds innee Integl lösen wi duch die Sustitution t ² ( d dt, somit dt d); wi fühen den Fkto ( /)( ) ein, de den Wet nicht ändet: ) ( ) ( d dt t d dt t d d V t t ] [ ) ( d d d d t. (Ein Vegleich mit de Fomelsmmlung zeigt, dss wi ichtig geechnet hen: Ds Volumen de Vollkugel mit Rdius R ist 4 R ; in unseem Fll ist R.) Zusmmenfssung

8 Meh üe Volumeneechnung Sind die Queschnittsflächen S(x) eines Köpes pllel zu yz-eene eknnt, so veeinfcht sich die Volumeneechnung. Mn ucht dnn kein doppeltes Integl zu ilden, sonden knn diekt die Queschnittsflächen ufintegieen (A. ): Aildung V S( x) dx Diese Fomel gilt insesondee ei Rottionsköpen. Bei einem Köpe, de duch Rottion eine Kuve um die x-achse entsteht, sind lle Queschnitte pllel zu yz-eene keisfömig mit einem von x hängigen Rdius ; ds heißt: S(x) ist dnn die Keisfläche ( (x) ). Mn ehält lso fü ds Volumen eines Rottionsköpes, de duch Dehung eine stetigen Kuve (x) um die x-achse ezeugt wid und sich uf de x-achse von nch esteckt: V ( x) dx. Anlog sind ntülich die Fälle zu ehndeln, dss eine Kuve um die y- ode um die z-achse otiet: Es sind einfch die Integtionsvilen entspechend uszutuschen. Beispiel: Mn estimme ds Volumen des Rottionsköpes, de duch die Rottion de Kuve y sin x um die x-achse im Intevll [; /] ezeugt wid (A. ). Aildung 9

9 Lösung: Bei de Beechnung des Integls vewenden wi die Fomel cos α sin²α, die wi nch sin²α uflösen. cos x sin sin x V x dx dx x. 4 Volumen eines Bumschftes De Bumschft sei duch eine Schftfomfunktion f gegeen. In de etgskundlichen Litetu sind veschiedene Funktionsnsätze (Schftfommodelle) fü f in Geuch, zum Beispiel: (x ist die Höhe in m, H die Gesmthöhe des Schftes, f(x) git den Rdius in de Höhe x n, lle weiteen Buchsten sind Pmete.) Bei de pktischen Anwendung entscheidet mn sich fü eines de Modelle und psst die Pmete so n, dss fü ein empiisch gewonnenes Kollektiv ele Schftfomkuven eine möglichst gute Üeeinstimmung zwischen Modell und elen Kuven esteht. Fü die Beechnung des Volumens muss mn sich eenflls uf eine de Modellkuven fü f festlegen. x Ein Punkt uf de Schftoefläche sei zum Zeitpunkt t duch den Vekto gegeen. y Ülicheweise etchtet mn einen Schnitt duch den liegenden Bumstmm, d.h. uf de x- Achse ist die Höhe h und uf de y- Achse de Rdius des Bumes getgen. Ds Volumen des Bumstmmes knn mn mit Hilfe des Rottionsköpes estimmen, de entsteht, wenn mn die Schftfomfunktion um die x-achse otieen lässt. Dei nimmt mn stillschweigend n, dss de Bum in lle Himmelsichtungen gleichmäßig gewchsen ist und seine Stmmscheien somit keisfömig sind. Ds estimmte Integl üe diesen Rottionsköpe git dnn ds Volumen des Schftes ode, je nch Whl de Genzen, eines Stmmschnittes n. Anschulich knn mn sich ds Rottionsintegl ls Summe lute zylindefömige Stmmscheien de Beite x vostellen. Ds Volumen eines Zylindes eechnet sich llgemein us de Gundfläche (Keis: ) multipliziet mit de Höhe. Die Gundfläche de Stmmschei-

10 en wid duch den Rdius in de jeweiligen Höhe x i estimmt, de wiedeum n jede Stelle duch den Funktionswet de Schftfomfunktion zum Zeitpunkt t: f t (x i ) gegeen ist. Lässt mn nun die Beite de Stmmscheien gednklich unendlich klein weden: x dx, so konvegiet die Summe gegen ds Integl und die Volumennge wid exkt. Bei Kenntnis de Bumschftfunktion zum Zeitpunkt t lässt sich lso ds Volumen des Bumes duch estimmen. Geht mn nun von zentoffinem Wchstum, lso einem Steckfkto λ in x-richtung fü ds Höhenwchstum und einem Steckfkto λ in y-richtung fü ds Dickenwchstum us, so wid de Üegng vom Zeitpunkt t zum zukünftigen Zeitpunkt t+τ duch die linee Aildung: eschieen. Diese Aildung ist uf jeden Punkt de Schftoefläche nzuwenden. Aus de Schftfomfunktion f t zum Zeitpunkt t egit sich dus eine neue Schftfomkuve f t+τ zum Zeitpunkt t+τ. Aildung 4 Wäe f t+τ eknnt, ließe sich ds Volumen des weitegewchsenen Bumes wie oen estimmen:

11 Wie eeits in Beispiel 6. (S. ) soll uch hie V t+τ in ein Integl üe die Funktion f t üefüht und mit Hilfe eine Sustitution estimmt weden. Es gilt: Zu estimmen ist lso: Sustitution: Sustitution de oeen Genze: Dmit egit sich: Mn sieht, dss sich ds Volumen des weitegewchsenen Bumes seh einfch mit Hilfe de Steckfktoen us dessen voheigem Volumen eechnen lässt: Die Steckfktoen können duch Messungen von Höhe und Duchmesse estimmt weden: Bei äquifomem Wchstum (λ λ λ) gilt: V t+τ λ V t.

12 Weitee Anwendungen de Integlechnung Längen von eenen Kuven Die Funktion f sei im Intevll [, ] diffeenzie. Fü den infinitesiml kleinen Kuvenschnitt ds (siehe A. 5) können wi die Kümmung de Kuve venchlässigen, ehlten ein gedlinig egenztes echtwinkliges Deieck und können die Länge mit dem Stz des Pythgos usechnen: Aildung 5 ds + ( dx) ( dy). Fü dy setzen wi ds Diffeentil dy f (x) dx ein, ziehen dx vo die Wuzel und ehlten so: ds + f ( x) dx. Duch die Integtion dieses Ausducks ehlten wi die Fomel fü die Beechnung de Länge de Kuve: Oeflächen von Rottionsköpen L + f ( x) dx. Gegeen sei ein Rottionsköpe mit de in [, ] diffeenzieen Kontukuve y f(x), z.b. eine Bumschftkuve. Bei de Untesuchung des Stmmflusses ode de Respition von Bäumen ist die Fge nch dem Flächeninhlt de Stmmoefläche von Bedeutung. Auch die Bestimmung von Oeflächen ist mit dem estimmten Integl möglich und wid, wie ei de Längeneechnung, duch den Üegng zu infinitesiml "schmlen" Flächenstücken hegeleitet, deen Kümmung dnn venchlässigt weden knn (A. 6). Aildung 6

13 De infinitesiml schmle Kegelstumpf zwischen x und x+dx mit den Gundflächendien f(x) und f(x+dx) ht die (in A. 6 schffiete) Mntel-Oefläche y + ( y + dy) dm ds y ds + dyds Bei den infinitesiml kleinen Gößen dy und ds knn ds Podukt dyds im Genzpozess gegenüe ds venchlässigt weden. Mit ds + f ( x) dx (siehe oen, Längeneechnung) egit sich fü dm: dm f ( x) + f ( x) dx. Somit wid de gewünschte Oeflächen-Inhlt geliefet duch ds Integl Schwepunkt eine Fläche, Guldinsche Regel A f ( x) + f ( x) dx. Gegeen ist eine eene Figu, die von eine Kuve y f(x), de x-achse und den Genzen x, x eingeschlossen wid. Wi nehmen n, dss die gesmte Figu eine homogene Mssenveteilung ufweist (z.b. us Ppie usgeschnitten ist, ds üell gleich dick ist). Denkt mn sich die Msse de Figu in ihem Schwepunkt konzentiet, so ht sie ds gleiche Dehmoment (in Bezug uf einen elieigen ndeen Punkt) wie die homogene Mssenelegung. Die Fläche knn lso z.b. duch Untestützung in ihem Schwepunkt lnciet weden. De Schwepunkt ht die folgenden Koodinten (wi vezichten hie uf die Heleitung): ( x, y ) xf ( x) dx, f ( x) dx. f ( x) dx Mn echte, dss de Zähle von y gleich (/)V ist, woei V ds Volumen des von f(x) ezeugten Rottionsköpes in den Genzen und dstellt (siehe oen). Im Nenne steht die V Fläche F unte de Kuve. Somit ist y. Dus egit sich die sogennnte F Guldinsche Regel: V y F. Din ist y de Umfng des Keises, den de Schwepunkt ei de Rottion um die x- Achse zuücklegt. Mn knn lso ds Volumen eines Rottionsköpes uch eechnen, indem mn die Fläche zwischen de Kontukuve und de Rottionschse estimmt und mit de Weglänge multipliziet, die deen Schwepunkt ei de Rottion zuücklegt. 4

14 Ds sollte mn nch dem Besuch von Volesung und Üung eheschen: Beechnung de Stmmfunktion (unestimmtes Integl) zu eine Funktion f, Integtionsegeln insesondee: ptielle Integtion; Sustitutionsmethode Heleitung des estimmten Integls ls Genzwet von Oe- und Untesummen Zusmmenhng zwischen estimmtem Integl und Fläche unte einem Funktionsgphen Beechnung estimmte Integle mittels de Stmmfunktion (Huptstz de Integlechnung) Anwendung de Sustitutionsmethode ei de Beechnung von estimmten Integlen Beechnung von Geietsinteglen von Funktionen zweie Veändeliche üe echteckigen Geieten Sustitutionsegel fü Geietsintegle, Tnsfomtion von ktesischen uf Polkoodinten Volumeneechnung von Rottionsköpen Volumenfotscheiung von Bumschäften unte de Annhme zentoffinen Wchstums. 5

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