1 = z = y + e. Nabla ist ein Vektor, der als Komponenten keine Zahlen sondern Differentiationsbefehle

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1 Anmerkung zur Notation Im folgenden werden folgende Ausdrücke äquivalent benutzt: r = x y = x 1 x 2 z x 3 1 Der Vektoroperator Definition: := e x x + e y y + e z z = x y z. Nabla ist ein Vektor, der als Komponenten keine Zahlen sondern Differentiationsbefehle hat. 1.1 Gradient Definition: grad ϕ := ϕ, mit ϕ = ϕ( r). Die Richtung des Gradienten ist die der größten Veränderung des Feldes, der Betrag des Gradienten beschreibt die Stärke der Veränderung. Beispiele: ϕ( r) = const. grad ϕ = ϕ( r) = z grad ϕ = 1 1 = r, wegen r r 3 ( ) 1 x r = x 1 x2 + y 2 + z = x ( 2 x2 ) 3 ; + y 2 + z 2 die beiden anderen Komponenten gehen analog 1 r 3 = 3 r 5 r Nun könnte man ja auch den Nabla-Operator auf ein Vektorfeld anwenden... 1

2 1.2 Divergenz Definition: div r := r. Beispiele: div a =, falls a ein konstanter Vektor ist div r = 3 x i x i=1 i }{{} = x x + y y + z z div ( B r) = x y z = = 3, unabhängig von x B y z B z y B z x B x z B x y B z x =, falls B konstant Die Divergenz gibt die Bilanz über die in einem Punkt hinein- und herauslaufende Feldlinien an. Rechenregeln: div( A + B) = div A + div B div(α A) = α div A, α ist Zahl div(ϕ A) = ϕ div A + A grad ϕ Physikalisches Beispiel: Divergenz eines Graviationspotenzials für r : div ( γm rr ) ( 1 = γm 3 r div r + r grad 1 ) ( ) 3 ( 3) = γm + r r 3 r 3 r3 r 5 = 1.3 Rotation Definition: rot A = A In Determinantendarstellung: rot A e 1 e 2 e 3 = x 1 x 2 A 1 A 2 A 3 x 3 2

3 Die Rotation ist eine vektorielle Größe. Sie gibt Auskunft über Richtung und Größ der lokalen Wirbelstärken eines Vektorfeldes. Beispiel: Wir betrachten einen Wirbel. Die Strömungsgeschwindigkeit sei gegeben durch: v( r) = ω r. Hierbei ist ω natürlich die Winkelgeschwindigkeit. Wir berechnen nun die Rotation: rot v( r) = ( ω r) = 2 ω. Der Beweis hierfür ist besonders einfach, wenn man den total antisymmetrischen Tensor benutzt und sei hier nur der Vollständgikeit wegen angegeben; er kann gerne übergangen werden: ( (ω x)) i = ɛ ijk ɛ klm ω l x m = ɛ ijk ɛ klm ω l δ jm = ɛ ijk ɛ klj ω l = ω i. x j }{{} =ɛ jki ɛ jkl =2δ il (Anm.: δ il ist das Kroneckersymbol.) Rechenregeln: rot( A + B) = rot A + rot B rot(α A) = α rot A, α ist Zahl rot(ϕ A) = ϕ rot A + (gradϕ) A Wichtige Aussagen: Gradientenfelder sind immer wirbelfrei: Wirbelfelder sind immer quellenfrei: rot(gradϕ) = div(rot A) = 2 Koordinatensysteme 2.1 Polarkoordinaten in der Ebene Normalerweise beschreiben wir Koordinaten in der Ebene mit x und y. Nun stellt sich die Frage, ob es auch andere Beschreibungsmöglichkeiten gibt. Recht logisch erscheint es, alle Punkte der Ebene durch r und ϕ zu beschreiben. Bis auf den Ursprung sind alle Punkte eindeutig beschrieben, wenn r R + und ϕ [, 2π) gelten. 3

4 Die Gleichungen zur Umrechnung lauten: x = r cos ϕ y = r sin ϕ Besonders Kreise kann man jetzt sehr einfach darstellen: Statt kann man die Punkte durch x 2 + y 2 = r 2 r = r, ϕ [, 2π) beschreiben. Falls wir nun mit Hilfe dieser Koordinaten integrieren wollten, bräuchten nun einen Flächenelement da. In kartesischen Koordinaten ist dies einfach: da = dx dy. Bei Polarkoordinaten muss man nachdenken! Es gilt da = r dr dϕ. Beispiel: Berechnung der Kreisfläche: 1. Mit kartesischen Koordinaten: A = da = 2. Mit Polarkoordinaten: A = A a da = r + r 2 y2 r 2π r 4 dx dy =... r 2 y2 r dr dϕ = πr 2.

5 2.2 Zylinderkoordinaten Möchte man nun in den R 3 wechseln, so braucht man noch eine weitere Dimension. Diese kann man durch die Variable z einführen und schon hat man Zylinderkoordinaten. Natürlich gilt: ϕ [, 2π), r R +, z R. x 1 = r cos ϕ x 2 = r sin ϕ x 3 = z Alle Punkte des R 3 (außer dem Ursprung) werden dadurch eindeutig beschrieben. Nun interessieren wir uns für ein infinitesimales Volumenelement dv statt für da. Dies ist einfach zu finden, den wir müssen da aus den Polarkoordinaten nur mit dz multiplizieren: dv = r dr dϕ dz. Direkt aus der Skizze können wir auch das infintesimale Oberflächenelement des Zylindermantels ablesen: da = r dϕ dz. 5

6 Anwendungsbeispiel: Trägheitsmoment eines homogenen Zylinders. Der Zylinder stehe auf der x-y-ebene, der Mittelpunkt der unteren Kreisfläche sei der Ursprung. Der Radius betrage r, die Höhe h. J = V r 2 dm = ρ V r 2 dv = 2.3 Kugelkoordinaten M h πrh 2 2π r r 2 r dr dϕ dz = M πr 2 h h2π 1 4 r4 = 1 2 Mr2 Die wichtigsten Koordinaten neben den kartesischen Koordinaten sind die Kugelkoordinaten, die wir nun einführen werden. Hierbei benutzt man die Variablen r, ϕ und ϑ. 6

7 Die Umrechnungsformeln lauten: x 1 = r sin ϑ cos ϕ x 2 = r sin ϑ sin ϕ x 3 = r cos ϑ Hierbei ist zu beachten, dass ϑ [, π), ϕ [, 2π) und r R + gelten. Auch hier brauchen wir natürlich das Volumenelement dv. Dieses Mal ist es aber nicht so einfach zu erkennen. Für das Volumenelement dv gilt also: dv = r 2 sin ϑ dϑ dϕ dr. Und für das Oberflächenelement da gilt: da = r 2 sin ϑ dϕ dϑ. Beispiel: Kugeloberfläche Nutzt man das Oberflächenelement da, geht die Berechnung sehr einfach: O = A da = π 2π r 2 sin ϑ dϕ dϑ = 4πr 2. 7

8 3 Aufgaben 1. Berechnen Sie den Gradienten von ϕ = x 2 y 3 cos z. xyz 2. Berechnen Sie Divergenz und Rotation von xz 2 yz. 3. Stellen Sie folgende Punkte in Polarkoordinaten dar: (1, ) (1, 1) ( 2, 2) 4. Berechnen Sie das Volumen eines Zylinders unter Benutzung von Zylinderkoordinaten. 5. Berechnen Sie die Oberfläche eines Zylinders. 6. Berechnen Sie das Volumen einer Kugel unter Benutzung von Kugelkoordinaten. 7. Zusatzaufgabe: Berechnen Sie das Trägheitsmoment einer Kugel bzgl. einer ihrer Symmetrieachse. A B Kreuzprodukt Skalarprodukt a b = a 2 b 3 a 3 b 2 a 3 b 1 a 1 b 3 a 1 b 2 a 2 b 1 a b = 3 a i b i i=1 8