Physik 1 ET, WS 2012 Aufgaben mit Lösung 1. Übung (KW 43) Schwingender Körper ) Notbremse ) Stahlkugel )

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1 1. Übun KW 43) Aufabe 1 M 1. Schwinender Körper ) Ein schwinender Körper ha die Geschwindiei v x ) = v m cosπ ). Er befinde T sich zur Zei 0 = T am Or x 4 0. Geben Sie den Or x und die Beschleuniun a x des Körpers als Funion der Zei an! Aufabe M 1.4 Nobremse ) Beim Nobremsen wird ein mi der Geschwindiei v x0 fahrender Zu auf der Srece von x 0 = 0 bis x 1 zum Sehen ebrach. a) Wie roß is die onsane Bremsbeschleuniun a x? b) Sellen Sie den Verlauf der Beweun im x)-, v x )- und a x )-Diaramm dar! x 1 = 60 m, Aufabe 3 v x0 = 90 m s 1 M 1.6 Sahluel ) Eine Sahluel sprin auf einer elasischen Plae auf und ab. Die Aufschläe haben den zeilichen Absand T. Welche Maximalhöhe z m erreich die Kuel? = 0.40 s Aufabe 4 M 1.7 Tesfahrzeue ) Zwei Tesfahrzeue beinnen leichzeii eine eradlinie Beweun mi der Anfanseschwindiei = 0 am leichen Or. Das Fahrzeu A bewe sich mi der onsanen Beschleuniun a A ) = a 0, das Fahrzeu B mi der Beschleuniun a B ) =. Beide Fahrzeue leen in der Zei 1 die Srece s 1 zurüc. a) Sizzieren Sie den Verlauf beider Beweunen im a)-, v)- und s)-diaramm! b) Berechnen Sie die Zei 1 und die Srece s 1! c) Welche Geschwindieien v A1 und v B1 haben die Fahrzeue am Ende der Srece s 1 erreich? d) Nach welcher Zei haben beide Fahrzeue die leiche Geschwindiei v erreich? Aufabe 5 M 1.9 Schienenfahrzeu ) Ein Schienenfahrzeu fähr mi onsaner Geschwindiei. Nach Abschalen des Triebwers zur Zei 0 = 0 wird das Fahrzeu im Wesenlichen durch den Lufwidersand ebrems; die Beschleuniun is Geschwindieisabhäni: a) = Kv. a) Nach welcher Zei 1 is die Geschwindiei auf v 1 abesunen? b) Welche Srece s 1 wurde in der Zei 1 zurücele? = 10 m h 1, v 1 = 60 m h 1, K = m 1 Jens Paommel <paommel@xray-lens.de> Seie 1 von 7

2 Lösun zu Aufabe 1 Zunächs führen wir als Abürzun die Kreisfrequenz ω = π /T ein: ω = π /T, T = π /ω = v x ) = v m cosω), 0 = π /ω. Die Geschwindiei is die Zeiableiun der Ors-Zei-Funion, also erhalen wir x) miels Ineraion von v x ): x) = x 0 ) + dτ v x τ) = x 0 ) + dτ v m cosωτ) 0 0 = x 0 ) + v m ω sinωτ) 1 = x 0 ) + v m 0 ω [sinω) sinω 0)] = x 0 ) + v [ m sinω) sin ω π )] ω ω = x 0 ) + v m ω [sinω) sinπ /)] = x 0 ) + v m [sinω) 1] [ ω = x 0 v ] m + v m ω ω sinω). Die Beschleuniun erib sich durch die zeiliche Ableiun der Ors-Zei-Funion: Lösun zu Aufabe a) = v x ) = d d v m cosω) = ω v m sinω). a) Für eine onsane Beschleuniun mi x0) = x 0 = 0 il x) = v x0 + 1 a x0 v x ) = v x0 + a x0 a x ) = a x0 Sei 1 die Zei, die der Zu für den esamen Bremsvoran benöi, dann il: x 1 ) = v x a x0 1 = x 1 1) v x 1 ) = v x0 + a x0 1 = 0 ) Wir lösen ) nach 1 auf und sezen das Erebnis in 1) ein: ) = 1 = v x0 a x0 1) = x 1 = v x0 v ) x0 a x0 + 1 a x0 v ) x0 a x0 x 1 = v x0 a x0 a x0 = v x0 = 90 m s 1 ) x 0 50 m = m/s = 15.6 m/s. Jens Paommel <paommel@xray-lens.de> Seie von 7

3 b) x) vx) ax) v0 a0 x1 Lösun zu Aufabe 3 Wir berachen die Beweun der Sahluel zwischen zwei Aufschläen auf der Plae. Es handel sich um eine eradlinie Beweun mi onsaner Beschleuniun vom Bera = 9.81 m/s. Wir leen das Koordinaensysem so, dass die z-achse nach oben weis und sich die Plae bei z = 0 befinde. Außerdem sezen wir die Soppuhr in Gan, sobald die Kuel von der Plae abheb, d. h. bei = 0 befinde sich die Kuel bei z = 0. Die Anfanseschwindiei nennen wir v z0, und weil die Kuel zuers nach oben flie, il v z0 > 0. Wir erhalen folende drei Gleichunen für den Or, die Geschwindiei und die Beschleuniun: z) = v z0 1 3) v z ) = v z0 4) a z ) =. Um herauszubeommen, zu welchen Zeipunen die Kuel die Plae berühr, besimmen wir die Nullsellen der Ors-Zei-Funion: z) = 0 3) = v z0 1 = 0 v z0 1 ) = 0 v z0 1 = 0 = 0 = v z0 = 0 Dass = 0 eine Lösun is, überrasch nich, schließlich haben wir dies als Anfansbedinun fesele. Ween v z0 > 0 is auch v z0 / > 0, d. h. wir haben die riviale Lösun 0 = 0 sowie 1 = v z0 / > 0. Die Dauer zwischen zwei Aufschläen berä demnach T = 1 0 = v z0 /, so dass wir für die Anfanseschwindiei v z0 = 1 T 5) Jens Paommel <paommel@xray-lens.de> Seie 3 von 7

4 erhalen. Gefra is aber nach der maximalen Fluhöhe der Kuel. Was zeichne die maximale Höhe aus? Kurz vor Erreichen der Maximalhöhe is die Geschwindiei posiiv Kuel flie nach oben) und urz nach Erreichen der Maximalhöhe is sie neaiv Kuel flie nach unen). Dazwischen d. h. im Auenblic des Erreichens der maximalen Höhe ruh die Kuel, sie ha die Geschwindiei Null. Mahemaisch bedeue diese Überleun nichs anderes, als dass die Ableiun der Kurve z) also v z ) = ż)) an der Maximalselle Null wird und dass die zweie Ableiun also a z ) = ż)) neaiv also rechserümm) is. Wir ermieln also, zu welchem Zeipun m die Geschwindiei Null wird und sezen diese Zei m in Gleichun 3) ein: v z m ) = 0 4) = v z0 m = 0 m = v z0 3) vz0 = z m ) = v z0 ) ) 1 vz0 6) z m = v z0 1 5) = z m = T ) = z m = 1 8 T = m/s 0.40 s) = 19.6 cm. Die Kuel erreich somi eine maximale Fluhöhe von circa 0 cm. Bemerun: Wenn wir Gleichun 5) in 6) einsezen, erennen wir, dass die Seizei m halb so roß wie die Periodendauer T is: m = 1 T = 1 T und somi Sei- und Fallvoran leich lane dauern. Lösun zu Aufabe 4 a) a) a0 B A v) vb1 va1 B A s1 s) B A a A ) = a 0 = v A ) = v A0 + a 0 = a 0 = s A ) = s A0 + 1a 0 = 1a 0 a B ) = = v B ) = v B0 + 1 = 1 = s B ) = s B = Jens Paommel <paommel@xray-lens.de> Seie 4 von 7

5 b) Zum Zeipun 1 befinden sich beide Züe am selben Or s 1, also fol s A 1 ) = s B 1 ) = 1 a 0 1 = = 0 1 a 0 = = 1 = 3 a 0 Den Or s 1 erhäl man durch Einsezen von 1 in die Or-Zei-Funion: s 1 = s A 1 ) = 1 a 0 3 a 0 ) = 9 a 3 0. c) Die Geschwindieien am Ende der Srece s 1 werden berechne, indem man die Zei in die Geschwindiei-Zei-Funionen einsez: v A1 = v A 1 ) = a 0 1 = 3 a 0 v B1 = v B 1 ) = 1 1 = 1 3 a 0 ) = 9 a 0. d) Wir berechnen, zu welcher Zei die beiden Züe dieselbe Geschwindiei haben: v A ) = v B ) = a 0 = 1 = 0 a 0 = = = a 0. Bemerun: Das Verhälnis der beiden Zeien 1 und berä 3 Lösun zu Aufabe 5 = a0 3 a 0 = 3. a) Wir ennen die eschwindieisabhänie Beschleuniun a) = v) = Kv ). Diese Differenialleichun besa, dass wir eine Funion v) suchen, deren erse Zeiableiun proporional zum Quadra jener Funion is. Wie bereis in Aufabe 8 der Nullen Übun ann man diese DGL miels Trennun der Variablen lösen. Dazu schreiben wir die Ableiu als Differeniale und rennen die Variablen; die Geschwindieisvariablen v und dv ommen auf die line Gleichunsseie und Jens Paommel <paommel@xray-lens.de> Seie 5 von 7

6 die Zeivariable d auf die reche Seie: v) = Kv ) dv d = Kv dv v = Kd v 1 dv v = K 1 0 [ v 1] v 1 = K [] 1 0 v1 1 v0 1 = K 1 0 ) 7) d 1 = 0 + v 1 K v 1 8) Mi den Weren 0 = 0, = 10 m h 1, v 1 = 60 m h 1 und K = m 1 fol 10 m h 1 60 m h 1 1 = m 1 10 m h 1 1 = 80 s. 10 m h b) Zunächs lösen wir Gleichun 7) nach v 1 auf, wobei 0 = 0 einesez wird: v 1 = 1 + K 1. Wir machen uns lar, dass diese Gleichun nich nur für das spezielle Werepaar 1, v 1 ) il, sondern für beliebie, v)), das heiß wir önnen schreiben: v) = 1 + K. Die zum Zeipun 1 zurücelee Srece erib sich als Ineral über die Geschwindiei: s 1 = s 1 ) = 1 0 d v) = welches wir miels Subsiuion lösen wollen: In das Ineral einesez erhalen wir s 1 = u 1 ) u0) du K u = 1 K 1 0 d 1 + K, u) = 1 + K, u) = u 1 K du d = K = d = du. K u 1 ) u0) du u = 1 K ln u 1+K 1 1 = 1 K ln 1 + K 1 ). Jens Paommel <paommel@xray-lens.de> Seie 6 von 7

7 Nun ann noch Gleichun 8) anewende werden, so dass als Erebnis s 1 = 1 ) K ln v K = 1 ) K v 1 K ln v m h 1 = v ln 1 = 1848 m m 60 m h fol. Quellen Die Aufaben sind ennommen aus: Peer Müller, Hilmar Heinemann, Heinz Krämer, Hellmu Zimmer, Übunsbuch Physi, Hanser Fachbuch, ISBN: hp:// Die Übuns- und Lösunsbläer ib es uner hp://newon.phy.u-dresden.de/~paommel/physi_1_et Die Homepae zur Vorlesun finde sich uner hp:// Jens Paommel <paommel@xray-lens.de> 7