7. Materiewellen und Energiequantisierung

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1 Materiewellen und Energiequantisierung 7.1 Energiequantisierung in Atomen Weisses Licht: kontinuierliches Spektrum, d.h. enthält alle Wellenlängen des sichtbaren Bereichs Anregung von Atomen in einem Gas mit niedrigem Druck: Emission von Licht mit bestimmten Wellenlängen E = h = h c Existenz nur bestimmter Wellenlängen bedeutet die Existenz diskreter Energien Energieerhaltung: wenn ein Atom ein Photon bei einer bestimmten Wellenlänge/Energie emittiert oder absorbiert, so muss sich seine Energie um einen bestimmten Betrag ändern Niels Bohr (1913): innere Energie eines Atoms hat nur einen Satz von gewissen erlaubten Energiewerten Franck-Hertz-Experiment (1913) Anregung von Atomen (Ne) durch Stoss mit Elektronen E = E 2 E 1 = h Zunächst elastische Stösse, bis bei der Spannung U r die Anregung von Ne möglich wird durch einen inelastischen Stoss, d.h. die gesamte Energie des Elektrons wird auf das Atom übertragen Bei der doppelten Spannung 2 U r ist die zweifache Anregung möglich 7.2 Bohrsches Modell des Wasserstoffatoms Es war bekannt, dass das Wasserstoffatom aus einem Elektron und einem Proton besteht Aus Spektroskopie- Experimenten war ausserdem bekannt, dass Licht nur bei bestimmten Frequenzen bzw. Energien absorbiert und emittiert wird: Balmer 1885: = n 2 G, wobei G ein empirischer Zahlenwert ist n N=3, 4, 5,, R H = 4 G =109' cm 1, Rydberg-Konstante n 4 RH das gesamte Spektrum des Wasserstoff-Atoms weißt mehrere solche Linien auf: 1 = R 1 H n' 1 mit n'< n 2 n 2

2 7.2 n =1: Lyman-Serie n =2: Balmer Serie n =3: Paschen Serie n =4: Brackett-Serie n =5: Pfund-Serie Experiment: Hg-Dampflampe Klassische Vorstellung: Elektron kreist um Proton, Dynamisches Gleichgewicht: Coulomb-Kraft = Zentripetal-Kraft e r = m r 2 e 2 2 0, bzw. r = 4 0 m 0 2 1/3 Gesamtenergie: E = E kin + E pot, E kin = 1 2 m 0v 2 = 1 2 m 0r 2 2 E pot : Arbeit, die gewonnen wird, wenn man das Elektron aus unendlicher Entfernung zum Abstand r bewegt. E pot = r e r' dr' = e2 < 0 -> Bindungsenergie r Gesamtenergie: E = 1 2 m r e2 4 0 r = 1 e r = 1 e 2 2 m Klassisch: der Radius r ist beliebig, d.h. die möglichen Energien E sind beliebig Ausserdem: ein Elektron bewegt sich auf einer Kreisbahn, d.h. es unterliegt permanent einer Zentripedal-Beschleunigung Beschleunigte Ladung emittiert elektromagnetische Strahlung, d.h. Energieverlust für das Elektron d.h. instabile Atome 1/3 Bohrs Postulate: 1. Es gelten die klassischen Bewegungsgleichungen, jedoch sind nur diskrete Bahnen mit Energien E n erlaubt 2. Die Elektronenbewegung erfolgt strahlungslos. Übergänge zu höheren (tieferen) Energieniveaus erfolgen durch Absorption (Emission) eines Photons mit Frequenz h = E n E n', E n = R Hhc n 2

3 Korrespondenzprinzip: Für grosse Werte von r und n gelten wieder die Gesetze der klassischen Physik Betrachte n n'=1= und n >>1 = R H c 1 n' 1 = R 2 n 2 H c 1 n ( ) 2 1 n 2 = R c 1 1 H n 2 1 n R H c 2 n = 2R Hc 3 n 3 Abstrahlung mit klassischer Umlauf-Frequenz = 2 ( ) 2 1 Gleichsetzen von klassischen Energien und denjenigen, die aus dem Korrespondenzprinzip folgen: E n = R Hhc = 1 e 2 n m 0 ( 4) 2 R 2 H c 2 n 6 d.h. R H = m 0 e4 =109' ± h 3 cm1 c d.h. die Rydbergkonstante wurde auf andere Naturkonstanten zurückgeführt. 1/3 R H hc =13.6 ev ist die Ionisierungsenergie des Wasserstoffatoms im Grundzustand Radius der n-ten (klassischen) Bahn: r n = n e 2 2 m 0 = n 2 a 0 n: Hauptquantenzahl a 0 = 0.53 Angstroem = nm: Bohr scher Radius 7.3 Elektronen und Materiewellen Elektronenstrahlen können durch elektrische und magnetische Felder abgelenkt werden d.h. sie bestehen aus geladenen Teilchen, in diesem Falle aus Elektronen Im Experiment zeigt sich, dass man Elektronenstrahlen ebenso zur Interferenz bringen kann wie Lichtstrahlen aus einem Laser d.h. es muss auch für Materiestrahlen eine Wellenlänge geben De Broglie-Hypothese: = h p Diese Gleichung gilt genauso für massive Teilchen (Elektronen) wie für masselose Teilchen (Photonen)

4 7.4 = E h bzw. h = E gilt nur für masselose Teilchen E = p2 2m gilt für Teilchen mit Masse m Bei makroskopischen Bedingungen sind die Wellenlängen so klein, dass es unter gewöhnlichen Bedingungen nicht möglich ist, Welleneigenschaften wie Interferenz oder Beugung zu beobachten Beispiel: Berechne Wellenlänge eines Staubteilchens mit Masse m =10 6 g, das sich mit einer Geschwindigkeit von v =10 6 m s 1 bewegt Lösung: = h p = h m v = J s (10 19 kg)10 6 m s 1 ( ) = m Diese Länge ist viel kleiner als jegliche Hindernisse oder Öffnungen, so dass die Interferenz dieser Wellen nicht beobachtet werden kann. Bei makroskopischen Teilchen ist die Masse und damit der Impuls noch viel grösser, d.h. die Wellenlänge noch kleiner Deswegen können die Welleneigenschaften von Tennisbällen oder Billardkugel im Experiment nicht beobachtet werden Beispiel: Tennisball mit Masse m=58 g und Geschwindigkeit 100 km/h Lösung: =4.1 x m In der mikroskopischen Welt sieht die Lage anders aus, z.b. Elektronen mit geringer Energie Impuls p -> kinetische Energie E kin = p2 2m Impuls als Funktion der Energie: p = 2mE kin Wellenlänge: = h p = h 2mE kin Interferenz und Beugung von Elektronen Betrachte einen Kristall, der mit einem Elektronenstrahl beschossen wird:

5 7.5 Auf dem Detektorschirm bilden sich konzentrische Kreise Jeder Kreis entspricht einem Beugungsmaximum (siehe Bragg-Beugung mit Röntgenstrahlen) Da Materiestrahlen eine sehr kleine Wellenlänge haben können, können sie benutzt werden, um sehr kleine Objekte abzubilden -> Elektronenmikroskop Stehende Wellen und Energiequantisierung Wenn Elektronen Welleneigenschaften haben, sollte es möglich sein stehende Elektronenwellen zu erzeugen Beispiel Geige: stehende akustische Wellen führen zu wohl definierten (quantisierten) Tönen Stehende Materiewellen: E = h Annahme: quantisierte Energieniveaus in Atomen sind auf stehende Elektronenwellen zurückzuführen Entwicklung der Wellenmechanik bzw. Quantenmechanik Elektron wird mit Hilfe einer Wellenfunktion beschrieben (x,t) Das Verhalten der Wellenfunktion wird durch die Schrödinger-Gleichung beschrieben i (x,t) = 2 2 (x,t) + V (x)(x,t) t 2m x 2 Falls das Potential V(x) bekannt ist, so kann die Wellenfunktion (x,t) berechnet werden 7.4 Interpretation der Wellenfunktion Wellen entlang einer Saite: Wellenfunktion entspricht der Saitenauslenkung in Abhängigkeit von Ort und Zeit Schallwellen: Wellenfunktion entspricht der Auslenkung eines Luftmoleküls, oder der Amplitude des Drucks Elektromagnetische Wellen: Wellenfunktion entspricht der Amplitude des elektrischen oder magnetischen Feldes Elektronenwellen? Quadrat der Wellenfunktion gibt die Wahrscheinlichkeit, ein Elektron an einem bestimmten Ort zu einer bestimmten Zeit zu finden Schrödinger-Gleichung beschreibt zunächst ein einzelnes Teilchen Quadrat der Wellenfunktion: gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte an, d.h. die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen in einem bestimmten Volumen an einem bestimmten Ort zu finden Wahrscheinlichkeit in einer Dimension, das Teilchen an der Position x im Bereich dx zu finden: 2 (x)dx Allgemein: (x,t) stehende Wellen sind unabhängig von der Zeit: (x)

6 7.6 Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen irgendwo zu finden, muss normiert sein: Um diese Normierungsbedingung erfüllen zu können, muss die Wellenfunktion im Unendlichen verschwinden, d.h. (x =±) = 0 Beispiel: Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines klassischen Teilchens + 2 (x) dx =1 klassisches punktförmiges Teilchen befinde sich zwischen zwei Wänden bei x=0 und bei x=8 cm es bewege sich mit konstanter Geschwindigkeit hin und her Wahrscheinlichkeitsdichte P(x): muss überall im Bereich 0<x<8cm gleich gross sein: P(x) = P 0 für 0 < x < 8cm 0 sonst Normierung: a P(x)dx =1= a P(x)dx 8cm 0 = P 0 ( 8cm) P 0 = 1 8cm Wahrscheinlichkeit, das Teilchen bei x=2 cm anzutreffen: da dies einem unendlich dünnen Intervall entspricht, ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen an genau einem Punkt anzutreffen, =0 Wahrscheinlichkeit, dass Teilchen zwischen x=3.0 cm und x= 3.4 cm anzutreffen: 3.4cm P(x)dx = P 0 ( 3.4cm 3cm)= 1 0.4cm = cm 3cm 7.5 Der Welle-Teilchen Dualismus Photoeffekt oder Hohlraumstrahlung: Licht muss als Teilchen beschrieben werden Interferenz am Spalt: Licht muss durch Welle beschrieben werden Alles, was Impuls und Energie trägt, zeigt sowohl Teilchen- als auch Wellen-Eigenschaften Klassische Physik: die beiden Eigenschaften sind unvereinbar miteinander

7 7.7 Klassisches Teilchen: lässt sich stets lokalisieren, kann als nicht durch eine ausgedehnte Welle beschrieben werden, das Verhalten des Teilchens wird durch Energie- und Impulserhaltung beschrieben Klassische Welle: zeigt Interferenz und Beugung, ihre Energie ist in Raum und Zeit kontinuierlich verteilt Beide Konzepte schliessen sich gegenseitig aus Experimentelle Realität: Elektronen und Photonen können sich sowohl als Teilchen wie als Wellen verhalten Alle Objekte bewegen sich wie Wellen und tauschen Energie aus wie Teilchen Doppelspaltexperiment mit Elektronen: Für ebene Wellen, die auf einen Doppelspalt einfallen, entsteht auf dem dahinter liegenden Schirm eine charakteristische Intensitätsverteilung, die die Interferenzbedingung widerspiegelt. Teilchenbild: Jedes Teilchen hat eine gewisse Wahrscheinlichkeit, irgendwo auf dem Schirm zu landen Die Wahrscheinlichkeitsdichte wird durch 2 (x) beschrieben Wahrscheinlichkeit dort auf dem Schirm aufzutreffen, wo die Interferenzbedingung ein Maximum vorhersagt, ist besonders hoch Dort, wo der Gangunterschied zwischen den beiden Strahlen ist, d.h. destruktive Interferenz, wird die Wahrscheinlichkeit für ein Teilchen, den Schirm zu treffen, nahe bei Null liegen Detektor sieht jeweils ein Teilchen, Gesamtverteilung vieler Ereignisse spiegelt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Welle wider Die Heisenberg sche Unschärferelation Es ist prinzipiell unmöglich, sowohl den Impuls als auch die Position eines Teilchens beliebig genau zu messen. Beispielsweise messe man die Position eines Teilchen mit Licht der Wellenlänge Licht wird am Objekt gestreut, d.h. die Messgenauigkeit für den Ort des Teilchens ist von der Grössenordnung der Wellenlänge x

8 7.8 Um die Genauigkeit der Ortsmessung zu verbessern, kann man Licht mit kürzerer Wellenlänge benutzten, z.b. Röntgenstrahlung Bestimme den Impuls des Teilchens p x durch seine Masse und seine Geschwindigkeit Impuls: messe die Position des Teilchens zu zwei eng benachbarten Zeitpunkten Impuls der Photonen, die zur Messung benutzt werden: p = h Werden diese Photonen am Teilchen gestreut, so ändert sich ihr Impuls auf unkontrollierbare Weise, d.h. die Unschärfe für die Impuls-Messung ist p x h Bei kleiner Wellenlänge (präzise Ortsmessung) ist die Impulsmessung mit einer grossen Unschärfe behaftet Die Herabsetzung der Intensität des Lichts bringt nichts, da damit nur die Zahl der Photonen heruntergesetzt wird, nicht aber der Impulsübertrag zwischen Photonen und Teilchen. Damit das Teilchen zu sehen ist, muss mindestens ein Photon gestreut werden. Produkt von Orts- und Impulsunschärfe: xp x h = h Eine präzisere Formulierung liefert: xp x 1 h mit = 2 2 Diese prinzipielle Untergrenze für die Messgenauigkeit beruht direkt auf dem Welle- Teilchen-Dualismus 7.6 Ein Teilchen im Kasten Zunächst einige quantenmechanische Lösungen ohne direkten Beizug der Schrödingergleichung Betrachte ein Teilchen in einem ein-dimensionalen Kasten der Länge d, d.h. die Wahrscheinlichkeit das Teilchen ausserhalb des Kastens zu finden, ist Null. (x) = 0 für x 0 und für x d Ausserdem sei die Wellenfunktion überall stetig, d.h. (x = 0) = 0 =(x = d) Beispiel: Elektronen befinde sich in der Nähe des Atomkerns und nicht weit davon entfernt Physikalisch sind die Randbedingungen identisch mit denjenigen einer eingespannten Saite, d.h. wir kennen die Lösungen d = n 2, n =1,2,3,... Gesamtenergie des Teilchens ist seine Bewegungsenergie: E = 1 2 mv2 = p2 2m

9 7.9 Mit de Broglie Beziehung: p n = h n ( ) 2 Folgt E n = p 2 n 2m = h / n 2m = h 2 2 2m n Bedingung für stehende Welle: n = 2d n Quantisierte Energiewerte: E n = n 2 h 2 8md 2 = n 2 E 1 Wobei E 1 = h 2 die Grundzustandsenergie ist., d.h. die niedrigste Energie, die ein 2 8md Teilchen in einem ein-dimensionalen Kasten einnehmen kann. Allgemein: Randbedingungen wie (x = 0) = 0 =(x = d) führen in der Quantenmechanik zur Quantisierung der Energie Die niedrigste Energie ist immer von Null verschieden. Dies ist die sogenannte Nullpunktsenergie. Sie ist umso höher, je kleiner der Bereich ist, auf den das Teilchen eingesperrt wird. Atom: Elektron ist in einem gebundenen Zustand Absorption eines Photons -> das Elektron kann in einen höheren Energiezustand übergehen Energie des Photons: h = E n E n' Wellenfunktionen stehender Wellen

10 7.10 Betrachte Amplitude einer schwingenden Saite, die bei x=0 und bei x=d fixiert ist: y n = A n sink n x A n : Konstante k n = 2 : Wellenzahl Wellenfunktionen für Lösungen des Kastenpotentials: n (x) = A n sink n x Mit n = 2d n folgt k n = 2 n = 2 2d n = n d n (x) = A n sin n x d, bzw. für die Wellenfunktionen Normierungsbedingung liefert die Konstante A n : 2 n (x)dx = A 2 n sin(n x d )dx =1 -> d 0 A n = 2, d.h. unabhängig von n! d Normierte Wellenfunktion für Teilchen im Kasten: n (x) = 2 d sin n x d n: Quantenzahl charakterisiert die Wellenfunktion für einen bestimmten Zustand und damit dessen Energie eine Dimension: eine Quantenzahl drei Dimensionen -> Randbedingungen in drei Richtungen -> drei Quantenzahlen Grundzustand: Teilchen befindet sich mit hoher Wahrscheinlichkeit in der Mitte des Kastens 1.angeregter Zustand: Teilchen befindet sich mit hoher Wahrscheinlichkeit links und rechts der Mitte des Kastens, die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen genau in der Mitte des Kastens anzutreffen, ist Null

11 7.11 Korrespondenzprinzip: im Limes sehr grosser Quantenzahlen müssen die klassische und die quantenmechanische Berechnung das gleiche Resultat ergeben Sehr hohe Quantenzahlen entsprechen sehr hohen Energien, die relative Differenz der Energien wird jedoch immer kleiner, so dass die Quantisierung der Energie eine immer geringere Rolle spielt. Elektron als klassisches Teilchen: Vorstellung: es fliegt im Kasten hin und her Aber in der Quantenmechanik: Wellenfunktionen charakterisieren stationäre, d.h. zeitunabhängige Zustände Vorstellung: Elektron als Ladungswolke, dessen Ausdehnung und Dichtheitsgrad durch die Wahrscheinlichkeitsverteilung dargestellt wird Grundzustand: Ladungsdichte ist in der Mitte des Kastens hoch 7.7 Erwartungswerte Klassische Mechanik: Position eines Teilchens als Funktion der Zeit Quantenmechanik: man kann nur die Wahrscheinlichkeit angeben, mit der ein bestimmter Wert der Position x gemessen wird Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Kastenlänge

12 7.12 Mittelwert von x heisst Erwartungswert: x Erwartungswert=Mittelwert, der bei der Positionsmessung an sehr vielen Teilchen mit der gleichen Wellenfunktion (x) zu erwarten ist 2 (x) gibt die Wahrscheinlichkeit an Definition des Erwartungswerts für die Orstmessung: x = Erwartungswert für eine beliebige Funktion: f (x) = x 2 (x) dx f (x) 2 (x) dx Berechnung von Aufenthaltswahrscheinlichkeiten und Erwartungswerten Betrachte Teilchen im Kasten der Länge d: n (x) = 2 d sin n x d Berechne Wahrscheinlichkeit des Teilchens im Grundzustand (n=1) in einem Intervall der Länge x = 0.01d zentriert um die Position x = 1 2 d (x = d 2 ) = 2 d d sin 2 d = 2 d sin = 2 2 d Aufenthaltswahrscheinlichkeit: 2 (x = d 2 ) = 2 d Wahrscheinlichkeit: P 2 (x = d 2 ) x = d = 0.02 d

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