Abschlussprüfung an Fachoberschulen / Zusatzprüfung zum Erwerb der Fachhochschulreife in beruflichen Bildungsgängen im Schuljahr 2007/2008

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1 Abschlussprüung n Fchoberschulen / Zustzprüung zum Erwerb der Fchhochschulreie in berulichen Bildungsgängen im Schuljhr 007/008 Hupttermin: Nch- bzw Wiederholtermin: Schulrten: Fch: Prüungsduer: Fchoberschule Fchrichtungen: Gestltung, Sozilwesen, Wirtscht und Verwltung Fchschule Fchbereich Wirtscht Beruschschule ür Wirtscht Doppelquliizierung Mthemtik (nichttechnisch) 0 Minuten --- Hilsmittel: ein Telwerk bzw eine Formelsmmlung (ohne zusätzliche Eintrgungen, ohne usührliche Musterbeispiele, kein Wissensspeicher mit Beispiellösungen), ein Tschenrechner (ohne CAS, ohne Hndbuch) Augbenschwerpunkte: BE: Plichtteil: Augbe Elementrmthemtik 0 Augbe Gnzrtionle Funktionen 0 Augbe Vektorrechnung 0 Augbe Whrscheinlichkeitsrechnung 0 Whlteil: Augbe Funktionenschren 0 Augbe 6 Abschnittsweise deinierte Funktionen 0 Augbe 7 Extremwertugbe 0 Bemerkungen: Alle Plichtugben sind vollständig zu lösen Aus dem Whlteil sind zwei der drei Augben zu berbeiten Dbei muss durch den Prüling u dem Deckbltt eindeutig gekennzeichnet werden, welche der Whlugben nicht bewertet werden soll Bei der Augbe zur Whrscheinlichkeitsrechnung sind die Zwischenwerte soweit möglich genu nzugeben Endergebnisse können u vier Dezimlstellen oder entsprechend dem Schverhlt gerundet werden Bei llen nderen Augben können Endergebnisse u zwei Dezimlstellen genu gerundet werden, Zwischenergebnisse nicht

2 Plichtugbe Elementrmthemtik BE Stellen Sie die olgende Summe ls Binom dr,6x,x y + 0,8y Geben Sie lle R n, die die olgende Gleichung erüllen + = Nennen Sie den Deinitionsbereich ür den Term T = x Eine Firm meldet olgenden Umstz: Jhr Umstz in,8 Mio, Mio,7 Mio Geben Sie die jährliche Umstzsteigerung in Prozent n Für die Zusmmensetzung von chemischen Lösungen gilt die olgende Mischungsgleichung: ω m + ωm = ωe ( m + m ) Formen Sie die Gleichung nch m um 6 Ein Bürongestellter erwirbt Briemrken ür Postkrten und Stndrdbriee Dbei kut er vierml so viele -Cent-Briemrken wie -Cent-Briemrken Er bezhlt insgesmt 9,9 Ermitteln Sie unter Angbe eines geeigneten Lösungsnstzes, wie viele Briemrken er von jeder Sorte erwirbt 0 FOS 008 Nch- bzw Wiederholtermin

3 Plichtugbe Gnzrtionle Funktionen BE 0 Gegeben ist die reelle Funktion mit der Gleichung (x) = x + x x x und D = R 6 8 Der Grph der Funktion im krtesischen Koordintensystem heißt G Treen Sie eine Aussge zum Symmetrieverhlten des Grphen der Funktion und begründen Sie diese Bestimmen Sie rechnerisch die Wendestellen der Funktion und schließen Sie mit Hile der zweiten Ableitung u ds Krümmungsverhlten des Grphen G Ermitteln Sie die Gleichung der Normlen n im Schnittpunkt des Grphen G mit der Ordintenchse 0 FOS 008 Nch- bzw Wiederholtermin

4 Plichtugbe Vektorrechnung BE 0 Gegeben sind die Punkte A( ; ; ), ( ; 0; ) B und C( ; c ; ) y Die Gerde k verläut durch die Punkte A und B Geben Sie eine Gleichung der Gerden g n Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinte c y des Punktes C so, dss die Länge des Vektors AC genu 7 LE beträgt Ermitteln Sie rechnerisch den Winkel zwischen den Vektoren und b mit = 0A und b = 0B Gegeben sind die Gerden g und h durch ihre Gleichungen g: h: 0, x = + λ und 8 x = 7 + µ mit λ; µ R Untersuchen Sie rechnerisch die Lgebeziehung der Gerden g und h Ermitteln Sie gegebenenlls deren Schnittpunkt S 0 FOS 008 Nch- bzw Wiederholtermin

5 Plichtugbe Whrscheinlichkeitsrechnung BE 0 In Auswertung der schritlichen Mthemtikprüung hben zwei Schüler die Möglichkeit mit einer mündlichen Ergänzungsprüung ihre Note zu verbessern Für diese Prüung wurden ün Augben us dem Bereich Anlysis (A), drei Augben zum Them Vektorrechnung (V) und zwei Augben zur Whrscheinlichkeitsrechnung (W) erstellt Die beiden Prülinge ziehen ncheinnder eine Augbe, wobei die vom ersten Prüling gezogene Augbe nicht wieder zurückgelegt wird Erstellen Sie zum vorgegebenen Schverhlt ein Bumdigrmm und geben Sie die entsprechenden Whrscheinlichkeiten n Betrchtet werden nun olgende Ereignisse: E : E : Der zweite Prüling zieht eine Anlysisugbe Beide Prülinge ziehen eine Augbe us dem gleichen Bereich Geben Sie die Ereignisse E und E in uzählender Mengenschreibweise n und berechnen Sie deren Whrscheinlichkeiten Jetzt wird ngenommen, dss jede gezogene Augbe wieder zurückgelegt wird Berechnen Sie, wie viele Schüler mindestens geprüt werden müssten, dmit die Whrscheinlichkeit, mit der wenigstens eine Augbe us der Vektorrechnung gezogen wird, größer ls 90 % ist 0 FOS 008 Nch- bzw Wiederholtermin

6 6 Whlugbe Funktionenschren BE 0 Gegeben ist die reelle Funktionenschr durch die Gleichung (x) = x + x x mit D = R und R * Die Grphen der Funktionenschr heißen G Ermitteln Sie die Wendestellen der Funktionen in Abhängigkeit von und schließen Sie u ds Krümmungsverhlten der Grphen ür R * + Berechnen Sie den Prmeter ür den Fll, dss der Punkt 8 W ; Wendepunkt eines Grphen G ist und ermitteln Sie 7 den Anstieg der zugehörigen Wendetngente Ermitteln Sie in Abhängigkeit von, die Gleichung einer Gerden g, die mit dem Anstieg m = den in ngegebenen Wendepunkt schneidet Geben Sie den Steigungswinkel α der Gerden g n Bestimmen Sie rechnerisch die Gleichung einer Gerden h, die prllel zur Gerden g verläut und den Grphen G ür = n der Stelle x = schneidet Die Grphen der Funktionen und h mit h(x) = x begrenzen zwei Flächenstücke A und A vollständig Bestimmen Sie den Flächeninhlt der Gesmtläche G 6 0 FOS 008 Nch- bzw Wiederholtermin

7 7 Whlugbe 6 Abschnittsweise deinierte Funktionen BE 60 Gegeben sind die bschnittsweise deinierten Funktionen, b durch die Gleichung x x + x + ür x,b (x) = mit D,b = R;,b R x + bx + 8 ür x > Die Grphen der Funktionen, b heißen G, b 6 Berechnen Sie die Prmeter und b so, dss die Funktion, b n der Stelle x = sowohl stetig ls uch dierenzierbr ist 7 60 Im Folgenden sei = und b = Die Funktion heißt und ihr Grph wird mit G bezeichnet 6 Skizzieren Sie den Grphen G der Funktion in ein geeignetes Koordintensystem 6 Bestimmen Sie die Gleichung der Tngente t n den Grphen G n der Stelle x = und skizzieren Sie deren Grph in ds unter 6 ngelegte Koordintensystem 6 Ermitteln Sie die Gleichung der Tngente t n den Grphen G n der Stelle x = 0 und zeigen Sie rechnerisch mit Hile der Anstiegswinkel, dss die Tngente t senkrecht zur Tngente t verläut 6 Der Grph G, die Koordintenchsen und die Gerde x = schließen im ersten Qudrnten eine Fläche vollständig ein Ermitteln Sie deren Flächeninhlt 0 FOS 008 Nch- bzw Wiederholtermin

8 8 Whlugbe 7 Extremwertugbe BE 70 Zur Aubewhrung von Flüssigkeiten sollen oben oene Behälter mit einem Fssungsvermögen von 800 Liter hergestellt werden Es ist geplnt, diese sowohl in Form eines Kreiszylinders ls uch in Form eines Quders zu produzieren 7 Weisen Sie nch, dss ür die Berechnung des Oberlächeninhlts A OZ der zylindrischen Form olgende Zielunktion gilt: (r) = πr +,6r A O Z 7 Berechnen Sie den Rdius r und die Höhe h mit r, h R * + so, dss die ür die Produktion des zylinderörmigen Behälters benötigte Mterilmenge so gering wie möglich ist Geben sie die kleinste Mterilmenge n 70 Für die Herstellung der quderörmigen Behälter könnten Pltten im Mß von, x Meter verwendet werden (Siehe Skizze) Abll c V Q des quder- 7 Zeigen Sie, dss die Funktion VQ (c) = c 9c + c eine Zielunktion ür die Berechnung des Volumens örmigen Behälters ist 7 Berechnen Sie ds mximle Fssungsvermögen eines us einer solchen Pltte hergestellten Behälters und treen Sie eine Aussge über dessen Verwendbrkeit unter der gegebenen Bedingung 7 Eine ür die Herstellung der quderörmigen Behälter vorgesehene Pltte ht einen Preis von 00 Berechnen Sie die Kosten ür die ttsächlich verwendete Mterilmenge und ermitteln Sie deren prozentulen Anteil m Preis der Pltte 0 FOS 008 Nch- bzw Wiederholtermin