Titel: Modellbildung Titel-Kürzel: MODL

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1 Titel: Titel-Kürzel: MODL Autoren: Jürg Wild; Koautoren: G. Lekkas, U. Gysel Version: v November 2005 Version: v Dezember 2005 keine inhaltlichen Änderungen, Winword-Umbruch und pdf-version verbessert Version: v Januar 2007 inhaltliche Verbesserungen und Übungsaufgaben mit Lösungen hinzugefügt Version: v2.3 2.September 2007 Verbesserungen von J. Wild verarbeitet Version 2.3 1

2 1. Einstieg 3 2. Die Zweck eines Modells Wege zur Modellbeschreibung 7 3. und Darstellungen für Systeme 1. Ordnung Ein RC-Netzwerk (Beispiel 1) Die Normdifferentialgleichung 1. Ordnung Ein pneumatisches System (Beispiel 3) Ein thermisches System (Beispiel 4) Gleichungen für alternative Ausgangssignale in Systemen 1. Ordnung Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung 1. Ordnung für schrittförmige Eingangssignale Lösung der Differentialgleichung für x(t) Lösung der Differentialgleichung für xa(t) Charakterisierung elementarer Übertragungsglieder Numerische Werte zu Beispielsystemen 1. Ordnung Systemdarstellungen für Systeme 2. Ordnung Das Masse-Feder-Dämpfer-Glied (Beispiel 2) Elektrische Schaltung mit zwei Kondensatoren (Beispiel 5) Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung 2. Ordnung Die Schrittantwort für Systeme 2. Ordnung Numerische Werte zu den beiden Beispielen 2. Ordnung Schlussbemerkungen Zusammenfassung 39 Aufgaben 41 Lösungen 44 Version 2.3 2

3 Lernziele Sie kennen Verfahren, um ein physikalisches System in Form eines mathematischen Modells darzustellen, insbesondere mit seiner Differentialgleichung, und können sie in einfachen Fällen anwenden. Mögliche Systemdarstellungsformen linearer Systeme sind Ihnen bekannt (Strukturen und Parameter) Ihnen ist die allgemeine Vorgehensweise zur Findung eines mathematischen Modells mit Hilfe der entsprechenden physikalischen Gesetze bekannt Voraussetzungen Sie benötigen zum Verständnis dieses Kapitels Grundkenntnisse über Signale und Systeme Grundlegende Fertigkeiten im Umgang mit Differentialgleichungen, insbesondere zur Lösung einer linearen Differentialgleichung bei gegebener Anregungsfunktion und bekannten Anfangsbedingungen Kenntnis der hauptsächlichen physikalischen Grundgesetze von einfachen mechanischen, elektrischen, pneumatischen und thermischen Systemen 1. Einstieg Kinder spielen mit einem Ball mit dem Ziel, diesen durch ein Loch in einer Wand zu werfen. Mit der Zeit merken sie, wie sie den Ball werfen müssen, damit sie die Öffnung treffen. Sie haben die geeignete Anfangsgeschwindigkeit und den passenden Abwurfwinkel durch Probieren gefunden. Dabei kennen sie weder die geltenden physikalischen Gesetze noch wissen sie etwas von möglichen Verfahren, um eine genaue Vorhersage der Flugbahn des Balls machen zu können. Wenn Naturwissenschafter und Ingenieure sich mit physikalischen Phänomenen wie dem schrägen Wurf auseinandersetzen, dann suchen sie immer nach möglichst genauen, allgemein gültigen Beschreibungen für das beobachtete Phänomen. Sie suchen ein Modell, welches das beobachtete Verhalten eines physikalischen Vorgangs möglichst exakt wiedergibt. Diesen Vorgang des Beschreibens bezeichnen wir mit dem Begriff der. In diesem Kapitel geht es um mögliche Beschreibungsarten, primär mathematische für solche Modelle und um die Lösung einfacher Fälle. Wir wollen die Art der zu lösenden Aufgaben an zwei einfachen Beispielen zeigen. Version 2.3 3

4 Beispiel 1: Ein elektrisches RC-Glied Die Eingangsspannung u e an diesem RC-Glied (Fig. 1) werde zur Zeit t = 0.5 s von 0 auf 10 V angehoben. Uns interessiert der zeitliche Verlauf des Ladestromes i R = i C und die Spannung über dem Kondensator u C = u a (Ausgangsspannung). Führt man das Experiment durch, dann ergeben sich Verläufe, wie sie in Fig. 2 gezeigt sind. Fig. 1 Schaltung mit einem RC-Glied mit R = 20 k und C = 10 μf Fig. 2 Spannungen und Strom am RC- Glied von Fig. 1, linke Klemmen: Eingangsspannung u e, rechte Klemmen: Ausgangsspannung u a, Strom i durch R und C Die wesentliche Frage hier lautet, wie man von der physikalischen Schaltung (Fig. 1) zu einem Modell kommt, das eine exakte Vorhersage der Zeitfunktionen für Strom und Spannung an diesem RC-Glied erlaubt. Beispiel 2: Masse-Feder-Dämpfer-Glied In diesem Beispiel geht es um eine Masse, die mit einer Feder an einer festen Platte aufgehängt ist (Fig. 3). (Es ist fast identisch mit der Radaufhängung eines Fahrzeugs.) Parallel zur Feder befindet sich ein Stossdämpfer (Dämpferglied). Die Masse dehnt mit ihrer Gewichtskraft die Feder aus, bis die Gleichgewichtslage erreicht ist. Eine externe Kraft F e, die z.b. von einem Linearmotor stammen könnte, bewegt die Masse um den Weg x aus ihrer Gleichgewichtslage. In unserm Beispiel nehmen wir an, die Masse werde mit der externen Kraft F e um x = 0.1 m ausgelenkt und zur Zeit t = 0 wieder losgelassen. Im ersten Moment ist die Geschwindigkeit v = 0, da sich die Masse noch nicht zu bewegen begonnen hat. Dann bewegt sie sich zurück zur Gleichgewichtslage und überschiesst vielleicht. Gesucht ist die Bewegung der Masse, also der Verlauf des Weges x(t). Version 2.3 4

5 Fig. 3 Masse-Feder-Dämpfer-Glied Auch hier stellt sich die Frage, wie man von der physikalischen Anordnung (Fig. 3) zu einem Modell gelangt, mit dem man die Auslenkung x(t) aus der Gleichgewichtslage vorhersagen kann. Die Messung an einer bestimmten Anordnung hat die Resultate von Fig. 4 ergeben. Fig. 4 Ausschwingen des Masse-Feder- Dämpfer-Glieds mit den Anfangsbe- dingungen x(0) = 10 cm und v(0) = 0 m/s Nach diesen einführenden Beispielen zur Problemstellung wollen wir in der Folge mögliche Wege zur Findung eines mathematischen Modells aufzeigen. 2. Die 2.1 Zweck eines Modells Was versteht man genau unter einem Modell? Wenn wir im Brockhaus nachschlagen, finden wir die folgende Definition: "Ein Modell ist die vereinfachende bildliche oder mathematische Darstellung von Strukturen, Funktionsweisen oder Verlaufsformen". Dies ist der traditionelle Modellierungsbegriff der Naturwissenschaften, den wir hier verwenden wollen. Die Informatik dagegen verbindet den Begriff Modellierung mit der Beschreibung von Anforderungen an ein zu entwerfendes Rechensystem. Version 2.3 5

6 Modellieren gehört zu den grundlegenden Hilfsmitteln zur Gewinnung von Einsichten in die Funktionsweise von natürlichen Phänomenen in allen Bereichen des Lebens und der Umwelt. Modelle sollen die komplexen Sachverhalte und Zusammenhänge in einem System sichtbar machen und Vorhersagen über sein Verhalten ermöglichen. Um diese Ziele erreichen zu können, muss das System vorerst analysiert und in geeigneter Weise dargestellt werden können. In einem ersten Schritt muss eine mathematische oder bildliche Beschreibung der physikalischen Zusammenhänge gefunden werden. Wir nennen diesen Schritt. Das damit gewonnene Modell dient der Weiterbehandlung des Systems in der Form von Simulationen (resp. Berechnungen). Das Modell bildet somit die Ausgangsbasis für die folgenden Systemuntersuchungen, oft unter Zuhilfenahme von Simulationsstudien. Beim System kann es sich z.b. um ein Regelungssystem handeln. Dann ist die der erste Schritt zu einer Regelungs-Realisierung. Das zu regelnde physikalische System muss möglichst gut bekannt sein, damit ein optimaler Regler entworfen werden kann. Oder ein elektronisches Bauteil wird als System mit einem Ersatzschaltbild modelliert. Je grösser der Frequenzbereich sein muss, für den das Modell seine Gültigkeit behalten soll, umso detaillierter muss das Modell sein. Von einem System, das mit einem Modell beschrieben werden soll, will man primär die physikalischen, insbesondere die dynamischen Eigenschaften kennen. In unserm Beispiel 2 des Masse-Feder-Dämpfer-Glieds heisst dies, man will den Verlauf des Ausschwingens in Funktion der Zeit kennen. Zusätzlich will man wissen, wie dieser Verlauf mit den Parametern des Systems zusammenhängt, hier der Masse, der Federkonstante der Feder und der Dämpfungskonstante des Stossdämpfers. Allgemeiner ausgedrückt will man genügend Verständnis über die Zusammenhänge zwischen den Einflussfaktoren (Systemparameter und Eingangssignale) und den problemabhängigen Zielgrössen (z.b. Ausschwingzeit) gewinnen, um die beschriebenen Systeme gezielt beeinflussen zu können. Es handelt sich dabei meist um technische Systeme, obwohl en auch in andern Bereichen eingesetzt werden können (siehe z.b. das berühmte mathematische Weltmodell des Club of Rome). Lässt sich ein System aufgrund physikalischer Gesetzmässigkeiten (Grundgleichungen und deren Verknüpfungen wie Bilanzen, Kontinuitäten und Erhaltungssätze) analytisch, d.h. durch Formeln darstellen, dann stellen diese Gleichungen das mathematische Modell des Systems dar. Dieses Modell kann also z.b. durch Differentialgleichungen (DGl.), algebraische Gleichungen oder logische Gleichungen gebildet werden. Ein Modell muss nicht zwangsläufig linear sein. Im Gegenteil sind viele physikalische Vorgänge nichtlinear und dementsprechend geben die passenden Modelle diese Nichtlinearität auch wieder. Dies erschwert in den meisten Fällen die Analyse, da viele Methoden, vor allem die meisten, die wir in diesem Kurs kennen lernen, nur für lineare Systeme gelten. Nur eine bis ins Detail genaue mathematische Beschreibung kann die physikalische Wirklichkeit einigermassen getreu abbilden. Trotzdem ist eine völlig exakte Beschreibung der Wirklichkeit durch ein Modell nie möglich. Bei jeder müssen Vereinfachungen getroffen werden. Modelle sind immer nur eine Annäherung an die physikalische Wirklichkeit. Version 2.3 6

7 Wenn die Aussagen eines Modells nicht mit den Messungen am realen Objekt übereinstimmen, dann ist das Modell falsch und nicht die "Physik" (oder man hat unter Umständen falsch gemessen). Damit die Modelle überschaubar bleiben, dürfen sie nicht zu komplex sein. Sie müssen jedoch mit sinnvollem Aufwand das System für die gegebene Aufgabe genügend genau beschreiben. Die Aussagekraft eines Modells ist daher immer relativ und abhängig von der Anwendung und der geforderten Genauigkeit. Die Genauigkeit und damit das Mass der Vereinfachung eines Systems muss abgeschätzt werden: Ist die damit mögliche Aussage für die gegebene Aufgabenstellung genügend zutreffend? Ist der Aufwand gerechtfertigt, eine umfangreichere Modellierung vorzunehmen? Schliesslich wird auch ungenügendes Wissen über das detaillierte Verhalten des Systems oder über die Art, wie dieses dargestellt werden könnte, automatisch zu einer Vereinfachung führen oder die überhaupt verunmöglichen. Ein Modellansatz kann immer verbessert oder ergänzt werden (z.b. wird ein theoretisch ermitteltes Modell durch Messungen am realen System bestätigt oder es muss gegebenenfalls entsprechend modifiziert werden). Ein Modell muss durch Tests verifiziert werden. In einem ersten Schritt genügen dazu Plausibilitätstests, z.b. betr. Ordnung, Empfindlichkeit, Abdeckung von Spezialfällen etc. 2.2 Wege zur Modellbeschreibung Wie gelangt man zu einer Systembeschreibung oder einem Modell? Wir wollen hier die Schritte skizzieren, die es dazu braucht. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von der. Daraus entsteht als Endprodukt das mathematisch beschreibbare Modell. Die wesentlichen Schritte der zeigt Fig. 5. Man beginnt mit einem ersten Ersatzschaltbild bzw. einer schematischen Darstellung des zu modellierenden Systems und gelangt über Vereinfachungen oder Idealisierungen zu einem ersten mathematischen Modell. Mit diesem ersten Modell simuliert man die Antworten des Systems auf einfache Testsignale und vergleicht sie mit den Experimenten. Sind die Abweichungen zwischen den Aussagen des Modells und dem Experiment noch zu gross, so wird es verfeinert, bis es den Anforderungen bezüglich Genauigkeit für die gestellte Aufgabe genügt. Der Vorgang der ist daher meist iterativ. Um das wirkliche Verhalten eines realen Systems durch ein mathematisches Modell wohl vereinfacht, aber doch genügend genau beschreiben zu können, müssen sowohl die Struktur als auch die Parameter des Modells bestimmt werden. Die Struktur beantwortet dabei die Frage, wie die Signale miteinander verknüpft sind. Die Parameter geben Auskunft über die konkreten Zahlenwerte für die Elemente des Modells, z.b. Massenträgheitsmomente, thermische Zeitkonstanten, Induktivitäten etc. Struktur und Parameter sind durch theoretische Ansätze zu gewinnen und durch messtechnische Verfahren am Objekt zu bestätigen. Der Prozess der messtechnischen Parameterfindung wird auch als Identifikation bezeichnet. Version 2.3 7

8 Fig. 5 Der iterative Vorgang der Theoretische und Identifikation Das mathematische Modell wird anhand der physikalischen und technischen Daten des Systems gewonnen. Man sucht für das vorliegende System die physikalischen Grundgesetze, die für seine Vorgänge massgebend sind, und formuliert sie mathematisch. Je nach Art des Systems, ob es nun elektrisch, mechanisch, pneumatisch oder thermisch ist, kommen dabei beispielsweise folgende Gesetze in Frage: elektrische Systeme - Ohmsches Gesetz - Sätze von Kirchhoff - Induktionsgesetz - Ladung-Spannungsbeziehung am Kondensator - Maxwellsche Gleichungen (bei Feldern) hydraulische und pneumatische Systeme - Kontinuitätsgleichungen - Gesetze der Hydrodynamik Version 2.3 8

9 mechanische Systeme - Gesetze von Newton - Impuls- und Energiesatz - Gleichgewichtsbedingungen - Lagrange- und Hamiltonmethode thermische Systeme - Wärmeleitungsgesetze - Erhaltungssätze der inneren Energien - Wärmeübertragungsgesetze (partielle DGln.) ev. in Verbindung mit Hydro- und Gasdynamik Experimentelle und Identifikation (bei existierender Hardware): Liegt das System bereits vor, z.b. ein Motor, dann kann man mit Messungen rasch sehr viel über sein Verhalten erfahren, ohne es im Detail zu kennen. Man charakterisiert dann das System als einen einzigen Block (Black Box), der nur durch die Verknüpfung von Ausgangs- mit Eingangsgrössen beschrieben wird. Es ergeben sich System-Parameter, die meist nicht die eigentlichen physikalischen Parameter darstellen. Die experimentelle Systemidentifikation umfasst in einem 1. Teil die Messung der System- Ausgangsgrössen, wenn an den Systemeingang ein Testsignal angelegt wird. In einem 2. Teil wird anhand der Auswertung der Messdaten versucht, ein mathematisches Modell zu bilden. Dabei verwendet man natürlich wenn immer möglich Vorkenntnisse über das System. Zwischen den diversen physikalischen Systemen bestehen häufig Analogien. Diese nützt man gerne, um Modelle aus einem vertrauten physikalischen Bereichen auf einen weniger vertrauten zu übertragen. Elektroingenieure verwenden zur Modellierung von mechanischen Systemen daher gerne elektrische Analogiemodelle, die ihnen vertrauter sind. Ungeübte Personen haben Schwierigkeiten mit der. Es braucht eine gewisse Erfahrung und Fantasie, bis das richtige Vorgehen gesehen und auch richtig angewandt wird, weil die Zusammenhänge anfänglich nicht klar erscheinen. Möglichweise hilft hier, ausser Übung durch Anwendung, wenn man eine Aufteilung in Teilsysteme und Teilaufgaben vornimmt. Es ist deshalb nicht möglich, für komplexere Aufgaben ein allgemein gültiges Vorgehen zu definieren, da jede Aufgabenstellung individuell verschieden ist. Es wird sich schliesslich eine Kombination von angewandten physikalischen Gesetzen, von Fantasie und Intuition ("aus dem Bauch heraus") unter Verwendung von Analogien ergeben. Für einfachere Systeme, die wir hier behandeln, sollte eine noch mehr oder weniger durchsichtig sein. Im vorliegenden Kapitel werden mathematische Beschreibungen eines gegebenen Systems gesucht. Die zu ermittelnden Differential- und algebraischen Gleichungen bilden dann das mathematische Modell. In einem späteren Kapitel wird die bildliche Beschreibung in Form von Blockschaltbildern eingeführt, die aber einen direkten Zusammenhang mit der mathematischen Beschreibung hat. Version 2.3 9

10 3. und Darstellungen für Systeme 1. Ordnung 3.1 Ein RC-Netzwerk (Beispiel 1) Wir wollen ein mathematisches Modell für das einfache Netzwerk bestehend aus einem Widerstand und einem Kondensator von Beispiel 1 entwickeln. In einem ersten Schritt suchen wir ein Ersatzschaltbild für diese Schaltung, Fig. 6. Ein Ersatzschaltbild mit nur zwei Elementen, nämlich einem ohmschen Widerstand R und einer Kapazität C, sollte für viele Anwendungen eine genügend genaue Beschreibung ergeben. Beide sind hier Idealisierungen der realen Bauteile Widerstand und Kondensator. So sind z.b. die Induktivitäten der Zuleitungen beider Bauteile vernachlässigt. Fig. 6 Ersatzschaltbild zur RC-Schaltung von Fig. 1 Als nächsten Schritt suchen wir die elementaren physikalischen Zusammenhänge von Strömen und Spannungen in dieser Schaltung und gelangen so zu einer mathematischen Beschreibung des Modells. Die massgebenden elektrischen Grundgleichungen für beide Elemente sind bekannt. Für den Widerstand gilt: i R (t) = u R (t) R = u e (t) u a (t) R (1) Dabei haben wir in dieser Gleichung die Maschengleichung gerade integriert. Die Strom- Spannungsbeziehung am Kondensator ergibt die Gleichung i C (t) = C du C (t) dt = C u a (t) (2) Dies ist die Speichergleichung des Kondensators in der Ableitungsform. Zur Verknüpfung der beiden Gleichungen brauchen wir nur noch den Knotensatz: i R = i C (3) Wir setzen die Gl. (1) und (2) in Gl. (3) ein und ordnen diese nach der Ausgangsgrösse und ihrer Ableitung auf der linken Seite des Gleichheitszeichens und der Eingangsgrösse rechts vom Gleichheitszeichen. So erhalten wir eine Differentialgleichung für die Ausgangsgrösse u a : RC u a + u a = u e (4) Version

11 Zu dieser DGl. gehört noch eine Anfangsbedingung. Wir können die Gleichung erst lösen, wenn wir den Zustand des Speicherelements, also hier die Spannung über dem Kondensator zur Zeit t = 0 kennen, oder u a (0) = u C (0). Diese DGl. ist 1. Ordnung, was offensichtlich mit dem einen Speicherelement in dieser Schaltung zusammenhängt. Es ist die Strom-Spannungsbeziehung am Kondensator Gl. (2) mit ihrer Ableitung, welche zu einer DGl. 1. Ordnung führt. Daraus schliessen wir, dass ein System mit n Speicherelementen zu einer DGl. n-ter Ordnung führen muss. Dies gilt allerdings nur für Systeme, deren Speicher voneinander unabhängig sind, d.h. deren Anfangsbedingungen unabhängig voneinander gesetzt werden können. Bei Kondensatoren schliesst dies beispielsweise Maschen (geschlossene Kreise) aus nur Kondensatoren aus. Die DGl. (4) ist das gesuchte mathematische Modell unserer RC-Schaltung von Fig. 1. Bevor wir diese DGl. analytisch lösen, wollen wir diese in eine Standardform umsetzen und weitere Beispiele von en anderer Systeme aufzeigen, welche auf dieselbe DGl. führen. 3.2 Die Normdifferentialgleichung 1. Ordnung Es lohnt sich, die Gl. (4) in einer standardisierten Form darzustellen. Tun wir dies, so können wir eine Standardlösung entwickeln, die wir dann nur noch auf die speziellen Anwendungen umformulieren müssen. Die Normdifferentialgleichung 1. Ordnung schreibt man: x + x = k u mit der Anfangsbedingung x(0) (5) In dieser normierten Darstellung ist der Koeffizient des Gliedes x genau 1. Ein Vergleich mit der Gl. (4) ergibt die Relationen x = u a, u = u e, = RC, k = 1 und die Anfangsbedingung x(0) = u a (0) = u C (0). In dieser allgemeinen Form bezeichnet man die einzelnen Teile dieser DGl. mit: x eigentlich x(t) als Zeitfunktion der Ausgangsvariablen x ("beliebige" physikalische Grösse) u u(t) als Zeitfunktion der Eingangsvariablen u ("beliebige" physikalische Grösse). In der Mathematik wird diese Eingangsfunktion (oder Anregungsfunktion) u(t) leider vielfach als "Störfunktion" bezeichnet. wird als Zeitkonstante bezeichnet und ist im Graphen von x(t) eine markante Grösse (siehe Fig. 11 und Fig. 12) k ist ein multiplikativer Faktor der Eingangsgrösse (Systemverstärkung). Die Grössen k und sind die Systemparameter der DGl. 1. Ordnung im Gegensatz zu den physikalischen Parametern R und C. In Übereinstimmung mit Aussagen im Kapitel Signalformen und Systemtypen werden wir in diesem Kurs nur mit DGl. arbeiten, die sich folgendermassen charakterisieren lassen: Version

12 - linear es treten nur lineare Terme in x und u auf - n. Ordnung die höchste auftretende Ableitung von x ist n (bisher n = 1, in diesem Kapitel auch noch n = 2) - zeitinvariant Die Koeffizienten sind konstante, zeitunabhängige Grössen - homogen das System reagiert nur auf eine vorliegende Anfangsbedingung oder inhomogen es tritt zusätzlich eine Anregungsfunktion u(t) auf - gewöhnlich es treten nur Ableitungen nach einer Variablen auf (hier nach der Zeit t). Der Gegensatz dazu sind partielle Ableitungen. 3.3 Ein pneumatisches System (Beispiel 3) In diesem Beispiel behandeln wir ein Drossel-Speicher-Glied (Fig. 7). Δ Fig. 7 Pneumatisches Drossel-Speicher-Glied, a) Bild und b) Ersatzschema Die Grössen in dieser Figur bedeuten: p e = Eingangsdruck in Pa = N/m 2 p S = Druck im Speicher = hier die Ausgangsgrösse p a des Systems p D = Druckabfall über der Drossel in Pa = N/m 2 I md = Gasmassestrom durch die Drossel in kg/s R md = Drossel-Strömungswiderstand in 1/(ms) V S = Volumen des Speicherbehälters in m 3 Darüber hinaus benötigen wir die folgenden Grössen m S = Masse des Gases im Behälter in kg Version

13 T = absolute Temperatur in K R i = Gaskonstante des verwendeten Gases in J/(kg K) Element Drossel Die pneumatische Grundgleichung, welche die Drossel beschreibt, lautet I md = p D R md = p e p S R md (6), Diese Gleichung beschreibt den Massestrom durch die Drossel in Abhängigkeit von der Druckdifferenz und dem Strömungswiderstand der Drossel. (Die Beziehung ist analog zur Gleichung für einen elektrischen Strom durch einen Widerstand i = u/r) Element Behälter Ausgangspunkt für die Beziehungen im Behälter bildet die allgemeine Gasgleichung in der Version mit der Gasmasse m S und mit der speziellen Gaskonstante R i : 1 p S V S = m S R i T (7) Diese Form der Gasgleichung verwenden wir nun, um mit der Drosselgleichung die gesamte DGl. des pneumatischen Systems zu gewinnen. Wir nehmen an, während der Ladezeit des Speichers bleibe die Temperatur T = konst. (= isothermer Vorgang). Dann sind nur m S und p S in Gl. (7) Funktionen der Zeit. Die restlichen Grössen fassen wir zusammen und schreiben die Gleichung knapper m S = K S p S (8) Die Grösse K S = V S /(R i T ) mit der Einheit ms 2 wird als Speicherkapazität des Behälters bezeichnet. Sie ist analog zur Kapazität C und Gl. (8) analog zur Beziehung für die Ladung Q = C U eines Kondensators. Nun leiten wir Gl. (8) ab nach der Zeit: m S (t) = K S p S (t) (9) 1 Die allgemeine Gasgleichung (Zustandsgleichung idealer Gase) lautet: pv = n R T Darin drückt n die Anzahl Mol aus und R = J/(mol K) ist die universelle Gaskonstante. Die Gasmasse im Behälter beträgt m S = n M mit M = molare Masse des verwendeten Gases in kg/mol Daraus folgt: n = m S M Damit lautet die allg. Gasgleichung für den Behälter (Index S): p S V S = m S R M T = m S R i T R i Version

14 Die Kontinuitätsbedingung oder die Verbindung Drossel Behälter Der Massestrom durch die Drossel ist gleich der Massenänderungsrate im Behälter I md = m S p e p S R md = K S p S (10) Daraus folgt durch Umformung die DGl.: R md K S p S (t) + p S (t) = p e (t) Anfangsbedingung : p S (0) =... (11) Diese DGl. 1. Ordnung beschreibt den Zusammenhang zwischen Eingangsdruck p e und Behälterdruck p S. Mit der Abkürzung = R md K S, den Substitutionen p S = x und p e = u sowie k = 1 erhalten wir wieder die Normdifferentialgleichung von Gl. (5). Bei diesem Beispiel haben wir etliche Systemvereinfachungen z.b. Linearisierungen vorgenommen und Vorgehensweisen erprobt, wie sie in Abschnitt 2 vorgeschlagen wurden. Insbesondere beruhen diese ganzen Berechnungen auf folgenden Annahmen: Isothermer Vorgang (T = konst.) Ideales Gas (R = konst.) Keine Dichteschwankungen des Gases Keine Kondensation des Gases Laminare Strömung (keine Wirbelbildung) Leitungsvolumen vernachlässigbar klein Durch Plausibilitätsuntersuchungen müsste jetzt noch der Gültigkeitsbereich des vereinfachten Modells abgesteckt werden. Weiter sei die Analogie zum bekannten elektrischen Fall hervorgehoben. 3.4 Ein thermisches System (Beispiel 4) Unser nächstes Beispiel ist ein elektrisch betriebener Heizkörper, der die erzeugte Wärme an die Umgebungsluft abgibt (Fig. 8). Möchte man diese Aufgabe genau lösen, so müsste man den Abfluss der Wärme im Raum als Funktion des Ortes und der Zeit modellieren. Diese anspruchsvolle Aufgabe führt auf partielle DGln., die hier nicht behandelt werden sollen. Oft gelingt es aber unter einschränkenden Annahmen, das System gemäss der vorgeschlagenen Vorgehensweise zu vereinfachen. Version

15 α Fig. 8 a) Elektrischer Heizkörper und b) Prinzipschema dazu Wir nehmen an, die dem Heizkörper elektrisch zugeführte Leistung P e werde darin vollständig in Wärmeleistung umgewandelt. Der Heizkörper wird dadurch auf die Temperatur T H aufgeheizt. Mit steigender Heizkörpertemperatur wird ein immer grösserer Teil dieser zugeführten Leistung an die Umgebung mit der Temperatur T U abgegeben. Der Heizkörper selber ist ein Wärmespeicher, für dessen gespeicherte Energie Q H wir einen Ansatz "aus dem Bauch heraus" machen. Wir postulieren, dass diese proportional zur Masse m des Heizkörpers, zur spezifischen Wärmekapazität des Materials c [Einheit J/(kgK)] und zur Temperaturdifferenz T = T H -T U sei, oder Q H = m c T (12) Die Wärmeabgabe ihrerseits erfolgt hier vor allem durch Konvektion. In andern Fällen könnte es aber auch Wärmeleitung sein oder bei höheren Temperaturen Strahlung. Für den Fall der Konvektion gilt: P a = AT (13) mit = Wärmedurchgangskoeffizient in W/(m 2 K), oft auch als K-Wert (bei Gebäuden) bezeichnet A = kühlfähige Oberfläche in m 2 T = Temperatursprung an der Oberfläche zwischen Kühlkörper und Umgebungsluft Nun machen wir eine Energiebilanz für die infinitesimale Zeitdauer dt. Von der von aussen während dt zugeführten Energie dq e = P e dt fliesst einerseits der Teil dq H in den Heizkörper und erwärmt ihn um die infinitesimale Temperatur d(t). Der Rest dq a = P a dt fliesst in den Raum ab. Es gilt also dq e = dq H + dq a oder P e dt = dq H + P a dt (14) Version

16 Durch Ableiten von Gl. (12) erhält man dq H, welches zusammen mit Gl. (13) in Gl. (14) eingesetzt wird: P e (t) dt = m c d(t )+ AT dt (15) Division dieser Gleichung durch dt führt uns direkt zur DGl. für die Temperaturdifferenz T mit der zugeführten Leistung P e als Eingangsfunktion m c A (T ) + (T ) = 1 A P e (t) (16) Die gefundene Gleichung hat wieder die typische Form einer DGl. 1. Ordnung. Vergleicht man die Lösung dieser DGl. mit experimentellen Messungen, dann ergibt sich eine gute Übereinstimmung der beiden. Dieses Beispiel zeigt, dass mit verhältnismässig einfachen physikalischen Überlegungen, ohne Rückgriff auf die genauen Beziehungen (partielle DGl.), sehr vernünftige en möglich sind. Analogie zwischen elektrischen und thermischen Systemen Die DGl. (16) sieht sehr ähnlich aus wie jene des RC-Netzwerks (Fig. 6, Gl. (4)). Es gibt jedoch einen wichtigen Unterschied im Koeffizienten 1/(A) der Eingangsfunktion. Die Vermutung liegt daher nahe, dass es ein anderes RC-Netzwerk geben muss, das zur genau gleichen Form der DGl. (16) führen muss. In der Tat gibt es dieses Netzwerk. Es ist die duale Schaltung von Fig. 6, welche in Fig. 9a) gezeigt ist. Δ Fig. 9 a) Parallelschaltung von R und C, b) elektrisches Ersatzschaltbild des Heizkörpers mit den thermischen Parametern Für die Analyse der elektrischen Schaltung verwenden wir den Knotensatz, in welchem wir die Strom-Spannungsbeziehungen für R und C direkt einsetzen: C u + u/r = I q (t) oder RC u + u = R I q (t) (17) Diese DGl. ist nun mit Gl. (16) direkt vergleichbar. Die Übereinstimmung des thermischen Systems mit der Parallelschaltung von R und C wird noch deutlicher sichtbar, wenn wir für das thermische System folgende Abkürzungen einführen: Version

17 P e = P th R th = 1/( A) C th = m c thermischer Widerstand in K/W thermische Kapazität in J/K Damit wird die DGl. des Heizkörpers R th C th (T ) i + T = R th P th (t) (18) und wir können für das thermische System ein äquivalentes elektrisches Ersatzschaltbild zeichnen (Fig. 9b). Diese Analogie ist besonders bei Elektroingenieuren beliebt zur Lösung von thermischen Aufgabenstellungen, z.b. für die Berechnung der Erwärmung eines Leistungstransistors und die Bemessung des erforderlichen Kühlkörpers. Tabelle 1 zeigt die beiden Systeme im Vergleich. elektrische Schaltung thermische "Schaltung" Analoge Grössen physikalische I q C R u P th C th R th T Gleichungen CR u + u = R I q el = RC k = R C th R th (T ) + T = R th P th th = R th C th = mc/( A) k = R th = 1/( A) Anfangsbedingungen u(0) =... T (0) =... Speichergleichungen Q C = C u Q H = C th T Tabelle 1 Analogie zwischen Wärmefluss in einem Heizkörper und elektrischer Parallelschaltung von R und C aus Fig Gleichungen für alternative Ausgangssignale in Systemen 1. Ordnung In allen drei bisher behandelten Beispielen von Systemen 1. Ordnung könnte man natürlich auch andere interne Systemsignale als Ausgangsgrössen x A (t) wählen, man spricht auch von alternativen Ausgangssignalen (Tabelle 2). Version

18 Beispiel Serie-RC-Glied Pneumatisches System Thermisches System Alternatives Ausgangssignal Strom durch den Widerstand, x A = i R Druck über der Drossel, x A = p D Speicherleistung, x A = P H Tabelle 2 Mögliche alternative Ausgangssignale in den behandelten Beispielen 1. Ordnung Ist die DGl. in x(t) bekannt, dann kann jene in x A (t) leicht gefunden werden. Drückt man x A (t) durch x(t) und u(t) aus (die Beziehung gewinnt man aus dem Ersatzschema), so kann die Normdifferentialgleichung verwendet werden, um die DGl. für das alternative Signal x A (t) zu finden. Wir zeigen dies am Beispiel des RC-Netzwerks von Fig. 6. DGl. RC u a + u a = u e Alternative Grösse x A = i R Aus dem Ersatzschema von Fig. 6 folgt x A = i R = u e u a R oder u a = u e R x A und u a = u e R x A Diese Ausdrücke setzen wir in die DGl. (4) ein und erhalten RC( u e R x A ) + u e R x A = u e (19) oder RC x A + x A = RC u e /R Damit wird mit = RC und k A = 1/R die Normdifferentialgleichung für x A : x A + x A = k A u (20) Bei dieser DGl. fällt auf, dass die Eingangsgrösse u(t) nur mit ihrer ersten Ableitung u(t) erscheint. In jedem System 1. Ordnung wird man mögliche Ausgangsgrössen finden, welche durch die Norm-DGln. (5) oder (20) beschrieben werden können. 2 2 Die allgemeine Form der DGl. 1. Ordnung lautet x + a 0 x = b 1 u + b 0 u sodass die beiden behandelten Formen als Spezialfälle dieser allgemeinen DGl. betrachtet werden können. Version

19 4. Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung 1. Ordnung für schrittförmige Eingangssignale 4.1 Lösung der Differentialgleichung für x(t) In unserm Vorhaben, physikalische Vorgänge zu modellieren, haben wir an drei einfachen Beispielen den ersten wichtigen Schritt gemeistert. Wir haben für alle Fälle ein mathematisches Modell in der Form einer DGl. 1. Ordnung aufgestellt. Alle drei können auf dieselbe Normalform gebracht werden. Im nächsten Schritt wollen wir diese Normdifferentialgleichung lösen. Diese Aufgabe sollte aus der Mathematik bekannt sein. Wir wollen die einzelnen Schritte aber nochmals durchgehen. Die allgemeine Lösung einer inhomogenen DGl. besteht aus zwei Teilen: der allgemeinen Lösung der homogenen DGl. und der partikulären Lösung für die gegebene Anregungsfunktion u(t) Als Anregungsfunktion wählen wir hier den Einheitssprung oder -schritt (t). Diese Anregung ist das am häufigsten verwendete Test-Eingangssignal. Auch messtechnisch ist eine Anregung mit einem Einheitsschritt meist problemlos zu realisieren. Das entstehende Ausgangssignal des Systems nennt man Schrittantwort. An der Schrittantwort lässt sich das Verhalten des Systems beurteilen und seine Dynamik auf einfache, übersichtliche Weise darstellen. Der Einheitsschritt ist eindeutig definiert und lässt damit Vergleiche unterschiedlicher Systeme miteinander zu. Die Schrittantwort ist eine eindeutige Beschreibung des Systems. Sie enthält wie die DGl. alle relevanten Daten des Systems, nur auf eine andere Art als die DGl. Sie stellt daher ein Beurteilungskriterium dar, das sowohl rechnerisch, simulatorisch aber vor allem auch messtechnisch problemlos herbeigezogen werden kann. Eine andere mögliche Anregungsfunktion für kontinuierliche Systeme wäre der Diracstoss (t). Das entstehende Ausgangssignal nennt man dann die Stossantwort. Ein Diracstoss ist messtechnisch schwer zu realisieren. Die Stossantwort ist daher vor allem für theoretische Betrachtungen geeignet. Wir werden sie später noch genauer ansehen. Schliesslich ist eine Anregung eines Systems mit einem Sinussignal einfach zu realisieren und wird dementsprechend häufig gebraucht. Nun wenden wir uns der Lösung der DGl. zu. Von der zu lösenden allgemeinen DGl. 1. Ordnung in der Form von Gl. (5) x + x = k u mit der Anfangsbedingung x(0) und der Schrittfunktion u(t) = U S (t) als Eingangssignal lösen wir zunächst den homogenen Teil mit einem Ansatz in Form einer Exponentialfunktion x h (t) = C e st (21) Durch Einsetzen in die homogene DGl. erhalten wir x h (t) = C e t/ (22) Version

20 Achtung: Alle hier betrachteten Zeitfunktionen stellen Systemsignale dar und beginnen erst beim Zeitpunkt t = 0 (Kausalitätsprinzip). Die Vorgeschichte des Systemzustands steckt in seinen Anfangsbedingungen. Somit müssten wir korrekterweise auch für die Funktion x h (t) folgende Schreibweise verwenden: x h (t) = C e t/ 0 t = 0 t < 0 Doch ist es üblich, wenn man mit Systemsignalen zu tun hat, für den interessierenden Bereich t 0 die abgekürzte Schreibweise zu verwenden: x h (t) = C e t/. Besondere Vorsicht ist am Platz, wenn man eine solche, bei t = 0 unstetige Funktion, ableiten will. Für die partikuläre Lösung x p (t) wählen wir einen Ansatz in der Form der spezifischen Anregungsfunktion u(t) = U S (t). Achtung: a) mit dem Symbol U S können wir eine allfällige Dimension des Anregungssignals u(t) mitberücksichtigen b) für den Einheitssprung beträgt U S = 1, wir wollen jedoch allgemein bleiben und das Symbol U S in der weiteren Darstellung beibehalten. Da wir als Anregung eine Schrittfunktion wählen, u(t) = U S (t), eine Funktion die konstant ist für t 0, lautet der allgemeine Ansatz für die partikuläre Lösung x p (t) = A Durch Einsetzen in die inhomogene DGl. erhalten wir A = k U S und somit für die partikuläre Lösung x p (t) = k U S (23) Die allgemeine Lösung für einen Schritt am Eingang ergibt sich aus der Summe von homogener und partikulärer Lösung: x(t) = x h (t) + x p (t) = C e t/ + k U S (24) Die noch unbekannte Konstante C kann mit Hilfe der (hier einzigen) Anfangsbedingung x(0) gewonnen werden: x(t) t=0 = C + k U S = x(0) oder C = x(0) k U S (25) Zusammengefasst erhalten wir die Darstellung a) Version

21 x(t) = x(0) k U S et/ k U S transienter Teil (Einschwingvorgang) stationärer Teil (26) Die partikuläre Lösung x p (t) beschreibt den stationären (eingeschwungenen) Zustand, d.h. das Verhalten des Systems unter dem Einfluss der Anregungsfunktion u(t) nach dem Abklingen des Einschwingvorganges. Diese Aussage gilt allgemein, d.h. nicht nur für die Anregung mit dem Einheitsschritt. So untersucht die komplexe Wechselstromrechnung a priori nur den stationären Vorgang, es wird dort also nur die partikuläre Lösung berechnet. Der stationäre Teil wird nur durch die Anregungsfunktion beeinflusst, während der transiente Teil durch die Anregungsfunktion und die Anfangsbedingung beeinflusst wird. Dieser Teil trägt den Namen "transient" ("vorbeigehend"), weil er für t verschwindet (siehe die abklingende Exponentialfunktion). Obige Lösung lässt sich auch anders darstellen, wir nennen sie die Darstellung b): x(t) = x(0) e t/ + k U S (1 et/ ) freie Antwort erzwungene Antwort (27) Die freie Antwort (englisch free response) wird nur durch die Anfangsbedingung, d.h. x(0) verursacht. Die erzwungene Antwort (englisch forced response) hat ihren Ursprung allein in der Anregungsfunktion, hier in der Schrittfunktion u(t) = U S (t). Fig. 10 zeigt diese beiden Darstellungsarten mit ihrer unterschiedlichen Aufspaltung von x(t) und mit der Anfangsbedingung x(0) = x 0. Bei diesen Darstellungen sprechen wir auch von der Antwort des Systems auf das Eingangssignal, hier auf den Einheitsschritt u(t) = U S (t) mit U S = 1. Die eigentliche Schrittantwort h(t) eines Systems ist definiert als seine Antwort auf einen Einheitsschritt u(t) = U S (t) mit U S = 1 am Eingang und mit der Anfangsbedingung x(0) = 0. Im Falle des Systems 1. Ordnung ist dies: h(t) = k U S (1 e t/ ) (28) 3 3 In der Literatur findet man meist den Ausdruck ohne U S. Solange man mit dimensionslosen Grössen arbeitet, ist dies korrekt. Aber bei dimensionsbehafteten Grössen braucht man U S, um die Dimensionen von h(t) korrekt wiederzugeben. Version

22 τ τ Fig. 10 Antwort des Systems 1. Ordnung auf einen Einheitsschritt am Eingang a) Darstellung aufgeteilt nach stationärem und transientem Teil und b) Darstellung aufgeteilt nach freier und erzwungener Antwort Diese Schrittantwort des Systems 1. Ordnung zeigt Fig. 11. Fig. 11 Schrittantwort des Systems 1. Ordnung τ Die relevanten Parameter des Systems 1. Ordnung erscheinen auch in der Schrittantwort: Zeitkonstante in h(t) erscheint in der Graphik dort, wo die Kurve 63% ( 1 1 / e ) ihres Endwertes erreicht, dies entspricht der Aussage, dass die Anfangstangente die Endwertlinie bei t = schneidet. Verstärkung k (in der deutschen Literatur vielfach als "Beiwert" bezeichnet) erscheint als Endwert zur Zeit t (U S = 1). Version

23 Die Schrittantwort ist eine weitere Möglichkeit, ein System zu beschreiben. Sie ist den anderen Formen eines Modells vollständig äquivalent Lösung der Differentialgleichung für x A (t) Nun suchen wir noch die Antwort unserer alternativen Ausgangsgrössen, wie wir sie bei den DGl. der Beispielsysteme 1. Ordnung eingeführt haben. Dazu setzt man die Antwort x(t) auf einen Schritt der Höhe U S am Eingang nach Gl. (27) in die Gleichung für x A (t) = f[x(t)] ein. Als Beispiel nehmen wir den möglichen Zusammenhang x A (t) = u(t) - x(t)/k und erhalten so die alternative Ausgangsgrösse x A (t) = U S x(0) e t/ + k U S (1 e t/ ) /k = U S x(0)/k et/ (29) Die eigentliche Schrittantwort h A (t) gemäss Definition (x(0) = 0 und U S = 1) wird damit h A (t) = U S e t/ (30) Für den allgemeineren Fall der Normdifferentialgleichung des alternativen Ausgangssignals x A (t) gemäss Gl. (20) findet man die eigentliche Schrittantwort h A (t) zu h A (t) = k A U S e t/ (31) Die entsprechende Grafik zeigt Fig. 12. Fig. 12 Schrittantwort h A (t) der alternativen DGl. (20) τ 4 Die Grafiken eines Systems wie seine Schrittantwort, Stossantwort und weitere, die wir noch kennen lernen werden, werden in der Fachliteratur als nichtparametrische Modelle bezeichnet. Im Gegensatz dazu werden die DGl. oder die Übertragungsfunktion als parametrische Modelle bezeichnet, weil sie durch Parameter (= Koeffizienten) definiert sind. Version

24 4.3 Charakterisierung elementarer Übertragungsglieder Die Schrittantwort eines Systems 1. Ordnung ist dadurch charakterisiert, dass der stationäre Endwert exponentiell mit der Zeitkonstanten erreicht wird. Man spricht auch von einer Verzögerung 1. Ordnung. Systeme, welche eine Schrittantwort h(t) gemäss Gl. (28) besitzen, werden auch als PT 1 -Glieder bezeichnet. Diese Abkürzung tragen sie, weil ihr Ausgang proportional (P) zum Eingang ist mit einer Verzögerung 1. Ordnung (T 1 ). Die Schrittantwort für den Systemausgang x A entspricht einem sog. DT 1 Verhalten. D steht für ein differenzierendes Glied. Die grosse Bedeutung der Schrittantwort wird auch dadurch unterstrichen, dass vor allem in der deutschen Literatur elementare Systemteile bildlich durch diese dargestellt werden. Man spricht von der sog. Blockdarstellung. Nimmt man die Blockdarstellungen als weitere Darstellung eines Systems 1. Ordnung, dann haben wir zusammen mit der DGl. und der Schrittantwort drei mögliche Darstellungsarten gefunden. Alle drei sind für die beiden Systeme 1. Ordnung in Tabelle 3 zusammengestellt. Darstellung PT 1 -Glied DT 1 -Glied Differentialgleichung x + x=k u x A + x A =k A u Schrittantwort h(t)=k U S (1 e t/ ) h A (t)=k A U s e t/ Blockdarstellung * τ τ * ) Die Systemparameter (hier k, k A und ) werden über den Blöcken vermerkt Tabelle 3 Drei mögliche Darstellungen des mathematischen Modells für Systeme 1. Ordnung 4.4 Numerische Werte zu Beispielsystemen 1. Ordnung Beispiel 1: Ein elektrisches RC-Glied Für die Elementwerte R = 20 k und C = 10 μf findet man die Zeitkonstante = 200 ms. Die Ausgangsgrösse x entspricht der Spannung über dem Kondensator u C. Alternative Grössen x A könnten die Spannung u R über dem Widerstand oder der Strom i sein. Version

25 Beispiel 2: Heizkörper Beim Heizkörper in diesem Beispiel könnte es sich um einen transportablen elektrischen Ofen mit folgenden Parametern handeln: Masse m = 15 kg Spezifische Wärmekapazität des Materials des Heizkörpers c = 460 Jkg -1 K -1 (Stahl) Oberfläche des Heizkörpers A = 0.6 m 2 Wärmeabgabezahl des Heizkörpers = 15 Wm -2 K -1 Daraus erhält man für R th und C th : R th = k = 1 = 0.11 K/W ; A C th = m c = 6900 J/K und damit für die thermische Zeitkonstante th = R th C th = 766 s oder rund 13 Minuten. Bei einer Eingangsleistung von P th = 500 W erreicht die Temperaturdifferenz gegenüber der Umgebungstemperatur im stationären Zustand den Wert T = k P th = 55 K. 5. Systemdarstellungen für Systeme 2. Ordnung 5.1 Das Masse-Feder-Dämpfer-Glied (Beispiel 2) Das RC-Glied, unser 1. Beispiel, hat zu einer Diffentialgleichung 1. Ordnung geführt. Dies ist, wie wir gesehen haben, eine Folge des einzigen Energiespeichers in dieser Schaltung, nämlich des Kondensators. Die Schrittantwort dieser Schaltung kann mit einer einzigen abklingende Exponentialfunktion beschrieben werden. Unser Beispiel 2 mit dem Masse-Feder-Dämpfer-Glied von Fig. 3 verhält sich anders, wie wir aus dem zu Beginn beschriebenen Experiment wissen (Fig. 4). Das Glied antwortet mit einer abklingenden Schwingung. Dies hängt offenbar damit zusammen, dass dieses Glied zwei Energiespeicher besitzt. Die Masse speichert kinetische Energie, die Feder potentielle. Die beiden Speicherelemente sind aber dual. Ist nämlich die Masse in Ruhe, z.b. am tiefsten Punkt, dann ist ihre kinetische Energie null. Dafür ist die Feder maximal gespannt und ihre potentielle Energie maximal. Die beiden Speicherelemente tauschen Energie aus und durch diese Wechselwirkung können oszillierende Signale, eben Schwingungen entstehen. Dies ist bei gleichartigen Speichern nicht möglich. Als ersten Schritt bei der Modellierung des Masse-Feder-Dämpfer-Glieds zeichnen wir ein Ersatzschema (Fig. 13). Die Feder wird durch die Federkonstante f (in N/m) beschrieben, der Dämpfer durch die Dämpfungskonstante e (in Ns/m) und die Masse sei m. Unmittelbar nach dem Loslassen der Masse aus einem ausgelenkten Zustand gilt: Version

26 F e = 0 Anfangsbedingungen: Anfangsauslenkung Anfangsgeschwindigkeit x(0) = 0.1 m v(0) = 0 m/s Fig. 13 Ersatzschema des Masse-Feder-Dämpfer-Glieds Dieses Schema stellt eine Vereinfachung der physikalischen Anordnung dar. So ist z.b. die Masse der Feder vernachlässigt und jene des beweglichen Teils des Dämpfers müssen wir uns als Teil der Masse m vorstellen. Weiter werden mit diesem Modell nur rein vertikale Bewegungen behandelt. Wir lösen die Masse vom System und tragen alle äusseren Kräfte ein (Fig. 14). Fig. 14 Freie Masse mit den äusseren Kräften Für das mathematische Modell beginnen wir mit den mechanischen Grundgleichungen für die einzelnen Elemente: Dämpfungskraft: F d = e(x G + x) Federkraft: F f = f(x G + x) Gewichtskraft: Anregungskraft: F g = m g F e Diese Kräfte wirken von aussen auf die Masse und werden miteinander verknüpft. Dabei beachte man ihre Wirkungsrichtung zusammen mit der Definitionsrichtung von x, siehe Fig. 14. Nach Newton gilt also m(x G + x) = äussere Kräfte Version

27 m (x G + x) = F e + F g F d F f = F e + F g e (x G + x) f (x G + x) (32) Da die Gleichgewichtslage unabhängig von der Zeit ist, sind alle Ableitungen von x G null. Damit vereinfacht sich Gl. (32) zu F e + F g = m x + e x + f x G + f x (33) Ohne Anregungskraft ist im Gleichgewicht alles ruhig und damit sind x und seine Ableitungen null. Damit finden wir die Gleichgewichtslage zu F g = m g = f x G (34) Im Folgenden studieren wir nur noch die Bewegung x(t) aus der Gleichgewichtslage heraus, welche durch die DGl. F e = m x + e x + f x (35) beschrieben wird. Diese DGl. ist nun unser mathematisches Modell zum Masse-Feder-Dämpfer-Glied. Es handelt sich um eine DGl. 2. Ordnung, was mit unserer Erwartung wegen der beiden unabhängigen, sogar dualen Speicher übereinstimmt. Zur DGl. 2. Ordnung gehören nun 2 Anfangsbedingungen, hier x(0) und x'(0) = v(0). Bevor wir uns an die Lösung dieser DGl. wagen, wollen wir ein weiteres Beispiel betrachten. 5.2 Elektrische Schaltung mit zwei Kondensatoren (Beispiel 5) Wir nehmen das RC-Glied von Fig. 1 und fügen am Ausgang gerade nochmals ein zweites RC-Glied an, wobei die Elementwerte des zweiten verschieden von jenen des ersten sein sollen (Fig. 15). Dieses System enthält zwei Energiespeicher. Es muss daher zweiter Ordnung sein. Allerdings sind es zwei gleichartige Speicher und es wird daher, wie wir sehen werden, nicht schwingfähig sein. Wie wir aus seiner Antwort noch sehen werden, spricht man hier von einem PT 2 -Glied, da es zwei Verzögerungen enthält (Verzögerung 2. Ordnung). Fig. 15 Doppel-RC-System Auf den ersten Blick könnte man meinen, dieses System liesse sich als zwei in Kette geschaltete PT 1 -Glieder beschreiben. Dies ist aber nicht der Fall, da das zweite Element auf das Version

28 erste zurückwirkt. Denn der Ladestrom für das zweite Glied fliesst auch über den ersten Widerstand R 1. Man sagt, die Kombination ist nicht rückwirkungsfrei. 5 Für die Beschreibung der Schaltung von Fig. 15 benötigen wir die Strom- Spannungsbeziehungen der einzelnen Elemente und die Sätze von Kirchhoff. Im Hinblick auf die spätere Einführung von sog. Zustandsvariablen werden die relevanten Signale, nämlich die Spannungen über den beiden Kondensatoren, bereits jetzt mit x 1 und x 2 bezeichnet. Gleichungen: i 1 = (u x 1 )/R 1 (36) i 2 = (x 1 x 2 )/R 2 (37) i C1 = i 1 i 2 = C 1 dx 1 dt = C 1 x 1 oder x 1 = 1 ( i C 1 i 2 ) (38) 1 i C2 = C 2 dx 2 dt = C 2 x 2 oder x 2 = i 2 C 2 (39) Anfangsbedingungen: x 1 (0) = u C1 (0) und x 2 (0) = u C2 (0) Wir suchen als Antwort des Systems die Spannung x 2 (t) auf die Eingangsspannung u(t). Dazu werden sukzessive die vorläufig nicht interessierenden Zwischengrössen ersetzt, bis nur noch die Eingangsspannung u(t) und die Ausgangsspannung x 2 (t), sowie deren Ableitungen vorkommen. Das Vorgehen könnte folgendermassen aussehen: Aus Gl. (36) und (37) folgt u R 1 i 1 R 2 i 2 = x 2 und zusammen mit i C1 = i 1 i 2 erhalten wir u R 1 ( i 2 + i C1 ) R 2 i 2 = x 2 (40) In diesem Ausdruck müssen wir beide Ströme ersetzen. Durch Ableiten von Gl. (37) und mit Gl. (38) bilden wir x 1 = i 2 R 2 + x 2 = i C1 C 1 oder aufgelöst nach i C1 = i 2 R 2 C 1 + C 1 C 2 i 2 (41) Leiten wir auch Gl. (39) ab, dann finden wir, wenn wir den Ausdruck noch nach i 2 ' auflösen, i 2 = C 2 x 2 (42) Schliesslich gewinnen wir aus Gl. (39) die Beziehung für i 2 : i 2 = C 2 x 2 (43) 5 Durch einen Impedanzwandler, z.b. einen Operationsverstärker, zwischen C 1 und R 2 könnte man die Verbindung der beiden Glieder rückwirkungsfrei machen. Dann liesse sich das System durch zwei in Kette geschaltete Glieder 1. Ordnung darstellen. Dadurch ändert sich aber auch sein Verhalten. Version

29 Die Gl. (41) bis (43) setzen wir in Gl. (40) ein. Nach dem Zusammenfassen von Termen erhält man die Gleichung R 1 C 1 R 2 C 2 x 2 + (R 1 C 1 + R 1 C 2 + R 2 C 2 )x 2 + x 2 = u (44) Nun führen wir einige Abkürzungen ein. Mit a = R 1 C 1, b = R 2 C 2 und c = R 1 C 6 2 erhalten wir die elegantere Schreibweise a b x 2 +( a + b + c ) x 2 +x 2 = u (45) Als Anfangsbedingungen für diese DGl. müssen x 2 (0) und x 2 (0) bekannt sein. Diese DGl. ist das mathematische Modell für unser Doppel-RC-Glied (Fig. 15). Es handelt sich wieder um eine DGl. 2. Ordnung. Bevor wir uns an die Lösung dieser DGl. machen, müssen wir noch auf eine Schwierigkeit hinweisen, die bei der Verwendung dieses mathematischen Modells auftritt. Betrachten wir unsere Schaltung, dann sehen wir, dass wir im Labor als physikalische Anfangsbedingungen die beiden Kondensatorspannungen u C1 (0) und u C2 (0) vorgeben können. Zur Eingabe in unser mathematisches Modell sind jedoch x 2 (0) und x 2 '(0) erforderlich. Wir müssen also eine Umrechnung der Anfangsbedingungen aus den physikalischen in die mathematischen vornehmen, bevor wir unser Modell brauchen können. Diese Umrechnung lässt sich mit den vorhandenen Gleichungen vornehmen. Aus Gl. (37) und (39) folgt: x 2 = i 2 = x 1 x 2 und damit x C 2 R 2 C 2 (0) = x 1 (0) x 2 (0) (46) 2 b Damit liegen die Anfangsbedingungen für die DGl. (45) vor: x 2 (0) = u C2 ( 0) und x 2 (0) = u C1 (0) u C2 (0) b 5.3 Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung 2. Ordnung An zwei Beispielen haben wir gezeigt, wie Systeme mit zwei Energiespeichern auf DGl. 2. Ordnung führen. Nun wollen wir diese auch lösen. Wir verwenden dazu die allgemeine Schreibweise der DGl. 2. Ordnung, die wir für alle Systeme 2. Ordnung brauchen können 7 : 6 7 Es handelt sich hier formal um Zeitkonstanten. Diese sind aber nicht identisch mit den Systemzeitkonstanten 1 und 2, welche das Einschwingverhalten für dieses System prägen und welche wir später kennen lernen werden. Dies ist noch nicht die allgemeinste Form der DGl. 2. Ordnung. Dazu fehlen hier noch Glieder mit der 1. und 2. Ableitung der Eingangsfunktion u(t). Wir werden diese Fälle aber erst später behandeln. Version

30 x + a 1 x + a 0 x = b 0 u (47) Diese DGl. ist wie jene für Systeme 1. Ordnung inhomogen. Die Lösung setzt sich auch hier aus der allgemeinen des homogenen Teils und der partikulären zur gegebenen Anregungsfunktion zusammen. Für die Lösung des homogenen Teils verwenden wir wieder einen Ansatz mit Exponentialfunktionen x(t) = C e st (48) Wir bilden von diesem Ansatz die erste und zweite Ableitung x(t) = C s e st und x(t) = C s 2 e st (49) und setzten diese zusammen mit dem Ansatz von Gl. (48) in die Gl. (47) ein: C s 2 e st + a 1 C s e st + a 0 C e st = 0 (50) Nach dem Kürzen von C e st bleibt die sog. charakteristische Gleichung für unser System s 2 + a 1 s + a 0 = 0 (51) Die Lösungen dieser Gleichung in s, sie werden auch Eigenwerte der DGl. genannt, bestimmen den Verlauf der freien Antwort x h (t) des Systems. Die beiden Wurzeln lauten allgemein s 1,2 = a 1 2 ± a a 0 (52) Je nach Wert der Koeffizienten a 0 und a 1 sind zwei reelle, zwei identische reelle oder zwei konjugiert komplexe Lösungen möglich. Die Diskriminante D = (a 1 /2) 2 a 0 entscheidet, welche der drei verschiedenen Möglichkeiten zutrifft. 1. Fall: ( a 1 / 2) 2 > a 0 oder D > 0 Es liegen zwei reelle und ungleiche Lösungen s 1 und s 2 vor. Die freie Systemantwort besteht dann aus der Summe von zwei Exponentialfunktionen in der Form x h (t) = C 1 e s 1 t + C 2 e s 2 t = C 1 e t/ 1 + C 2 e t/ 2 (53) mit 1 = -1/s 1 und 2 = -1/s 2 Man nennt sie die aperiodische Lösung. 2. Fall: ( a 1 / 2) 2 < a 0 oder D < 0 Es handelt sich um zwei konjugiert komplexe Lösungen s 1 und s 2 = s 1 *. Wir bezeichnen mit Version