Termine. Höhere Mathematik III. Literatur. Übungen

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1 Termine Höhere Mathematik III für aer, autip, verf, wewi, geod Christof Eck Wintersemester 28/9 Vorlesung: Mo V 47.1 Mi V 47.1 Vortragsübungen: Fr V 47.1 Gruppenübungen: o eminarraum o eminarraum o eminarraum o eminarraum prechstunden: Ch. Eck Mo V J. Hörner i V Homepage: studium/infomat/hm-eck-w89/ 1 / 88 2 / 88 Übungen Literatur Anmeldung: Online, 15./16. Oktober, Link auf Homepage Vortragsübungen: Ab 17.1., 14tägig Erste Gruppenübung: Erstes Übungsblatt: Kriterium für Übungsschein: Aktive Mitarbeit in den Übungsgruppen 5% der Punkte in den Hausübungen 5% der Aufgaben votiert 2 Aufgaben vorgerechnet Eventuell: Eine bestandene cheinklausur R. Ansorge, H. J. Oberle: Mathematik für Ingenieure, Band 2, WILEY-VCH. IBN K. Meyberg, P. Vachenauer: Höhere Mathematik 1, pringer Verlag. IBN K. Meyberg, P. Vachenauer: Höhere Mathematik 2, pringer Verlag. IBN Mathematik Online: (kripten, Übungsaufgaben, Tests). 3 / 88 4 / 88

2 Wiederholung: Eindimensionale Integration Teil I Mehrdimensionale Integration Funktion f : (a, b) R Partition von (a, b): P {, 1,..., n } mit a < 1 < < n b n Untersumme (f, P) inf f () ( k k 1 ) ( k 1, k ) Obersumme (f, P) f() k1 n sup k1 ( k 1, k ) f () ( k k 1 ) / 88 6 / 88 Es gilt: (f, P) (f, P) und für möglicherweise verschiedene Partitionen P 1, P 2 : (f, P 1 ) (f, P 2 ) denn für Intervalle I 1, I 2 mit I 1 I 2 folgt: inf f () sup f () I 1 I 2 Feinheit der Partition: h(p) ma{ k k 1 k 1,..., n} Falls für jede Folge (P n ) n N von Partitionen mit h(p n ) n lim (f, P n) lim (f, P n) n n + dann heißt f über (a, b) integrierbar und b a f () d lim n (f, P n ) lim n (f, P n ) gilt I 1 I2 7 / 88 8 / 88

3 Integration über uader (Rechtecke) Praktische Berechnung mit tammfunktion: wobei F () f (). Beispiel: π b a f () d F(b) F(a) sin d [sin cos ] π π uaderförmiger Bereich: (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) (a n, b n ) R n Zweidimensionaler Fall: (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) Funktion f : R, gesucht: f (, y) d(, y) Partition von in kleine uader: a 1 < 1 < 2 < < N b 1 a 2 y < y 1 < y 2 < < y M b 2 i,j ( i 1, i ) (y j 1, y j ) P { i,j i 1,..., N, j 1,..., M} y3 1,3 2,3 3,3 4,3 y2 1,2 2,2 3,2 4,2 y 1 1,1 2,1 3,1 4,1 y / 88 1 / 88 Maimale Kantenlänge: h(p) ma{ 1,..., N N 1, y 1 y,..., y M y M 1 } Untersumme (f, P) N M i1 j1 mit Fläche i,j ( i i 1 )(y j y j 1 ) Obersumme (f, P) N M i1 j1 inf f (, y) i,j (,y) i,j sup f (, y) i,j (,y) i,j Für beliebige ( i,j, y i,j ) i,j heißt N M R(f, P) f ( i,j, y i,j ) i,j i1 j1 Riemann umme zu P und {( i,j, y i,j )} N i1 M j1. Wie im eindimensionalen Fall gilt: (f, P) R(f, P) (f, P) und auch für verschiedene Unterteilungen P 1, P 2 (f, P 1 ) (f, P 2 ) 11 / / 88

4 efinition Falls für jede Folge (P k ) k N von Partitionen mit h(p k ) k lim (f, P k) lim (f, P k) k + k + gilt, dann heißt f über integrierbar und f (, y) d(, y) lim (f, P k) lim (f, P k). k + k + Bemerkung: Ist f : R integrierbar und P k eine Folge von Partitionen mit h(p k ) k, dann gilt für jede zugehörige Folge von Riemann ummen R(f, P k ) k f (, y) d(, y) ie efinition lässt sich direkt auf n dimensionale uader (a 1, b 1 ) (a n, b n ) verallgemeinern, mit geeigneten Partitionen von in kleine n dimensionale uader. Für n 3 ist eine Partition von (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) (a 3, b 3 ) gegeben durch P { ( i 1, i ) (y j 1, y j ) (z k 1, z k ) i 1,..., N, j 1,..., M, k 1,..., K } mit a 1 < < N b 1, a 2 y < < y M b 2, a 3 z < < z K b / / 88 Wie berechnet man mehrdimensionale Integrale? Einfachste Möglichkeit: Iterierte eindimensionale Integrale atz (Fubini) Ist (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ), ist f : R integrierbar und eistieren die Integrale F() b2 a 2 f (, y) dy und G(y) b1 a 1 f (, y) d für alle (a 1, b 1 ) und alle y (a 2, b 2 ), dann gilt b1 b2 f (, y) d(, y) f (, y) dy d a 1 a 2 b2 b1 a 2 a 1 f (, y) d dy Beispiel: (,1) (1,2) 1 [3 y 3 3y 2 d(, y) 3 Aufgabe: Berechnen ie ] 2 y1 (,1) (,1) d y 2 dy d 7 d 7 2 ( + y) d(, y) 15 / / 88

5 Beweis des atzes von Fubini ei P {( i 1, i ) (y j 1, y j ) i 1,..., N, j 1,..., M} eine Partition von. Für ξ i ( i 1, i ), η (y j 1, y j ) gilt: inf f (, y) f (ξ i, η) sup f (, y) (,y) i,j (,y) i,j yj yj 1 Integration bzgl. η über (y j 1, y j ): inf f (, y)(y j y j 1 ) (,y) i,j yj y j 1 f (ξ i, y) dy sup (,y) i,j f (, y)(y j y j 1 ) Multiplikation mit i i 1, ummation über i, j, N M i1 j1 inf f (, y)(y j y j 1 )( i i 1 ) (f, P) (,y) i,j M j1 yj y j 1 f (ξ i, y) dy b2 a 2 f (ξ i, y) dy i 1 ξ i i 17 / / 88 Ergebnis: (f, P) b2 N i1 } y) dy {{ i 1 ) } f (ξ i, ( i (f, P) Riemann umme für b1 b2 a 1 a 2 f (, y) dy d Familie P k von Partitionen mit h(p k ) k, Grenzübergang k > Analog: f (, y) d(, y) f (, y) d(, y) b1 b2 a 1 a 2 b2 b1 a 2 a 1 f (, y) dy d f (, y) d dy er atz von Fubini gilt (unter entsprechenden Annahmen) für allgemeine imension: Mit (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) (a n, b n ), f : R gilt f () d b1 a 1 bn a n f ( 1,..., n ) d n d 1 Beispiel: n 3, (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) (a 3, b 3 ): f () d b1 b2 b3 a 1 a 2 a 3 f ( 1, 2, 3 ) d 3 d 2 d 1 19 / 88 2 / 88

6 Integrale über allgemeine Bereiche Ganz konkretes Beispiel: ei (, 1) (1, 2) (, 2), f () 1 ( ): f () d 1 ( ) d 3 d 2 d [ 1 ( ) ] 2 d 2 d 1 1 ( ) d 2 d Gegeben: Allgemeines, nicht rechteckiges Gebiet R 2 Funktion f : R Wie kann man f () d definieren? Idee: Betrachte uader mit setze f durch Null fort auf \, { f (),, f (), / definiere f () d f () d 21 / / 88 efinition Eine Funktion f : R mit R n ist integrierbar, wenn für einen uader R n mit die Funktion { f (),, f (), / Bedingung an Integrationsgebiet amit f : R integrierbar ist, darf der Rand von nicht zu irregulär sein. Konkret muss die Funktion f () 1 integrierbar sein. integrierbar ist. Es gilt dann f () d f () d Bemerkung: ie Auswahl von ist unerheblich. Wenn für einen uader mit die Funktion f integrierbar ist, dann auch für alle anderen uader mit die Funktion f e und es gilt f () d f e () d. e 23 / 88 efinition Ein Gebiet R n heißt messbar, wenn f () 1 über integrierbar ist, d.h. wenn für jeden uader mit die charakteristische Funktion { 1,, χ (), / integrierbar ist. 24 / 88

7 Anschauliche Bedeutung ei R n, ein uader mit, P k eine Familie von Partitionen von mit h(p k ), N k die Anzahl der kleinen uader i P k am Rand von mit ann muss gelten: i und i ( \ ) N k h(p k ) n g(h) mit g(h) h. Noch anschaulicher: er Rand muss n dimensionales Volumen haben. Eigenschaften des Integrals as Integral ist linear: Ist R n messbar, sind f, g : R integrierbar und α, β R, dann ist auch αf + βg integrierbar und ( ) α f () + β g() d α f () d + β g() d monoton: Ist R n messbar, f, g : R integrierbar, f () g() für alle, dann gilt f () d g() d additiv: ind 1, 2 R n messbar, 1 2, 1 2, f : R integrierbar, dann gilt f () d f () d + 1 f () d 2 25 / / 88 Welche Funktionen sind integrierbar? Berechnung allgemeiner Integrale ei R n messbar, f : R. ann ist f sicher integrierbar, wenn f stetig und beschränkt. f beschränkt und stückweise stetig, d.h. es gibt eine Aufteilung N k1 von in messbare Mengen k mit k l für k l, so dass f : k R für alle k stetig ist. Konkret darf f längs nicht zu irregulärer Linien / Flächen unstetig sein. k efinition Ein Gebiet R 2 heißt ein Normalbereich es gibt eine arstellung der Form { (, y) a < < b, g() < y < h() } oder { (, y) a < y < b, g(y) < < h(y) } mit geeigneten Funktionen g, h : (a, b) R. y h() g() y 27 / / 88

8 Für { (, y) a < < b, g() < y < h() } gilt f (, y) d(, y) falls für alle (a, b) das Integral b h() a g() h() g() f (, y) dy d f (, y) dy eistiert. Für { (, y) a < y < b, g(y) < < h(y) } gilt f (, y) d(, y) falls für alle y (a, b) das Integral b h(y) a g(y) h(y) g(y) f (, y) d dy f (, y) dy eistiert. Beispiel: { (, y) 2 + y 2 1 } (Einheitskreisscheibe), 1 ( 2 + y ) d(, y) ( y 2 ) dy d 2 1 [ 2 y y 3] d y ( (1 2 ) ) d ( ) d π 2 29 / 88 3 / 88 Allgemeine imension efinition Allgemeine Gebiete lassen sich i.d.r. in Normalbereiche aufteilen: Eine offene Menge R n heißt projezierbar in Richtung k es gibt eine messbare Menge B R n 1 und Funktionen g, h : B R so dass { R n g( 1,..., k 1, k+1,..., n ) < k < h( 1,..., k 1, k+1,..., n ), ( 1,..., k 1, k+1,..., n ) B } 3 31 / 88 1 B 2 32 / 88

9 Beispiel: Integral über Kugel Ist bezüglich k auf B projezierbar und eistiert h(y) g(y) f (y 1,..., y k 1, s, y k+1,..., y n ) ds für alle (y 1,..., y k 1, y k+1,..., y n ) B, dann gilt: f () d B h(y) g(y) f (y 1,..., y k 1, s, y k+1,..., y n ) ds dy Falls B ebenfalls projezierbar ist, kann man das Integral über B weiter vereinfachen. reidimensionale Kugel mit B 3 { R < 1} { R < 3 < , } ( 1, 2 ) B 2 B 2 { R < 1} } {( 1, 2 ) < 2 < 1 1 2, 1 < 1 < 1 Integral B 3 f () d f ( 1, 2, 3 ) d 3 d 2 d 1 33 / / 88 er Transformationssatz ehr oft lassen sich allgemeine Gebiete durch Rechtecksgebiete parametrisieren. Beispiel: Parametrisierung der Kreisscheibe { (, y) 2 + y 2 < 1 } mit Polarkoordinaten: { } (r cos ϕ, r sin ϕ) r < 1, ϕ < 2π 2π B atz (Transformationsatz) eien B, R n messbar, Φ : B bijektiv und stetig differenzierbar, f : R integrierbar. ann ist B f (Φ()) det () ) n ( mit () i j () i,j1 Rn,n integrierbar und es gilt: f () d f (Φ()) det B () d er Ausdruck det () heißt Funktionaldeterminante. Er misst die Volumenänderung der Transformation Φ. Φ r 1 B 35 / / 88

10 Bemerkung: In einer imension entspricht der atz der ubstitutionsformel b a f (g()) g () d g(b) g(a) f () d im Fall, dass g monoton steigend ist. abei ist B (a, b), (g(a), g(b)), Φ() g(), () g () Beispiel: ( 2 + y 2 ) d(, y) mit { (, y) 2 + y 2 < 1 } Parametrisierung durch Polarkoordinaten: ( ) ( r r cos ϕ Φ ϕ r sin ϕ ( ) cos ϕ r sin ϕ (r, ϕ), det sin ϕ r cos ϕ 2 + y 2 r 2 cos 2 ϕ + r 2 sin 2 ϕ r 2 Integral ( 2 + y 2 ) d(, y) ), Φ : B mit B [, 1) [, 2π) 1 r 2π ϕ (r, ϕ) r r 2 r dϕ dr 2π 4 π 2 37 / / 88 Motivation der Transformationsformel Partition von B in uader i,j h 2 e2 i,j h 1 e1 B Riemann umme: f () d i,j Φ f (Φ( i,j )) Φ( i,j ), Partition von b a i,j i,j Volumenänderung: i,j h 1 h 2 Φ( i,j ) det(a, b) mit a h 1 1 ( i,j ), b h 2 2 ( i,j ) Ergebnis: Riemann umme: f () d i,j Φ( i,j ) det ( i,j) i,j i,j B f (Φ( i,j )) Φ( i,j ) f (Φ( i,j )) det ( i,j) i,j f (Φ()) det () d 39 / 88 4 / 88

11 Beispiel 1 Volumen der dreidimensionalen Kugel { R 3 < R } Parametrisierung über Kugelkoordinaten r r cos ϕ sin θ Φ θ r sin ϕ sin θ ϕ r cos θ r [, R), θ [, π], ϕ [, 2π) 3 θ r ϕ 2 1 Funktionaldeterminante cos ϕ sin θ r cos ϕ cos θ r sin ϕ sin θ (r, θ, ϕ) sin ϕ sin θ r sin ϕ cos θ r cos ϕ sin θ cos θ r sin θ ( ) det r 2 cos 2 θ sin θ + r 2 sin 3 θ r 2 sin θ (r, θ, ϕ) Volumen der Kugel: V 1 d R r π θ 2π 2 R3 3 4π 3 R3 2π ϕ r 2 sin θ dϕ dθ dr 41 / / 88 Beispiel 2: Volumen eines Rotationskörpers Rotationskörper: Rotation der Fläche unter dem Graphen einer Funktion y f (), < < L, um die Achse z y yf() Parametrisierung: Φ(, ρ, ϕ) ρ f () cos ϕ ρ f () sin ϕ (, L), ρ [, 1), ϕ [, 2π) Volumen: V L 1 d π f 2 () d L 1 2π ρ ϕ ρ f 2 () dϕ dρ d Funktionaldeterminante 1 ρ ρ f () cos ϕ f () cos ϕ ρ f () sin ϕ (, ρ, ϕ) ϕ ρ f () sin ϕ f () sin ϕ ρ f () cos ϕ ( ) det ρ f 2 () (, ρ, ϕ) 43 / / 88

12 Anwendungen Berechnung von Massen einer Fläche R 2 bzw. eines Volumens R 3 aus einer ichte: M() ρ() d Berechnung von chwerpunkten einer Fläche R 2 bzw. eines Volumens R 3 :,i () 1 i ρ() d M() (,1,,2 ) bzw. (,1,,2,,3 ) chwerpunkt Berechnung von Trägheitsmomenten: Trägheitsmoment eines Volumens bzgl. der z Achse: T z () ( 2 + y 2 ) ρ(, y, z) d(, y, z) Beispiel Trägheitsmoment einer dreidimensionalen Kugel { R 3 < R } mit Massendichte ρ() 1 bzgl. einer rehachse durch den Mittelpunkt (z.b. die z Achse). r cos ϕ sin θ Kugelkoordinaten y r sin ϕ sin θ : z r cos θ T z () ( 2 + y 2 ) d(, y, z) R π 2π r 2 sin 2 θ }{{} 2 +y 2 r } 2 {{ sin θ } dϕ dθ dr Funktionaldet. R π 2π r 4 dr sin 3 θ dθ 2π R πr5 as entspricht 2 5 VR2 mit Volumen V 4 3 πr3. 45 / / 88 Flächenintegrale Fläche: Zweidimensionale Teilmenge des R 3 arstellung einer Fläche durch eine Parametrisierung {Φ() } mit R 2 Parametergebiet Φ : R 3 Abbildung Φ efinition Eine Parametrisierung Φ : einer Fläche R 3 über einem Parametergebiet R 2 heißt regulär (i) Φ ist bijektiv (ii) Φ ist stetig differenzierbar und für jedes sind 1 () und 2 () linear unabhängig. Eine Fläche R 3 heißt regulär, wenn sie eine reguläre Parametrisierung besitzt. 47 / / 88

13 Beispiel: Kugeloberfläche efinition des Flächenintegrals Oberfläche der Kugel im R 3 mit Radius R: Parametrisierung durch Kugelkoordinaten ( ) R cos ϕ sin θ θ Φ R sin ϕ sin θ ϕ R cos θ π 2π θ R ϕ efinition ei R 3 eine Fläche mit Parametrisierung Φ :, R 2 messbar, und f : R eine Funktion. ann heißt f integrierbar über, wenn f (Φ()) 1 () 2 () integrierbar über ist und f () ds f (Φ()) () () 1 d 2 heißt das Flächenintegral von f über 49 / 88 5 / 88 Begründung h2 h 1 h 1 h N h 2 T 2 2 h1t 1 T 1 1, T 2 2 Tangentialvektoren an die Fläche N h 1h 2 2 Normalenvektor auf der Fläche Approimation für Flächeninhalt des Flächenelements Riemann umme für Partition { i,j } von und Punkte i,j i,j : f (Φ()) () () 1 d 2 f (Φ( i,j )) ( i,j ) ( i,j ) 1 i,j 2 }{{} i,j h 1 h }{{ 2 } Approimation für Flächeninhalt von Φ( i,j ) 51 / / 88

14 Beispiel 1: Kugeloberfläche Oberfläche der Kugel mit Radius R Parametrisierung durch Kugelkoordinaten: R cos ϕ sin θ Φ(θ, ϕ) R sin ϕ sin θ R cos θ mit θ < π, ϕ < 2π. Tangentialvektoren: R cos ϕ cos θ (θ, ϕ) R sin ϕ cos θ, θ R sin θ 3 θ R ϕ 2 1 R sin ϕ sin θ (θ, ϕ) R cos ϕ sin θ ϕ Normalenvektor R cos ϕ cos θ R sin ϕ sin θ N(ϕ, θ) R sin ϕ cos θ R cos ϕ sin θ R sin θ R 2 cos ϕ sin 2 θ R 2 sin ϕ sin 2 θ R 2 sin θ cos θ N(ϕ, θ) R 4 sin 4 θ + R 4 sin 2 θ cos 2 θ R 2 sin θ Kugeloberfläche: A π θ 2π ϕ R 2 sin θ dϕ dθ 2 2π R 2 4πR 2 53 / / 88 Beispiel 2: Oberfläche eines Rotationskörpers Rotationskörper für Graph von f (), (, L), f () Parametrisierung der Oberfläche Φ(, ϕ) f () cos ϕ f () sin ϕ mit < < L, ϕ < 2π. Tangentialvektoren: 1 (, ϕ) f () cos ϕ, f () sin ϕ z y (, ϕ) ϕ yf() f () sin ϕ f () cos ϕ Normalenvektor N(, ϕ) N(, ϕ) Oberfläche: A 2π L (, ϕ) (, ϕ) ϕ f () f () f () cos ϕ f () sin ϕ f 2 () ( (f ()) ) f () (f ()) ds L 2π ϕ f () (f ()) d f () (f ()) dϕ d 55 / / 88

15 Guldinsche Regeln atz (1. Guldinsche Regel) er Inhalt einer durch Rotation einer 2 dimensionalen, ebenen Kurve um eine rehachse in derselben Ebene gegebenen Fläche im R 3 ist gleich 2πdl, wobei d der Abstand des chwerpunkts der Kurve von der rehachse und l die Länge der Kurve ist. Beweis Wir legen das Koordinatensystem so, dass die Kurve in der y Ebene liegt und um die Achse rotiert. ie Kurve sei als Graph y f () gegeben. y yf() z d Flächeninhalt der Rotationsfläche: L A 2π f () (f ()) d 57 / / 88 Abstand des Kurvenschwerpunkts von der rehachse y Koordinate des Kurvenschwerpunkts: d y 1 y ds l Γ ( ) ( ) 1 Parametrisierung C(), C f () () f > () d 1 L f () 1 + (f l ()) 2 d Ergebnis: A 2πly atz (2. Guldinsche Regel) as Volumen einer durch Rotation einer 2 dimensionalen, ebenen Fläche um eine rehachse in derselben Ebene gegebenen Körpers im R 3 ist gleich 2πdA, wobei d der Abstand des Flächenschwerpunkts von der rehachse und A der Flächeninhalt der Fläche ist. d 59 / 88 6 / 88

16 Beweis Wir legen die Achse in die rehachse und die Fläche in die y Ebene. ie Fläche sei ein Normalbereich { (, y) a < < b, g() < y < h() } Parametrisierung des Volumens Φ(, y, ϕ) y cos ϕ y sin ϕ y yh() mit a < < b, g() < y < h(), ϕ < 2π ϕ yg() z Funktionaldeterminante: ( ) 1 det (, y, ϕ) det cos ϕ y sin ϕ y (, y, ϕ) sin ϕ y cos ϕ d Volumen: V b h() 2π a g() b y dϕ dy d 2π a h() g() y dy d Abstand des Flächenschwerpunkts von der Achse: d y 1 y d(, y) 1 b h() y dy d A A a g() Ergebnis: V 2πAd 61 / / 88 Integralsätze Vorüberlegung Integral einer Funktion f : R über einem uader atz von Fubini: f () d (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) b1 b2 a 1 a 2 f ( 1, 2 ) d 2 d 1 Hauptsatz der Integralrechnung für inneres Integral: b1 ( f () d F2 ( 1, b 2 ) F 2 ( 1, a 2 ) ) d 1 a 1 mit tammfunktion F 2 bzgl. 2, F 2 2 () f (). Analog: f () d mit F 1 1 () f (). b2 b1 a 2 b2 a 1 f ( 1, 2 ) d 1 d 2 a 2 ( F1 (b 1, 2 ) F 1 (a 1, 2 ) ) d 2 63 / / 88

17 Kombination: ei F (F 1, F 2 ) : R 2 eine (neue!) Funktion mit ann gilt: div F() F() F 1 1 () + F 2 2 ()! f () f () d b2 + F 1 () d + 1 F 2 2 () d a 2 ( F1 (b 1, 2 ) F 1 (a 1, 2 ) ) d 2 b1 a 1 ( F2 ( 1, b 2 ) F 2 ( 1, a 2 ) ) d 1 Interpretation der rechten eite F 1 (b 1, 2 ) F(b 1, 2 ) e 1 F 1 (a 1, 2 ) F(a 1, 2 ) ( e 1 ) F 2 ( 1, b 2 ) F( 1, b 2 ) e 2 F 2 ( 1, a 2 ) F( 1, a 2 ) ( e 2 ) Folgerung: e 1 b2 f () d F() n() d } {{ } Kurvenintegral mit Randkurve von und Normalenvektor n. e 2 a2 a 1 b e 1 2 e 1 65 / / 88 Ergebnis: atz von Gauß für Rechtecke div F() d F() n() d ieser atz gilt Für allgemeine Gebiete allgemeine imension des Raumes atz (Gauß) ei R m, m {2, 3}, ein messbares Gebiet, der Rand eine reguläre Kurve für m 2 bzw. Fläche für m 3 und F : R m stetig differenzierbar. ann gilt: div F() d F() n() ds Bemerkungen: ie rechte eite hier ist ein Kurvenintegral 1. Art für m 2 bzw. ein Flächenintegral für m 3. er Normalenvektor n muss die Länge 1 haben und nach außen gerichtet sein. er atz von Gauß ist eine Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Integralrechnung. In einer imension kann man den atz von Gauß interpretieren als b a F () d F(b)(+1) + F (a)( 1), wobei +1 bzw. 1 dem Normalenvektor am rechten bzw. linken Rand entspricht. 1 a b / / 88

18 Motivation des atzes von Gauß uader in zwei imensionen: iehe oben Allgemeine Gebiete in zwei imensionen: Approimation von durch Vereinigung innerer uader: Jede innere Kante gehört zu zwei uadern mit entgegengesetzter Normale: 1 n 2 n1 2 m i : i1 In jedem i gilt der atz von Gauß: div F() d F() n() ds i i Integrale über innere Kanten heben sich auf: F() n 1 () ds + F() n 2 () ds F() (n 1 () n 1 ()) ds Es bleiben Integrale über Kanten am Rand. 69 / 88 7 / 88 Betrachte zwei benachbarte Kanten am Rand: 1 e 1 e 2 2 n Ergebnis: Konstante Approimation von F. l j Länge von j, j, 1, 2 l l l2 2 ( ) 1 l1 Normalenvektor n l 2 1 +l 2 2 F e 1 l 1 + F e 2 l 2 }{{} Approimation von R 1 F n ds + R 2 F n ds F n l }{{} Approimation von R F n ds l 2 Zusammenfassung: m div F() d div F () d j1 j m F() n j () ds j j1 Grenzübergang für Feinheit der Partition : div F () d div F() d F() n () ds F() n() ds F() n () ds 71 / / 88

19 Beispiel 1 Beispiel 2 Betrachte F() n() ds mit { R 2 1 } und F() irekte Berechnung: n(), F() n() 1, F() n() ds 1 ds 2π Berechnung mit dem Gaußschen Integralsatz: div F() 2, mit { R 2 < 1 } F() n ds div F() d 2 d 2π da π (Fläche des Einheitskreises). F Zu berechnen ist F() n() ds mit { R 3 R } (Oberfläche der Kugel mit Radius R) 2 3 und F() Anwendung des atzes von Gauß mit { R 3 < R } : F() n() ds div F() d 1 d 4 3 πr3 73 / / 88 Beispiel 3 ei R 3 messbar, mit regulärem Rand und n() der nach außen orientierte Normalenvektor. ann gilt: n j () ds e j n() ds div e j d, j 1, 2, 3 efinition ei R 2 eine Kurve mit Normalenfeld n und F : R 2 oder R 3 eine Fläche mit Normalenfeld n und F : R 3. ann heißt F() n() ds der Fluss von F durch. Interpretation: F Geschwindigkeit einer trömung, F() n() Normalkomponente von F F() n() ds V t (orientiertes) Volumen V des im Zeitinkrement t durch strömenden Materials. A F F. n t n 75 / / 88

20 Interpretation der ivergenz Würfel h () der Kantenlänge h mit Mittelpunkt Anwendung des atzes von Gauß div F(y) dy F(y) n(y) ds y h () h () ie rechte eite ist der Fluss von F aus h () heraus. ivision durch h () h n, Grenzübergang h 1 div F() lim h h n F(y) n(y) ds y h () ie ivergenz von F beschreibt also den Fluss pro Volumeneinheit oder die uelldichte von F. F h() Ein Vektorfeld F mit div F() für alle heißt quellenfrei. atz von Green ei R 2 mit Randkurve {C(s) s (, 1)}. Wir betrachten das Kurvenintegral 2. Art L F() d : F(C(s))C (s) ds für F Tangenteneinheitsvektor t t((s)) 1 C (s) C (s) Normalenvektor ( ) n1 n ann gilt: n 2 ( t2 t 1 ) ( F1 F t F 1 t 1 + F 2 t 2 F 2 n 1 F 1 n 2 G n mit G F 2 ) : R t ( F2 F 1 n ) 77 / / 88 atz von tokes atz von Gauß: F() d Wegen div G() rot F() mit G() n() ds rot F() F 2 1 () F 1 2 () folgt der atz von Green F() d rot F() d div G() d Wir betrachten eine reguläre Fläche R 3 mit Randkurve Γ: n Γ Auf der Fläche ist ein Normalenvektorfeld n n() gegeben, das eine Oberseite und eine Unterseite definiert. Man sagt, die Fläche ist orientiert. ie Randkurve Γ umläuft die orientierte Fläche im mathematisch positiven inn, also wenn man von oben schaut gegen den Uhrzeigersinn (Rechte Hand Regel). n n 79 / 88 8 / 88

21 er atz von tokes entspricht dem atz von Green für die gekrümmte Fläche : Beispiel 1 atz (tokes) ei R 3 eine reguläre, zweidimensionale orientierte Fläche mit Normalenvektorfeld n und orientierter Randkurve Γ und sei F : R 3 stetig differenzierbar, wobei eine offene Menge mit ist. ann gilt: rot F() n() ds F() d pezialfall Ist R 3 eine geschlossene Fläche, d.h. der Rand eines Gebietes R 3, dann gilt: rot F() n() ds Γ Integral rot F y n y ds (,y,z) z z mit : { (, y, z) R y 2 + z 2 1, z > } (obere Halbschale der Einheitskugel) und z y F y : + z z ( + y) z n y 81 / / 88 irekte Berechnung Es ist 2 rot F y 2 und n y y z 2 z z cos ϕ sin θ Mit Kugelkoordinaten y sin ϕ sin θ folgt: z cos θ I rot F n ds (,y,z) 2( + y + z) ds (,y,z) π/2 2π θ 2 2π ϕ π/2 θ 2( cos ϕ sin θ + sin ϕ sin θ + cos θ) sin θ dϕ dθ cos θ sin θ dθ 4π 1 2 2π. Berechnung mit dem atz von tokes Es folgt: I Γ F y d y z z mit Randkurve Γ { (, y, z) 2 + y 2 1, z }. cos ϕ Parametrisierung C(ϕ) sin ϕ für ϕ (, 2π), sin ϕ sin ϕ C (ϕ) cos ϕ, F(C(ϕ)) cos ϕ (sin ϕ + cos ϕ) Integral I 2π ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ cos ϕ dϕ 2π (sin ϕ + cos ϕ) 83 / / 88

22 Beispiel 2 ei {} mit R 2 eine ebene Fläche mit Randkurve Γ und Normale n() e 3 und F : R 3 R 3. Mit rot F() e 3 F 2 1 () F 1 2 () und dem atz von tokes folgt: ( F2 ( 1, 2, ) F ) 1 ( 1, 2, ) d( 1, 2 ) 1 2 ( ) ( ) F1 ( 1, 2, ) 1 d F 2 ( 1, 2, ) Γ as ist der atz von Green für das zweidimensionale Gebiet ( ) ( ) 1 F1 ( und die zweidimensionale Funktion 1, 2, ). F 2 ( 1, 2, ) n 2 ie Zirkulation efinition ei Γ R m eine geschlossene Kurve und F : Γ R m. ann heißt F() d die Zirkulation von F längs Γ Interpretation: Γ Ist F ein Kraftfeld, dann bezeichnet die Zirkulation die Energie, die nötig ist, um eine Teilchen längs der geschlossenen Kurve Γ durch das Kraftfeld zu bewegen. 85 / / 88 Interpretation der Rotation ei F : R 3 R 3 ein Vektorfeld Betrachte eine Kreisscheibe B r () R 3 mit Mittelpunkt, Radius r, Normale n und Rand Γ r (). atz von tokes: Γ r () F() d B r () rot F() n ds r F Γ r() Teil II Gewöhnliche ifferentialgleichungen Multiplikation mit B r () 1, Grenzübergang r : 1 rot F() n lim F() d r B r () Γ r () er Ausdruck rot F n misst also die Zirkulation pro Flächeneinheit für ein (infinitesimales) Flächenstück senkrecht zu n. rot F n heißt Wirbelstärke von F um n. 87 / / 88