2.2.4 Logische Äquivalenz

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1 2.2.4 Logische Äquivalenz (I) Penélope raucht nicht und sie trinkt nicht. (II) Es ist nicht der Fall, dass Penélope raucht oder trinkt. Offenbar behaupten beide Aussagen denselben Sachverhalt, sie unterscheiden sich lediglich hinsichtlich ihrer Formulierung. Aussagenlogisch betrachtet handelt es sich aber nicht bloß um irrelevante Formulierungsalternativen! Dass sieht man, wenn man zur aussagenlogischen Form der Aussagen übergeht. (I) p q (II) (p q) Vergleicht man die Wahrheitstafeln beider Formeln, stellt man fest, dass sie hinsichtlich ihrer Hauptspalten gleich sind. Wenn eine bestimmte extensionale Interpretation Formel (I) wahr bzw. falsch macht, macht sie auch Formel (II) wahr bzw. falsch. Obwohl es sich um unterschiedliche aussagenlogische Formeln handelt, werden die Teilaussagen der Beispielsätze in beiden Fällen so verknüpft, dass die resultierenden Gesamtaussagen unter den genau gleichen Bedingungen wahr bzw. falsch sind. Diese Art der Gleichwertigkeit von Aussagen bzw. von aussagenlogischen Formeln wird mit dem Begriff der logischen Äquivalenz bezeichnet. Die Definition lässt sich mit Hilfe des Bikonditionals formulieren, das bei gleichen Wahrheitswerten der Teilaussagen stets wahr ist. Genau dies soll ja bei der logischen Äquivalenz gelten. Definition 18: Seien A und B Aussagen oder aussagenlogische Formeln. A und B heißen aussagenlogisch äquivalent genau dann, wenn A B aussagenlogisch wahr ist. Als Zeichen für die logische Äquivalenz wird das Zeichen verwendet, man schreibt also A B für A ist logisch äquivalent mit B. Alternativ kann man auch schreiben = (A B) oder = A B. Wie schon bei der materialen und der logischen Implikation ist zu beachten, dass das Bikonditional (die materiale Äquivalenz) eine Aussageverknüpfung ist, während die logische Äquivalenz eine Beziehung zwischen Aussagen bzw. aussagenlogischen Formeln bezeichnet. Wichtige aussagenlogische Äquivalenzen: 1) Prinzip der doppelten Negation: p p 2) Gesetze der Idempotenz: p p p

2 und p p p 3) Kommutativgesetze: p q q p und p q q p und p q q p 4) Assoziativgesetze: (p q) r p (q r) und (p q) r p (q r) 5) Distributivgesetze: p (q r) (p q) (p r) und p (q r) (p q) (p r) 6) Regeln von de Morgan: (p q) p q und (p q) p q 7) Transpositionsgesetz: p q q p Exkurs: Das Einsetzungstheorem Logisch äquivalente Aussagen sind nicht bezüglich aller Eigenschaften gleich, wohl aber bezüglich ihrer logischen Eigenschaften. Diesen Sachverhalt verdeutlicht das Einsetzungstheorem: Einsetzungstheorem: Sei F A eine aussagenlogische (a.l.) Formel, die eine Teilformel A enthält. Sei F B eine Formel, die aus F A entsteht, indem man A durch eine a.l. Formel B ersetzt (nicht notwendig überall, falls A mehrfach vorkommen sollte). Sei nun A B, dann gilt F A F B. Beispiel: F A : (p q) r A: (p q) B: p q F B : p q r Weil (p q) p q gilt, gilt auch: (p q) r p q r 6. Vorlesung

3 Beweis des Satzes: Man betrachte eine beliebige Zeile der Wahrheitstafeln von F A und F B. Wegen A B ist allen unterschiedlichen Teilen in F A und F B (nämlich da, wo A durch B ersetzt ist) der gleiche Wahrheitswert zugeordnet. Damit ist aber auch den Gesamtformeln F A und F B der gleiche Wahrheitswert zugeordnet. (vgl. HH, 133) Korollar 1 zum Einsetzungstheorem: Seien A, B und F a.l. Formeln. Es gelte A B und A = F, dann gilt auch B =F. (Aus logisch äquivalenten Formeln, folgt das gleiche.) Beweis: Zu zeigen ist: = B F, d.h. B F ist eine aussagenlogisch wahre Formel. Sei F A : A F und F B : B F, dann sind die Voraussetzungen des Einsetzungstheorems erfüllt. Wegen A = F, d.h. = A F gilt dann auch = B F. Analog: Korollar 2 zum Einsetzungstheorem: Seien A, B und V a.l. Formeln. Es gelte A B und V = A, dann gilt auch V =B. (Logisch äquivalente Formeln haben die gleichen Voraussetzungen) (Beweis siehe HH 134). Ende des Exkurses Logischer Widerspruch Von einem Widerspruch zwischen zwei Aussagen spricht man, wenn sie nicht zugleich wahr sein können. Von einem logischen Widerspruch oder einer logischen Inkonsistenz ist die Rede, wenn ein Widerspruch zwischen zwei Aussagen aufgrund ihrer (aussagen-)logischen Form besteht. Man unterscheidet eine stärkere (kontradiktorische) und eine schwächere (konträre) Form des (aussagen-)logischen Widerspruchs. Beim konträren Widerspruch können zwei Aussagen zwar nicht zugleich wahr sein, es ist aber die Möglichkeit offen gelassen, dass beide Aussagen falsch sind. (A) (B) Penélope ging in die Stadt und Penélope ging in eine Bar. Penélope ging nicht in eine Bar. Die Wahrheit von (A) schließt die Wahrheit von (B) aus und umgekehrt. Es ist aber durchaus möglich, dass beide Aussagen falsch sind, z.b. wenn Penélope auf dem Lande ins Bei Erwin ging. Betrachtet man die Konjunktion der aussagenlogischen Formen der beiden Sätze, also (p q) q, dann stellt man fest, dass diese Formel eine logische Falschheit, also für alle extensionalen Interpretationen falsch ist. 6. Vorlesung

4 Definition 19 Seien A und B Aussagen oder aussagenlogische Formeln. A und B stehen in konträrem aussagenlogischen Widerspruch genau dann, wenn A B aussagenlogisch falsch ist. Beim kontradiktorischen aussagenlogischen Widerspruch ist zudem verlangt, dass die beiden im Widerspruch zueinander stehenden Aussagen auch nicht zugleich falsch sind. Die beiden Aussagen müssen also immer entgegen gesetzte Wahrheitswerte haben. (A) Der Mond ist aufgegangen. (B) Der Mond ist nicht aufgegangen. Das geforderte Widerspruchsverhältnis lässt sich leicht mit Hilfe des Bikonditionals definieren: Definition 20 Seien A und B Aussagen oder aussagenlogische Formeln. A und B stehen in kontradiktorischem aussagenlogischen Widerspruch genau dann, wenn A B aussagenlogisch falsch ist Logische Konsistenz Der Begriff der Konsistenz ist der Gegenbegriff zum Begriff des Widerspruchs. Zwei Aussagen sind miteinander konsistent, wenn keine Wahrheitskonkurrenz, also kein Widerspruch zwischen ihnen besteht. Die aussagenlogische Konsistenz ist entsprechend als die Negation des konträren aussagenlogischen Widerspruchs definiert. Definition 21 Seien A und B Aussagen oder aussagenlogische Formeln. A und B sind aussagenlogisch konsistent genau dann, wenn A B nicht aussagenlogisch falsch ist. Zu berücksichtigen ist aber, dass zwei Aussagen nicht nur aus aussagenlogischen Gründen in Wahrheitskonkurrenz zueinander stehen können, sondern etwa auch aus begrifflichen Gründen wie im folgenden Beispiel: (A) Hans ist ein Junggeselle. 6. Vorlesung

5 (B) Hans ist verheiratet. Der begriffliche oder semantische Widerspruch dieser beiden Aussagen, der auf der Bedeutung der in ihnen vorkommenden Ausdrücke (insbesondere Junggeselle und verheiratet ) beruht, kann mit Mitteln der Aussagenlogik nicht analysiert werden Logische Abhängigkeit Wenn man sagt, dass zwei Aussagen voneinander abhängig sind, meint man, dass aus der Wahrheit oder Falschheit der einen Aussage etwas über die Wahrheit oder Falschheit der anderen Aussage folgt. Eine solche Abhängigkeit kann aufgrund der logischen Form der Aussagen bestehen. Grundsätzlich sind vier Fälle zu unterscheiden: Definition 22 Seien A und B Aussagen oder aussagenlogische Formeln. A und B heißen aussagenlogisch abhängig genau dann, wenn A = B oder B = A oder A = B o- der B = A gilt Zwei wichtige Spezialfälle der logischen Abhängigkeit sind zu unterscheiden: Definition 23 Seien A und B Aussagen oder aussagenlogische Formeln. A ist aussagenlogisch notwendig für B genau dann, wenn B = A gilt. Zu beachten ist, dass das für B Notwendige logisch aus B folgt! Das kommt dadurch zustande, dass etwas, das für B notwendig ist, immer vorliegen muss, wenn B vorliegt, d.h. aus dem Vorliegen von B geschlossen werden kann. Der umgekehrte Fall, bei dem von dem Vorliegen von A auf das Vorliegen von B geschlossen werden kann, wird in die folgende Definition gefasst: Definition 24 Seien A und B Aussagen oder aussagenlogische Formeln. A ist aussagenlogisch hinreichend für B genau dann, wenn A = B gilt. Oftmals wird im Kontext der in den letzten beiden Definitionen formulierten logischen Abhängigkeiten auch von notwendigen und hinreichenden Bedingungen gesprochen. Man sagt beispielsweise im Fall B = A, dass A eine notwendige Bedingung von B ist. Im Fall A = B ist A eine hinreichende Bedingung für B. Fasst man beide Abhängigkeiten zusammen, gelangt man zu notwendigen und hinreichenden 6. Vorlesung

6 Bedingungen. A ist genau dann eine notwendige und hinreichende Bedingung für B, wenn A B gilt. 6. Vorlesung