Logik-Programmierung und Negation

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Erna Elvira Stein
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1 Logik-Pogammieung und Negation Sebastian Maius Kisch 12. Juli Übeblick Motivation und Vobetachtungen Rückblick: Heband-Theoie, Vevollständigung, SLDNF-Resolution SLD-CNF-Resolution Deiwetige Logik, deiwetige Hebandmodelle Wohlfundiete Semantik SLS-Resolution 2 Motivation Monotonie: Γ L Γ Γ L klassische Logik ist monoton Negation füht zu Nichtmonotonie.(Bs: =, abe {} = ) klassische Inteetation de Semantik mit Negation füht zu einem Theoembeweise este Odnung, mit den damit vebundenen unentscheidbaen Poblemem. Waum ist Logikogammieung mit Negation totzdem ein inteessantes Gebiet, obwohl das Gundoblem nicht entscheidba ist? Semantik mit Negation ist teilw. beechenba. In de Volesung hatten wi das SLDNF- Kalkül gesehen. Alle vogestellten Kalküle efüllen imme noch die Rationalität: Γ A und Γ L Γ {A} L 1

2 Datenbanken (negative Infomation imlizit) gesunde Menschenvestand ist nichtmonoton (vegl. Default-Logiken) Beisiel: Pete hat sich veliebt, die beiden sind seh glücklich hie weden die meisten zuest annehmen, dass Pete nun eine Feundin hat. Efäht man säte, dass Pete schwul ist, dann gilt die Folgeung, dass e eine Feundin hat, nicht meh; stattdessen wid gefolget, dass e einen Feund hat. Um das Gundoblem de KI zu lösen, also ein System zu schaffen, das den Vestand des Menschen aoximiet, ist nichtmonotone Logik also unvezichtba. 3 Abhängigkeitsgahen Fomalismus, de in de Volesung nicht benutzt wude, jedoch teilweise zu seh eingängingen Fomulieungen de Anfodeungen an Logikogamme füht. geichtete Gah mit ositiven und negativen Kanten Kanten von de Relation im Kof eine Klausel zu jede Relation im Rumf hängt geade (ungeade) von q ab, wenn es einen Pfad mit eine geaden (ungeaden) Anzahl negative Kanten gibt. call consistency: Keine Relation hängt ungeade von sich selbst ab. q, x q y x q x x y, q x y 4 Rückblick: Heband-Theoie Idee: keine beliebigen Inteetationen, stattdessen weden Konstanten und Funktionsanwendungen duch sich selbst inteetiet. Heband-Univesum U P : Menge alle vaiablenfeien Teme, die aus Funktions- und Konstantensymbolen in P gebildet weden können Altenative zum Heband-Univesum: Postuliee eine univeselle Sache, in de alle Pogamme und Fagen ausgedückt weden. 2

3 Voteil: Löst das Poblem von Sachelementen, die in de Fage, abe nicht im Pogamm vokommen. Heband-Basis B P : Menge alle Gundatome Reäsentiee Heband-Inteetation I als Menge alle Gundatome, die unte I wah sind. 5 Rückblick: Pogammvevollständigung Ausgangsunkt fü die Semantik de Negation in de Volesung wa die closed wold assumtion (CWA): A wid angenommen, wenn A nicht bewiesen weden kann. i. A. unentscheidba, ob ein Liteal A aus den Voaussetzungen bewiesen weden kann ode nicht bewiesen weden kann. Vevollständigung ist Fomalisieung de closed wold assumtion Vestäkung de Semantik von Logikogammen Imlikation wid esetzt duch Äquivalenz Weitee Schitte zu Behandlung von Funktionsanwendungen, Gleichheitsaxiome, etc., sollen hie nicht aufgefüht weden. Beisiel: P = { q; }, Com(P) = { q } Com(P) kann inkonsistent sein: P = { }, Com(P) = { } wenn P call-consistent ist, hat Com(P) ein Heband-Modell Egebnis aus de Volesung: Fü statifiziete Logikogamme ist Com(P) efüllba. call-consistency ist eine wesentlich schwächee Anfodeung Beisiel fü den Wettlauf in de Logikogammieung: Das Gundoblem ist unentscheidba; eine de aktuellen Aufgabenstellungen ist stattdessen, Anfodeungen an Logikogamme möglichst allgemein zu fassen, so dass man imme noch zu Egebnissen kommt. 6 Rückblick: SLDNF endliche, beechenbae Altenative zu CWA: negation by finite failue nu vaiablenfeie negative Liteale können ausgewählt weden 3

4 9 Deiwetige Heband-Inteetationen Deiwetige Heband-Inteetation I = (I +, I ), I +, I B P I ist total, wenn I + I = B P I ist konsistent, wenn I + I = zweiwetige Inteetation I entsicht deiwetige (I, B P \I) Infomationsodnung: I J gdw. I + J + und I J ist eine induktive Odnung auf de Menge de konsistenten deiwetigen Heband- Inteetationen konsistente deiwetige Heband-Inteetationen bilden damit einen Veband Wahheit und Falschheit von Gundatomen vehalten sich monoton bzgl. 10 Bottom-u-Chaakteisieung von Heband-Modellen H i+1 (P) = H i (P) Menge alle Gundatome A = (u 1,..., u n ), fü die es eine Gundinstanz A A 1,..., A l eine Regel von P gibt, so daß A j H i (P), j = 1,..., l Andee Fomulieung: Oeato T (I) = {A A A 1,..., A l gound(p), I = A 1,..., A l } H min ist de kleinste Fixunkt von T P und kann mit endlich vielen Schitten von T P ( ) eeicht weden. 11 Analogon fü deiwetige Logik T3 P (I) = (T, F) T = {A A 1,..., A l (A A 1,..., A l gound(p), A 1,..., A l ist wah in I)} F = {A A 1,..., A l (A A 1,..., A l gound(p), A 1,..., A l imliziet, dass A in I falsch ist)} 4

5 12 T P und Vevollständigung fü Hebandinteetationen gilt I = Com(P) gdw. T P (I) = I wenn T P einen Fixunkt hat, ist diese ein Modell fü Com(P) bei deiwetige Logik gilt analog I = 3 Com(P) gdw. T3 P (I) = I T3 P ist im Gegensatz zu T P monoton Wenn I konsistent ist (z. B. I = (, )), so ist T3 P (I) konsistent. T3 P hat einen kleinsten Fixunkt auf dem Veband de konsistenten deiwetigen Heband- Inteetationen (Knaste-Taski-Theoem) Knaste-Taski-Kleene-Theoem: Eine stetige Funktion f auf einem Veband (D, ), wobei eine vollständige Halbodnung ist, hat einen kleinsten Fixunkt lf(f). Diese kleinste Fixunkt von T3 P ist ein konsistentes Modell von Com(P) Das bedeutet: Com(P) kann nach zweiwetige Logik inkonsistent sein, hat abe totzdem ein konsistentes deiwetiges Modell. Im Zweifelsfall ist das deiwetige Modell (, ), man kann also keine weiteen Folgeungen aus diesem Modell ziehen abe das ist imme noch ein Voteil gegenübe eine inkonsistenten Vevollständigung, aus de man beliebige Folgeungen ziehen kann. 13 Wohlfundiete Semantik definite Logikogamme haben ein eindeutig bestimmtes kleinstes Hebandmodell nomale Logikogamme können mehee kleinste Modelle haben, z. B. P = { q; q } hat zwei kleineste Hebandmodelle H 1 = {} und H 2 = {q} Mehee Ansätze existieen, welches diese kleinsten Modelle vozuziehen ist, z. B. stabile Modelle, efekte Modelle etc. Andee Anstatz: ein deiwetiges Modell WFM(P) statt meheen zweiwetigen deiwetige Logik zu Ezeugung nicht nötig. Idee: Manche Atome müssen wah sein, unabhängig von de Semantik negative Liteale (Fakten), und manche Atome müssen falsch sein (weil sie nicht mit dem Kof eine Klausel unfizieen.) benutze diese Infomation, um das Pogamm zu veeinfachen 5

6 wenn de Wahheitswet von allen Atomen so zu entscheiden ist, ist das Pogamm effektiv statifizieba wenn nicht: vesuche nicht, den Wahheitswet von Atomen zu aten, sonden gebe einfach ein deiwetiges Modell zuück Nicht alle ewateten Atome weden infeiet P = { q; q ; ; q}, q, in allen kleinsten Modellen gilt entwede ode q, und wegen q gilt auch, abe WFM(P) 14 Fixunkt-Chaakteisieung von WFM I 3 (P) = (H min (P + ), H min (P )) P + : P ohne Klauseln mit negativen Litealen P : P ohne negative Liteale P + und P sind definite Logikogamme, besitzen also ein kleinstes Hebandmodell. Φ P (I) = I 3 (P\I) P\I aus gound(p), indem man alle Klauseln mit Litealen löscht, die falsch sind in I, sowie alle Liteale, die wah sind in I Φ P (I) ist monoton bzgl. de Infomationsodnung also existiet ein kleinste Fixunkt von Φ P (gleiches Agument wie bei T3 P ) kann von (, ) eeicht weden diese kleinste Fixunkt ist das wohlfundiete Modell WFM(P) 15 SLS-Resolution Resolution fü statifiziete Logikogamme (linea esolution fo statified clauses) auch fü nomale Logikogamme anwendba Idee: esetze Negation e finite failue duch Negation e failue damit nicht meh beechenba, Imlementationen können nu aoximieen Beisiel: Imlementiee Zyklentest fü unendliche missglückte Äste koekt bzgl. well-founded semantics 6

7 16 SLS-Resolution: Beisiel P = { q; q, s; ; s} q q q q q q, s, s fail s, s s s fail. SLDNF-Baum SLS-Baum SLS-Baum. De linke SLDNF-Baum mit Auswahlegel linkes Liteal schlägt fehlt, da man in einen unendlichen Ast geät. De mittlee Baum ist ein SLDNF-Baum mit Auswahlegel echtes Liteal und gleichzeitig ein SLS-Baum. Beim echten SLS-Baum weden die Voteile de SLS-Resolution deutlich: Obwohl man in einen unendlichen Aste geät, kann das Liteal wegesolviet weden, da de Ast missglückt ist. 17 Schlussstich SLDNF-Resolution ist nicht de Weisheit letzte Schluss Deiwetige Logik füht zu konsequenteen Bescheibungsmöglichkeiten Logikogammieung mit Negation ist ein weites und seh aktives Foschungsfeld... Liteatu [1] Kysztof R. At, Roland N. Bol: Logic Pogamming and Negation: A Suvey. In: Jounal of Logic Pogamming 20, 9-71,

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Einführung in die Aussagenlogik Einfühung in die Aussagenlogik D. 1. (Aussage) Eine Aussage ist ein Satz, de genau einen de genau einen de Wahheitswete wah (W) ode falsch (F) hat. B. 1. Die sog. zweiwetige Logik basiet auf folgenden