Aufgrund der Körperaxiome ist jedoch

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1 Hiweise: Der Doppelstrich // steht für eie Kommetarzeile. Tipp- ud Rechtschreibfehler köe trotz mehrfacher Kotrolle icht hudertprozetig vermiede werde. Die selbst erstellte Lösugsasätze orietiere sich a die Sytax sowie Kovetiosvorgabe der Vorlesug. Zur Bearbeitug wurde u.a. folgede Literatur verwedet: - T. Bröcker Aalysis 1 - Morga Real Aalysis - H. Juek Aalysis - Fritsche Aalysis 1 - Modler/Kreh Tutorium Aalysis 1 ud Lieare Algebra 1 - Walter Aalysis 1 - Köigsberger Aalysis 1 - Forster Aalysis 1 Übugsbuch zur Aalysis 1 - Behreds Aalysis Bad 1 - Rolf Walter Eiführug i die Aalysis 1 - Varga Mathematische Logik für Afäger: Aussagelogik - G. Faghäel, H. Vockeberg Arbeite mit Mege -M. Wohlgemuth Mathematisch für Afäger - Hairer, Waer Aalysis i historischer Etwicklug - Schäfer, Georgi, Trippler Mathematik Vorkurs H. Neuzert Aalysis 1 Kotakt: Aufgabe 1: [ratioale ud irratioale Zahle ] a) Behauptug: Die Aussage ud gilt. Hiweis: Die Behauptug soll u mit eiem eifache Widerspruchsbeweis gezeigt werde. Dazu egiert ma die beide rechte Aussage der Implikatioe i der Behauptug. Ageomme sowie (*). Sei dazu. Wir defiiere zudem, wobei ud, wobei ebefalls. Aufgrud der Körperaxiome ist jedoch. Weil ud, folgt. Aus r + s folgt mit de Körperaxiome:. Daraus folgt letztedlich:. ud hierbei ist ud 1 Nu sid also beide Aussage der rechte Implikatiosseite uwahr. Dies ist jedoch ei Widerspruch zur Aahme (*), weil midestes eie Aussage der rechte Implikatiosseite wahr sei müsste. Dieser Widerspruch beweist usere Behauptug.

2 b) Behauptug: Die Aussage!" gilt. Hiweis: Die Behauptug soll u wieder mit eiem eifache Widerspruchsbeweis gezeigt werde. Dazu egiert ma die rechte Aussage der Implikatio i der Behauptug. Ageomme!" #$. Weil t ach de Körperaxiome jedoch %& als eiziges multiples Iverse besitzt, folgt. Ma muss aber och zeige, dass %& tatsächlich gilt. Ageomme es gelte icht %&,da köte wir folglich ohe Probleme %& ' )*+, setze. Es wird jetzt die Gleichug ( %& ' ei bissche umgeformt & ' ( - (.' +* ( ( Hier ist ' /( 0. Dies ist ' jedoch ei Widerspruch zur Voraussetzug. Dieser Widerspruch beweist %&. Aalog ka ma zeige, dass 123 gilt. Da %&, sowie %& ud weil ( t) das eizige Negative für t ist, wobei 123 4"folgt schließlich 5 Dies ist jedoch ei Widerspruch zur Aahme ud beweist die Behauptug. Beweisidee: Zusammefassed wurde also ageomme, dass die Grudaussage icht gilt. Da wurde hier also ausgeutzt, dass r ach Voraussetzug bereits eie ratioale Zahl ist. Zudem wurde ist t eie irratioale Zahl. Damit ma eie Multiplikatio ud Additio mit eiem ratioalwertige Resultat bekomme köte, müsste ma t mit dem multiple Iverse multipliziere bzw. mit dem Negative zusammefasse, um das störede irratioale Glied t zu elemiiere. Jedoch ist weder das Negative, och das multiple Iverse ratioal. Dies ist da ei Widerspruch zur Aahme ud beweist die Behauptug. Aufgabe 2: [ liegt dicht i ] Behauptug: Zu je 2 reelle Zahle a, b existiert mit a < b eie ratioale Zahl r mit a < r < b. Beweis: Ich wähle dazu ei 6 mit & 74. Sei da A die Mege der gaze Zahle > a. A ist ach dem Archimedische Axiom icht leer, ethält also ach Satz (1) eie kleiste Zahl m. Da gilt: 7 %& & 7 4 Die ratioale Zahl liegt also zwische a ud b Ergäzug: Satz (1): Jede ach obe (ute) beschräkte, icht leere Mege gazer Zahle ethält eie größte (kleiste) Zahl. Beweis: Ich zeige, dass jede icht leere Mege A atürlicher Zahle eie Kleiste ethält. Die übrige Fälle lasse sich darauf durch Verschiebug, d.h. Übergag zu eier Mege 9 :9 ;:, ud Spieglug a 0, d.h. Übergag zu 4:4;:, zurückführe. Ageomme es sei :<6 eie icht leere Teilmege, die keie kleiste Zahl ethält. Da gilt: (*) :=.> ist leer für jedes? 6. Das stimmt für = 1; sost wäre 1 eie kleiste Zahl vo A. Ferer folgt aus :=.>@ auch :=.>.@ ; sost wäre + 1 eie kleiste Zahl vo A. Die hiermit gezeigte Feststellug (*) impliziert u :@ im Widerspruch zur Voraussetzug. 8 2

3 Aufgabe 3: [ABCDEFBGHIJKL] a) Behauptug: Abzählbare Vereiiguge vo edliche Mege sid abzählbar. Defiitio: Eie Mege M heißt abzählbar, we sie edlich oder abzählbar uedlich ist. Nach Defiitio geügt es b. zu zeige, da aus b. automatisch a. folgt. b) Behauptug: Abzählbare Vereiiguge vo abzählbare Mege sid abzählbar. Beweis: Sei Λ MN";N6 die abgezählte Idexmege ud zu jedem? Λ sei O P QR S P TU6 die zugehörige abgezählte Mege. Die Vereiigug, um die es geht, ist PW" V R P V R PW" R S ;UN"6X6 P Λ W6 Es geügt u, eie Surjektio 6Y6X6 azugebe, also alle Paare atürlicher Zahle i eier Folge zu durchlaufe. Das tut die Cauchy-Abzählug: Ma orde die Paare i achfolgedem Schema a ud durchlaufe acheiader die Diagoale {(m, ) m + = k}, k = 1,2, (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) q.e.d. Demach sid 646Z6VV46 ud V 6 & [ abzählbar. Dies weiß ma erst zu würdige, we ma folgedes dagegehält: Satz vo Cator: Ei icht leeres offees Itervall ist icht abzählbar. Die Potezmege vo 6, also die Mege der Teilmege vo 6 ist icht abzählbar. c) Behauptug: Die Mege aller edliche Teilmege vo 6 ist abzählbar. Beweis: Es sei \ die Mege aller edliche Teilmege :<6 ] mit ^_ für alle ^:. Offebar ist \ edlich ud für die Mege M aller edliche Teilmege vo 6 gilt: M = = 0 M Als abzählbare Vereiigug abzählbarer Mege ist M abzählbar. 3

4 Aufgabe 4: [`UIJEHabNILKcN] Behauptug: Sei defy (mit D < ) streg mooto. Da ist f ijektiv ud die Umkehrfuktio d %& streg mooto. Beweis: für streg mooto wachsed: Ageomme defy (mit D < ) sei streg mooto wachsed. Da ist f ijektiv ud die Umkehrfuktio d %& streg mooto wachsed. Dies ist u zu zeige. Seie u,v? D mit u! v. Da ist eie der beide Zahle die kleiere, etwa u < v. Aber da ist f(u) < f(v), wege der strikt steigede Mootoie, isbesodere also d"!dg". Das bedeutet, dass f ijektiv ist. Folglich hat f ach Satz (2) eie Umkehrfuktio d %& ehijd"yf5 Diese Fuktio selbst ist streg mooto wachsed, de gäbe es Elemete y, y? Bild(f) mit y < y, aber d %& k"ld %& k m "g, so würde durch Awedug vo f wege der Mootoie die Ugleichug d"klk m dg" folge. Dieser Widerspruch zeigt die Behauptug für strikt wachsede Mootoie. für streg mooto falled: Ageomme defy (mit D < ) sei streg mooto falled. Da ist f ijektiv ud die Umkehrfuktio d %& streg mooto falled. Dies ist u zu zeige. Seie u,v? D mit u! v. Da ist eie der beide Zahle die größere, etwa u > v. Aber da ist f(u) < f(v), wege der strikt fallede Mootoie, isbesodere also d"!dg". Das bedeutet, dass f ijektiv ist. Folglich hat f ach Satz (2) eie Umkehrfuktio d %& ehijd"yf5 Diese Fuktio selbst ist streg mooto falled, de gäbe es Elemete y, y? Bild(f) mit y < y, aber d %& k"ld %& k m "g, so würde durch Awedug vo f wege der fallede Mootoie die Ugleichug d"klk m dg" folge. Dieser Widerspruch zeigt die Behauptug für strikt fallede Mootoie. Schließlich ist die Behauptug Sei defy (mit D < ) streg mooto. Da ist f ijektiv ud die Umkehrfuktio d %& streg mooto. bewiese Ergäzug: Satz (2): Eie Fuktio f : X Y besitzt geau da eie Umkehrfuktio, we f eideutig ist. I diesem Fall ist der Defiitiosbereich der Umkehrfuktio gleich dem Wertebereich der Fuktio. Beweis: trivial 4

5 Ageomme de Y erfüllt f (x + y) = f(x) + f(y) für alle x, y?. (*1*) G" Behauptug: Es gilt d^& > ^) = d^&" > d^",? 6 (z.z.) Beweis durch vollstädige Iduktio: Iduktiosafag: ( = 2): d^& ^o"d^&" d^o" Iduktiosvoraussetzug: Die Behauptug gilt für beliebige. Iduktiosschluss: d^& > ^ ^& ) = d^&" > d^" d^& " [z. z.] d^& > ^ ^& "d1^& > ^" ^& 3 = // ach (*1*) x y d1^& > ^" d^& 3d^&" > d^" d^& " // ach Iduktiosvoraussetzug B" Behauptug: Es gilt: pq Zd^"q^)^ q.e.d. Beweis: Dazu setzt ma am Afag qd.". Es gilt weiterhi: d"d "d" d" 4d" Nach Umformug der Gleichug folgt: d" Sei x? 6. Da folgt: d^"d.. r"d." d." > d."^[q Sei u x? % ud x = ( b) mit b? 65Da folgt: d"d1 4"3d" d4"d4"4d"4qq[4"q^ Sei u x? mit ^ ), wobei! 0. Da folgt schließlich für qd/ 0: d"d/ > 0d/ 0 d/ 0 > d/ 0q^ Damit ist die Behauptug beweise, de wir habe gezeigt, dass ei c existiert. Letztes Update: Freitag am um 23:48 (1492 Wörter). 5