Kapitel 11: Oberflächen- und Flussintegrale

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1 Kapitel 11: Oberflächen- und Flussintegrale Ziel: Berechnung von Integralen, deren Integrationsbereich eine 2-dim. Fläche in einem 3-dim. Raum ist (z.b. Fläche von Kugel) Motivation / Anwendungen: - z.b. Elektrostatik: freie Ladung eines metallischen Leiters findet sich nur auf der Oberfläche; Gesamtladung = Flächenintegral Gesamtladung: Fläche: Flächenelement: parametrisieren die Fläche Oberflächendadungsdichte (Ladung pro Flächenelement) - Erhaltungssäzte: z.b. Stromerhaltung: Gesamtladungszunahme in einem Volumenbereich V = Gesamtladungsfluss durch Oberfläche, (rein - raus) = Flächenintegral des Stroms, (rein - raus) Volumen Oberfläche Volumenelement (Ladungsdichte) gerichtetes Flächenelement Stromdichte = Ladung pro Zeitinterval pro Flächenelement 11.1 Parametrisierung von Flächen Beispiel 1: Kugeloberfläche Kugelkoordinaten, mit Beispiel 2: "Gebirge" "Höhe" = eindeutige Funktion von ("keine Überhänge") Beispiel 3: Rotationsflächen sei eine beliebige Funktion:

2 Parametrisierung von Flächen - allgemeine Formulierung Parametrisierung einer Fläche erfordert zwei Koordinaten, die ein "lokales Koordinatennetz" definieren. Fläche in wird beschrieben durch eine Abbildung ("Höhenkarte") der Form (1) ist eine 2-dim. Verallgemeinerung des Konzepts einer 1-dim. Raumkurve (Seite RK1) Raumkurve: Koordinatenlinie (variere eine d. Variablen, halte andere fest) = Raumkurve - Koordinatenlinie: - Koordinatenlinie: Jede Koordinatentransformationen jede fest Wahl v. liefert neue Fläche: definiert eine Flächenschar: 11.2 Oberflächenintegrale in Analog zu Seite Int16 für 2-dimensionale Integration, aber statt 2-dim Fall dort: hier nun 3-dim Fall: Betrachte das Flächenelement aufgespannt durch Es wird charakterisiert durch seine Fläche, und die Richtung eines zur Fläche stehenden Einheitsvektors ("Normalvektor") (im 2-dim Fall von Seite Int16 war, hier aber ist ortsabhängig!) Definition: gerichtetes Flächenelement [Verallgemeinerung von (Int16.4)] Betrag: Richtung: (legt auch "oben", "unten" fest)

3 Größe der Fläche für : "Fläche über G": Lagrange-Identität (V43.9): Für orthogonale Koordinaten: somit: Betrag des Flächenelements: Richtung: Fläche über G: Beispiel 1: Kugeloberfläche Kugelkoordinaten (siehe Seite Int22, und Blatt 4, Aufgabe 2a): (Int22.5): Einheitsvektoren sind orthonormal: (Blatt 4, Aufgabe 2a) Zur Erinnerung: (obwohl wir sie hier nicht explizit brauchen) Kugeloberfläche: Radius = Kugel

4 Beispiel 2: Gebirge "Höhe" (5.2) (, also ein nicht-orthog. Koordinatensystem) Über Bereich wie groß ist Gebirgsoberfläche? Beispiel 3: Rotationskörper Orthogonal: Oberfläche des Rotationskörpers für den Bereich -Integral ist trivial, wegen Nutzung von Symmetrie!

5 Verallgemeinerung: Flächenintegral einer Funktion über G: Sei eine Fläche (wie bisher), und eine Funktion (auf demselben Gebiet G definiert wie die Fläche) Definition: Integral von entlang der Fläche über dem Gebiet : Interpretation: Gewichtung jeden Punktes auf der Fläche (parametrisiert durch ) durch die Gewichtsfunktion [z.b. = Flächenladungsdichte, wie in (1.1) ] Beispiel Kugelfläche: Vergleiche (6.8) Anmerkung: ist unabhängig von der Wahl der Parametrisierung der Fläche! [Beweis: siehe z.b. Grossmann, Mathematischer Einführungskurs in für die Physik, 2004] 11.3 Flussintegrale durch Flächen Sei ein Vektorfeld. Wieviel "fliesst" durch die Oberfläche? sei Oberflächenelement am Ort : Zerlege in Anteile zum Flächenelement "Normalkomponente" fliesst durch Flächenelement hindurch "Tangentialkomponente fliesst am Flächenelement entlang Definition: "Fluss" durch Flächenelement: Definition: "Fluss" durch die Fläche :

6 Beispiel 1: Elektrisches Feld einer Punktladung Berechne Fluss durch Oberfläche einer Kugel mit Radius : Seite 6: Fluss hängt nicht vom Radius ab (!). Das ist ein Beispiel vom Gauss-Gesetz der Elektrostatik: Der durch die Oberfläche eines Volumens hindurchtretende Fluss des elektrischen Feldes ist proportional zur gesamten in enthaltenen elektrischen Ladung: Beispiel 2: Fluss eines Magnetfelds durch Zylinder Magnetfeld sei Fluss nach aussen durch den Boden: Deckel Mantel Boden Fluss nach aussen durch den Deckel: Fluss nach aussen durch den Mantel: Fluss nach aussen durch ganzen Zylinder: Beispiel für allgemeines Gesetz: Magnetfeldfluss durch geschlossene Fläche = 0!