2.5 p-gruppen und die Sätze von Sylow
|
|
- Hilke Fischer
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Algebra I c Rudolf Scharlau, p-gruppen und die Sätze von Sylow Bisher haben wir uns in dieser Vorlesung mit letztlich elementaren Grundkonzepten der Algebra beschäftigt. Bei genauer Betrachtung gab es (vielleicht mit Ausnahme des Struktursatzes für endliche abelsche Gruppen) noch keinen wirklich schwierigen Satz, etwa vom Format des Steinitzschschen Austauschssatzes oder gar der Jordanschen Normalform in der Linearen Algebra. Das ändert sich in diesem Abschnitt. Die Sätze von Sylow 6 sind auch für den professionellen Algebraiker ein tieferliegendes Resultat, das dementsprechend einen etwas längeren und vor allem auch von der Strategie her nicht auf der Hand liegenden Beweis erfordert. Das Bemerkenswerte an den Sätzen von Sylow und den vorbereitenden Sätzen über p-gruppen ist, dass sie Aussagen über die Struktur einer endlichen Gruppe machen, die keinerlei Voraussetzungen außer der Kenntnis der Ordnung der Gruppe benötigen. Wir erinnern daran, dass eine p-gruppe eine Gruppe ist, deren Ordnung eine Primzahlpotenz ist, entsprechend für p-elemente. Definition Es sei p eine Primzahl. a) Es sei G eine endliche Gruppe, schreibe G = p l m mit p m. Eine Untergruppe P von G heißt p-sylow-gruppe in G (oder p-sylow-untergruppe von G), falls P = p l ist. b) Mit Syl p (G) ={Q G Q Untergruppe und Q = p l } bezeichnen wir die Menge aller p-sylow-gruppen. Eine p-sylow-untergruppe von G hat also die größtmögliche Ordnung, die der Satz von Lagrange für eine p-untergruppe erlaubt. Ein Satz von Sylow besagt, dass solche Untergruppen existieren, was keinesweges offensichtlich ist. (Eine endliche Gruppe muss nicht für jeden Teiler m ihrer Ordnung eine Untergruppe der Ordnung m besitzen.) Eine p-sylowgruppe ist im allgemeinen nicht eindeutig, jedoch gibt ein weiterer Satz von Sylow starke Einschränkungen an ihre Anzahl. Beispiel (Die Sylow-Gruppen der S 4 ) a) In der symmetrischen Gruppe S 4 mit der Ordnung 24 = 2 3 3istdieDiedergruppe Di 4 = (1, 2, 3, 4), (2, 4) eine 2-Sylow-Untergruppe, die zyklische Gruppe (1, 2, 3) eine 3-Sylow-Untergruppe. b) Die Menge Syl 2 (S 4 ) aller 2-Sylow-Untergruppen besteht aus (1, 2, 3, 4), (2, 4), (1, 2, 4, 3), (2, 3), (1, 3, 2, 4), (3, 4), also Syl 2 (S 4 ) =3. c) Die Menge Syl 3 (S 4 ) aller 3-Sylow-Untergruppen besteht aus (1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (2, 3, 4), also Syl 3 (S 4 ) =4. 6 P. Ludwig Mejdell Sylow, norwegischer Mathematiker,
2 Algebra I c Rudolf Scharlau, In abelschen Gruppen ist die Frage nach der Existenz und Eindeutigkeit von Sylowgruppen bereits durch Satz beantwortet: Die Gruppe G i = G(p ν i i )={x G xpν i i = e} dieses Satzes ist eine p i -Sylowgruppe in G, für jeden Primteiler p i der Ordnung von G. DieGruppeG i besteht einfach aus allen p i -Elementen in G. Andererseits sind alle Elemente einer beliebigen p-gruppe nach Lagrange p-elemente. In der Situation des Satzes ist also jede denkbare p i -Sylow-Untergruppe von G in G i enthalten und somit gleich G i (weil sie die gleiche Ordnung hat). Also ist G i die einzige p i -Sylowgruppe in G. MitanderenWorten,dieSylow-Gruppeneiner abelschen Gruppe existieren, und sind sogar eindeutig bestimmt. Leider ist die Situation im abelschen Fall zu einfach, um methodische Hinweise zur Frage der p-sylow-untergruppen von beliebigen Gruppen zu liefern. Das entscheidende Hindernis im nicht-abelschen Fall ist, dass die p-elemente (für festes p) im allgemeinen keine Untergruppe bilden. Ferner ist nicht offensichtlich, ob nicht-triviale p-untergruppen oder gar p-sylow-untergruppen überhaupt existieren. Ein wesentliches Hilfsmittel zum Beweis solcher Existenzaussagen ist das aus dem vorigen Abschnitt 2.4 bekannte Konzept der Gruppenoperation, genauer die Operation einer Gruppe G auf sich selbst sowie auf der Menge ihrer Untergruppen durch Konjugation (also durch innere Automorphismen). Wir beschäftigen uns zunächst mit p-gruppen. Satz Es sei p eine Primzahl, G eine p-gruppe, die auf einer endlichen Menge X operiert, und Fix(G) ={x X g G : g.x = x} die Menge ihrer Fixpunkte. Dann gilt Fix(G) X mod p. Beweis: Wir haben eine disjunkte Zerlegung X = Fix(G) X 1 X 2 X r, wobei die X i diejenigen Bahnen von G in X sind, die aus mehr als einem Punkt bestehen. Nach Satz ist die Mächtigkeit von X i gleich dem Index einer echten Untergruppe von G, nämlich des Stabilisators eines Punktes von X i,also jedenfalls eine Potenz von p. Hieraus folgt unmittelbar die Behauptung. Der nächste Satz liefert eine erste Strukturaussage für p-gruppen. Satz Jede nicht-triviale p-gruppe, für eine Primzahl p, hat ein nichttriviales Zentrum. Beweis: Dieses ergibt sich unmittelbar aus dem vorigen Satz, wenn man die Operation einer Gruppe G auf sich selbst durch Konjugation betrachtet. Die Fixpunktmenge dieser Operation ist genau das Zentrum von G.
3 Algebra I c Rudolf Scharlau, Beispiel An nicht-abelschen Gruppen der Ordnung 2 3 = 8 kennen wir die Diedergruppe Di 4 S 4 und die Quaternionengruppe Q 8 SL 2 (C). (Es gibt keine weiteren.) In beiden hat das Zentrum die Ordnung 2: es ist Z(Di 4 ) = {id, (1, 3)(2, 4)}, Z(Q 8 )={±E 2 },wobeie 2 die 2 2-Einheitsmatrix bezeichnet. Aus dem nächsten Lemma folgt ohne Einzelfallbetrachtung, dass das Zentrum einer Gruppe der Ordnung 8 nicht aus 4 Elementen bestehen kann. Wir erinnern daran, dass das Zentrum Z(G) einer Gruppe ein Normalteiler ist (offensichtlich) und deshalb die Faktorgruppe G/Z(G) existiert. Lemma Sei G eine Gruppe derart, dass G/Z(G) zyklischist.dannist G abelsch. Insbesondere kann der Index des Zentrums einer Gruppe nie eine Primzahl sein. Beweis: Es sei a G so, dass die Faktorgruppe G/Z(G) von der Nebenklasse az(g) erzeugtwird.dannlässt sich jedes Element g G in der Form g = a m z mit m Z und z Z(G) schreiben.esistoffensichtlich,dasszweibeliebige Elemente g und g dieser Gestalt vertauschbar sind, gg = g g. Also ist G abelsch. Dann ist aber sogar G = Z(G) undsomitderindexvonz(g) ing gleich 1 Den folgenden einfachen Satz notieren wir als Nebenprodukt unserer letzten Überlegungen. Er wird nicht für die Sylowsätze benötigt, sondern klärt im Vorfeld in einem besonders einfachen Fall die allgemeine Frage nach der Klassifikation aller Gruppen mit einer festen Ordnung. Satz Jede Gruppe der Ordnung p 2,für eine Primzahl p, ist abelsch. Es gibt für jede Primzahl p bis auf Isomorphie genau zwei Gruppen der Ordnung p 2, nämlich die zyklische Gruppe Z p 2 und das direkte Produkt Z p Z p. Beweis: Für die Ordnung m := Z(G) des Zentrums von G gilt nach Satz 2.5.4, dass m = 1 ist, und nach Lemma 2.5.5, dass m = p ist. Also bleibt nur Z(G) =G, womitg abelsch ist. Falls G ein Element der Ordnung p 2 enthält, ist G zyklisch, also isomorph zu Z p 2. Anderenfalls haben alle Elemente = e die Ordnung p. Wähle ein a G {e} und weiter ein b G a. Die Abbildung ϕ : Z p Z p G, (k, l) a k b l ist ein Homorphismus, weil G abelsch ist (man erinnere sich an Satz 2.1.9, der zwei Isomorphien Z m a und Z m bherstellt). Das Bild von ϕ ist eine Untergruppe, die mehr als p Elemente enthält, also gleich ganz G sein muss. Aus dem Homomorphiesatz folgt nun, dass der Kern von ϕ trivial ist und somit ϕ ein Isomorphismus. Für den zweiten Teil des Satzes hätten wir den Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen zitieren können. Es erscheint aber wenig angemessen, für ein so einfaches Resultat einen allgemeinen Satz (mit kompliziertem Beweis) zu bemühen.
4 Algebra I c Rudolf Scharlau, Wir verlassen nun die p-gruppen zunächst wieder und formulieren das Hauptergebnis dieses Abschnittes. Die verschiedenen, in der Literatur als Sylow-Sätze bezeichneten Aussagen fassen wir ein einem mehrteiligen Theorem zusammen. Der Beweis wird mehrere Hilfssätze benutzen. Theorem (Sätze von Sylow) Es sei G eine endliche Gruppe und p eine Primzahl. a) G enthält p-sylow-untergruppen. b) Jede p-untergruppe von G ist in einer p-sylow-gruppe enthalten. c) Je zwei p-sylow-gruppen von G sind konjugiert. d) Die Anzahl der p-sylow-gruppen von G ist kongruent zu 1 modulo p. e) Schreibe G = p l m mit p m. Dann ist die Anzahl der p-sylow-untergruppen in G ein Teiler von m. Die Aussagen c), d) und e) werden durch das obige Beispiel der Gruppe S 4 gut illustriert. Die Diedergruppe Di 4 der Ordnung 8 kann als der Stabilisator in S 4 des Quadrates mit den Ecken 1, 2, 3, 4, genauer als Stablisator der Kantenmenge {{1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, {4, 1}} P({1, 2, 3, 4} aufgefasst werden, ihre drei Konjugierten entsprechen, wie unter dem Beispiel (2) bereits bemerkt, den drei wesentlich verschiedenen Möglichkeiten, die Ecken eines Quadrates zu nummerieren. Die 3-Sylow-Gruppen in S 4 sind einfach die Stabilisatoren Stab S4 (i), i =1, 2, 3, 4; natürlich gibt es davon vier Stück, und sie sind alle konjugiert (weil sie in einer Bahn liegen, siehe die allgemeine Bemerkung ). Im Beweis der Sylow-Sätze wird sich als leichte Verschärfung der Behauptung sogar zeigen, dass G Untergruppen der Ordnung p k enthält für jedes p k,das G teilt. Der folgende Satz ist ein Spezialfall dieses Resultates, der zum Beweis des allgemeinen Falls benutzt wird. Satz (Lemma von Cauchy) Seien G eine endliche Gruppe und p eine Primzahl mit p G. Dann gibt es in G ein Element der Ordnung p. Beweis: Wir benutzen wieder den Satz Man betrachtet die Menge G p = G G G sowie die durch σ(g 1,g 2,...,g p ):=(g p,g 1,g 2,...g p 1 )(Weiterschieben um eine Stelle) gegebene Permutation von G p.weiterbetrachtenwirdie Teilmenge X = {(g 1,g 2,...,g p ) G p g 1 g 2... g p = e}. Dieseistσ-invariant, durch Einschränkung liefert also σ eine Permuation σ Per X. Diese hat die Ordnung p, wirhabenalsoeineoperationder(zyklischen)gruppeσ der Ordnung p auf X. Die Fixpunkte (g 1,...,g p )dieseroperationerfüllen g 1 = g 2 = = g p, entsprechen also genau den Elementen g mit g p = e, d.h.demneutralenelement e und den Elementen der Ordnung p. Nach ist die Anzahl dieser Fixpunkte durch p teilbar, es gibt also Fixpunkte (g, g..., g) mitg = e.
5 Algebra I c Rudolf Scharlau, Die nächsten beiden Hilfssätze bereiten die Existenz von p-sylow-gruppen in einer beliebigen endlichen Gruppe vor. Hilfssatz Es sei p eine Primzahl, k N, G eine endliche Gruppe und P eine Untergruppe von G der Ordnung p k mit p [G : P ]. Dann gilt p [N G (P ):P ]. Im Beweis darf man offenbar die schärfere Voraussetzung p [G : N G (P )] benutzen, denn aus p [G : P ]folgtoffenbarp [G : N G (P )] oder p [N G (P ):P ]. Hilfssatz Es sei p eine Primzahl, G eine endliche Gruppe und P eine Untergruppe von G der Ordnung P = p k für ein k N 0 und p [G : P ]. Dann gibt es eine Untergruppe P 1 der Ordnung P 1 = p k+1 von G mit P P 1 N G (P ). Aus diesem Hilfssatz zusammen mit folgt unmittelbar die angekündigte Existenz von Untergruppen der Ordnung p k für jeden Teiler der Form p k der Gruppenordnung, insbesondere also Teil a) und weiter auch b) des Theorems Für die Teile c) und d) des Theorems, die sich mit Konjugierten von Sylowgruppen beschäftigen, ist folgender Hilfssatz nützlich. Er wird im Zusammenhang mit Anwendungen der Sylowsätze noch weiter gebraucht (z.b: für Satz c). Hilfssatz Es seien P und Qp-Sylow-Gruppen in G mit P N G (Q). Dann gilt P = Q. Die Beweise der drei Hilfssätze und der Teile c) und d) des Theorems benutzen die Operation von G und geeigneten Untergruppen von G durch Konjugation auf gewissen Mengen von Untergruppen. Sie werden in der Vorlesung vorgeführt. Der Teil e) über die Anzahl der p-sylowgruppen folgt dann unmittelbar aus Teil a) und c): Die Menge Syl p (G) =Syl p besteht aus den Konjugierten eines Elementes P Syl p, mit anderen Worten, Syl p ist die Bahn von P für die Operation von G durch Konjugation auf der Menge aller Untergruppen von G. Somit ist die Mächtigkeit Syl p gleich dem Index des Stabilisators von P, also des Normalisators N G (P )vonp in G. Weil der Normalisator eine Obergruppe von P ist, ist sein Index ein Teiler des Index (G : P )=m. Die Sätze von Sylow sind ein erstes grundlegendes Hilfsmittel zur Untersuchung der Struktur endlicher Gruppen. Diese Thematik kann im Rahmen einer einführenden Algebravorlesung nicht vertieft behandelt werden. Wir wollen hier aber eine Grundidee noch etwas weiter ausführen, nämlich die Rolle von normalen Untergruppen. Wenn N G ein echter, nichttrivialer Normalteiler in der Gruppe G ist, also G = N = {e}, dannhatmaningewisserweisediegruppeg in zwei (echte) Teile zerlegt, nämlich in die Faktorgruppe G/N und in die (Unter-)Gruppe N. An dieser groben Idee ist zumindest richtig, dass man die Elemente der Gruppe G mit Hilfe von G/N und N hinschreiben kann (Nebenklassenzerlegung) und dass insbesondere die Ordnung von G das Produkt der beiden Ordnungen von
6 Algebra I c Rudolf Scharlau, G/N und N ist. Auch die später in Abschnitt 2.6 behandelte Eigenschaft der Auflösbarkeit einer Gruppe kann auf G/N und N zurückgeführt werden. Die vollständige Struktur (Isomorphieklasse) von G ist zwar noch keineswegs durch die von G/N und von N festgelegt, aber es gibt eine Theorie der Erweiterungen von Gruppen, die diese Frage systematisch angeht. Ein einfacher Spezialfall von Erweiterungen sind übrigens die sogenannten semidirekten Produkte von Gruppen, denen wir unten noch einen eigenen Abschnitt 2.7 widmen. Ein Zusammenhang zu den Sätzen von Sylow ist insofern gegeben, als diese Sätze (entweder direkt, oder die verwendeten Beweismethoden) für viele Gruppenordnungen die Existenz von echten nichttrivialen Normalteilern implizieren. Wir wollen zusammenfassend festhalten, dass die Existenz eines echten nichttrivialen Normalteilers als eine Reduktion der Frage nach der Struktur einer Gruppe auf Gruppen kleinerer Ordnung anzusehen ist. Deswegen bekommen Gruppen, bei denen eine solche Reduktion nicht möglich ist, einen eigenen Namen: Definition Eine Gruppe G heißt einfach, wennsiekeineechten,nichttrivialen Normalteiler enthält. Die einzigen abelschen einfachen Gruppen sind die Gruppen von Primzahlordnung. Es gibt viele große einfache Gruppen, etwa die Gruppe PSL n (K) der invertierbaren Matrizen der Größe n 3mitDeterminante1über einem Körper K modulo dem Normalteiler der Vielfachen der Einheitsmatrix (hierfür steht das P wie projektiv im Namen); das gleiche gilt übrigens für n =2und K 4. Dieses und ähnliche Resultate beweist man in der Theorie der sog. klassischen Gruppen, der Theorie der Lie-Gruppen und der Theorie der algebraischen Gruppen. Das sind Gruppen, die gleichzeitig algebraische Mannigfaltigkeiten; sie be- sitzen eine besonders ausgefeilte Strukturtheorie. Wenn man dagegen nach nicht-abelschen einfachen Gruppen kleiner Ordnung (sagen wir etwa, mit höchstens 100 Elementen) sucht, findet man nicht viele, weil wie schon erwähnt viele Zahlen n, abhängig von der Art der Primfaktorzerlegung die Existenz von Normalteilern in Gruppen der Ordnung n implizieren. So gibt es etwa für echte Primzahlpotenzen n = p k,k 2injederGruppeG der Ordnung n einen echten nichttrivialen Normalteiler. Im einzig interessanten nicht-abelschen Fall kann man dafür immer das Zentrum Z(G) nehmen;esistnachsatz2.5.4 nichttrivial. Die kleinsten zu betrachtenden Gruppenordnungen sind nunmehr 6, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 22, 24. Für alle diese Zahlen außer 12 und 24 ergibt sich die Existenz einer normalen Sylowgruppe sofort aus dem folgenden Lemma: Lemma Es sei G ein Gruppe der Ordnung p k q l,wobeip und q Primzahlen sind mit p k <q.dannisteineq-sylow-untergruppe von G ein Normalteiler. Beweis: Es sei Q G eine q-sylow-untergruppe von G. Wir zeigen, dass die Anzahl s aller q-sylowgruppen in G gleich 1 ist. Dann muss nämlich jede zu
7 Algebra I c Rudolf Scharlau, Q konjugierte Untergruppe gleich Q sein, und somit ist Q normal. Sei s = 1 angenommen. Nach dem Teil d) des Sylowsatzes ist s q 1, also s q +1. Anderseits ist nach e) s ein Teiler von p k, insbesondere s p k.esergibt sich q +1 p k, im Widerspruch zur Voraussetzung. Nach diesen Vorüberlegungen kommt es vielleicht nicht mehr ganz überraschend, dass 60 die kleinste Ordnung einer nicht-abelschen einfachen Gruppe ist. Genauer gilt folgendes: Satz a) Die alternierende Gruppe Alt 5 der Ordnung 60 ist einfach. b) Jede einfache Gruppe der Ordnung 60 ist isomorph zu Alt 5. c) Es gibt keine einfachen Gruppen mit einer Ordnung kleiner als 60 außer den zyklischen Gruppen von Primzahlordnung. Beweisskizze: zu a): Wir benutzen die Zerlegung einer endlichen Gruppe G in Konjugiertenklassen und die daraus resultierende Zerlegung der Gruppenordnung n in Teiler von n: G = X 1 X 2... X k, n = n 1 + n n k,wobein i k. Diese Gleichung nennt man auch Klassengleichung der Gruppe G; sieisteinspezialfall der Bahnengleichung In Alt 5 sind die Konjugiertenklassen durch die Zykeltypen der Permutationen gegeben: (), (5), (3), (2, 2) mit den Anzahlen 1, , 20, 15; die 24 in S 5 konjugierten Fünferzykel zerfallen in Alt 5 in zwei Klassen. Die Klassengleichung lautet also 60 = (Klassengleichung der Alt 5 ) Ein Normalteiler in Alt 5 müsste nun Vereinigung von gewissen Konjugiertenklassen sein. Seine denkbaren Ordnungen 2, 3, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 24, 30 sind aber alle nicht als Teilsumme der Klassengleichung unter Benutzung der 1 darstellbar. zu b): auf den Beweis verzichten wir an dieser Stelle. zu c): Nach Lemma sind noch die Ordnungen 12, 24, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 56 zu betrachten. Für 40 = 8 5und45=9 5folgtwiedersofortausTeile)des Sylowsatzes, dass die 5-Sylowgruppe normal ist. Die verbleibenden Ordnungen werden in der Vorlesung bzw. den Übungen behandelt. Zum Schluss dieses Abschnittes geben wir einen kleinen Ausblick auf endliche einfache Gruppen und kehren hierzu noch einmal zu den Projektiven Linearen Gruppen PSL n (F q )zurück (oft auch als PSL(n, q) bezeichnet).interessantistschon der Fall n =2der2 2-Matrizen. Die Ordnung dieser Gruppe in Abhängigkeit von der Mächtigkeit q = p r des Grundkörpers (dabei p eine Primzahl, vergleiche Kapitel 4.3) ist
8 Algebra I c Rudolf Scharlau, PSL 2 (F q ) = 1 2 falls q = pr,p>2, (q +1)q(q 1), falls q =2 r. Zum Beweis dieser Formel überlegt man sich zunächst durch einfaches (spaltenweises) Abzählen regulärer Matrizen die Ordnung von GL 2 (F q )(odergleichvon GL n für beliebiges n); für SL n muss man dann durch q 1teilen(Ordnungdes Kerns der Determinante); für PSL n muss man schließlich klären, welche Vielfachen der Einheitsmatrix die Determinante 1 haben; hier kommt schon für n = 2 die genannte Fallunterscheidung ins Spiel; durch diese Anzahl muss dann wieder geteilt werden (Ordnung einer Faktorgruppe). Die beiden kleinsten Gruppen PSL 2 (F q )sindzuklein,umnicht-abelscheinfach zu sein; die nächsten Werte von q liefern dann die nicht-abelschen einfachen Gruppen mit den kleinsten Ordnungen. Entscheidend für die Analyse von PSL 2 (F q )istihretransitive(sogar 3-fach transitive ) Operation auf der Projektiven Geraden P(F 2 q) = F q { }, alsoaufq +1Punkten.Für kleine q hat man die folgenden Isomorphismen ( Ausnahme-Isomorphismen oder exzeptionelle Isomorphismen ) und Gruppenordnungen: PSL 2 (F 2 ) = Alt 3 = Z3, Ordnung 3 PSL 2 (F 3 ) = Alt 4 Ordnung 12 = PSL 2 (F 4 ) = Alt 5 = PSL2 (F 5 ) Ordnung 60 = PSL 2 (F 7 ) = PSL 3 (F 2 ) Ordnung 168 = PSL 2 (F 9 ) = Alt 6 Ordnung 360 = PSL 2 (F 8 ) Ordnung 504 = PSL 2 (F 11 ) Ordnung 660 = Diese Tabelle enthält alle nicht abelschen einfachen Gruppen der Ordnung kleiner als 1000 (die nächste hat die Ordnung 1092). Siehe hierzu zum Beispiel den Eintrag Finite simple group in Wikipedia (englisch); dort findet sich auch der Verweis auf den Original-Artikel von Marshall Hall, Jr. (1972). Dass die Gruppen PSL n (K) für K > 3tatsächlich einfach sind, ist ein Satz der geometrischen Algebra (man kann ihn auch der Projektiven Geometrie zuordnen). Der Beweis ist relativ kompliziert und gehört nicht in eine einführende Algebra-Vorlesung. In Kapitel 2.6 werden wir die Kommutatorgruppe einer gegebenen Gruppe kennenlernen und dadurch noch ein wenig besser verstehen, wieso der Satz überhaupt gelten kann.
2.6 Ergänzungen und Beispiele: Semidirekte Produkte
Algebra I 15. Oktober 2007 c Rudolf Scharlau, 2002 2007 66 2.6 Ergänzungen und Beispiele: Semidirekte Produkte Wir befassen uns mit der Zerlegung von Gruppen in kleinere Gruppen, bzw. der Konstruktion
MehrProf. M. Eisermann Algebra SoSe 2010
Übungsblatt 9: Sylowsatz und semidirekte Produkte Die folgenden Lemmata könnten Ihnen bei einigen Aufgaben auf dem Blatt hilfreich sein. Sei im Folgenden G stets eine endliche Gruppe und p eine Primzahl.
MehrDie einfache nicht-abelsche Gruppe mit 168 Elementen
Die einfache nicht-abelsche Gruppe mit 168 Elementen Tobias Strubel & Merten Lampe Vortrag zur Algebra I TU Clausthal letzte Änderung: 16. April 2003 Einleitung: Nachdem in der Vorlesung [El2002] gezeigt
MehrAlgebra und Zahlentheorie I, Blatt 10, Aufgabe 4
Algebra und Zahlentheorie I, Blatt 10, Aufgabe 4 Aufgabe 4. (Die Gruppen der Ordnung 12) Beweisen Sie, dass jede Gruppe der Ordnung 12 sich als semidirektes Produkt einer 2-Sylowuntergruppe mit einer 3-Sylowuntergruppe
MehrSylow Sätze und Anwendungen
KAPITEL 11 Sylow Sätze und Anwendungen 11A. Einführung und Überblick In diesem Kapitel widmen wir uns ausschließlich endlichen Gruppen. Der Satz von Lagrange besagt, das für jede Untergruppe H < G die
MehrEinführung in Algebra und Zahlentheorie Lösungsvorschlag zur Klausur am 16. Februar 2016
Fakultät für Mathematik Institut für Algebra und Geometrie PD Dr. Stefan Kühnlein Dipl.-Math. oec. Anja Randecker Einführung in Algebra und Zahlentheorie Lösungsvorschlag zur Klausur am 16. Februar 016
MehrEinführung in Algebra und Zahlentheorie Lösungsvorschläge zur Klausur vom Aufgabe 1 (6 Punkte)
Aufgabe 1 (6 Punkte) Einführung in Algebra und Zahlentheorie svorschläge zur Klausur vom 23.09.2016 a) Bestimmen Sie das multiplikativ inverse Element zu 22 in Z/61Z. b) Finden Sie ein x Z mit folgenden
Mehr1 Gruppen. 1.1 Grundlagen. 1.2 Homomorphie- und Isomorphiesätze
1 Gruppen 1.1 Grundlagen 1.2 Homomorphie- und Isomorphiesätze Sind G und G Gruppen und ϕ : G G ein Gruppenhomomorphismus. Dann gilt: G/Kern(ϕ) = Bild(ϕ) Beispiele 1.1 (a) G/Z(G) = Aut i (G) Satz 1 Sei
Mehr3.5 Gruppenoperationen
3.5. GRUPPENOPERATIONEN 85 1. (1,1,1,1,1); 2. (1,1,1,2); 3. (1,2,2); 4. (1,1,3); 5. (2,3); 6. (1,4); 7. (5). Es gilt also p(5) = 7, und jede abelsche Gruppe der Ordnung 2 5 ist zu genau einer der folgenden
MehrMultiple Choice Quiz: Lösungen
D-MATH Algebra I HS 2015 Prof. Richard Pink Multiple Choice Quiz: Lösungen Jede Frage hat mindestens eine richtige Antwort, manchmal mehrere. 1. Eine nichtleere Teilmenge H G einer Gruppe G ist eine Untergruppe
Mehr2.3 Endliche abelsche Gruppen
Algebra und Zahlentheorie c Rudolf Scharlau, 2002 2013 131 2.3 Endliche abelsche Gruppen In diesem Abschnitt wollen wir die Struktur von endlichen abelschen Gruppen behandeln. Die Grundidee ist, die Gruppe
MehrLösungsvorschlag zur Nachklausur. Zeigen Sie die folgenden voneinander unabhängigen Aussagen:
Lösungsvorschlag zur Nachklausur Aufgabe 1 Es seien G eine Gruppe und H, K zwei Untergruppen von G. Weiterhin gelte G = {hk h H, k K}. Zeigen Sie die folgenden voneinander unabhängigen Aussagen: a) Sind
MehrAlgebra I, WS 04/05. i 0)
G. Nebe, M. Künzer Algebra I, WS 04/05 Lösung 5 Aufgabe 20. 1 Wir haben einen Normalteiler C 3 = 1, 2, 3. Es ist mit C 2 := 1, 2 der Schnitt C 3 C 2 = 1, und folglich aus Ordnungsgründen S 3 = C 3 C 2.
MehrGruppentheorie Eine Zusammenfassung
Gruppentheorie Eine Zusammenfassung Stephan Tornier ETH Zürich FS 09 21. Mai 2009 Zusammenfassung In diesem Skript sind grundlegende Definitionen und Aussagen der Gruppentheorie zusammengefasst. basierend
MehrAlgebra. Patrik Hubschmid. 8. Oktober 2013
Algebra Patrik Hubschmid 8. Oktober 2013 Inhaltsverzeichnis 1 Fortführung der Gruppentheorie 7 1.1 Sylowsätze.................................... 7 3 Vorwort Dieses Skript zur Vorlesung Algebra im Wintersemester
MehrZusatzkapitel Algebra Anton Deitmar
Zusatzkapitel Algebra 1 Zusatzkapitel Algebra Anton Deitmar 1 Gruppen 1.9 Kommutatoren Definition 1.9.1. Sind a, b Elemente einer Gruppe G, so sei [a, b] = aba 1 b 1 der Kommutator von a und b. Sei [G,
MehrEinführung in Algebra und Zahlentheorie
Institut für Algebra und Geometrie 05. September 2013 Klausur zur Vorlesung Einführung in Algebra und Zahlentheorie Name, Vorname: Matrikelnummer: Fachrichtung: Semester: Zur Bearbeitung: Verwenden Sie
Mehr3.5 Trigonalisierbarkeit, verallgemeinerte Eigenräume und Jordansche Normalform
LinAlg II Version 1 29. Mai 2006 c Rudolf Scharlau 219 3.5 Trigonalisierbarkeit, verallgemeinerte Eigenräume und Jordansche Normalform Das Problem der Normalformen für Endomorphismen handelt kurz gesprochen
MehrInhalt der Vorlesung Elemente der Algebra und Zahlentheorie Prof. Dr. Arno Fehm TU Dresden SS Grundlegende Definitionen (Wiederholung)
Inhalt der Vorlesung Elemente der Algebra und Zahlentheorie Prof. Dr. Arno Fehm TU Dresden SS2017 Kapitel I. Gruppen 1 Grundlegende Definitionen (Wiederholung) 1.1 Definition. Eine Gruppe ist ein Paar
MehrAlgebra I - Wintersemester 05/06 - Zusammenfassung
Algebra I - Wintersemester 05/06 - Zusammenfassung Die Autoren 28. September 2017 1 Gruppen 1.1 Grundlagen 1.2 Homomorphie- und Isomorphiesätze Sind G und G Gruppen und ϕ : G G ein Gruppenhomomorphismus.
MehrProbeklausur - eine Lösung
Probeklausur - eine Lösung Aufgabe 1 Sei p eine Primzahl, n N, q = p n und F q der Körper mit q Elementen. Sei G = GL 2 (F q ). a) Bestimmen Sie #G. 1 x b) Zeigen Sie, dass P = { : x F 1 q } eine p-sylowgruppe
Mehr2.7 Semidirekte Produkte
Algebra I c Rudolf Scharlau, 2002 2012 109 2.7 Semidirekte Produkte In diesem Abschnitt findet sich eine einfache, aber wirkungsvolle Technik zur Konstruktion von Gruppen aus schon bekannten kleineren
MehrWS 2008/09. Diskrete Strukturen
WS 2008/09 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0809
Mehr1.4 Homomorphismen und Isomorphismen
Algebra I 9. April 2008 c Rudolf Scharlau, 2002 2008 28 1.4 Homomorphismen und Isomorphismen Definition 1.4.1 Es seien (G, ) und (H, ) zwei Gruppen. Eine Abbildung ϕ : G H heißt (Gruppen-)Homomorphismus,
MehrMathematik für Informatiker I,
Teil II Algebra 70 Kapitel 8 Gruppen 8.1 Bedeutung in der Informatik Gruppen sind abstrakte Modelle für Mengen, auf denen eine Verknüpfung (etwa Addition oder Multiplikation) definiert ist. Allgemeine
MehrDie Sylowsätze und eine Anwendung
Seminar Symmetriegruppen Die Sylowsätze und eine Anwendung Bruschek Clemens 1 1 Erinnerung Im Folgenden sei an einige wichtige Tatsachen aus den letzten Vorträgen und der VO Algebra 1 erinnert. Bezeichne
Mehr8. Einfache und auflösbare Gruppen
74 Andreas Gathmann 8. Einfache und auflösbare Gruppen Wir haben am Ende des letzten Kapitels in Bemerkung 7.37 gesehen, dass es praktisch aussichtslos ist, alle endlichen Gruppen klassifizieren zu wollen.
Mehr2.2 Operationen von Gruppen
2.2. OPERATIONEN VON GRUPPEN 47 2.2 Operationen von Gruppen In diesem Paragraphen wollen wir zeigen, wie Gruppen zur Definition, Abzählung und Konstruktion vieler Strukturen aus Mathematik und Naturwissenschaften
MehrLösungen zur Algebra-Klausur vom Es sei G eine Gruppe, die von je einem Element der Ordnung 7, 11 und 13 erzeugt wird.
Aufgabe 1 Lösungen zur Algebra-Klausur vom 3.4.9 Es sei G eine Gruppe, die von je einem Element der Ordnung 7, 11 und 13 erzeugt wird. a) Zeigen Sie, dass es keine transitive Operation von G auf einer
Mehr(a) Welche der folgenden Gruppen hat 24 Elemente? D 6 GL 2 (F 2 ) X Die Tetraedergruppe. (b) Welche der folgenden Aussagen ist wahr?
Aufgabe 1. (10 Punkte) Bei den folgenden Teilaufgaben ist jeweils genau eine Antwort richtig; diese ist anzukreuzen. Beweise oder Begründungen sind nicht erforderlich. Für jede richtige Antwort erhalten
Mehrn (als K 0 -Vektorraum) und insbesondere
Algebra I c Rudolf Scharlau, 2002 2010 209 4.3 Endliche Körper. Wir beschäftigen uns in diesem Abschnitt mit endlichen Körpern. Zum einen kann hier die allgemeine Theorie (auch die der folgenden Abschnitte
Mehr1.3 Gruppen. Algebra I 9. April 2008 c Rudolf Scharlau,
Algebra I 9. April 2008 c Rudolf Scharlau, 2002 2008 18 1.3 Gruppen Der Begriff der Gruppe ordnet sich in gewisser Weise dem allgemeineren Konzept der Verknüpfung (auf einer Menge) unter. So ist zum Beispiel
Mehrfür alle a, b, x, y R.
Algebra I 13. April 2008 c Rudolf Scharlau, 2002 2008 33 1.5 Ringe Definition 1.5.1 Ein Ring ist eine Menge R zusammen mit zwei Verknüpfungen + und, genannt Addition und Multiplikation, für die folgendes
MehrEinführung in die Algebra
Einführung in die Algebra TU Kaiserslautern WS 2014/2015 Prof. Dr. Wolfram Decker 14. November 2014 Dieses Skript basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Meiko Volz 2 Inhaltsverzeichnis 0 Einführung 3
Mehr6.6 Normal- und Kompositionsreihen
282 6.6 Normal- und Kompositionsreihen Es geht jetzt um die innere Struktur von Gruppen, soweit diese mit Ketten von ineinandergeschachtelten Normalteilern beschrieben werden kann. Erinnern wir uns deshalb
MehrStichworte zur Vorlesung Algebra I, Herbstsemester 2012
Stichworte zur Vorlesung Algebra I, Herbstsemester 2012 Teil A: Gruppen 1. Der Gruppenbegriff Axiome mit beidseitigem Einselement und beidseitigem Inversen Halbgruppe, Monoid, Gruppe äquivalente Formulierungen
MehrKlausur zur Vorlesung
Institut für Algebra und Geometrie 06. September 011 Klausur zur Vorlesung Aufgabe 1 (5 Punkte) Sei G eine Gruppe und X G eine beliebige Teilmenge von G. X := X N G a) Zeigen Sie, dass X der kleinste Normalteiler
MehrÜbungen zu Algebra, WS 2015/16
Übungen zu Algebra, WS 2015/16 Christoph Baxa 1) Es seien G 1,..., G n Gruppen. Beweisen Sie: Ist σ S n, so ist G σ(1) G σ(n) = G1 G n. 2) Beweisen Sie: Sind G 1,..., G n und H 1,..., H n Gruppen mit der
MehrDie Sylowsätze. Alexander Hölzle
Die Sylowsätze Alexander Hölzle 28.08.2006 21.01.2012 Inhaltsverzeichnis I Motivation und Einleitung 3 II Gruppenoperationen 4 1 Der Satz von Cayley und Homomorphismen.................. 4 2 Definition
MehrKLAUSUR ZUR ALGEBRA (B3) 18. Februar 2009 MUSTERLÖSUNG
KLAUSUR ZUR ALGEBRA (B3) 18. Februar 2009 MUSTERLÖSUNG Name: Studiengang: Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 Summe Punktzahl /50 Allgemeine Hinweise: Bitte schreiben Sie Ihre Lösungen jeweils unter die Aufgabenstellung
MehrWiederholungsblatt zur Gruppentheorie
Wiederholungsblatt zur Gruppentheorie von Christian Elsholtz, TU Clausthal, WS 1999/2000 Um Ihnen zu helfen, die Gruppentheorie zu wiederholen, stelle ich hier einige wichtige Beispiele und einige Lösungen
MehrÜbungsblatt 7: Gruppen und Normalformen
Übungsblatt 7: Gruppen und Normalformen 1. ABELSCHE GRUPPEN 1.1. Sei ν(n) die Anzahl der Isomorphieklassen abelscher Gruppen der Ordnung n. (a) ν ist multiplikativ, d.h. ν(nm) = ν(n)ν(m) für ggt(n, m)
MehrInvariantentheorie. Vorlesung 24. Die Beziehung zwischen SL 2 (C) und SO 3 (R)
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2012/2013 Invariantentheorie Vorlesung 24 Die Beziehung zwischen SL 2 C) und SO 3 R) Für die Klassifikation der endlichen Untergruppen der SL 2 C) werden wir die platonische
MehrINHALTSVERZEICHNIS XII
Inhaltsverzeichnis I Gruppen 1 1 Halbgruppen, Gruppen und Untergruppen... 1 1.1 Innere Verknüpfungen und Halbgruppen... 1 1.2 Beispiele... 2 1.3 Definition einer Gruppe... 4 1.4 Abschwächung der Gruppenaxiome...
MehrAlgebra. Gruppen - Ringe - Körper. Bearbeitet von Christian Karpfinger, Kurt Meyberg
Algebra Gruppen - Ringe - Körper Bearbeitet von Christian Karpfinger, Kurt Meyberg 4. Auflage 2017. Buch. XXII, 467 S. Softcover ISBN 978 3 662 54721 2 Weitere Fachgebiete > Mathematik > Algebra Zu Leseprobe
MehrKlausur vom Algebra I. Rolf Farnsteiner
Klausur vom 12.02.2010 Algebra I Rolf Farnsteiner Lösungen Daiva Pučinskaitė Aufgabe 1. Seien U 1, U 2 G Untergruppen einer Gruppe G. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind: (1) U 1 U 2 ist
Mehr2.5 Diskrete Bewegungsgruppen I: die Punktgruppe,
Diskrete Geometrie (Version 3) 20. November 2011 c Rudolf Scharlau 133 2.5 Diskrete Bewegungsgruppen I: die Punktgruppe, Friesgruppen In diesem Abschnitt ist wie bisher ein euklidischer (Vektor-)Raum E
MehrKapitel 6: Das quadratische Reziprozitätsgesetz
Kapitel 6: Das quadratische Reziprozitätsgesetz Ziel dieses Kapitels: die Untersuchung der Lösbarkeit der Kongruenzgleichung X also die Frage, ob die ganze Zahl Z eine Quadratwurzel modulo P besitzt. Im
MehrI. Nilpotente und auflösbare Gruppen
0 Notationen, Definitionen 1) I. Nilpotente und auflösbare Gruppen a. Gruppen. Wir beginnen der Vollständigkeit halber mit der (0.1) Definition: Eine Gruppe ist ein Paar (G, ) bestehend aus einer Menge
MehrKapitel 3: Die Sätze von Euler, Fermat und Wilson. 8 Der Satz von Euler
Kapitel 3: Die Sätze von Euler, Fermat und Wilson In diesem Kapitel wollen wir nun die eulersche -Funktion verwenden, um einen berühmten Satz von Euler zu formulieren, aus dem wir dann mehrere interessante
MehrProbeklausur. Algebra SS Bearbeitungszeit: 120 Minuten
Prof. Dr. Bernd Siebert Probeklausur Algebra SS 2014 Bearbeitungszeit: 120 Minuten Nachname: Vorname: Matrikelnr: Es dürfen alle Vorlesungsunterlagen inklusive Übungsaufgaben und Lösungen verwendet werden.
MehrLösungen zu den Aufgaben der zweiten Auflage. Sämtliche Verweise beziehen sich auf diese zweite Auflage. (d) (m, n) m + n + m n.
1 Lösungen zu den Aufgaben der zweiten Auflage. Sämtliche Verweise beziehen sich auf diese zweite Auflage. Aufgabe 1.1: Untersuchen Sie die folgenden inneren Verknüpfungen N N N auf Assoziativität, Kommutativität
Mehr2.2 Zyklische Gruppen
Diskrete Geometrie (Version 3) 30. Oktober 2011 c Rudolf Scharlau 113 2.2 Zyklische Gruppen Eine Gruppe heißt zyklisch, wenn sie aus den Potenzen eines festen Elementes besteht (bei multiplikativer Schreibweise).
MehrDIE SÄTZE VON SCHUR-ZASSENHAUS UND P. HALL
DIE SÄTZE VON SCHUR-ZASSENHAUS UND P. HALL LARS KINDLER Dies sind Notizen für ein Seminar an der Universität Duisburg-Essen im Sommersemster 2011. Als Quelle diente das Buch A Course in the Theory of Groups
MehrEinführung in die Algebra Blatt 1 Abgabe
Blatt 1 Abgabe 2.5.2017 Begründen Sie, dass die folgende Menge mit der dazugehörigen Multiplikation eine Halbgruppe bildet. Entscheiden Sie, welche der Halbgruppen eine Gruppe ist. (i) G = Z 1 versehen
MehrDer kleine Satz von Fermat
Der kleine Satz von Fermat Luisa-Marie Hartmann 5. Mai 2017 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Hauptteil 4 2.1 Prime Restklassengruppen............................ 4 2.2 Ordnung von Gruppenelementen........................
MehrKlausur Grundlagen der Algebra und Computeralgebra
Prof. Werner M. Seiler, Ph.D. FB 10 Mathematik und Naturwissenschaften Institut für Mathematik Klausur Grundlagen der Algebra und Computeralgebra 21.02.2012 Name: Vorname: Geburtsdatum: Matrikelnummer:
MehrAlgebraische Zahlentheorie. Teil II. Die Diskriminante.
II-1 Algebraische Zahlentheorie Teil II Die Diskriminante Sei K ein Zahlkörper vom Grad n (also [K : Q] = n) Es gibt genau n Körper- Homomorphismen σ i : K C (siehe Merkzettel Separabilität) Stellen wir
MehrVorlesung Diskrete Strukturen Gruppe und Ring
Vorlesung Diskrete Strukturen Gruppe und Ring Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de WS 2009/10 1 Bernhard Ganter, TU Dresden Modul Einführung in
Mehr1.5 Duales Gitter und Diskriminantengruppe
Gitter und Codes c Rudolf Scharlau 24. April 2009 27 1.5 Duales Gitter und Diskriminantengruppe Dieser Abschnitt ist im wesentlichen algebraischer Natur: Es spielt keine Rolle, dass unsere Gitter in einem
Mehr6.1 Präsentationen von Gruppen
244 6.1 Präsentationen von Gruppen Es geht jetzt um die Beschreibung von Gruppen durch Erzeugende und Relationen, also z. B. um die genaue Beschreibung dessen, was Zeilen wie die folgende bedeuten: G :=
MehrMathematisches Kaleidoskop II Materialien Teil 3. Dr. Hermann Dürkop
Mathematisches Kaleidoskop II Materialien Teil 3 Dr. Hermann Dürkop E-Mail: info@ermanus.de .3.3 Noch zwei Isomorphie-Beispiele Beispiel : Wir betrachten die Symmetrien eines nichtquadratischen Rechtecks.
Mehr3.1 Sukzessive Minima und reduzierte Basen: Resultate
Gitter und Codes c Rudolf Scharlau 4. Juni 2009 202 3.1 Sukzessive Minima und reduzierte Basen: Resultate In diesem Abschnitt behandeln wir die Existenz von kurzen Basen, das sind Basen eines Gitters,
Mehr3 Topologische Gruppen
$Id: topgr.tex,v 1.4 2010/05/31 08:41:53 hk Exp hk $ 3 Topologische Gruppen Nachdem wir jetzt gezeigt haben das Quotienten G/H topologischer Gruppen wieder topologische Gruppen sind, wollen wir das Ergebnis
MehrGrundlagen der Arithmetik und Zahlentheorie
Grundlagen der Arithmetik und Zahlentheorie 1.0 Teilbarkeit In diesem Abschnitt werden wir einerseits die ganzen Zahlen an sich studieren und dabei besonders wichtige Zahlen, die Primzahlen, entsprechend
MehrMathematische Methoden für Informatiker
Prof. Dr. www.math.tu-dresden.de/ baumann 24.10.2017 24. Vorlesung Kongruenzrelationen in Gruppen Faktorgruppe nach einer Kongruenzrelation R Normalteiler in Gruppen Faktorgruppe nach einem Normalteiler
MehrBeispiel 85. Satz 86 Eine Unteralgebra (bzgl. ) einer Gruppe ist eine Untergruppe, falls sie unter der Inversenbildung 1 abgeschlossen ist.
5.4 Untergruppen Definition 84 Eine Unteralgebra T,, 1 einer Gruppe G = S,, 1 heißt Untergruppe von G, falls T,, 1 eine Gruppe ist. Bemerkung: Nicht jede Unteralgebra einer Gruppe ist eine Untergruppe!
MehrEinführung in die Algebra
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 23 Die Gradformel Satz 1. Seien K L und L M endliche Körperweiterungen. Dann ist auch K M eine endliche Körpererweiterung und
Mehr1.5 Restklassen, Äquivalenzrelationen und Isomorphie
Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau 39 1.5 Restklassen, Äquivalenzrelationen und Isomorphie In diesem Abschnitt wird zunächst der mathematische Begriff einer Relation kurz und informell eingeführt.
MehrDie Sylowsätze. Alexander von Felbert
Die Sylowsätze Alexander von Felbert 28.08.2006 21.01.2012 Inhaltsverzeichnis I. Motivation und Einleitung 3 II. Gruppenoperationen 4 1. Der Satz von Cayley und Homomorphismen.................. 4 2. Denition
MehrAlgebra I. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 5 (WS 2015/16) 1. Abgabetermin: Donnerstag, 26. November.
Algebra I Prof. Dr. M. Rost Übungen Blatt 5 (WS 2015/16) 1 Abgabetermin: Donnerstag, 26. November http://www.math.uni-bielefeld.de/~rost/a1 Erinnerungen an die Vorlesung: Im Folgenden werden manchmal einige
Mehr2.3 Basis und Dimension
Lineare Algebra I WS 205/6 c Rudolf Scharlau 65 2.3 Basis und Dimension In diesem zentralen Abschnitt werden einige für die gesamte Lineare Algebra fundamentale Grundbegriffe eingeführt: Lineare Abhängigkeit
MehrKlausur vom Algebra I. Rolf Farnsteiner
Klausur vom 31.03.2010 Algebra I Rolf Farnsteiner Lösungen Daiva Pučinskaitė Aufgabe 1. Sei p R ein Primideal eines Integritätsbereichs R. Beweisen Sie folgende Aussagen: (1 S := R \ p ist eine multiplikativ
MehrUniversität Zürich HS , Vorlesung #3
Algebraic Number Theory P. Habegger Universität Zürich HS 2010 6.10.2010, Vorlesung #3 1.4 Diskriminante Die primitivste Invariante eines Zahlkörpers ist sein Grad. Die Diskriminante eines Zahlkörpers
MehrAlgebra I. keine Abgabe
WS 05/06 Priv.-Doz. Dr. S. Wewers Andreas Martin Algebra I 13. Übungsblatt keine Abgabe Aufgabe 1: Sei G eine endliche abelsche Gruppe der Ordnung n. (a) Zeigen Sie: für jeden Teiler d von n existiert
MehrÜbungsblatt 12: Abschluss
Übungsblatt 1: Abschluss 1. PRIMITIVE ELEMENTE V 1.1. (a) Sei E K eine endliche Galoiserweiterung. Zeigen Sie (mit Hilfe der Galoiskorrespondenz), dass für α E die beiden Aussagen äquivalent sind: (i)
Mehr(Man sagt dafür auch, dass die Teilmenge U bezüglich der Gruppenoperationen abgeschlossen sein muss.)
3. Untergruppen 19 3. Untergruppen Nachdem wir nun einige grundlegende Gruppen kennengelernt haben, wollen wir in diesem Kapitel eine einfache Möglichkeit untersuchen, mit der man aus bereits bekannten
Mehrtechnische universität dortmund Dortmund, im Dezember 2011 Fakultät für Mathematik Prof. Dr. H. M. Möller
technische universität dortmund Dortmund, im Dezember 2011 Fakultät für Mathematik Prof. Dr. H. M. Möller Lineare Algebra für Lehramt Gymnasien und Berufskolleg Zusammenfassung der Abschnitte 4.3 und 4.4
MehrMinimale Darstellungen, Kommutator- und Fixräume, projektive Geometrie
Notation Die in dieser Arbeit verwendete Notation ist im Wesentlichen Standard, so wie sie beispielsweise in [As] zu nden ist. Einige Abweichungen hiervon, Klarstellungen und zusätzliche Notationen (sofern
Mehr$Id: gruppen.tex,v /04/19 12:20:27 hk Exp $
$Id: gruppen.tex,v 1.12 2012/04/19 12:20:27 hk Exp $ 2 Gruppen 2.1 Isomorphe Gruppen In der letzten Sitzung hatten unter anderen den Begriff einer Gruppe eingeführt und auch schon einige Beispiele von
Mehr5. Äquivalenzrelationen
5. Äquivalenzrelationen 35 5. Äquivalenzrelationen Wenn man eine große und komplizierte Menge (bzw. Gruppe) untersuchen will, so kann es sinnvoll sein, zunächst kleinere, einfachere Mengen (bzw. Gruppen)
MehrIch benötige einen Schein. Ich habe bereits genug Scheine.
1 Klausur 20.01.2003 Algebra I WS 2002/03 Dr. Elsholtz Name, Vorname Matr.nummer Fachrichtung Fachsemester Ich benötige einen Schein. Ich habe bereits genug Scheine. Die folgende Klausur hat mehr Aufgaben
Mehr2.4 Gruppenoperationen
Algebra I c Rudolf Scharlau, 2002 2012 75 2.4 Gruppenoperationen Viele wichtige Gruppen bestehen aus Abbildungen, z.b. Permutationen einer endlichen Menge, linearen Abbildungen eines Vektorraumes oder
Mehr2 Gruppen, Ringe, Körper, Algebren
2 Gruppen, Ringe, Körper, Algebren 2.1 Gruppen Definition 2.1. Sei G eine Menge, 1 G G, sowie : G G G eine Abbildung (statt (g,h) schreiben wir meistens g h und nennen eine binäre Verknüpfung). Wir nennen
MehrSemestralklausur Einführung in die Algebra für M, MCS, LaG
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Jürgen Bokowski Dipl.-Math. Hasan Gündoğan Dr. Lars Schewe Wintersemester 2007/2008 4. Februar 2008 Semestralklausur Name in Druckschrift:......................... Vorname
MehrAnwesenheitsübung zur Vorlesung Algebra und Zahlentheorie
Anwesenheitsübung zur Vorlesung Algebra und Zahlentheorie WS 2014/2015 A Muñoz, A Schmitt Aufgabe 1 (7+8 Punkte) a) Bestimmen Sie die Primfaktorzerlegungen der Zahlen 15015 und 12600 und geben Sie damit
Mehr1.2 Eigenschaften der ganzen Zahlen
Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau 13 1.2 Eigenschaften der ganzen Zahlen Dieser Abschnitt handelt von den gewöhlichen ganzen Zahlen Z und ihren Verknüpfungen plus und mal. Man kann die natürlichen
MehrLineare Algebra I. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 2 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 28. Oktober.
Lineare Algebra I Prof. Dr. M. Rost Übungen Blatt 2 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 28. Oktober http://www.math.uni-bielefeld.de/~rost/la1 Erinnerungen und Ergänzungen zur Vorlesung: Im Folgenden
MehrBilineare duale Hyperovale und elementar abelsche TI Gruppen
Bilineare duale Hyperovale und elementar abelsche TI Gruppen DEFINITION. Sei V ein endlich-dimensionaler Raum über F q und D eine Teilmenge n-dimensionaler Unterräume. D ist ein duales Hyperoval vom Rang
MehrMusterlösung zur Probeklausur
Musterlösung zur Probeklausur Markus Severitt 26. Juni 2006 Aufgabe 1. Sei G eine Gruppe mit g 2 = e für alle g G. Zeigen Sie, dass G abelsch ist. Lösung. g 2 = e für alle g G heißt gerade, dass alle Elemente
MehrAlgebra I. Zwischenprüfung. 19. Februar 2016
Name: Vorname: Studiengang: Legi-Nr.: Algebra I D-MATH, HS 2015 Prof. Richard Pink Algebra I Zwischenprüfung Wichtig: 19. Februar 2016 Die Prüfung dauert 120 Minuten. Bitte legen Sie Ihre Legi (Studierendenausweis)
MehrProf. Dr. Rudolf Scharlau, Stefan Höppner
Aufgabe 13. Bestimme alle Untergruppen der S 4. Welche davon sind isomorph? Hinweis: Unterscheide zwischen zyklischen und nicht zyklischen Untergruppen. Lösung. Die Gruppe S 4 besitzt die folgenden Elemente:
Mehr4.2 Quotientenvektorräume
306 LinAlg II Version 1 6. Juni 2006 c Rudolf Scharlau 4.2 Quotientenvektorräume Zum Verständnis der folgenden Konstruktion ist es hilfreich, sich noch einmal den Abschnitt 1.4 über Restklassen vom Beginn
MehrZwischenklausur zur Linearen Algebra I HS 2010, Universität Mannheim, Prof. Dr. C. Hertling, Ralf Kurbel
Zwischenklausur zur Linearen Algebra I HS 2010, 23.10.2010 Universität Mannheim, Prof. Dr. C. Hertling, Ralf Kurbel Name: Emil Mustermann Sitzplatznummer: 2 Die Bearbeitungszeit für diese Klausur beträgt
Mehr9. Primitivwurzeln. O. Forster: Einführung in die Zahlentheorie
9. Primitivwurzeln 9.1. Satz. Sei G eine zyklische Gruppe der Ordnung m und g G ein erzeugendes Element. Das Element a := g k, k Z, ist genau dann ein erzeugendes Element von G, wenn k zu m teilerfremd
MehrDefinition der Ordnung eines Elementes einer Gruppe und Definition der Gruppenordnung mit Beispielen. Groups and Symmetry S Beispiel (iii)
1 Diedergruppe 1. Vortrag: Groups and Symmetry S. 15-18 Definition Beispiel D 3 : Gruppentafel Definition der Ordnung eines Elementes einer Gruppe und Definition der Gruppenordnung mit Beispielen Untergruppen
MehrKAPITEL 1: ENDLICHE KÖRPER 1 ALLGEMEINES 2 GLEICHUNGEN ÜBER EINEM ENDLICHEN KÖRPER
RUPRECHT-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG MATHEMATISCHES INSTITUT SEMINAR: QUADRATISCHE FORMEN ÜBER DEN RATIONALEN ZAHLEN SOMMERSEMESTER 2007 DOZENT: PROF. DR. KAY WINGBERG ASSISTENT: JOHANNES BARTELS KAPITEL
Mehr1 Liesche Gruppen: Grundlegendes und Beispiele
1 Liesche Gruppen: Grundlegendes und Beispiele In dieser Vorlesung verstehen wir unter einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit einen Hausdorff- Raum mit abzählbarer Basis und mit einem maximalen C -Atlas.
MehrInvariantentheorie. Vorlesung 2. Gruppenoperationen
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2012/2013 Invariantentheorie Vorlesung 2 Gruppenoperationen In den beiden Beispielen der ersten Vorlesung operiert eine Gruppe auf einer Menge: Die Kongruenzabbildungen
Mehr4.3 Bilinearformen. 312 LinAlg II Version Juni 2006 c Rudolf Scharlau
312 LinAlg II Version 0 20. Juni 2006 c Rudolf Scharlau 4.3 Bilinearformen Bilinearformen wurden bereits im Abschnitt 2.8 eingeführt; siehe die Definition 2.8.1. Die dort behandelten Skalarprodukte sind
Mehr