2.5 p-gruppen und die Sätze von Sylow

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1 Algebra I c Rudolf Scharlau, p-gruppen und die Sätze von Sylow Bisher haben wir uns in dieser Vorlesung mit letztlich elementaren Grundkonzepten der Algebra beschäftigt. Bei genauer Betrachtung gab es (vielleicht mit Ausnahme des Struktursatzes für endliche abelsche Gruppen) noch keinen wirklich schwierigen Satz, etwa vom Format des Steinitzschschen Austauschssatzes oder gar der Jordanschen Normalform in der Linearen Algebra. Das ändert sich in diesem Abschnitt. Die Sätze von Sylow 6 sind auch für den professionellen Algebraiker ein tieferliegendes Resultat, das dementsprechend einen etwas längeren und vor allem auch von der Strategie her nicht auf der Hand liegenden Beweis erfordert. Das Bemerkenswerte an den Sätzen von Sylow und den vorbereitenden Sätzen über p-gruppen ist, dass sie Aussagen über die Struktur einer endlichen Gruppe machen, die keinerlei Voraussetzungen außer der Kenntnis der Ordnung der Gruppe benötigen. Wir erinnern daran, dass eine p-gruppe eine Gruppe ist, deren Ordnung eine Primzahlpotenz ist, entsprechend für p-elemente. Definition Es sei p eine Primzahl. a) Es sei G eine endliche Gruppe, schreibe G = p l m mit p m. Eine Untergruppe P von G heißt p-sylow-gruppe in G (oder p-sylow-untergruppe von G), falls P = p l ist. b) Mit Syl p (G) ={Q G Q Untergruppe und Q = p l } bezeichnen wir die Menge aller p-sylow-gruppen. Eine p-sylow-untergruppe von G hat also die größtmögliche Ordnung, die der Satz von Lagrange für eine p-untergruppe erlaubt. Ein Satz von Sylow besagt, dass solche Untergruppen existieren, was keinesweges offensichtlich ist. (Eine endliche Gruppe muss nicht für jeden Teiler m ihrer Ordnung eine Untergruppe der Ordnung m besitzen.) Eine p-sylowgruppe ist im allgemeinen nicht eindeutig, jedoch gibt ein weiterer Satz von Sylow starke Einschränkungen an ihre Anzahl. Beispiel (Die Sylow-Gruppen der S 4 ) a) In der symmetrischen Gruppe S 4 mit der Ordnung 24 = 2 3 3istdieDiedergruppe Di 4 = (1, 2, 3, 4), (2, 4) eine 2-Sylow-Untergruppe, die zyklische Gruppe (1, 2, 3) eine 3-Sylow-Untergruppe. b) Die Menge Syl 2 (S 4 ) aller 2-Sylow-Untergruppen besteht aus (1, 2, 3, 4), (2, 4), (1, 2, 4, 3), (2, 3), (1, 3, 2, 4), (3, 4), also Syl 2 (S 4 ) =3. c) Die Menge Syl 3 (S 4 ) aller 3-Sylow-Untergruppen besteht aus (1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (2, 3, 4), also Syl 3 (S 4 ) =4. 6 P. Ludwig Mejdell Sylow, norwegischer Mathematiker,

2 Algebra I c Rudolf Scharlau, In abelschen Gruppen ist die Frage nach der Existenz und Eindeutigkeit von Sylowgruppen bereits durch Satz beantwortet: Die Gruppe G i = G(p ν i i )={x G xpν i i = e} dieses Satzes ist eine p i -Sylowgruppe in G, für jeden Primteiler p i der Ordnung von G. DieGruppeG i besteht einfach aus allen p i -Elementen in G. Andererseits sind alle Elemente einer beliebigen p-gruppe nach Lagrange p-elemente. In der Situation des Satzes ist also jede denkbare p i -Sylow-Untergruppe von G in G i enthalten und somit gleich G i (weil sie die gleiche Ordnung hat). Also ist G i die einzige p i -Sylowgruppe in G. MitanderenWorten,dieSylow-Gruppeneiner abelschen Gruppe existieren, und sind sogar eindeutig bestimmt. Leider ist die Situation im abelschen Fall zu einfach, um methodische Hinweise zur Frage der p-sylow-untergruppen von beliebigen Gruppen zu liefern. Das entscheidende Hindernis im nicht-abelschen Fall ist, dass die p-elemente (für festes p) im allgemeinen keine Untergruppe bilden. Ferner ist nicht offensichtlich, ob nicht-triviale p-untergruppen oder gar p-sylow-untergruppen überhaupt existieren. Ein wesentliches Hilfsmittel zum Beweis solcher Existenzaussagen ist das aus dem vorigen Abschnitt 2.4 bekannte Konzept der Gruppenoperation, genauer die Operation einer Gruppe G auf sich selbst sowie auf der Menge ihrer Untergruppen durch Konjugation (also durch innere Automorphismen). Wir beschäftigen uns zunächst mit p-gruppen. Satz Es sei p eine Primzahl, G eine p-gruppe, die auf einer endlichen Menge X operiert, und Fix(G) ={x X g G : g.x = x} die Menge ihrer Fixpunkte. Dann gilt Fix(G) X mod p. Beweis: Wir haben eine disjunkte Zerlegung X = Fix(G) X 1 X 2 X r, wobei die X i diejenigen Bahnen von G in X sind, die aus mehr als einem Punkt bestehen. Nach Satz ist die Mächtigkeit von X i gleich dem Index einer echten Untergruppe von G, nämlich des Stabilisators eines Punktes von X i,also jedenfalls eine Potenz von p. Hieraus folgt unmittelbar die Behauptung. Der nächste Satz liefert eine erste Strukturaussage für p-gruppen. Satz Jede nicht-triviale p-gruppe, für eine Primzahl p, hat ein nichttriviales Zentrum. Beweis: Dieses ergibt sich unmittelbar aus dem vorigen Satz, wenn man die Operation einer Gruppe G auf sich selbst durch Konjugation betrachtet. Die Fixpunktmenge dieser Operation ist genau das Zentrum von G.

3 Algebra I c Rudolf Scharlau, Beispiel An nicht-abelschen Gruppen der Ordnung 2 3 = 8 kennen wir die Diedergruppe Di 4 S 4 und die Quaternionengruppe Q 8 SL 2 (C). (Es gibt keine weiteren.) In beiden hat das Zentrum die Ordnung 2: es ist Z(Di 4 ) = {id, (1, 3)(2, 4)}, Z(Q 8 )={±E 2 },wobeie 2 die 2 2-Einheitsmatrix bezeichnet. Aus dem nächsten Lemma folgt ohne Einzelfallbetrachtung, dass das Zentrum einer Gruppe der Ordnung 8 nicht aus 4 Elementen bestehen kann. Wir erinnern daran, dass das Zentrum Z(G) einer Gruppe ein Normalteiler ist (offensichtlich) und deshalb die Faktorgruppe G/Z(G) existiert. Lemma Sei G eine Gruppe derart, dass G/Z(G) zyklischist.dannist G abelsch. Insbesondere kann der Index des Zentrums einer Gruppe nie eine Primzahl sein. Beweis: Es sei a G so, dass die Faktorgruppe G/Z(G) von der Nebenklasse az(g) erzeugtwird.dannlässt sich jedes Element g G in der Form g = a m z mit m Z und z Z(G) schreiben.esistoffensichtlich,dasszweibeliebige Elemente g und g dieser Gestalt vertauschbar sind, gg = g g. Also ist G abelsch. Dann ist aber sogar G = Z(G) undsomitderindexvonz(g) ing gleich 1 Den folgenden einfachen Satz notieren wir als Nebenprodukt unserer letzten Überlegungen. Er wird nicht für die Sylowsätze benötigt, sondern klärt im Vorfeld in einem besonders einfachen Fall die allgemeine Frage nach der Klassifikation aller Gruppen mit einer festen Ordnung. Satz Jede Gruppe der Ordnung p 2,für eine Primzahl p, ist abelsch. Es gibt für jede Primzahl p bis auf Isomorphie genau zwei Gruppen der Ordnung p 2, nämlich die zyklische Gruppe Z p 2 und das direkte Produkt Z p Z p. Beweis: Für die Ordnung m := Z(G) des Zentrums von G gilt nach Satz 2.5.4, dass m = 1 ist, und nach Lemma 2.5.5, dass m = p ist. Also bleibt nur Z(G) =G, womitg abelsch ist. Falls G ein Element der Ordnung p 2 enthält, ist G zyklisch, also isomorph zu Z p 2. Anderenfalls haben alle Elemente = e die Ordnung p. Wähle ein a G {e} und weiter ein b G a. Die Abbildung ϕ : Z p Z p G, (k, l) a k b l ist ein Homorphismus, weil G abelsch ist (man erinnere sich an Satz 2.1.9, der zwei Isomorphien Z m a und Z m bherstellt). Das Bild von ϕ ist eine Untergruppe, die mehr als p Elemente enthält, also gleich ganz G sein muss. Aus dem Homomorphiesatz folgt nun, dass der Kern von ϕ trivial ist und somit ϕ ein Isomorphismus. Für den zweiten Teil des Satzes hätten wir den Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen zitieren können. Es erscheint aber wenig angemessen, für ein so einfaches Resultat einen allgemeinen Satz (mit kompliziertem Beweis) zu bemühen.

4 Algebra I c Rudolf Scharlau, Wir verlassen nun die p-gruppen zunächst wieder und formulieren das Hauptergebnis dieses Abschnittes. Die verschiedenen, in der Literatur als Sylow-Sätze bezeichneten Aussagen fassen wir ein einem mehrteiligen Theorem zusammen. Der Beweis wird mehrere Hilfssätze benutzen. Theorem (Sätze von Sylow) Es sei G eine endliche Gruppe und p eine Primzahl. a) G enthält p-sylow-untergruppen. b) Jede p-untergruppe von G ist in einer p-sylow-gruppe enthalten. c) Je zwei p-sylow-gruppen von G sind konjugiert. d) Die Anzahl der p-sylow-gruppen von G ist kongruent zu 1 modulo p. e) Schreibe G = p l m mit p m. Dann ist die Anzahl der p-sylow-untergruppen in G ein Teiler von m. Die Aussagen c), d) und e) werden durch das obige Beispiel der Gruppe S 4 gut illustriert. Die Diedergruppe Di 4 der Ordnung 8 kann als der Stabilisator in S 4 des Quadrates mit den Ecken 1, 2, 3, 4, genauer als Stablisator der Kantenmenge {{1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, {4, 1}} P({1, 2, 3, 4} aufgefasst werden, ihre drei Konjugierten entsprechen, wie unter dem Beispiel (2) bereits bemerkt, den drei wesentlich verschiedenen Möglichkeiten, die Ecken eines Quadrates zu nummerieren. Die 3-Sylow-Gruppen in S 4 sind einfach die Stabilisatoren Stab S4 (i), i =1, 2, 3, 4; natürlich gibt es davon vier Stück, und sie sind alle konjugiert (weil sie in einer Bahn liegen, siehe die allgemeine Bemerkung ). Im Beweis der Sylow-Sätze wird sich als leichte Verschärfung der Behauptung sogar zeigen, dass G Untergruppen der Ordnung p k enthält für jedes p k,das G teilt. Der folgende Satz ist ein Spezialfall dieses Resultates, der zum Beweis des allgemeinen Falls benutzt wird. Satz (Lemma von Cauchy) Seien G eine endliche Gruppe und p eine Primzahl mit p G. Dann gibt es in G ein Element der Ordnung p. Beweis: Wir benutzen wieder den Satz Man betrachtet die Menge G p = G G G sowie die durch σ(g 1,g 2,...,g p ):=(g p,g 1,g 2,...g p 1 )(Weiterschieben um eine Stelle) gegebene Permutation von G p.weiterbetrachtenwirdie Teilmenge X = {(g 1,g 2,...,g p ) G p g 1 g 2... g p = e}. Dieseistσ-invariant, durch Einschränkung liefert also σ eine Permuation σ Per X. Diese hat die Ordnung p, wirhabenalsoeineoperationder(zyklischen)gruppeσ der Ordnung p auf X. Die Fixpunkte (g 1,...,g p )dieseroperationerfüllen g 1 = g 2 = = g p, entsprechen also genau den Elementen g mit g p = e, d.h.demneutralenelement e und den Elementen der Ordnung p. Nach ist die Anzahl dieser Fixpunkte durch p teilbar, es gibt also Fixpunkte (g, g..., g) mitg = e.

5 Algebra I c Rudolf Scharlau, Die nächsten beiden Hilfssätze bereiten die Existenz von p-sylow-gruppen in einer beliebigen endlichen Gruppe vor. Hilfssatz Es sei p eine Primzahl, k N, G eine endliche Gruppe und P eine Untergruppe von G der Ordnung p k mit p [G : P ]. Dann gilt p [N G (P ):P ]. Im Beweis darf man offenbar die schärfere Voraussetzung p [G : N G (P )] benutzen, denn aus p [G : P ]folgtoffenbarp [G : N G (P )] oder p [N G (P ):P ]. Hilfssatz Es sei p eine Primzahl, G eine endliche Gruppe und P eine Untergruppe von G der Ordnung P = p k für ein k N 0 und p [G : P ]. Dann gibt es eine Untergruppe P 1 der Ordnung P 1 = p k+1 von G mit P P 1 N G (P ). Aus diesem Hilfssatz zusammen mit folgt unmittelbar die angekündigte Existenz von Untergruppen der Ordnung p k für jeden Teiler der Form p k der Gruppenordnung, insbesondere also Teil a) und weiter auch b) des Theorems Für die Teile c) und d) des Theorems, die sich mit Konjugierten von Sylowgruppen beschäftigen, ist folgender Hilfssatz nützlich. Er wird im Zusammenhang mit Anwendungen der Sylowsätze noch weiter gebraucht (z.b: für Satz c). Hilfssatz Es seien P und Qp-Sylow-Gruppen in G mit P N G (Q). Dann gilt P = Q. Die Beweise der drei Hilfssätze und der Teile c) und d) des Theorems benutzen die Operation von G und geeigneten Untergruppen von G durch Konjugation auf gewissen Mengen von Untergruppen. Sie werden in der Vorlesung vorgeführt. Der Teil e) über die Anzahl der p-sylowgruppen folgt dann unmittelbar aus Teil a) und c): Die Menge Syl p (G) =Syl p besteht aus den Konjugierten eines Elementes P Syl p, mit anderen Worten, Syl p ist die Bahn von P für die Operation von G durch Konjugation auf der Menge aller Untergruppen von G. Somit ist die Mächtigkeit Syl p gleich dem Index des Stabilisators von P, also des Normalisators N G (P )vonp in G. Weil der Normalisator eine Obergruppe von P ist, ist sein Index ein Teiler des Index (G : P )=m. Die Sätze von Sylow sind ein erstes grundlegendes Hilfsmittel zur Untersuchung der Struktur endlicher Gruppen. Diese Thematik kann im Rahmen einer einführenden Algebravorlesung nicht vertieft behandelt werden. Wir wollen hier aber eine Grundidee noch etwas weiter ausführen, nämlich die Rolle von normalen Untergruppen. Wenn N G ein echter, nichttrivialer Normalteiler in der Gruppe G ist, also G = N = {e}, dannhatmaningewisserweisediegruppeg in zwei (echte) Teile zerlegt, nämlich in die Faktorgruppe G/N und in die (Unter-)Gruppe N. An dieser groben Idee ist zumindest richtig, dass man die Elemente der Gruppe G mit Hilfe von G/N und N hinschreiben kann (Nebenklassenzerlegung) und dass insbesondere die Ordnung von G das Produkt der beiden Ordnungen von

6 Algebra I c Rudolf Scharlau, G/N und N ist. Auch die später in Abschnitt 2.6 behandelte Eigenschaft der Auflösbarkeit einer Gruppe kann auf G/N und N zurückgeführt werden. Die vollständige Struktur (Isomorphieklasse) von G ist zwar noch keineswegs durch die von G/N und von N festgelegt, aber es gibt eine Theorie der Erweiterungen von Gruppen, die diese Frage systematisch angeht. Ein einfacher Spezialfall von Erweiterungen sind übrigens die sogenannten semidirekten Produkte von Gruppen, denen wir unten noch einen eigenen Abschnitt 2.7 widmen. Ein Zusammenhang zu den Sätzen von Sylow ist insofern gegeben, als diese Sätze (entweder direkt, oder die verwendeten Beweismethoden) für viele Gruppenordnungen die Existenz von echten nichttrivialen Normalteilern implizieren. Wir wollen zusammenfassend festhalten, dass die Existenz eines echten nichttrivialen Normalteilers als eine Reduktion der Frage nach der Struktur einer Gruppe auf Gruppen kleinerer Ordnung anzusehen ist. Deswegen bekommen Gruppen, bei denen eine solche Reduktion nicht möglich ist, einen eigenen Namen: Definition Eine Gruppe G heißt einfach, wennsiekeineechten,nichttrivialen Normalteiler enthält. Die einzigen abelschen einfachen Gruppen sind die Gruppen von Primzahlordnung. Es gibt viele große einfache Gruppen, etwa die Gruppe PSL n (K) der invertierbaren Matrizen der Größe n 3mitDeterminante1über einem Körper K modulo dem Normalteiler der Vielfachen der Einheitsmatrix (hierfür steht das P wie projektiv im Namen); das gleiche gilt übrigens für n =2und K 4. Dieses und ähnliche Resultate beweist man in der Theorie der sog. klassischen Gruppen, der Theorie der Lie-Gruppen und der Theorie der algebraischen Gruppen. Das sind Gruppen, die gleichzeitig algebraische Mannigfaltigkeiten; sie be- sitzen eine besonders ausgefeilte Strukturtheorie. Wenn man dagegen nach nicht-abelschen einfachen Gruppen kleiner Ordnung (sagen wir etwa, mit höchstens 100 Elementen) sucht, findet man nicht viele, weil wie schon erwähnt viele Zahlen n, abhängig von der Art der Primfaktorzerlegung die Existenz von Normalteilern in Gruppen der Ordnung n implizieren. So gibt es etwa für echte Primzahlpotenzen n = p k,k 2injederGruppeG der Ordnung n einen echten nichttrivialen Normalteiler. Im einzig interessanten nicht-abelschen Fall kann man dafür immer das Zentrum Z(G) nehmen;esistnachsatz2.5.4 nichttrivial. Die kleinsten zu betrachtenden Gruppenordnungen sind nunmehr 6, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 22, 24. Für alle diese Zahlen außer 12 und 24 ergibt sich die Existenz einer normalen Sylowgruppe sofort aus dem folgenden Lemma: Lemma Es sei G ein Gruppe der Ordnung p k q l,wobeip und q Primzahlen sind mit p k <q.dannisteineq-sylow-untergruppe von G ein Normalteiler. Beweis: Es sei Q G eine q-sylow-untergruppe von G. Wir zeigen, dass die Anzahl s aller q-sylowgruppen in G gleich 1 ist. Dann muss nämlich jede zu

7 Algebra I c Rudolf Scharlau, Q konjugierte Untergruppe gleich Q sein, und somit ist Q normal. Sei s = 1 angenommen. Nach dem Teil d) des Sylowsatzes ist s q 1, also s q +1. Anderseits ist nach e) s ein Teiler von p k, insbesondere s p k.esergibt sich q +1 p k, im Widerspruch zur Voraussetzung. Nach diesen Vorüberlegungen kommt es vielleicht nicht mehr ganz überraschend, dass 60 die kleinste Ordnung einer nicht-abelschen einfachen Gruppe ist. Genauer gilt folgendes: Satz a) Die alternierende Gruppe Alt 5 der Ordnung 60 ist einfach. b) Jede einfache Gruppe der Ordnung 60 ist isomorph zu Alt 5. c) Es gibt keine einfachen Gruppen mit einer Ordnung kleiner als 60 außer den zyklischen Gruppen von Primzahlordnung. Beweisskizze: zu a): Wir benutzen die Zerlegung einer endlichen Gruppe G in Konjugiertenklassen und die daraus resultierende Zerlegung der Gruppenordnung n in Teiler von n: G = X 1 X 2... X k, n = n 1 + n n k,wobein i k. Diese Gleichung nennt man auch Klassengleichung der Gruppe G; sieisteinspezialfall der Bahnengleichung In Alt 5 sind die Konjugiertenklassen durch die Zykeltypen der Permutationen gegeben: (), (5), (3), (2, 2) mit den Anzahlen 1, , 20, 15; die 24 in S 5 konjugierten Fünferzykel zerfallen in Alt 5 in zwei Klassen. Die Klassengleichung lautet also 60 = (Klassengleichung der Alt 5 ) Ein Normalteiler in Alt 5 müsste nun Vereinigung von gewissen Konjugiertenklassen sein. Seine denkbaren Ordnungen 2, 3, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 24, 30 sind aber alle nicht als Teilsumme der Klassengleichung unter Benutzung der 1 darstellbar. zu b): auf den Beweis verzichten wir an dieser Stelle. zu c): Nach Lemma sind noch die Ordnungen 12, 24, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 56 zu betrachten. Für 40 = 8 5und45=9 5folgtwiedersofortausTeile)des Sylowsatzes, dass die 5-Sylowgruppe normal ist. Die verbleibenden Ordnungen werden in der Vorlesung bzw. den Übungen behandelt. Zum Schluss dieses Abschnittes geben wir einen kleinen Ausblick auf endliche einfache Gruppen und kehren hierzu noch einmal zu den Projektiven Linearen Gruppen PSL n (F q )zurück (oft auch als PSL(n, q) bezeichnet).interessantistschon der Fall n =2der2 2-Matrizen. Die Ordnung dieser Gruppe in Abhängigkeit von der Mächtigkeit q = p r des Grundkörpers (dabei p eine Primzahl, vergleiche Kapitel 4.3) ist

8 Algebra I c Rudolf Scharlau, PSL 2 (F q ) = 1 2 falls q = pr,p>2, (q +1)q(q 1), falls q =2 r. Zum Beweis dieser Formel überlegt man sich zunächst durch einfaches (spaltenweises) Abzählen regulärer Matrizen die Ordnung von GL 2 (F q )(odergleichvon GL n für beliebiges n); für SL n muss man dann durch q 1teilen(Ordnungdes Kerns der Determinante); für PSL n muss man schließlich klären, welche Vielfachen der Einheitsmatrix die Determinante 1 haben; hier kommt schon für n = 2 die genannte Fallunterscheidung ins Spiel; durch diese Anzahl muss dann wieder geteilt werden (Ordnung einer Faktorgruppe). Die beiden kleinsten Gruppen PSL 2 (F q )sindzuklein,umnicht-abelscheinfach zu sein; die nächsten Werte von q liefern dann die nicht-abelschen einfachen Gruppen mit den kleinsten Ordnungen. Entscheidend für die Analyse von PSL 2 (F q )istihretransitive(sogar 3-fach transitive ) Operation auf der Projektiven Geraden P(F 2 q) = F q { }, alsoaufq +1Punkten.Für kleine q hat man die folgenden Isomorphismen ( Ausnahme-Isomorphismen oder exzeptionelle Isomorphismen ) und Gruppenordnungen: PSL 2 (F 2 ) = Alt 3 = Z3, Ordnung 3 PSL 2 (F 3 ) = Alt 4 Ordnung 12 = PSL 2 (F 4 ) = Alt 5 = PSL2 (F 5 ) Ordnung 60 = PSL 2 (F 7 ) = PSL 3 (F 2 ) Ordnung 168 = PSL 2 (F 9 ) = Alt 6 Ordnung 360 = PSL 2 (F 8 ) Ordnung 504 = PSL 2 (F 11 ) Ordnung 660 = Diese Tabelle enthält alle nicht abelschen einfachen Gruppen der Ordnung kleiner als 1000 (die nächste hat die Ordnung 1092). Siehe hierzu zum Beispiel den Eintrag Finite simple group in Wikipedia (englisch); dort findet sich auch der Verweis auf den Original-Artikel von Marshall Hall, Jr. (1972). Dass die Gruppen PSL n (K) für K > 3tatsächlich einfach sind, ist ein Satz der geometrischen Algebra (man kann ihn auch der Projektiven Geometrie zuordnen). Der Beweis ist relativ kompliziert und gehört nicht in eine einführende Algebra-Vorlesung. In Kapitel 2.6 werden wir die Kommutatorgruppe einer gegebenen Gruppe kennenlernen und dadurch noch ein wenig besser verstehen, wieso der Satz überhaupt gelten kann.

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