Grundbegriffe der Informatik

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1 Grundbegriffe der Informatik Kapitel 21: Relationen Thomas Worsch KIT, Institut für Theoretische Informatik Wintersemester 2015/2016 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 1 / 70

2 Überblick Äquivalenzrelationen Kongruenzrelationen Äquivalenzrelation von Nerode Halbordnungen Ordnungen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 2 / 70

3 Wo sind wir? Äquivalenzrelationen Kongruenzrelationen Äquivalenzrelation von Nerode Halbordnungen Ordnungen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 3 / 70

4 Äquivalenzrelationen eine «Verallgemeinerung» der Gleichheit Relation R M M ist Äquivalenzrelation, falls reflexiv, symmetrisch und transitiv typische Notation,,, oder ähnlich Infixschreibweise also x M : x x, x M : y M : x y y x x M : y M : z M : x y y z x z GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 4 / 70

5 Identität einfachstes Beispiel einer Äquivalenzrelation I = {(x, x) x M} ist Äquivalenzrelation, denn x M : x = x, x M : y M : x = y y = x x M : y M : z M : x = y y = z x = z GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 5 / 70

6 Kongruenz ganzer Zahlen modulo n x,y Z heißen kongruent modulo n, wenn x und y gleichen Rest bei Division durch n liefern n teilt x y x y = kn für ein k Z x y (mod n) für n N + Äquivalenzrelation, denn Reflexivität: x x = 0 = 0n Symmetrie: wenn x y = kn dann y x = ( k)n Transitivität: wenn x y = k 1 n und y z = k 2 n dann x z = (x y) + (y z) = (k 1 + k 2 )n GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 6 / 70

7 Beispiel: asymtptotisch gleiches Wachstum f д c,c R + : n 0 N 0 : n n 0 : c f (n) д(n) c f (n). reflexiv, symmetrisch, transitiv siehe Kapitel 17 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 7 / 70

8 Urbilder von Funktionswerten für jede Abbildung eine Äquivalenzrelation sei f : M M M M GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 8 / 70

9 Urbilder von Funktionswerten für jede Abbildung eine Äquivalenzrelation sei f : M M binäre Relation f M M «Faserung von f» x M y M : x f y f (x) = f (y) M M GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 8 / 70

10 Urbilder von Funktionswerten für jede Abbildung eine Äquivalenzrelation sei f : M M binäre Relation f M M «Faserung von f» x M y M : x f y f (x) = f (y) M M GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 8 / 70

11 Urbilder von Funktionswerten für jede Abbildung eine Äquivalenzrelation sei f : M M binäre Relation f M M «Faserung von f» x M y M : x f y f (x) = f (y) M M f ist eine Äquivalenzrelation reflexiv f (x) = f (x) also x f x symmetrisch f (x) = f (y) f (y) = f (x) also x f y y f x transitiv f (x) = f (y) f (y) = f (z) f (x) = f (z) x f y y f z x f z GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 8 / 70

12 Bild einer Äquivalenzrelation hier drücken Pfeile die Äquivalenzbeziehung aus GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 9 / 70

13 Bild einer Äquivalenzrelation hier drücken Pfeile die Äquivalenzbeziehung aus GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 10 / 70

14 Äquivalenzklassen und Faktormengen Äquivalenzklasse von x M ist {y M x y} Schreibweise [x] oder einfach [x], falls klar ist Faktormenge (oder Faserung) von M nach ist die Menge aller Äquivalenzklassen Schreibweise M / = { [x] x M } GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 11 / 70

15 Beispiel: Äquivalenzklassen von Kongruenz modulo 2 schreibe 2 x 2 y genau dann, wenn x y durch 2 teilbar, GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 12 / 70

16 Beispiel: Äquivalenzklassen von Kongruenz modulo 2 schreibe 2 x 2 y genau dann, wenn x y durch 2 teilbar, je zwei gerade Zahlen sind äquivalent GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 12 / 70

17 Beispiel: Äquivalenzklassen von Kongruenz modulo 2 schreibe 2 x 2 y genau dann, wenn x y durch 2 teilbar, je zwei gerade Zahlen sind äquivalent je zwei ungerade Zahlen sind äquivalent GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 12 / 70

18 Beispiel: Äquivalenzklassen von Kongruenz modulo 2 schreibe 2 x 2 y genau dann, wenn x y durch 2 teilbar, je zwei gerade Zahlen sind äquivalent je zwei ungerade Zahlen sind äquivalent eine gerade und eine ungerade Zahl sind nicht äquivalent GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 12 / 70

19 Beispiel: Äquivalenzklassen von Kongruenz modulo 2 schreibe 2 x 2 y genau dann, wenn x y durch 2 teilbar, je zwei gerade Zahlen sind äquivalent je zwei ungerade Zahlen sind äquivalent eine gerade und eine ungerade Zahl sind nicht äquivalent zwei Äquivalenzklassen [0] = {..., 4, 2, 0, 2, 4,... } [1] = {..., 5, 3, 1, 1, 3, 5,... } statt Z/ n oft Z n GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 12 / 70

20 Beispiel: Äquivalenzklassen von Kongruenz modulo 2 schreibe 2 x 2 y genau dann, wenn x y durch 2 teilbar, je zwei gerade Zahlen sind äquivalent je zwei ungerade Zahlen sind äquivalent eine gerade und eine ungerade Zahl sind nicht äquivalent zwei Äquivalenzklassen [0] = {..., 4, 2, 0, 2, 4,... } [1] = {..., 5, 3, 1, 1, 3, 5,... } statt Z/ n oft Z n mehr z. B. in Theoretische Grundlagen der Informatik Nerode-Äquivalenz für formale Sprachen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 12 / 70

21 Was ist wichtig Das sollten Sie mitnehmen: Äquivalenzrelationen Beispiel Kongruenz modulo n Das sollten Sie üben: definierenden Eigenschaften überprüfen Anzahl Äquivalenzklassen bestimmen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 13 / 70

22 Wo sind wir? Äquivalenzrelationen Kongruenzrelationen Äquivalenzrelation von Nerode Halbordnungen Ordnungen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 14 / 70

23 Äquivalenzrelationen auf Mengen mit «Struktur» Beispiel: n auf additiver Gruppe (oder Ring) Z Wie ändern sich Funktionswerte, wenn man Argumente durch äquivalente ersetzt? GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 15 / 70

24 Verträglichkeit von Äquivalenzrelationen mit Abbildungen Äquivalenzrelation auf M und f : M M eine Abbildung ist mit f verträglich, wenn x 1, x 2 M: x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) Äquivalenzrelation und eine binäre Operation auf M ist mit verträglich, wenn x 1, x 2 M y 1,y 2 M : x 1 x 2 y 1 y 2 x 1 y 1 x 2 y 2 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 16 / 70

25 Veträglichkeit: Beispiel modulo Äquivalenz modulo n mit Addition, Subtraktion und Multiplikation verträglich Beispiel wenn dann x 1 x 2 (mod n) also x 1 x 2 = kn und y 1 y 2 (mod n) also y 1 y 2 = mn (x 1 + y 1 ) (x 2 + y 2 ) = (x 1 x 2 ) + (y 1 y 2 ) = (k + m)n also x 1 + y 1 x 2 + y 2 (mod n) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 17 / 70

26 Kongruenzrelationen Eine Äquivalenzrelation, die mit allen gerade interessierenden Funktionen oder/und Operationen verträglich ist, nennt man auch eine Kongruenzrelation. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 18 / 70

27 Eine Operation für Äquivalenzklassen modulo n? für die Äquivalenzklassen von n schreiben wir [x] n Was ist hiermit: +: Z n Z n Z n : [x] n + [y] n = [x + y] n?? GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 19 / 70

28 Eine Operation für Äquivalenzklassen modulo n? für die Äquivalenzklassen von n schreiben wir [x] n Was ist hiermit: +: Z n Z n Z n : [x] n + [y] n = [x + y] n?? Ist das in Ordnung? Ist das eine Definition? Wo kann ein Problem sein? GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 19 / 70

29 Verträglichkeit erlaubt die Übertragung einer Abbildung auf die Faktormenge Wenn mit f : M M verträglich ist, dann ist f : M / M / : f ([x]) = [f (x)] wohldefiniert. Wenn mit : M M M verträglich ist, dann ist wohldefiniert. : M / M / M / : [x] [y] = [x y] GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 20 / 70

30 Was ist wichtig Das sollten Sie mitnehmen: Kongruenzrelationen: Verträglichkeit induzierte Abbildungen/Operationen für Äquivalenzklassen Das sollten Sie üben: mit Äquivalenzklassen rechnen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 21 / 70

31 Wo sind wir? Äquivalenzrelationen Kongruenzrelationen Äquivalenzrelation von Nerode Halbordnungen Ordnungen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 22 / 70

32 Motivation Rückblick auf endliche Akzeptoren endlicher Akzeptor mit f (z 0,w 1 ) = f (z 0,w 2 ) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 23 / 70

33 Motivation Rückblick auf endliche Akzeptoren endlicher Akzeptor mit f (z 0,w 1 ) = f (z 0,w 2 ) dann für alle w A f (z 0,w 1 w) = f (z 0,w 2 w) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 23 / 70

34 Motivation Rückblick auf endliche Akzeptoren endlicher Akzeptor mit f (z 0,w 1 ) = f (z 0,w 2 ) dann für alle w A f (z 0,w 1 w) = f (z 0,w 2 w) also für alle w A w 1 w L w 2 w L GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 23 / 70

35 Äquivalenzrelation von Nerode einer Sprache L A Relation L auf A : für alle w 1,w 2 A w 1 L w 2 ( w A : w 1 w L w 2 w L ) w 1 L w 2 : es gibt ein Wort w A so, dass genau eines der Wörter w 1 w und w 2 w in L liegt, aber das andere nicht. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 24 / 70

36 Beispiel A = {a, b} L = a*b* A alle Wörter, in denen nirgends das Teilwort ba vorkommt Beispiele: 1. w 1 = aaa und w 2 = a Hängt man an beide Wörter ein w a* an, dann sind sowohl w 1 w als auch w 2 w in L. Hängt man ein w a*bb* an, dann sind sowohl w 1 w als auch w 2 w in L. Hängt man ein w an, das ba enthält, dann sind also beide nicht in L. Andere Möglichkeiten für w gibt es nicht, also sind die beiden Wörter L -äquivalent. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 25 / 70

37 Beispiel A = {a, b} L = a*b* A alle Wörter, in denen nirgends das Teilwort ba vorkommt Beispiele: 1. w 1 = aaa und w 2 = a: äquivalent 2. w 1 = aaab und w 2 = abb Hängt man ein w b* an, dann sind sowohl w 1 w als auch w 2 w in L. Hängt man ein w an, das ein a enthält, dann sind also beide nicht in L. Andere Möglichkeiten gibt es nicht, also sind die beiden Wörter L -äquivalent. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 25 / 70

38 Beispiel A = {a, b} L = a*b* A alle Wörter, in denen nirgends das Teilwort ba vorkommt Beispiele: 1. w 1 = aaa und w 2 = a: äquivalent 2. w 1 = aaab und w 2 = abb: äquivalent 3. w 1 = aa und w 2 = abb Hängt man w = a an, dann ist zwar w 1 w = aaa L, aber w 2 w = abba L. Also sind die beiden Wörter nicht L -äquivalent. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 25 / 70

39 Beispiel A = {a, b} L = a*b* A alle Wörter, in denen nirgends das Teilwort ba vorkommt Beispiele: 1. w 1 = aaa und w 2 = a: äquivalent 2. w 1 = aaab und w 2 = abb: äquivalent 3. w 1 = aa und w 2 = abb: nicht äquivalent 4. w 1 = aba und w 2 = babb Beide enthalten ba. Egal was man anhängt, es bleibt so, d. h. immer sind w 1 w L und w 2 w L. Also sind die beiden Wörter L -äquivalent. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 25 / 70

40 Beispiel A = {a, b} L = a*b* A alle Wörter, in denen nirgends das Teilwort ba vorkommt Beispiele: 1. w 1 = aaa und w 2 = a: äquivalent 2. w 1 = aaab und w 2 = abb: äquivalent 3. w 1 = aa und w 2 = abb: nicht äquivalent 4. w 1 = aba und w 2 = babb: äquivalent 5. w 1 = ab und w 2 = ba Da w 1 L, aber w 2 L, zeigt w = ε, dass die beiden nicht L -äquivalent sind. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 25 / 70

41 Beispiel A = {a, b} L = a*b* A alle Wörter, in denen nirgends das Teilwort ba vorkommt Beispiele: 1. w 1 = aaa und w 2 = a: äquivalent 2. w 1 = aaab und w 2 = abb: äquivalent 3. w 1 = aa und w 2 = abb: nicht äquivalent 4. w 1 = aba und w 2 = babb: äquivalent 5. w 1 = ab und w 2 = ba: nicht äquivalent also drei Äquivalenzklassen a* a*bb* (a b)*ba(a b)* GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 25 / 70

42 Die Nerode-Relation ist immer eine Äquivalenzrelation Lemma Für jede formale Sprache L ist L eine Äquivalenzrelation. Beweis prüfe alle drei Eigenschaften Reflexivität: sehr einfach Symmetrie: sehr einfach Transitivität: einfach GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 26 / 70

43 Veträglichkeit: Beispiel Nerode-Äquivalenzen x A beliebig f x : A A : w wx Lemma L ist mit f x verträglich: w 1,w 2 A : w 1 L w 2 w 1 x L w 2 x Beweis Anhängen von w an w 1 x bzw. w 2 x ist das Gleiche wie Anhängen von xw an w 1 bzw. w 2 also... GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 27 / 70

44 Eine Abbildung für Nerode-Äquivalenzklassen für jedes x A ist f x : w wx mit L verträglich Also ist wohldefiniert. f x : A / L A / L : [w] [wx] GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 28 / 70

45 Eine Abbildung für Nerode-Äquivalenzklassen für jedes x A ist f x : w wx mit L verträglich Also ist wohldefiniert. Also ist wohldefiniert. f x : A / L A / L : [w] [wx] f : A / L A A / L : f ([w], x) = [wx] GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 28 / 70

46 Nerode-Äquivalenzen: Ausblick Theorem. Hat L nur endlich viele Äquivalenzklassen, dann ist (Z, z 0, A, f, F ) mit Z = A / L z 0 = [ε] f : Z A Z : f ([w], x) = [wx] F = {[w] w L} ein endlicher Akzeptor, der genau L akzeptiert. Theorem. Wenn L regulär ist, dann hat L nur endlich viele Äquivalenzklassen. Theorem. Der so konstruierte Akzeptor hat die kleinstmögliche Anzahl von Zuständen und es gibt bis auf Isomorphie nur einen so kleinen Akzeptor. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 29 / 70

47 Nerode-Äquivalenzen: Ausblick Beispiel L = a*b* mit Äquivalenzklassen a* a*bb* (a b)*ba(a b)* Akzeptor a b a, b a* b a a*bb* ba GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 30 / 70

48 Wo sind wir? Äquivalenzrelationen Kongruenzrelationen Äquivalenzrelation von Nerode Halbordnungen Ordnungen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 31 / 70

49 Antisymmetrische Relationen R M M antisymmetrisch, wenn für alle x,y M gilt: xry yrx x = y Beispiel Mengeninklusion: zum Beispiel M = 2 M Potenzmenge einer Menge M Relation R M M mit R = {(A, B) A M B M A B} = {(A, B) A M B M A B} R ist antisymmetrisch: A B B A A = B GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 32 / 70

50 Halbordnungen R M M heißt Halbordnung, wenn R reflexiv, antisymmetrisch und transitiv Wenn R Halbordnung auf Menge M ist, nennt man M eine halbgeordnete Menge. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 33 / 70

51 Halbordnungen R M M heißt Halbordnung, wenn R reflexiv, antisymmetrisch und transitiv Wenn R Halbordnung auf Menge M ist, nennt man M eine halbgeordnete Menge. Beispiel Mengeninklusion: A A A B B A A = B A B B C A C GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 33 / 70

52 Halbordnungen R M M heißt Halbordnung, wenn R reflexiv, antisymmetrisch und transitiv Wenn R Halbordnung auf Menge M ist, nennt man M eine halbgeordnete Menge. Beispiel Mengeninklusion: A A A B B A A = B A B B C A C im allgemeinen gibt es unvergleichbare Elemente: z. B. {1, 2, 3} {3, 4, 5} und {3, 4, 5} {1, 2, 3} GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 33 / 70

53 eine Halbordnung auf Wörtern darauf bauen wir später noch auf M = A Relation p auf A : w 1 p w 2 u A : w 1 u = w 2 zum Beispiel im Duden: Klaus kommt vor Klausur aber: p ist echte Halbordnung keine Beziehung zwischen Klausur und Übung GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 34 / 70

54 Wenn man weiß, dass es eine Halbordnung ist, enthält der gesamte Graph Redundantes {a,b,c} {a,b} {a,c} {b,c} {a} {b} {c} {} Beispiel (2 {a,b,c }, ) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 35 / 70

55 Wenn man weiß, dass es eine Halbordnung ist, genügt das Hassediagramm {a,b,c} Beispiel (2 {a,b,c }, ) H R = (R I ) (R I ) 2 {a,b} {a,c} {b,c} {a} {b} {c} {} GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 36 / 70

56 Das Hassediagramm enthält «alles Wesentliche» Wenn R Halbordnung auf einer endlichen Menge M ist, dann kann man aus H R das R wieder rekonstruieren: GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 37 / 70

57 Das Hassediagramm enthält «alles Wesentliche» Wenn R Halbordnung auf einer endlichen Menge M ist, dann kann man aus H R das R wieder rekonstruieren: HR = R GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 37 / 70

58 Minimale und maximale Elemente sei (M, ) halbgeordnet und T M. x T heißt maximales Element von T, wenn es kein y T gibt mit x y und x y. x T heißt minimales Element von T, wenn es kein y T gibt mit y x und y x. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 38 / 70

59 Minimale und maximale Elemente sei (M, ) halbgeordnet und T M. x T heißt maximales Element von T, wenn es kein y T gibt mit x y und x y. x T heißt minimales Element von T, wenn es kein y T gibt mit y x und y x. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 38 / 70

60 Minimale und maximale Elemente sei (M, ) halbgeordnet und T M. x T heißt maximales Element von T, wenn es kein y T gibt mit x y und x y. x T heißt minimales Element von T, wenn es kein y T gibt mit y x und y x. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 38 / 70

61 Beispiele minimaler und maximaler Elemente ab bc Teilmenge von (2 {a,b,c }, ) b {} c zwei maximale Elemente: ab und bc ein minimales Element: {} GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 39 / 70

62 Kleinste und größte Elemente sei (M, ) halbgeordnet und T M. x T heißt kleinstes Element von T, wenn für alle y T gilt: x y. x T heißt größtes Element von T, wenn für alle y T gilt: y x. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 40 / 70

63 Beispiele kleinster und größter Elemente ab bc Teilmenge von (2 {a,b,c }, ) b {} c kein größtes Element kleinstes Element: {} GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 41 / 70

64 Beispiele kleinster und größter Elemente ab bc Teilmenge von (2 {a,b,c }, ) b {} c kein größtes Element kleinstes Element: {} Vorsicht bei unendlichen Halbordnungen u. U. genau ein minimales Element aber trotzdem kein kleinstes! GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 41 / 70

65 Das kleinste und das größte Element sind eindeutig sei (M, ) halbgeordnet und T M T kann nicht zwei verschiedene kleinste (bzw. größte) Elemente haben. Beweis für Eindeutigkeit des kleinsten Elements seien x 1 und x 2 kleinste Elemente, dann ist x 1 x 2, weil x 1 kleinstes Element, und es ist x 2 x 1, weil x 2 kleinstes Element, also wegen Antisymmetrie: x 1 = x 2 analog Eindeutigkeit des größten Elements GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 42 / 70

66 Untere und obere Schranken von T unter Umständen auch außerhalb von T sei (M, ) halbgeordnet und T M. x M heißt obere Schranke von T, wenn für alle y T gilt: y x. x M heißt untere Schranke von T, wenn für alle y T gilt: x y. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 43 / 70

67 Untere und obere Schranken: Beispiele abc ab ac bc a b c T = { {}, {a}, {b} } T = { {}, {a}, {b}, {a,b} } {} GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 44 / 70

68 Untere und obere Schranken: Beispiele abc ab ac bc a b c T = { {}, {a}, {b} } obere Schranken {a,b} und {a,b,c} T = { {}, {a}, {b}, {a,b} } {} GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 45 / 70

69 Untere und obere Schranken: Beispiele abc ab ac bc a b c {} T = { {}, {a}, {b} } obere Schranken {a,b} und {a,b,c} T = { {}, {a}, {b}, {a,b} } die gleichen oberen Schranken GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 46 / 70

70 Untere und obere Schranken müssen nicht existieren Teilmenge muss keine obere Schranke besitzen In hat z. B. Grundmenge keine obere Schranke GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 47 / 70

71 Untere und obere Schranken müssen nicht existieren Teilmenge muss keine obere Schranke besitzen In hat z. B. Grundmenge keine obere Schranke In (N 0, ) hat die Grundmenge keine obere Schranke. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 47 / 70

72 Supremum und Infimum Besitzt die Menge aller oberen Schranken einer Teilmenge T ein kleinstes Element, so heißt dies das Supremum von T Schreibweisen T oder sup(t ) Besitzt die Menge aller unteren Schranken einer Teilmenge T ein größtes Element, so heißt dies das Infimum von T. brauchen wir hier nicht GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 48 / 70

73 Supremum und Infimum Besitzt die Menge aller oberen Schranken einer Teilmenge T ein kleinstes Element, so heißt dies das Supremum von T Schreibweisen T oder sup(t ) Besitzt die Menge aller unteren Schranken einer Teilmenge T ein größtes Element, so heißt dies das Infimum von T. brauchen wir hier nicht Supremum (bzw. Infimum) einer Teilmenge müssen nicht existieren weil gar keine oberen Schranken vorhanden oder weil von den oberen Schranken keine die kleinste ist GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 48 / 70

74 Supremum und Infimum: Beispiele Bei Halbordnungen (2 M, ) existieren Suprema immer: Supremum von T 2 M ist die Vereinigung aller Teilmengen von M, die in T liegen Beispiel für das Beispiel: M = {a, b} also ist M = 2 M die Menge aller formalen Sprachen L M für i N 0 sei L i = {a j b j j i} L 0 = {ε} L 1 = {ε, ab} L 2 = {ε, ab, aabb}... sei T = {L i i N 0 } dann ist T = i=0 L i = {a j b j j N 0 } GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 49 / 70

75 Aufsteigende Ketten aufsteigende Kette abzählbar unendliche Folge (x 0, x 1, x 2,... ) von Elementen mit der Eigenschaft: i N 0 : x i x i+1. kurz x 0 x 1 x 2 x 3 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 50 / 70

76 Aufsteigende Ketten aufsteigende Kette abzählbar unendliche Folge (x 0, x 1, x 2,... ) von Elementen mit der Eigenschaft: i N 0 : x i x i+1. kurz x 0 x 1 x 2 x 3 Beispiel: (2 {a,b}, ) {ε} {ε, ab} {ε, ab, aabb} {ε, ab, aabb, aaabbb}... GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 50 / 70

77 Vollständige Halbordnungen Eine Halbordnung heißt vollständig, wenn sie ein kleinstes Element hat und jede aufsteigende Kette x 0 x 1 x 2 ein Supremum i x i besitzt. Beispiele: (2 M, ) kleinstes Element {} Supremum von T 0 T 1 T 2 ist T i. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 51 / 70

78 Vollständige Halbordnungen Eine Halbordnung heißt vollständig, wenn sie ein kleinstes Element hat und jede aufsteigende Kette x 0 x 1 x 2 ein Supremum i x i besitzt. Beispiele: (2 M, ) kleinstes Element {} Supremum von T 0 T 1 T 2 ist T i. aufsteigende Ketten, die konstant werden, also x 0 x 1 x 2 x k = x k+1 = x k+2 = GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 51 / 70

79 Vollständige Halbordnungen Eine Halbordnung heißt vollständig, wenn sie ein kleinstes Element hat und jede aufsteigende Kette x 0 x 1 x 2 ein Supremum i x i besitzt. Beispiele: (2 M, ) kleinstes Element {} Supremum von T 0 T 1 T 2 ist T i. aufsteigende Ketten, die konstant werden, also x 0 x 1 x 2 x k = x k+1 = x k+2 = haben immer Supremum, nämlich x k GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 51 / 70

80 Vollständige Halbordnungen: weitere (Nicht-)Beispiele (N 0, ) ist keine vollständige Halbordung unbeschränkt wachsende aufsteigende Ketten wie z. B besitzen kein Supremum in N 0. ergänze Element u über allen Zahlen: N = N 0 {u} und x y ( x,y N 0 x y ) (y = u) also u später noch nützlich N = N 0 {u 1,u 2 } und x y ( x,y N 0 x y ) ( x N 0 {u 1 } y = u 1 ) y = u2 also u 1 u 2 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 52 / 70

81 Monotone Abbildungen (M, ) halbgeordnete Menge Abbildung f : M M monoton, wenn für alle x,y M gilt: x y f (x) f (y) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 53 / 70

82 Monotone Abbildungen (M, ) halbgeordnete Menge Abbildung f : M M monoton, wenn für alle x,y M gilt: x y f (x) f (y) Beispiel: (N 0, ) mit Abbildung f (x) = x + 1 x y x + 1 y + 1 Nichtbeispiel: (N 0, ) mit Abbildung f (x) = x mod , aber f (3) = 3 0 = f (10). GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 53 / 70

83 Stetige Abbildungen (D, ) sei vollständige Halbordnung monotone Abbildung f : D D heißt stetig, wenn für jede aufsteigende Kette x 0 x 1 x 2 f ( x i ) = f (x i ) i i GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 54 / 70

84 Stetige Abbildungen: Beispiel 1 N = N 0 {u 1,u 2 } mit wie eben Abbildung f : N N mit ist stetig. x + 1 falls x N 0 f (x) = u 1 falls x = u 1 u 2 falls x = u 2 warum? GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 55 / 70

85 Stetige Abbildungen: Beispiel 1 f (x) = x + 1 falls x N 0 u j falls x = u j (für j = 1, 2) zwei Fälle für aufsteigende Kette x 0 x 1 x 2 1. Die Kette wird nicht konstant. 2. Die Kette wird konstant. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 56 / 70

86 Stetige Abbildungen: Beispiel 1 f (x) = x + 1 falls x N 0 u j falls x = u j (für j = 1, 2) zwei Fälle für aufsteigende Kette x 0 x 1 x 2 1. Die Kette wird nicht konstant. alle x i N 0, die Kette wächst unbeschränkt 2. Die Kette wird konstant. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 56 / 70

87 Stetige Abbildungen: Beispiel 1 f (x) = x + 1 falls x N 0 u j falls x = u j (für j = 1, 2) zwei Fälle für aufsteigende Kette x 0 x 1 x 2 1. Die Kette wird nicht konstant. alle x i N 0, die Kette wächst unbeschränkt ebenso die Kette der Funktionswerte 2. Die Kette wird konstant. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 56 / 70

88 Stetige Abbildungen: Beispiel 1 f (x) = x + 1 falls x N 0 u j falls x = u j (für j = 1, 2) zwei Fälle für aufsteigende Kette x 0 x 1 x 2 1. Die Kette wird nicht konstant. alle x i N 0, die Kette wächst unbeschränkt ebenso die Kette der Funktionswerte beide Ketten Supremum u 1, f (u 1 ) = u 1 also f ( i x i ) = i f (x i ) 2. Die Kette wird konstant. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 56 / 70

89 Stetige Abbildungen: Beispiel 1 f (x) = x + 1 falls x N 0 u j falls x = u j (für j = 1, 2) zwei Fälle für aufsteigende Kette x 0 x 1 x 2 1. Die Kette wird nicht konstant. alle x i N 0, die Kette wächst unbeschränkt ebenso die Kette der Funktionswerte beide Ketten Supremum u 1, f (u 1 ) = u 1 also f ( i x i ) = i f (x i ) 2. Die Kette wird konstant. Fall klar? GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 56 / 70

90 Stetige Abbildungen: Beispiel 2 N = N 0 {u 1,u 2 } mit wie eben Abbildung д : N N mit ist nicht stetig д(x) = x + 1 falls x N 0 u 2 falls x {u 1,u 2 } GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 57 / 70

91 Stetige Abbildungen: Beispiel 2 N = N 0 {u 1,u 2 } mit wie eben Abbildung д : N N mit ist nicht stetig д(x) = x + 1 falls x N 0 u 2 falls x {u 1,u 2 } Unterschied zu f : д(u 1 ) = u 2 betrachte Kette mit x i = i, also д( i x i ) = д(u 1 ) = u 2 u 1 = i д(x i ) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 57 / 70

92 Fixpunktsatz Satz Es sei f : D D eine monotone, stetige Abbildung auf einer vollständigen Halbordnung (D, ) mit kleinstem Element. Elemente x i D seien wie folgt definiert: x 0 = i N 0 : x i+1 = f (x i ) Dann gilt: 1. Die x i bilden eine Kette: x 0 x 1 x Supremum x f = i x i ist Fixpunkt von f, also f (x f ) = x f. 3. x f ist der kleinste Fixpunkt von f : f (y f ) = y f x f y f. Anwendung: Semantik von Programmiersprachen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 58 / 70

93 Fixpunktsatz: Beweis Behauptung: i N 0 gilt x i x i+1 vollständige Induktion: x 0 x 1, weil x 0 = das kleinste Element wenn x i x i+1, dann wegen Monotonie von f auch f (x i ) f (x i+1 ), also x i+1 x i+2. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 59 / 70

94 Fixpunktsatz: Beweis Behauptung: i N 0 gilt x i x i+1 vollständige Induktion: x 0 x 1, weil x 0 = das kleinste Element wenn x i x i+1, dann wegen Monotonie von f auch f (x i ) f (x i+1 ), also x i+1 x i+2. Behauptung: x f = i x i ist Fixpunkt, also f (x f ) = x f da f stetig: f (x f ) = f ( i x i ) = i f (x i ) = i x i+1 Folge der x i+1 gleich Folge der x i ohne erstes Element also gleiches Supremum x f (klar?) also i x i+1 = i x i = x f also ist f (x f ) = x f GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 59 / 70

95 Fixpunktsatz: Beweis Behauptung: i N 0 gilt x i x i+1 vollständige Induktion: x 0 x 1, weil x 0 = das kleinste Element wenn x i x i+1, dann wegen Monotonie von f auch f (x i ) f (x i+1 ), also x i+1 x i+2. Behauptung: x f = i x i ist Fixpunkt, also f (x f ) = x f da f stetig: f (x f ) = f ( i x i ) = i f (x i ) = i x i+1 Folge der x i+1 gleich Folge der x i ohne erstes Element also gleiches Supremum x f (klar?) also i x i+1 = i x i = x f also ist f (x f ) = x f Behauptung: x f ist kleinster Fixpunkt. Sei f (y f ) = y f. Induktion: i N 0 : x i y f. also y f eine obere Schranke der Kette also gilt für kleinste obere Schranke x f = i x i y f. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 59 / 70

96 Was ist wichtig Das sollten Sie mitnehmen: Halbordnungen sind reflexiv, antisymmetrisch und transitiv vollständige Halbordnungen jede aufsteigende Kette hat Supremum stetige Abbildungen: f ( x i ) = f (x i ) Fixpunktsatz Das sollten Sie üben: Nachweis der Eigenschaften von (vollständigen) Halbordnungen Beweise einfacher Aussagen an ungewohnte Eigenschaften von Halbordnungen gewöhnen Unendlichkeit lässt grüßen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 60 / 70

97 Wo sind wir? Äquivalenzrelationen Kongruenzrelationen Äquivalenzrelation von Nerode Halbordnungen Ordnungen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 61 / 70

98 Totale Ordnung keine unvergleichbaren Elemente Relation R M M ist eine Ordnung oder genauer totale Ordnung, wenn R Halbordnung ist und gilt: x,y M : xry yrx GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 62 / 70

99 Totale Ordnung keine unvergleichbaren Elemente Relation R M M ist eine Ordnung oder genauer totale Ordnung, wenn R Halbordnung ist und gilt: x,y M : xry yrx Beispiele: (N 0, ) (Z Z, ) mit (x 1, x 2 ) (y 1,y 2 ) x 1 < y 1 (x 1 = y 1 x 2 y 2 ) ({a, b}, 1 ) mit 1 wie im Wörterbuch GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 62 / 70

100 Totale Ordnungen auf A Relation p auf {a, b} : w 1 p w 2 u A : w 1 u = w 2 ist keine totale Ordnung z. B. sind a und b unvergleichbar Wie kann man aus p eine totale Ordnung machen? GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 63 / 70

101 Totale Ordnungen auf A Relation p auf {a, b} : w 1 p w 2 u A : w 1 u = w 2 ist keine totale Ordnung z. B. sind a und b unvergleichbar Wie kann man aus p eine totale Ordnung machen? jedenfalls totale Ordnung A auf A nötig, z. B. a A b dann mehrere Möglichkeiten... GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 63 / 70

102 Milchstraße Milch Milchreis in welcher Reihenfolge stehen sie im Wörterbuch? GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 64 / 70

103 Milchstraße Milch Milchreis in welcher Reihenfolge stehen sie im Wörterbuch? Milch Milchreis Milchstraße GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 64 / 70

104 Lexikographische Ordnung 1 (Wörterbuch) Suche längstes gemeinsames Präfix v w 1 v? w 2 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 65 / 70

105 Lexikographische Ordnung 1 (Wörterbuch) Suche längstes gemeinsames Präfix v w 1 v? w 2 ein gemeinsames Präfix gibt es immer: ε stets v min( w 1, w 2 ) es gibt ein längstes das längste ist eindeutig bestimmt GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 65 / 70

106 Lexikographische Ordnung 1 (Wörterbuch) 1. Fall: v = min( w 1, w 2 ) drei Möglichkeiten v = w 1 < w 2 v = w 1 = w 2 = v w 1 > w 2 = v GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 65 / 70

107 Lexikographische Ordnung 1 (Wörterbuch) 1. Fall: v = min( w 1, w 2 ) drei Möglichkeiten v = w 1 < w 2 : definiere w 1 1 w 2 v = w 1 = w 2 = v w 1 > w 2 = v w 1 v w 2 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 65 / 70

108 Lexikographische Ordnung 1 (Wörterbuch) 1. Fall: v = min( w 1, w 2 ) drei Möglichkeiten v = w 1 < w 2 : definiere w 1 1 w 2 v = w 1 = w 2 = v : definiere w 1 1 w 2 und w 2 1 w 1 w 1 > w 2 = v w 1 v w 2 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 65 / 70

109 Lexikographische Ordnung 1 (Wörterbuch) 1. Fall: v = min( w 1, w 2 ) drei Möglichkeiten v = w 1 < w 2 : definiere w 1 1 w 2 v = w 1 = w 2 = v : definiere w 1 1 w 2 und w 2 1 w 1 w 1 > w 2 = v : definiere w 2 1 w 1 w 1 v w 2 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 65 / 70

110 Lexikographische Ordnung 1 (Wörterbuch) 2. Fall: v < min( w 1, w 2 ) w 1 v w 2 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 65 / 70

111 Lexikographische Ordnung 1 (Wörterbuch) 2. Fall: v < min( w 1, w 2 ) w 1 v w 2 M x M y GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 65 / 70

112 Lexikographische Ordnung 1 (Wörterbuch) 2. Fall: v < min( w 1, w 2 ) w 1 v w 2 M x M y wenn x A y dann w 1 1 w 2 wenn y A x dann w 2 1 w 1 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 65 / 70

113 Lexikographische Ordnung 1 «erster Art» die im Wörterbuch für w 1,w 2 A sei v A das maximal lange Präfix so, dass es u 1,u 2 A gibt mit w 1 = v u 1 und w 2 = v u 2. Fallunterscheidung: 1. Falls v = w 1 ist, gilt w 1 1 w 2 Falls v = w 2 ist, gilt w 2 1 w 1 2. Falls w 1 v w 2, gibt es x,y A und u 1,u 2 A mit x y und w 1 = v x u 1 und w 2 = v y u 2 dann w 1 1 w 2 x A y Beispiele 1. Klaus kommt vor Klausur 2. Klausur kommt vor Übung GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 66 / 70

114 Lexikographische Ordnung 1 harmlos bei nur endlich vielen Wörtern a 1 aa 1 aaa 1 aaaa 1 ab 1 aba 1 abbb 1 b 1 baaaaaa 1 baab 1 bbbbb GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 67 / 70

115 Lexikographische Ordnung 1 harmlos bei nur endlich vielen Wörtern a 1 aa 1 aaa 1 aaaa 1 ab 1 aba 1 abbb 1 b 1 baaaaaa 1 baab 1 bbbbb nicht ganz so harmlos für A ε 1 a 1 aa 1 aaa 1 aaaa 1 hat kein Supremum: jedes Wort, das mindestens ein b enthält, ist obere Schranke, zu jeder oberen Schranke w ist a w b ist eine echt kleine obere Schranke (weil w ein b enthält) b 1 ab 1 aab 1 aaab 1 aaaab 1 hat kein Infimum (A, 1 ) ist also keine vollständige Halbordnung GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 67 / 70

116 Lexikographische Ordnung 2 «zweiter Art» andere lexikographische Ordnung 2 auf A : w 1 2 w 2 gilt genau dann, wenn entweder w 1 < w 2 oder w 1 = w 2 und w 1 1 w 2 gilt. für A = {a, b} mit a b beginnt Ordnung so ε 2 a 2 b 2 aa 2 ab 2 ba 2 bb 2 aaa 2 2 bbb 2 aaaa 2 2 bbbb GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 68 / 70

117 Die lexikografischen Ordnungen 1 und 2 sind total 1 auf Menge A n totale Ordnung (für festes n) Halbordnung: nachprüfen... für verschiedene Wörter gleicher Länge niemals w 1 = v oder w 2 = v. da A als total vorausgesetzt wird, ist bei w 1 = v x u 1 und w 2 = v y u 2 stets x A y oder y A x also stets w 1 1 w 2 oder w 2 1 w 1. also 2 auf A totale Ordnung 1 für verschieden lange Wörter: nachprüfen... GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 69 / 70

118 Was ist wichtig Das sollten Sie mitnehmen: totale Ordnungen sind Halbordnungen ohne unvergleichbare Elemente Anwendung an diversen Stellen in der Informatik z. B. Semantik, Testmuster,... Das sollten Sie üben: Nachweis der Eigenschaften von totalen Ordnungen Beweise einfacher Aussagen an ungewohnte Eigenschaften von Ordnungen gewöhnen (Unendlichkeit... ) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 70 / 70

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