Übungsblatt 3. Lagrange-Formalismus, Systeme von Schwingungen. Man betrachte ein ebenes Doppelpendel im dreidimensionalen Raum (siehe Abb.).

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1 Technische Universität München Fautät für Phsi Ferienurs Theoretische Phsi 1 Übungsbatt 3 Lagrange-Foraisus, Sstee von Schwingungen 1. Ebenes Pende (*) Man betrachte ein ebenes Doppepende i dreidiensionaen Rau (siehe Abb.). a) Zeigen Sie, dass es für dieses Sste vier hoonoe Zwangsbedingungen gibt. Foruieren Sie diese Zwangsbedingungen. Wie viee unabhängige Freiheitsgrade beiben de Sste fogich? Weches sind die geeigneten generaisierten Koordinaten q i? z b) Drücen Sie die inetische Energie θ 1 1 T = 1 1 r r 1 durch die generaisierte Koordinaten aus. Zeigen Sie: T = 1 a ij (q) q i q j und bestien sie die Matri a ij (q). i,j Hinweis: sin α sin β + cos α cos β = cos(α β) θ c) Geben Sie nun auch die potentiee Energie, ausgedrüct in generaisierten Koordinaten q i an.. Zoiden-Hafpipe (***) Ein Massenpunt geitet reibungsfrei i Schwerefed der Erde auf einer ugeehrten Zoide (ähnich einer Hafpipe). Diese Zoide ann durch r(ϕ) = ( ) (ϕ) (ϕ) = a ( ) ϕ sin ϕ 1 + cos ϕ paraetrisiert werden, wobei 0 ϕ π 1 / 6

2 Ferienurs Theoretische Phsi a) Bestien Sie die Lagrange-Funtion unter Verwendung von ϕ as generaisierter Koordinate. b) Zeigen Sie nun, dass daraus die Bewegungsgeichung ϕ + 1 ϕ cot ϕ g a cot ϕ = 0 fogt und verwenden Sie die Substitution u = cos ϕ, u diese Geichung drastisch zu vereinfachen. Hinweis: cot ϕ = sin ϕ 1 cos ϕ c) Geben Sie nun die ageeine Lösung der Bewegungsgeichung an sowie die Lösung der Bewegungsgeichung für ϕ(t = 0) = ϕ 0 > 0 und ϕ(t = 0) = 0. Wie auten dait die Geichungen für (t) und (t)? Wodurch zeichnet sich das Sste aus? d Hinweis: d arccos = Kötze i Schacht (***) Zwei Kötze geicher Masse sind durch eine starre, asseose Stange der Länge verbunden und bewegen sich reibungsfrei entang des in nebenstehender Abbidung vorgegebenen Weges unter de Einfuss der Schwerraft. a) Wie auten die Zwangsbedingungen? Steen Sie die Lagrange-Funtion für die verageeinerte Koordinate α(t) auf. b) Zeigen Sie, dass die Euer-Lagrange- Geichung in der For α α + g cos α = 0 geschrieben werden ann, wobei g die Graviationsbescheunigung ist. c) Bestien Sie die Geschwindigeit des entang der -Achse faenden Körpers as Funtion des Wines α. Die Anfangsbedingung foge aus einer einen Ausenung aus de abien Geichgewicht bei α = 90. Wie groß ist ẏ bei α = 45, α = 0 und α = 45 für = 1, g 10 /s? Hinweis: Mutipizieren Sie die Bewegungsgeichung it α und finden Sie einen Ausdruc für α. / 6

3 Ferienurs Theoretische Phsi d) Bestien Sie den Wine, unter weche die Fageschwindigeit a größten ist, und den entsprechenden Betrag der Geschwindigeit 4. Pere auf Schraubeninie (**) Eine Pere der Masse geite reibungsfrei auf einer Schraubeninie it de Radius R und a > 0 R cos φ(t) r(t) = R sin φ(t). aφ(t) z Die Schwerraft wire in negative z-richtung. a) Wie auten die Zwangsbedingungen? b) Foruieren Sie die Lagrange-Geichungen 1. Art. c) Benutzen Sie die Zwangsbedingungen u die Bewegungsgeichungen zu vereinfachen und bestien Sie die Zwangsräfte. Hinweis: Verwenden Sie Zinderoordinaten (ρ, φ, z). 5. Variationsprinzip (**) a) Betrachten Sie eine Lagrange-Funtion L(q, q, q; t) die auch noch von der zweiten Abeitung von q nach der Zeit abhängt. Zeigen Sie, dass die Euer-Lagrange- Geichung für diese Funtion durch ( q d ) dt q + d L(q, q, q; t) = 0 dt q gegeben ist, wobei wir davon ausgehen, dass weder q noch q an den Randpunten variiert werden, d.h. δq(t 1 ) = δq(t ) = δ q(t 1 ) = δ q(t ) = 0. b) Zeigen Sie, dass die ürzeste Verbindung zwischen zwei Punten (sog. geodätische Linie) auf einer Kuge durch einen Großreisbogen gegeben ist. Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass das Linieneeent auf einer Kugeoberfäche vo Radius R durch ds = R 1 + sin ϑϕ dϑ it ϕ = dϕ/ dϑ gegeben ist. 3 / 6

4 Ferienurs Theoretische Phsi Tit For Tat (***) Zwei puntförige Körper geicher Masse bewegen sich i hoogenen Schwerefed der Erde reibungsfrei auf einer vertiaen, bzw. u 45 geneigten, Geraden (s. Abb.). Sie sind it einer ideaen Feder it Federonstanten verbunden, die i entspannten Zustand Länge = 0 hat. Es wiren eine weitern Kräfte. a) Steen Sie die Lagrange-Funtion in den Variaben 1 und auf, den vertiaen Koponenten der Koordinaten der Massenpunte. b) Leiten Sie die Bewegungsgeichungen ab. c) Bestien Sie die Geichgewichtsage. d) Es ist nun sinnvo neue Koordinaten ξ 1 und ξ einzuführen, weche die Ausenung der Massen aus der Geichgewichtsage beschreiben. Zeigen Sie dass sich dait die Lagrange-Funtion auf fogende For vereinfachen ässt: L = ( ξ 1 + ξ ) ( ) ξ 1 + ξ ξ 1 ξ 1 45 e) Geben Sie die neuen Bewegungsgeichungen in Matrifor an und bestien sie die Eigenschwingungen des Sstes. Interpretieren Sie Ihr Ergebnis. 7. Gefederte Massen auf Ring (**) Drei Massenpunte önnen sich reibungsfrei auf eine Kreisring it Radius R bewegen und sind durch drei identische Federn it Federonstante iteinander verbunden (s. Abb.). Zwei der Massenpunte haben die geiche Masse, während der dritte die Masse M = α, α > 0 hat. Es wiren eine weiteren Kräfte. a) Steen Sie die Lagrange-Funtion für dieses Sste auf. Verwenden Sie as generaisierte Koordinaten die Wine ϕ i, i = 1,, 3, die as Ausenungen aus einer durch geiche Federspannungen bestiten Lage definiert seien. α b) Steen Sie daraus die Bewegungsgeichungen für dieses Sste auf. c) Bestien Sie die Eigenfrequenzen aus den Bewegungsgeichungen. Hinweis: Die charateristische Geichung der aus den Bewegungsgeichungen fogenden Matri it den noch zu bestienden Größen β und λ ann fatorisiert φ 3 φ 1 R φ 4 / 6

5 Ferienurs Theoretische Phsi werden geäß β λ β β β β λ β = λ(3β λ)[αλ β(α + )]. β β β αλ d) Berechnen Sie die zugehörigen Eigenschwingungen und interpretieren Sie diese. e) Weche Setrie weist dieses Sste auf? Weche Erhatungsgröße gibt es aufgrund dieser Setrie? Weche Eigenschwingung ist it dieser Erhatungsgröße assoziiert und wie groß ist die zugehörige Eigenfrequenz? 8. Geoppete Fadenpende (***) z 0 α α 1 α 3 Drei geiche atheatische Pende (Masse, Länge ) sind durch zwei ideae Federn derseben Federonstante verbunden und bewegen sich i hoogenen Schwerefed der Erde (s. Abb.). Die Länge jeder der unbeasteten Federn ist jeweis geich de Abstand der Aufhängungspunte der zwei durch sie verbundenen Pende. a) Foruieren Sie die Lagrange-Funtion i Fae einer Ausenungen. Hinweis: Vernachässigen Sie Tere der Ordnung O(α 3 i ). b) Leiten Sie daraus die Bewegungsgeichungen ab. c) Bestien Sie die Eigenfrequenzen des Sstes. Hinweis: Die Beziehung (a + b )(a + b ) b = (a )(a + 3b ) önnte sich as nützich erweisen. d) Berechnen Sie die zu den zwei angsasten Eigenschwingungen gehörenden Eigenvetoren und interpretieren Sie Ihr Ergebnis. e) Geben Sie die zur schnesten Schwingungsode gehörende Eigenschwingung it urzer Begründung, aber ohne Rechnung, an. 5 / 6

6 Ferienurs Theoretische Phsi Noether-Theore (*) Weche Koponenten des Ipuses p und Drehipuses L beiben erhaten, wenn sich ein Massenpunt i dreidiensionaen Potentia bewegt, dessen Äquipotentiafächen durch fogende Fäe vorgegeben sind: a) unendiche Ebenen parae zur z-ebene, b) onzentrische Zinderhüsen it Zinderachsen auf der -Achse, c) onzentrische Kugeoberfächen, d) onzentrische gerade Kreisege it identischen Öffnungswinen und der -Achse as Setrieachse, e) onzentrische Eipsoidoberfächen it a = b c. 6 / 6