Lagerbewirtschaftungsmodelle

Transkript

1 Inventory Management- Lagerbestandsmanagement Lagerbewirtschaftungsmodelle Dr. Anton Ferner Stand: Basierend auf Thonemann, Ulrich: Operations Management (Pearson Studium 2005) Seite 0

2 INHALT Motivation Bestellmengenmodell Newsvendor-Modell Zusammenfassung und Ausblick Seite 1

3 ENTSCHEIDUNGEN IM BESTANDSMANAGEMENT Wann und welche Menge sollte ich bestellen? Lagerbestand Stück Wann: Bestellpunkt ROP Welche Menge: Bestellmenge x Lieferzeit T L Zeit Seite 2

4 RELEVANTE KOSTEN BESTANDSMANAGEMENT Kosten Variable Bestellkosten Fixe Bestellkosten Erläuterung Sind proportional zur bestellten Menge Enthalten Einstandspreise, mengenproportionale Transportkosten, etc. Fallen je Bestellung an, unabhängig von der Bestellmenge Enthalten Verwaltungskosten, Materialhandhabungskosten, etc., wenn diese je Bestellung anfallen Enthalten keine Overheadkosten, die durch die Bestellung nicht beeinflusst werden Lagerhaltungskosten Fehlmengenkosten Fallen je gelagerter Einheit an Enthalten Opportunitätskosten des gebundenen Kapitals, Kosten für den Lagerraum (wenn diese abhängig von der gelagerten Menge sind), etc. Fallen je nicht gelieferter oder verspätet gelieferter Einheit oder Lieferung an Seite 3

5 ÜBERSICHT BETRACHTETER MODELLE Parameter Bestellmengenmodell Newsvendor- Modell Kosten Variable Bestellkosten Fixe Bestellkosten Lagerhaltungskosten Fehlmengenkosten Nachfrage Deterministisch Stochastisch Perioden Eine Mehrere Seite 4

6 INHALT Motivation Bestellmengenmodell - Basismodell - Lieferzeit - Endliche Produktionsrate - Mengenrabatte - Service Level und Sicherheitsbestand - Schwankende Bedarfe und Lieferzeiten - Zusammenfassung Bestellmengenmodell Newsvendor-Modell Zusammenfassung und Ausblick Seite 5

7 MODELLANNAHMEN 1. Nachfragerate beträgt µ. Nachfrage ist deterministisch und konstant 2. Bestellungen werden unverzüglich geliefert 3. Keine Beschränkungen der Bestellmengen 4. Keine Mengenrabatte 5. Ein einziges Produkt 6. Relevante Kosten sind (fixe und variable) Bestellkosten und Lagerhaltungskosten 7. Ziel ist, den Bestellzeitpunkt und die Bestellmenge zu bestimmen, die die durchschnittlichen Kosten minimieren Seite 6

8 GRUNDLEGENDE ZUSAMMENHÄNGE Notation x Bestellmenge [Stück] µ Nachfragerate [Stück pro Jahr] T Zykluslänge [Jahre] N Bestellungen pro Jahr [-] Lagerbestand Stück x = 20 Stück µ = 1000 Stück/Jahr?? Zusammenhänge µ 1000 N = = = 50 x 20 Fixe Bestellkosten = µ x 1 -µ ( R) Durchschnittsbestand x/2 = 10 Lagerhaltungskosten (wenn Lagerhaltungskosten = h/stück/jahr) K x x = h 2 x 20 T = = = 0,02 Jahre = 1 Woche µ 1000 Zeit Jahre Variable Bestellkosten = cµ (wenn Stückpreis = c) Seite 7

9 Economic-Order-Quantity (EOQ) Modell Gesamtkosten Z(x)= Variable Bestellkosten fixe Bestellkosten + + Lagerkosten Z(x) = µ µ C + K + h x x 2 Z(x) Gesamtkosten in der betrachteten Zeitperiode in Abhängigkeit von der Losgröße x x Losgröße bzw. Bestellmenge µ Verbrauch in der betrachteten Zeitperiode (Verbrauchsrate betrachtete Zeitperiode) C Variable Bestellkosten pro Mengeneinheit K Kosten pro Bestell- oder Rüstvorgang h Lagerbestandskosten pro Mengeneinheit und Zeiteinheit (Lagerkostensatz) Betrachtungszeitraum: z. Bsp. ein Jahr Seite 8

10 HERLEITUNG KOSTENFUNKTION Kostensätze c Variable Bestellkosten [ /Stück] K Fixe Bestellkosten [ /Bestellung] h Lagerhaltungskostensatz [ /Stück/Jahr] Entscheidungsvariablen ROP=r=Bestellpunkt [Stück] x Bestellmenge [Stück] r = 0 Gesamtkosten µ x Z(x) = cµ + K + h x 2 Gesamtkosten Lagerhaltungskosten Z(x ) x =EOQ x Variable Bestellkosten Fixe Bestellkosten Seite 9

11 OPTIMIERUNG KOSTENFUNKTION Konvexität d d µ K h Z(x) = + µ c + x dx dx x 2 µ K h = + 2 x 2 2 d 3 2 Z(x) 2 Kx = µ dx > 0 für x > 0 konvex for x > 0 Z(x) x Notwendige Bedingung d Z(x) = 0 dx µ K h 2 + = 0 x 2 x 2µ K = h Z(x) wenn x Z(x) wenn x 0. Daher globales Minimum bei x > 0 Z(x ) = 2Kµ h + µ c Seite 10

12 Economic-Order-Quantity (EOQ) Modell Gesamtkosten = Z(x) = µ c + µ x K + x 2 h Optimale Losgröße = 2 µ K x = = h EOQ Gesamtkosten bei opt. Losgröße = Z = 2 µ Kh + c µ Kompatibilität zu Unterlagen Fr. Dr. Kraus: µ R, x Q µ Verbrauchsmenge pro Jahr, R Verbrauchsmenge pro Periode Seite 11

13 BEISPIEL Beispieldaten Die Nachfrage beträgt 20 Stück pro Woche Das Schreiben einer Bestellung kostet 10 pro Bestellung Das Entladen des LKWs kostet 10 pro Belieferung Der Einkaufspreis beträgt 390 pro Stück Die Transportkosten betragen 10 pro Stück Die Verzinsung des Kapitals betragen 25 % Seite 12

14 BEISPIEL Beispieldaten Die Nachfrage beträgt 20 Stück pro Woche Das Schreiben einer Bestellung kostet 10 pro Bestellung Das Entladen des LKWs kostet 10 pro Belieferung Der Einkaufspreis beträgt 390 pro Stück Die Transportkosten betragen 10 pro Stück Die Verzinsung des Kapitals betragen 25 % Lösung µ = Stück/Jahr, K = = 20, c = (390+10=)400 /Stück, h = 25 %/Jahr 400 /Stück = 100 /Stück/Jahr 2µ K Stück / Jahr 20 x µ x = = = 20, T = = 0.02 Jahre( 7d), N = = 50 / Jahr h 100 /Stück / Jahr µ x Z(x ) = 2Kµ h = 2x Stück / Jahr 100 / Stück / Jahr = 2,000 / Jahr Ohne variable Bestellkosten Seite 13

15 Harris/Andler Losgrößenbestimmung Kosten Tausend /Jahr Bestellmenge Stück Lagerhaltungskosten Gesamtkosten Fixe Bestellkosten Für x = x gilt Fixe Bestellkosten µ µ Kµ h K = K = = 1000 /Jahr x 2Kµ 2 h Lagerhaltungskosten 2Kµ x h Kµ h h = h = = 1000 /Jahr Gesamtkosten Kµ h 2 = 2K µ h = 2000 /Jahr 2 Ohne variable Bestellkosten Seite 14

16 Gesamtkosten Kosten Zusätzliche variable Bestellkstosten haben keinen Einfluß auf den EOQ Gesamtkosten mit µc Gesamtkosten ohne µc µc=variable Bestellkosten 0 EOQ Losgröße Source: MBPF (1999) Seite 15

17 INHALT Motivation Bestellmengenmodell - Basismodell - Lieferzeit - Endliche Produktionsrate - Mengenrabatte - Service Level und Sicherheitsbestand - Schwankende Bedarfe und Lieferzeiten - Zusammenfassung Bestellmengenmodell Newsvendor-Modell Zusammenfassung und Ausblick Seite 16

18 OPTIMALE LÖSUNG Zusätzliche Notation T L Lieferzeit [Jahre] ROP Bestellpunkt [Stück] LT = 0,5 Wochen? 0,5 Woche r = 20Stück 1 Woche Lagerbestand Stück x = 20 ROP = 10 -µ (-R) -20 Stück/ Woche Ähnliche Dreiecke: x T = ROP TL Lösung Der Bestellpunkt beträgt somit T L T = 1 Woche Zeit Jahre x ROP = T = R T L TL Durchschnittsverbrauch Lieferzeit Bestellmenge ist die gleiche wie beim Basismodell Seite 17

19 Beispiel Losgrößenermittlung h Lagerhaltungskostensatz [ /Stück/Jahr] Angeführte Lagerkostensatz = 1,5 pro Stück u. Periode 2. K. µ x = h T...Planungszeitraum (Tage) µ... Gesamtbedarf pro Planungszeitraum T in Zeiteinheit x... Bestellmenge in Teileinheiten von x K... Bestellfixen Kosten pro Bestellung h... Lagerhaltungskosten pro Stück und Zeiteinheit x... kostenoptimale Bestellmenge x = ,512 = 40 Quelle: Tempelmaier G.: Übungsbuch Produktion und Logistik, Springer- Verlag, Berlin Heidelberg New York Seite 18 18

20 Beispiel Rohmaterialbeschaffung für Snowboardherstellung Nachfrage pro Woche: 1,1 Tonnen Produktionszeitraum: 50 Wochen Herstellkosten (Rüstkosten): pro Vorgang Wareneingangskosten: Rohstoffpreis pro Tonne: /Tonne Transportkosten pro Tonne: /Tonne Opportunitätskosten (Zinsverlust): 25% Lieferzeit: 1 Woche Optimale Bestellmenge? fixen Bestellkosten? Lagerhaltungskosten? Gesamtkosten? Seite 19

21 Lösung Seite 20

22 INHALT Motivation Bestellmengenmodell - Basismodell - Lieferzeit - Endliche Produktionsrate - Mengenrabatte - Service Level und Sicherheitsbestand - Schwankende Bedarfe und Lieferzeiten - Zusammenfassung Bestellmengenmodell Newsvendor-Modell Zusammenfassung und Ausblick Seite 21

23 OPTIMALE LÖSUNG Zusätzliche Notation ψ Produktionsrate [Stück/Jahr] T 1 Auffüllzeit [Jahre] Z(x) Gesamtkosten x Losgröße bzw. Bestellmenge µ Verbrauch in der betrachteten Zeitperiode C Materialkosten (Variable Kosten pro Mengeneinheit) K Kosten pro Bestell- oder Rüstvorgang h Lagerbestandskosten pro Mengeneinheit und Zeiteinheit (Lagerkostensatz) Betrachtungszeitraum: z. Bsp. ein Jahr Lagerbestand Stück =T 1 (ψ µ) =x(ψ µ)/ψ x ψ µ 1 +ψ µ µ x Z(x) = K + h 1 x ψ 2 1 Bestellkosten Lagerbestandskosten -µ Lösung 2Kµ x = (1 µ / ψ)h T 1 =x/ψ T 2 Zeit Jahre Bestellpunkt ROP = 0 Seite 22

24 BEISPIEL Beispieldaten Die Nachfrage beträgt 20 Stück pro Woche Das Schreiben einer Bestellung kostet 10 pro Bestellung Das Entladen des LKWs kostet 10 pro Belieferung Der Einkaufspreis beträgt 390 pro Stück Die Transportkosten betragen 10 pro Stück Die Opportunitätskosten des Kapitals betragen 25 % Die Produktionsrate beträgt ψ = Stück pro Jahr Lösung µ = Stück/Jahr K = = 20 c = 10 /Stück /Stück = 400 /Stück h = 25%/Jahr 400 /Stück = 100 /Stück/Jahr x 2µ K 2 1,000Stück / Jahr 20 = = = 23 Stück (vs. 20 Stück) h 1 / 100 / Stück / Jahr 1 1,000 / 4,000 ( µ ψ) ( ) Z(x ) 1732 / Jahr (vs / Jahr) c = + µ Seite 23

25 INHALT Motivation Bestellmengenmodell - Basismodell - Lieferzeit - Endliche Produktionsrate - Mengenrabatte - Service Level und Sicherheitsbestand - Schwankende Bedarfe und Lieferzeiten - Zusammenfassung Bestellmengenmodell Newsvendor-Modell Zusammenfassung und Ausblick Seite 24

26 ARTEN VON MENGENRABATTEN Variable Bestellkosten /Bestellung c = 400 Variable Bestellkosten /Bestellung c 1 =400 c 2 =390 c 3 =380 Variable Bestellkosten /Bestellung c 1 =400 c 2 =390 c 3 = Bestellmenge x Stück Bestellmenge x Stück Bestellmenge x Stück Kein Rabatt Rabatt auf volle Bestellmenge Rabatt auf Bestellmenge, die Grenze überschreitet Quelle: Domschke, Scholl, Voß (1993), Nahmias (2001)

27 KOSTENFUNKTION Zusätzliche Notation c i a i Variable Bestellkosten in Intervall i [ /Stück] Obere Begrenzung von Intervall i [Stück] Variable Bestellkosten /Bestellung c 3 =380 Kostenfunktion allgemein c 2 =390 µ x c µ + K + h 0 < x < a x 2 µ x Z(x) = c µ + K + h a x < a x 2 M c 1 = Menge Kostenfunktion Beispiel 3x Bestellmengenmodell mit Mengenrestriktionen 1000 Stück/Jahr x 400 /Stück 1000 Stück/Jahr , /Stück 0 < x < 200 Stück x Stück/Jahr x Z(x) = 390 /Stück 1000 Stück/Jahr , /Stück 200 Stück x < 500 Stück x Stück/Jahr x 380 /Stück 1000 Stück/Jahr , /Stück 500 Stück x x 2 Seite 26

28 MÖGLICHE ERGEBNISSE JE INTERVALL Lokales zulässiges Optimum x i Lokales Optimum unterhalb unterer Begrenzung x i Lokales Optimum oberhalb oberer Begrenzung x i Seite 27

29 LÖSUNGSALGORITHMUS 1. Berechne die optimale Bestellmenge für jeden Preis, unter der Annahme, dass keine Mengenbegrenzungen vorliegen. Es gibt drei mögliche Stellen, an denen die optimale Bestellmenge ohne Mengenbegrenzung liegen kann: a.... liegt in dem Mengenintervall für Preis c i : Setze x i = optimale Bestellmenge b.... liegt unterhalb des Mengenintervalls für Preis c i : Wähle für x i die untere Grenze des zu Preis c i gehörenden Mengenintervalls c.... liegt oberhalb des Mengenintervalls für Preis c i : Wähle für x i die obere Grenze des zu Preis c i gehörenden Mengenintervalls 2. Berechne die optimalen Kosten für jeden Preis c i. Die Lösung x i mit den geringsten Kosten Z(x i ) ist die optimale Bestellmenge a b c x i Für ein effizienteres Lösungsverfahren siehe z.b. Nahmias (2001) Seite 28

30 GRAFISCHE LÖSUNG Kosten Z(x) Tausend /Jahr 420 c 1 c 2 c Bestellmenge x Stück Seite 29

31 MATHEMATISCHE LÖSUNG Preis c 1, zulässiger Bereich 0 < x < 200 2µ K Stück/Jahr 20 = = 20Stück x1 = 20 Stück h1 0, /Stück 1000 Stück/Jahr 20Stück Z(x 1) = 400 /Stück 1000Stück/Jahr , /Stück 20Stück 2 = /Jahr Preis c 2, zulässiger Bereich 200 x < 500 2µ K Stück/Jahr 20 = = 20,25 Stück h 0, /Stück 2 2µ K Stück/Jahr 20 = = 20,52Stück h 0, /Stück 3 x = 200 Stück 1000 Stück/Jahr 200Stück Z(x 2) = 390 /Stück 1000Stück/Jahr , /Stück 200Stück 2 = /Jahr Preis c 3, zulässiger Bereich 500 x 1000 Stück/Jahr 500Stück Z(x 3) = 380 /Stück 1000Stück/Jahr , /Stück 500 Stück 2 = /Jahr 2 x = 500 Stück 3 Optimum Seite 30

32 Definition: Service Level (Cycle-) Service Level Wahrscheinlichkeit, dass es zu keiner Lagerbestandsunterdeckung (not stocking out) innerhalb der Wiederbeschaffungszeit kommt SL Service Level SL Prob(D L < ROP) Service Level: Wahrscheinlichkeit, dass der aktuelle Bedarf in der Wiederbeschaffungszeit keiner als der Bestellpunkt ist D L DL Bedarf in der Wiederbeschaffungszeit Reorder Point Bestellpunkt Seite 31

33 Variable Nachfrage D L Variable Nachfrage (Verbrauch) D L mit Normalverteilung D L ~ N(µ,σ) und Fixen Lieferzeit (Fixed Lead Time) Variablen Lieferzeit (Variable Lead time) Seite 32

34 Sicherheitsbestand: fixe Lieferzeit (T L ), variabler Verbrauch Bestand X (Q) Bestellpunkt Bestellung Bestellung Bestellung ROP = µ + I s 1 α R Durchschnittsverbrauchsmenge D L1 D L2 während der Lieferzeit: µ= R T L Sicherheitsbestand (I s ) T L T L Zeit t µ Mittelwert der Nachfragemenge in der Wiederbeschaffungszeit Seite 33

35 Bestimmung des Sicherheitsbestandes (I s ) (Cycle) Service Level (SL) = P (Wahrscheinlichkeit d. Lieferfähigkeit) = P (Nachfrage während Lieferzeit D L < Bestellmenge (ROP)) = Pr ob D µ ROP µ σ σ L Standard Normal Random Variable = Pr ob ( Z z) mit z µ = ROP σ σ Standardabweichung der Nachfrage Use Table Standard Normal Cumulative Probabilities Bestellpunkt (Reorder point) ROP = µ + zσ = µ + I s Sicherheitsbestand (Safety stock) I s = zσ Seite 34

36 (Cumulative) Standard Normal Distribution F(z) = Prob( N(0,1) < z) F(z) 0 z Transform back, knowing z: X = µ+ zσ. Seite 35

37 Beispiel 1: Ermittlung des Sicherheitsbestandes Der durchschnittliche Bedarf an einem Artikel beträgt 20 Einheiten. Die Standardabweichung innerhalb der Lieferzeit beträgt 5 Einheiten. Es werden ca. alle 2 Wochen Lampen bestellt, bei einem Bestellpunkt von 24 Einheiten. Bestimmen Sie den Servicelevel 1) Sicherheitsbestand = ROP = µ + I s =24 20 = 4 Einheiten 2) Servicelevel: I s = zσ Normalverteilerungsvariable: z=i s /σ = 4/5 = 0,8 Kum. Normalverteilung (F(z)) =0,7881 Dh. ein Servicelevel von 78,81%. Somit kommt es in 78,81% der Fälle zu keiner Bestandsunterdeckung 3) Annahme: die opt. Bestellmenge (x) beträgt Stück bei einem Verbrauch von täglich zwei Einheiten a) Ermittlen Sie den Lagerbestand, b) Ermitteln Sie die Zykluszeit Lagerbestand I = I Cycle +I s = x/2+ I S = 28/2 + 4 = 18 Einheiten 4) Wie lange ist die Zykluszeit bei einem durchschnittlichen Bedarf täglich 2 Stück µ=i/t=> T=18/2=9 Tage, d.h. die durchschnittliche Zykluszeit beträgt 9 Tage Seite 36

38 Beispiel: Ermitteln Sie bei einem gegebenen Servicelevel den Sicherheitsbestand Annahme: Der durchschnittliche Bedarf an einem Lampenartikel beträgt 20 Einheiten. Die Standardabweichung des Bedarfs innerhalb der Lieferzeit beträgt 5 Einheiten. Service Level z Wert Sicherheitsbestand Bestellpunkt (ROP) 80% 0,845 4,2 24,2 85% 1,04 5,2 25,2 90% 1,28 6,4 26,2 95% ,2 28,2 99% 2,33 11,7 31,7 I s = zσ ROP = µ + I s Seite 37

39 Service Level versus Lagerbestand Q = 100 µ = 100 σ = 100 Service Level (%) 105% 100% 95% 90% 85% z values % 75% Average Inventory Level Der Lagerbestand (Sicherheitsbestand) wächst stark mit dem angestrebten Servicegrad. So gut wie sicher, daß keine Fehlmenge auftritt, ist man bei einem 99,9%-igen Servicegrad, zu dem ein z- Wert (Wahrscheinlichkeitszufallsvariable bei Normalverteilung) von ca. 3 gehört. D.h. der Sicherheitsbestand ist 3σ (3x Standardabweichung des Lieferzeitbedarfs) Ein 98%-iger Servicegrad benötigt im Vergleich ca. nur 2σ Seite 38

40 Variabler Verbrauch (Verbrauchsschwankungen) in der fixen Lieferzeit Lagerbestand Q ROP Bestelllpunkt Bestellung Bestellung Bestellung Durchschnittsbedarf während der Lieferzeit (µ) T L T L Sicherheitsbestand (I s ) Zeit t Seite 39

41 Spezialfall: Verbrauchschwankungen innerhalb fixer Lieferzeit Verbrauch in der Lieferzeit bezogen auf alle Perioden entspricht der Summe der einzelnen Verbräuche D L = R 1 + R R L Durchschnittl. Verbrauch der gesamten Periode R µ = RT 1 Verbrauch in der Periode 1 L R Durchschnittliche Verbrauchsrate T L Durchschnittliche Lieferzeit µ Durchschnittsverbrauch in den betrachteten Zeitperiode (Verbrauchsrate betrachtete Zeitperiode) Mit einer Varianz σ r Standardabweichung des Verbrauchs in einer Periode σ = σ r + σ r σ r = nσ r Die Varianz der Summe von n unabhängigen Variablen entspricht der Summe der einzelnen Varianzen Mit einer Standardabweichung σ = TLσ r Seite 40

42 Beispiel: Bedarfsschwankungen Ermitteln Sie die Veränderung des Sicherheitsbestandes bei einer Vergrößerung der Lieferzeit von 10 auf 20 Tage, der durchschnittliche tägliche Bedarf entspricht 2 Einheiten, die Standardabweichung des täglichen Bedarfs 1,581 Wie hoch muss der Sicherheitsbestand angesetzt werden bei einem 95%-igen Servicelevel 10 Tage: σ = TLσ r = Sqrt(10)1,581=4,999 Einheiten 20 Tage: I s = zσ σ = TLσ r =1,654,99=8,2 Einheiten = Sqrt(20)1,581=7,07 Einheiten z aus kum. Normalverteilung bei einem Servicelevel von 95% I s = zσ =1,657,07=11,66 Einheiten Dh. der Sicherheitsbestand muss von 9 auf 12 Einheiten erhöht werden Seite 41

43 Variabler (Lead Time) Verbrauch D L Variabler Verbrauch D L ~ N(µ r,σ r ) and Fixe Lieferzeit (Fixed Lead Time (T L )) Variable Lieferzeit ~ N(µ l,σ l ) Seite 42

44 Sicherheitsbestand: Variable Lieferzeit, variabler Bedarf Lagerbestand Q Bestellung Bestellung Bestellung ROP = µ + I s 1 α R µ = RT L D L1 D L2 I s = σz T L1 T L2 Zeit t Service Level Variability: R,T L Seite 43

45 Allgemeiner Fall: Variabler Verbrauch and variable Lieferzeit Verbrauch in der Wiederbeschaffungszeit D L µ = R T L Varianz σ 2 = Τ L σ r2 + R 2 σ l 2 ROP = ( ) TLσ R σ µ + zσ = RTL + z r + l Sicherheitsbestand durch Verbrauchsschwankungen Sicherheitsbestand durch Lieferzeitschwankungen 2 σ = TLσ + R σ 2 r Standardabweichung 2 l σ = T Lσ + 2 r R 2 σ 2 l Allgemeine Formel, immer anwendbar! Seite 44

46 Beispiel: Variabler Verbrauch, variable Lieferzeit Der durchschnittliche tägliche Bedarf entspricht 2 Einheiten, die Standardabweichung des täglichen Bedarfs 1,581. Die durchschnittliche Wiederbeschaffungszeit beträgt 10 Tage mit einer Standardabweichung von 2 Tagen Wie hoch muss der Sicherheitsbestand sein, bei einem Servicelevel von 95% σ L =2 Tage, L=10 Tage σ R =1,581, R=2 Einheiten (Durchschnittlicher Bedarf pro Periode) σ= SQRT(101, )=6,402 Sicherheitsbestand Is= 1,656,402=10,565 Einheiten ROP=210+10,565=30,565 Einheiten Im Vergleich zu 8,25 Einheiten ohne Lieferzeitschwankungen I s = zσ ROP = ( ) TLσ R σ µ + zσ = RTL + z r + l Seite 45

47 KONZEPT: RISK-POOLING Nachfrage Händler 1 Tausend Stück/Tag 15 µ = Stück/Tag 1 σ = Stück/Tag 1 CV = σ / µ = 0, Zeit Tage Nachfrage Händler 2 Tausend Stück/Tag µ = Stück/Tag σ = Stück/Tag 2 CV = σ / µ = 0, Zeit Tage Summe Nachfragen Tausend Stück/Tag µ = Stück/Tag σ = Stück/Tag CV = σ / µ = 0, Zeit Tage Seite 46

48 KONZEPT: RISK (Inventory)-POOLING (bei fixer Lieferzeit) Konsoliedierung von zwei dezentralisierten Lagerbeständen in ein zentrales Lager Bedarf innerhalb der Lieferzeit LDT c = LTD 1 + LTD 2 hat durchschnittlich µ c = µ 1 + µ 2 = 2 µ bei µ 1 = µ 2 und einer Varianze (wichtig: Varianzen können addiert werden) σ c2 = σ 12 + σ 22 = 2 σ 2 bei σ 1 = σ 2 Erinnerung: Varianz entspricht dem Quadrat der Standardabweichung Mit einer Standardabweichung σ C = 2σ Seite 47

49 KONZEPT: RISK (Inventory)-POOLING (bei fixer Lieferzeit) der neue Sicherheitsbestand ergibt sich zu anstatt IS = Is = z 2σ z2σ Reduktion auf ca. 70% des Sicherheitsbestands durch die Kombination zweier identischer der Lager (Annahme: R 1 = R 2 ) Seite 48

50 INHALT Motivation Bestellmengenmodell - Basismodell - Lieferzeit - Endliche Produktionsrate - Mengenrabatte - Service Level und Sicherheitsbestand - Schwankende Bedarfe und Lieferzeiten - Zusammenfassung Bestellmengenmodell Newsvendor-Modell Zusammenfassung und Ausblick Seite 49

51 ZUSAMMENFASSUNG BESTELLMENGENMODELL Economic-Order-Quantity (EOQ) Modell Das Bestellmengenmodell ist gut anwendbar in Situationen, in denen die Nachfrage (näherungsweise) konstant und deterministisch ist Im Basismodell wird die optimale Bestellmenge so gewählt, dass die optimale Balance zwischen fixen Bestellkosten und Lagerhaltungskosten gefunden wird Bei der Erweiterung um Mengenrabatte werden zusätzlich die variablen Bestellkosten berücksichtigt (im Basismodell sind diese eine Konstante und brauchen daher nicht berücksichtigt zu werden) Das Bestellmengenmodell ist eines der grundlegenden Modelle des Bestandsmanagements und wird häufig als Baustein für komplexere Modelle verwendet Seite 50

52 INHALT Motivation Bestellmengenmodell Newsvendor-Modell Deterministische vs. stochastische Nachfrage Basismodell Zusammenhang mit Prognoseverfahren Anwendung auf Zentralisierung von Beständen Zusammenfassung und Ausblick Seite 51

53 DETERMINISTISCHE VS. STOCHASTISCHE NACHFRAGE Nachfrage Stück/Tag Zeit Tage Nachfrage Stück/Tag Zeit Tage Bestand bei Bestellmenge 10 Stück Bestand bei Bestellmenge 10 Stück Zeit Tage Zeit Tage Seite 52

54 INHALT Motivation Bestellmengenmodell Newsvendor-Modell Deterministische vs. stochastische Nachfrage Basismodell Zusammenhang mit Prognoseverfahren Anwendung auf Zentralisierung von Beständen Zusammenfassung und Ausblick Seite 53

55 TYPISCHE ANWENDUNGEN NEWSVENDOR MODELL Beispiele Newsvendor : Wie viele Zeitungen sollten bestellt werden Lebensmittelhändler: Welche Mengen an Frischwaren sollten bestellt werden Blutbank: Wie viel Blut sollte bevorratet werden Bekleidungshändler: Welche Menge sollte von welchem Produkt in welcher Größe und Farbe bestellt werden Weihnachtsmarkthändler: Wie viele Weihnachtsbäume sollten bestellt werden Eigenschaften Kurze Verkaufsperiode Keine Nachlieferung während der Periode Erhebliche Unsicherheit in der Nachfrage Produkte verlieren nach der Periode erheblich an Wert Seite 54

56 MODELLANNAHMEN NEWSVENDOR-PROBLEM 1. Eine einzige Zeitperiode und ein einziges Produkt 2. Verteilung der Nachfrage Y ist bekannt. Der Erwartungswert beträgt µ, die Standardabweichung beträgt σ 3. Zeitungen kosten den Newsvendor c pro Stück 4. Nicht verkaufte Zeitungen können zum Preis von v pro Stück zurück gegeben werden 5. Der Verkaufspreis der Zeitungen beträgt r pro Stück 6. Bestellungen werden unverzüglich geliefert 7. Keine Beschränkungen der Bestellmengen 8. Die Bestellmenge muss vor Beginn der Nachfrageperiode festgelegt werden 9. Ziel ist, die Bestellmenge S zu bestimmen, die die durchschnittlichen Kosten minimiert Seite 55

57 NEWSVENDOR PROBLEM Durchschnittsnachfrage Hohe Nachfrage Entscheidungsvariable Problemstellung Ein Zeitungsunternehmer muss entscheiden, wie viele Zeitungen er bestellen soll. Wenn die Nachfrage höher als die Anzahl der bestellten Zeitungen ist, geht ihm Geschäft verloren. Wenn die Nachfrage geringer ist als die Anzahl der bestellten Zeitungen, können die überzähligen Zeitungen nur mit Verlust zurück gegeben werden Bestand Stück S Geringe Nachfrage Generell beträgt Bestand am Ende der Periode Überbestand plus Unterbestand S Bestellmenge Y Nachfrage (LTD) S Y S = 10 Y = 4 Y = 13 6/-3 Zeit Überbestand S Y wenn S Y max{ S Y,0} = 0 wenn S < Y Unterbestand Y S wenn S Y max{ Y S,0} = 0 wenn S > Y 6/0 0/3 Seite 56

58 HERLEITUNG KOSTENFUNKTION Notation c Stückkosten [ /Stück] = 1,00 /Stück r Verkaufspreis [ /Stück] = 3,00 /Stück v Rückgabepreis [ /Stück] = 0,50 /Stück Überbestandskosten (Overage Cost) [ /Stück] c o c u Unterbestandskosten (Underage Cost) [ /Stück] c - v = 0,50 /Stück r - c = 2,00 /Stück Entscheidungsvariable S Bestellmenge Kostenfunktion Z(S) Erwartungswert der Kosten bei Bestellmenge S Z(S) = Erwartungswert Kosten Überbestand + Erwartungswert Kosten Unterbestand Gewinnfunktion Π(S) Erwartungswert des Gewinns bei Bestellmenge S Seite 57

59 ILLUSTRATION BERECHNUNG KOSTEN Häufigkeit Prozent 50% 40% 30% 30% 20% 20% 20% 10% 0% 10% 10% 5% 5% Nachfrage Y Stück Annahme: Bestellmenge 4 Stück, co = 0,50 /Stück, cu = 2,00 /Stück Z(S = 4) = 0,50 /Stück (4 Stück 5% + 3 Stück 10% Stück 20%) + 2,00 /Stück (0 Stück 20% + 1 Stück 10% + 2 Stück 5%) Gesamtkosten = Überbestandskosten + Unterbestandskosten = 1,00 Seite 58

60 HERLEITUNG KOSTENFUNKTION FORTSETZUNG Erwartungswert Überbestand { } = { } E max S Y,0 max S y,0 f(y)dy 0 S 0 ( S ) = y f(y)dy S=4 y f(y) 0,05 0,10 0,20 0,30 0,20 S - y (S - y)f(y) 4 0,05 3 0,10 2 0,20 1 0,30 0 0,20 Erwartungswert Unterbestand { } = { } E max Y S,0 max y S,0 f(y)dy 0 S ( y ) = S f(y)dy y f(y) 0,20 0,10 0,05 y - S (y - S)f(y) 0 0,20 1 0,10 2 0,05 Erwartungswert Kosten S ( ) ( ) Z(S) = c S y f(y)dy + c y S f(y)dy o u 0 S Z(S = 4) = 0,50 /Stück 1,2 Stück + 2,00 /Stück 0,2 Stück = 1,00 Seite 59

61 Ermitteln Sie die Gesamtkosten bei einer Bestellmenge von 2 Stück Gesamtkosten Häufigkeit Prozent 50% 40% 30% 20% 20% 30% 20% S=2 y f(y) 0,05 0,10 0,20 0,30 0,20 0,10 0,05 S - y (S - y)f(y) 2 0,05 1 0,10 0 0,20 1 0,30 2 0,20 3 0,10 4 0,05 + Überbestandskosten + Unterbestandskosten 10% 0% 10% 10% 5% 5% Nachfrage Stück Annahme: Bestellmenge 4 Stück, co = 0,50 /Stück, cu = 2,00 /Stück Z(S = 4) = 0,50 /Stück 0,2 Stück + 2,00 /Stück 1,2 Stück = 2,50 Seite 60

62 KOSTEN IN ABHÄNGIGKEIT VON DER BESTELLMENGE Erwartete Gesamtkosten Z(S) 8 6 6,00 4 4,13 2,50 2 1,38 1,00 1,13 1, Bestellmenge S Stück Seite 61

63 OPTIMIERUNG KOSTENFUNKTION Konvexität S d d Z(S) = co ( S y) f(y)dy cu ( y S) f(y)dy ds ds + y= 0 y= S ( ) = c F(S) c 1 F(S) o u 2 d ds 2 d Z(S) = c F(S) c ( 1 F(S) ) ds o u = c o f(s) + c u f(s) > 0 konvex Notwendige Bedingung d Z(S) = 0 ds o u ( ) c F(S) c 1 F(S) = 0 F(S) S u = = c u c + c o c = F cu + co 1 u CR (Critical Ratio) Gilt für beliebige Verteilungen Erinnerung: Leibnizregel d ds a (S) 2 2 h(y,s)dy = a (S) y= a (S) y= a (S) 1 1 h(y,s) dy S d d + h( a 2(S),S) a 2(S) h(a 1(S),S) a 1(S) ds ds Seite 62

64 BEISPIEL MIT NORMALVERTEILTER NACHFRAGE Beispieldaten Kosten einer Zeitung betragen 0,25 /Stück Nicht verkaufte Zeitungen können nicht zurück gegeben werden Verkaufspreis der Zeitung beträgt 1,00 /Stück Nachfrage ist normalverteilt mit µ = 10 Stück/Tag und σ = 2 Stück/Tag = c = v = 0 = r Grafische Lösung Überbestandskosten c o = Unterbestandskosten c u = c - v = 0,25 /Stück r - c = 0,75 /Stück Alternativ r = 0,50 c o = 0,25 /Stück c u = 0,25 /Stück c 0,75 = = = c + c 0,75 + 0,25 u CR 0,75 = u o S 11,35 0,25 CR = = 0,50 0,25 + 0,25 S = 10 Seite 63

65 GRAFISCHE LÖSUNG Verteilungsfunktion F(y) Prozent ~N(µ = 10, σ = 2) ,35 Nachfrage y Stück Seite 64

66 BEISPIEL MIT NORMALVERTEILTER NACHFRAGE FORTSETZUNG Bei normalverteilter Nachfrage gilt S = µ + zσ ( ) Z(S ) cu co f N(0,1) (z) = + σ ( ) Π = µ (S ) r c Z(S ) 1 c u z = FN(0,1) cu + co Kritisches Verhältnis µ Nachfrage (Erwartungswert) σ Standardabweichung der Nachfrage c Stückkosten [ /Stück] r Verkaufspreis [ /Stück] c o c u Überbestandskosten [ /Stück] Unterbestandskosten [ /Stück] S Optimale Bestellmenge f n(0,1) (z) Funktionswert der Normalverteilung Z(S) Π(S) Erwartungswert der Kosten bei Bestellmenge S Erwartungswert des Gewinns bei Bestellmenge S Mathematische Lösung c 0,75 = = = c + c 0,75 + 0,25 u CR 0,75 u o z = 0,675 S = ,675 2 = 11,4 0,25 CR = = 0,50 0,25 + 0,25 z = 0,0 S = = 10,0 Z(S ) = (0,75 + 0,25) 0,318 2 = 0,636 Z(S ) = (0,25 + 0,25) 0,399 2 = 0,399 Π (S ) = 0, ,636 = 6,864 Π (S ) = 0, ,399 = 2,101 Seite 65

67 STANDARDNORMALVERTEILUNG f N(0,1) (z) F N(0,1) (z) 0 z z f N(0,1) (z) F N(0,1) (z) z f N(0,1) (z) F(z) z f N(0,1) (z) F(z) z f N(0,1) (z) F(z) -3,2 0,0024 0,0007-1,6 0,1109 0,0548 0,0 0,3989 0,5000 1,6 0,1109 0,9452-3,1 0,0033 0,0010-1,5 0,1295 0,0668 0,1 0,3970 0,5398 1,7 0,0940 0,9554-3,0 0,0044 0,0013-1,4 0,1497 0,0808 0,2 0,3910 0,5793 1,8 0,0790 0,9641-2,9 0,0060 0,0019-1,3 0,1714 0,0968 0,3 0,3814 0,6179 1,9 0,0656 0,9713-2,8 0,0079 0,0026-1,2 0,1942 0,1151 0,4 0,3683 0,6554 2,0 0,0540 0,9772-2,7 0,0104 0,0035-1,1 0,2179 0,1357 0,5 0,3521 0,6915 2,1 0,0440 0,9821-2,6 0,0136 0,0047-1,0 0,2420 0,1587 0,6 0,3332 0,7257 2,2 0,0355 0,9861-2,5 0,0175 0,0062-0,9 0,2661 0,1841 0,7 0,3123 0,7580 2,3 0,0283 0,9893-2,4 0,0224 0,0082-0,8 0,2897 0,2119 0,8 0,2897 0,7881 2,4 0,0224 0,9918-2,3 0,0283 0,0107-0,7 0,3123 0,2420 0,9 0,2661 0,8159 2,5 0,0175 0,9938-2,2 0,0355 0,0139-0,6 0,3332 0,2743 1,0 0,2420 0,8413 2,6 0,0136 0,9953-2,1 0,0440 0,0179-0,5 0,3521 0,3085 1,1 0,2179 0,8643 2,7 0,0104 0,9965-2,0 0,0540 0,0228-0,4 0,3683 0,3446 1,2 0,1942 0,8849 2,8 0,0079 0,9974-1,9 0,0656 0,0287-0,3 0,3814 0,3821 1,3 0,1714 0,9032 2,9 0,0060 0,9981-1,8 0,0790 0,0359-0,2 0,3910 0,4207 1,4 0,1497 0,9192 3,0 0,0044 0,9987-1,7 0,0656 0,0446-0,1 0,0656 0,4602 1,5 0,0656 0,9332 3,1 0,0656 0,9990 Seite 66

68 ZUSAMMENFASSUNG UND SENSITIVITÄTS-ANALYSE FÜR NORMALVERTEILTE NACHFRAGE Optimale Lösung S = µ + zσ ( ) Z(S ) cu co f N(0,1) (z) = + σ z 1 c u = FN(0,1) cu + co F N(0,1) (z) ( ) Π = µ (S ) r c Z(S ) z Was passiert, wenn die erwartete Nachfrage steigt? µ S proportional... die Unsicherheit der Nachfrage steigt? σ S proportional... die Überbestandskosten steigen co CR z S Z(S )... die Unterbestandskosten steigen c CR z S u Z(S ) Z(S ) Z(S ) proportional Π Π (S ) proportional (S ) proportional Π(S ) Π(S ) Nicht unmittelbar aus Formeln ersichtlich. Muss aber so sein, denn sonst kann Lösung nicht optimal sein. Wir könnten c o oder c u künstlich erhöhen und hätten ein bessere Lösung Seite 67

69 INHALT Motivation Bestellmengenmodell Newsvendor-Modell Deterministische vs. stochastische Nachfrage Basismodell Zusammenhang mit Prognoseverfahren Anwendung auf Zentralisierung von Beständen Zusammenfassung und Ausblick Seite 68

70 BEISPIEL BESTELLMENGENOPTIMIERUNG WEIHNACHTSBAUMHÄNDLER Beispieldaten Die Nachfrage(prognose) ist normalverteilt mit µ = Stück und Standardabweichung σ = Stück Der Verkaufspreis eines Weihnachtsbaums beträgt 30 /Stück Der Einkaufspreis eines Weihnachtsbaums beträgt 10 /Stück Die Transportkosten vom Lieferanten zum Weihnachtsbaumhändler betragen 2 /Stück Der Weihnachtsbaumhändler setzt für sich einen Unternehmerlohn von pro Weihnachtssaison an Die Grundstücksmiete für die Verkaufsfläche beträgt pro Saison Nicht verkaufte Bäume werden zu Sägemehl verarbeitet. Der Weihnachtsbaumhändler kann Überbestand daher zu 1 /Stück verkaufen Wenn ein potenzieller Kunde aufgrund von Fehlmengen keinen Baum erhält, lässt der Weihnachtsbaumhändler einen Baum von einem befreundeten Händler ohne Zusatzkosten für den Kunden nachliefern. Die Baum- plus Transportkosten betragen dann 62 /Stück Seite 69

71 BEISPIEL BESTELLMENGENOPTIMIERUNG WEIHNACHTSBAUMHÄNDLER FORTSETZUNG Lösung Überbestandskosten c o = Unterbestandskosten c u = r = 30 /Stück, c = = 12 /Stück, v = 1 /Stück c - v = 11 /Stück (w r) + (r - c) = (62-30) + (30-12) = = 50 /Stück Optimale Bestellmenge c 50 c + c u CR = = = 0,82 u o z = 0,914 S = µ + zσ = , = Erwartungswert Kosten ( ) Z(S ) cu co f N(0,1) (z) = + σ = (11+ 50) 0, = Erwartungswert Gewinn (vor Unternehmerlohn und Grundstücksmiete) ( ) Π = µ (S ) r c Z(S ) = (30 12) = Seite 70

72 INHALT Motivation Bestellmengenmodell Newsvendor-Modell Deterministische vs. stochastische Nachfrage Basismodell Zusammenhang mit Prognoseverfahren Anwendung auf Zentralisierung von Beständen Zusammenfassung und Ausblick Seite 71

73 BSP. BESTELLMENGENOPTIMIERUNG WEIHNACHTSBAUMHÄNDLER FORTSETZUNG Beispieldaten Es gibt einen zweiten Weihnachtsbaumhändler in einem benachbarten Ort mit gleichen Kosten und Erlösen, aber unterschiedlicher Nachfrage Die Nachfrage(prognose) ist normalverteilt mit µ = Stück und Standardabweichung σ = Stück Lösung S = µ + zσ = Stück + 0, Stück = Stück ( ) Z(S ) cu co f N(0,1) (z) = + σ = (11 /Stück + 50 /Stück) 0, Stück = ( ) Π = µ (S ) r c Z(S ) = (30 /Stück 12 /Stück) Stück = Seite 72

74 BEISPIEL BESTELLMENGENOPTIMIERUNG WEIHNACHTSBAUMHÄNDLER FORTSETZUNG Beispieldaten Die beiden Händler überlegen, ob es sinnvoll ist, einen gemeinsamen Weihnachtsbaumbestand zu nutzen Die Nachfragen der Weihnachtsbaumhändler sind stochastisch unabhängig Konzept Individuelle Bestände Gemeinsamer Bestand 1 S = Stück Z(S ) = Π(S ) = ΣS = Stück ΣZ(S) = ΣΠ(S ) = ΣS =? ΣZ(S) ΣΠ(S ) =? S = Stück Z(S ) = Π(S ) = Seite 73

75 BEISPIEL BESTELLMENGENOPTIMIERUNG WEIHNACHTSBAUMHÄNDLER FORTSETZUNG Lösung Gesamtnachfrage ist normalverteilt, da sie die Summe normalverteilter Nachfragen ist µ = Stück Stück = Stück σ 2 = Stück Stück 2 = Stück 2 σ = Stück S = µ + zσ = Stück + 0, Stück = Stück ( Stück = 7%) ( ) Z(S ) cu co f N(0,1) (z) = + σ = (11 /Stück + 50 /Stück) 0, Stück = ( = 28%) ( ) Π = µ (S ) r c Z(S ) = (30 /Stück 12 /Stück) Stück = ( = + 10%) Seite 74

76 INHALT Motivation Bestellmengenmodell Newsvendor-Modell Zusammenfassung und Ausblick Seite 75

77 ZUSAMMENFASSUNG Die Aufgabe des Bestandsmanagements ist es, zu bestimmen, wann bestellt werden soll und welche Menge bestellt werden soll Durch gutes Bestandsmanagement wird eine hohe Warenverfügbarkeit zu geringen Kosten sicher gestellt Die grundlegenden Modelle des Bestandsmanagements sind das Bestellmengenmodell und das Newsvendor-Modell Bestellmengenmodell: Geht von deterministischer Nachfrage über mehrere Perioden aus und berücksichtigt fixe und variable Bestellkosten sowie Lagerhaltungskosten. Im Basismodell lautet die optimale Lösung 2Kµ r = 0 x = Z(x ) = 2Kµ h h Newsvendor-Modell: Geht von stochastischer Nachfrage in einer einzigen Periode aus und berücksichtigt Fehlmengenkosten und Lagerhaltungskosten. Bei normalverteilter Nachfrage lautet die optimale Lösung S = µ + zσ Z(S ) ( c c ) f (z) = + σ ( ) u o N(0,1) Π = µ (S ) r c Z(S ) Seite 76

78 Formelsammlung 1/2 Bestellmengenmodell ROP = µ + Is ROP = µ + z σ = R T I = I SL = Pr ob( µ ROP) Is = z σ µ = TL R σ = σ = IcS = z x = Z(x) Cycle = H ( x) = + Is = x / 2 + Is... x = Q TLσ + R σ (variabler Verbrauch, variable Lieferzeit) N σ (Sicherheitsbestand bei N Niederlassungen, 2µ K h + z ( TL σr...( fixe _ Lieferzeit) r l L TLσ + R σ ) keine Korrelation des Verbrauchs) µ x Z(x) = µ C + K + h Gesamtkosten (mit µ = Geamtverbrauch, x 2 Periode = 1Jahr) = EOQ... kostenoptimale Bestellmenge 2Kµ h + µ C... Gesamtkosten bei kostenoptimaler Bestellmenge Kµ h... Lagerhaltungskosten bei kostenoptimaler Bestellmenge 2 Kµ h K(x) =...Bestellfixen Kosten 2 µ n =...Anzahl Bestellvorgänge der innerhalb der gesamten Periode x x T = = Zykluszeit (bis zur nächsten Bestellung in Jahren!) µ r l ROP Bestellpunkt (Reorder Point) R Durchschnittliche Verbrauchsrate pro Periode LTD Durchschnittliche Verbrauch in der Lieferzeit Is Sicherheitsbestand (Savety inventory) X Bestellmengen bzw. Losgröße (Q Order Size) I Durschnittslagerbestand SL Service Level SL Service Level bei opt. Bestellmenge z Service Level Faktor µ Durchschnittsverbrauch in den betrachteten Zeitperiode (Verbrauchsrate betrachtete Zeitperiode RT) T L Durchschnittliche Lieferzeit σ Gesamte Standardabweichung des Verbrauchs in der Lieferzeit σ L Standardabweichung der Lieferzeit σ r Standardabweichung des Verbrauchs in einer Periode Z(x) Gesamtkosten in der betrachteten Zeitperiode in Abhängigkeit von der Losgröße x C variable Bestellkosten pro Mengeneinheit K Kosten pro Bestell- oder Rüstvorgang h Lagerbestandskosten pro Mengeneinheit und Zeiteinheit (Lagerkostensatz pro Periode) Seite 77

79 Formelsammlung 2/2 Newsvendor Modell 1 c u z = FN(0,1) Kritisches Verhältnis cu + co S = µ + zσ ( ) Z(S ) cu co f N(0,1) (z) = + σ ( ) Π = µ (S ) r c Z(S ) c Stückkosten [ /Stück] r Verkaufspreis [ /Stück] co Überbestandskosten [ /Stück] cu Unterbestandskosten [ /Stück] S Optimale Bestellmenge fn(0,1)(z) Funktionswert der Normalverteilung Z(S) Erwartungswert der Kosten bei Bestellmenge S Π(S) Erwartungswert des Gewinns bei Bestellmenge S Seite 78

80 Backup Wiederholung: Varianz und Standardabweichung Seite 79

81 Varianz Die Varianz ist ein Maß für die Streuung einer»variablen«(engl.: variance). Sie basiert auf der Summe der quadrierten Abweichungen jedes Variablenwertes vom»arithmetischen Mittel«über alle»untersuchungseinheiten«. Damit man diese Abweichungen berechnen kann, muß es sich um eine metrische Variable handeln (vgl.»meßniveau«). Die Summe der quadrierten Abweichungen bezeichnet man auch als Variation. Sie wird um so größer, je mehr Untersuchungseinheiten betrachtet werden. Diesen Effekt kann man kontrollieren, indem man die Variation durch die Anzahl der Untersuchungseinheiten dividiert. Auf diese Weise ergibt sich die Varianz, die so etwas wie eine durchschnittliche quadrierte Abweichung darstellt. Handelt es sich allerdings um eine»stichprobe«, mit der man die Varianz in der»grundgesamtheit«schätzen möchte, dann sollte man nicht durch den»stichprobenumfang«, sondern durch dividieren, weil sich dann ein unverzerrter Schätzwert ergibt (ein Schätzwert, der im Mittel mit der tatsächlichen Varianz der Grundgesamtheit übereinstimmt). Notation: s 2 in der Stichprobe, σ 2 (griech.: sigma) in der Grundgesamtheit. Der Erwartungswert der korrigierten Stichprobenvarianz ist also gleich der Varianz der Grundgesamtheit. Die korrigierte Stichprobenvarianz ist somit eine erwartungstreue Schätzung für die Varianz Seite 80

82 Standardabweichung Die Standardabweichung (engl.: standard deviation) ist eine einfache numerische Transformation der»varianz«. Sie entspricht der Quadratwurzel aus der Varianz. Sie wird berechnet, um die mit Hilfe der Varianz quantifizierte Streuung einer»variablen«in den ursprünglichen Maßeinheiten interpretieren zu können. Beispiele: Altersangaben 18, 21, 21, 27, 27, 27, 30, 31, 45 Ermittle die Standardabweichung Arithmetische Mittel: ( )/9=27,4 Varianz (σ 2 ) = 62,53 (Achtung: Basis Gesamtheit n-1) Standardabweichung (σ) = 7,91 Näherungsweise kann man sagen: Die Altersangaben weichen durchschnittlich 7,91 Jahre (Standardabweichung) vom arithmetischen Mittel ab. Seite 81