CJT-Gymnasium Lauf Grundwissen (& Aufgaben) Jahrgangsstufe (7/2006)

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1 CJT-Gymnsium Luf Grundwissen (& Aufgben) Jhrgngsstufe (7/006) Wissen / Können Beispiele. Symmetrie Achsensymmetrie: Symmetriechse, [AA ] ist senkrecht zu und wird vn hlbiert, streckenund winkeltreu, Umlufsinn ändert sich Punktsymmetrie: (uch) Hlbdrehung um ds Zentrum Z, [BB ] wird vn Z hlbiert, strecken- und winkeltreu, Umlufsinn bleibt erhlten Gegeben sind die drei Punkte A ( / 3), B (5 / 6), C ( 0 / ) swie die Symmetriechse durch Q (3/ 5) und P ( / ).. Spiegle A und B n der Achse!. Knstruiere zur Strecke [AB] die Mittelsenkrechte! 3. (unter Einbeziehung einer Grundknstruktin, s.u.) Knstruiere einen möglichen Punkt D s, dss BCD = 300 gilt! Lösung Grundknstruktinen: Mittelsenkrechte m, Winkelhlbierende w, Lt l,, Winkelknstruktinen (z.b., 90, 45, 60, 30...), Spiegelpunkte bei Achsen und Punktspiegelung Knstruiere je einen Winkel der Größe,5 bzw. 75. [ 90 4 Knstruiere die Mittelprllele zu zwei (beliebigen) prllelen Gerden. bzw ] Zeichne den Buchstben L und knstruiere sein Spiegelbild bei der Punktspiegelung n einem vn dir beliebig gewählten Zentrum Z.

2 Symmetrieeigenschften vn Dreiecken: Gleichschenkliges und gleichseitiges Dreieck Symmetrieeigenschften vn Vierecken: Qudrt, Rechteck, Rute, Prllelgrmm, (gleichschenkliges) Trpez, Drchenviereck Besitzt jedes Dreieck eine Symmetriechse der ein Symmetriezentrum? Zeichne - sfern möglich - jeweils ein Dreieck mit genu einer, genu zwei und genu drei Symmetriechsen. Welches dieser Dreiecke ist punktsymmetrisch? Knn ein chsen- bzw. punktsymmetrisches Dreieck einen rechten Winkel besitzen? Zeichne jeweils ein Beispiel zu den flgenden Vierecken und trge deren Symmetriechsen bzw. deren Symmetriezentrum ein: Qudrt, Rechteck, Rute, Prllelgrmm, chsensymmetrisches Trpez und Drchenviereck. Winkelgesetze δ γ α β h Wenn in der Skizze uf der linken Seite wie grß ist dnn δ? Begründe! [ 5 ] γ = 65 ist, wbei die Gerden g und h prllel zueinnder verlufen, α Scheitelwinkel sind gleich grß (z.b. α = γ Nebenwinkel ergänzen sich zu 80 (z.b. α + β = 80 ). Stufenwinkel (z.b. α und α ) und Wechselwinkel (z.b. β und δ ) n zwei Gerden g und h sind genu dnn gleich grß, wenn g und h zueinnder prllel sind. Die Innenwinkelsumme im n-eck beträgt ( n ) 80 ; δ β speziell: Dreieck: γ 80 ; Viereck: 360. Berechne die Winkel Figur für den Fll, dss 3. Terme und äquivlente Termumfrmungen Aufstellen und Gliedern vn Termen, Berechnen vn Termwerten g β, γ, δ, µ und ε in nebenstehender α = 3 und g h gilt. Argumentiere dbei in mthemtischer Fchsprche! Berechne die Innenwinkelsumme in einem 7-Eck und gib n, wie viele Ecken ein Vieleck mit der Innenwinkelsumme 800 besitzt. [ 900 bzw. ] Zeichne jeweils ein spitzwinkliges, ein rechtwinkliges und ein stumpfwinkliges Dreieck (mit dem Umfng cm). Dividiere die dppelte Differenz vn Gliedere T ( x; y) ( 5 + x) y : 4 x und durch 3. = vllständig und berechne nschließend T ( 0;0); T ( ; ) und T ( ; ). Wie viele Spiele finden in einer Bundesligsisn sttt? Wie viele Spiele wären es bei (nur) 6 Mnnschften, wie viele bei einer gerden Anzhl n vn Tems? α g β γ ε δ µ h

3 Vernschulichung vn Termen Zeichne die Grphen zu T ( n) = 4 n Zusmmenfssen gleichrtiger Terme in Summen und Differenzen und ( n) = n ( n ) T in ein (gemeinsmes) Krdintensystem. Für welche Einsetzungen sind diese beiden Terme demnch äquivlent? [ bzw. ] Fsse jeweils s weit wie möglich zusmmen: 4,5 x x + 0,5 x =...? [ 3,75 x ],5 x y y 5, y x + x =...? [ x y, 7 x y ] Anwendung vn Rechengesetzen: KG, AG, DG (vgl. GW5) Prdukte vn Summen und Differenzen: ( + b) ( c + d ) = c + d + b c + b d ; ( b) ( c d ) = c d b c + b d. Spezilfll der Binmischen Frmeln : ( ± b) = ± b + b ( + b) ( b) = b. ; Vereinfche s weit wie möglich: 3 b 4 b + b 5 b =...? ( x) ( 3 x y) x y =...? ( 4 ) x + 5 x ( x) =...? ( 5 r q 5 r q ): ( 5 r q) =...? Multipliziere us: ( x + y) ( x y) =...? ( p q) ( p q ) =...? Vereinfche s weit wie möglich: ( x + y) ( x y ) ( x y ) ( x y) =...? Schreibe hne Klmmern: ( 7 + h )...? Ergänze: ( +...) = b +... g = =...? z ( 0, p 0,3q) ( 0,3q + 0, p) =...? b Schreibe ls Prdukt: + 9b 3 b =...? Lösen vn lineren Gleichungen Äquivlenzumfrmung vn Gleichungen:...Gleiches uf beiden Seiten... Systemtisches Lösen vn lineren Gleichungen: Auflösen der Klmmern Vereinfchen beider Seiten Pltzhlter uf einer Seite, Zhlen uf der nderen Seite smmeln Berechnen des Pltzhlters Prbe Schufgben Welche Vrgänge sind bei einer Gleichung erlubt, hne dss sich ddurch ihre Lösungsmenge L verändert? Stelle dir hierzu eine im Gleichgewicht befindliche Wge vr. Multipliziere in der Gleichung,5 0,5 x = 0, 5 uf beiden Seiten mit 4. 3 Löse die Gleichung 9 x + = ( x 3) für rtinle Zhlen. [ = {,5} L ] Welche gnze Zhl - wenn überhupt - besitzt flgende Eigenschft? Ds Fünffche einer Zhl ist um 4 kleiner ls die Differenz us dem,5-fchen dieser Zhl und der Zhl 4. [ x = 7, L = {} ] Für welche rtinlen Zhlen gilt: ( 0,5 x ) ( x + 3) = 0? [ = { 3; 4} L ] In einem Käfig sind Hsen und Hühner eingesperrt. Die Tiere hben zusmmen 35 Köpfe und 94 Füße. Wie viele Hsen sind im Käfig? [ Hsen] KIBA : Bnnennektr (5 % Fruchtsftgehlt) wird mit Suerkirschnektr (50 % Fruchtsftgehlt) gemischt. Wie viel Suerkirschnektr benötigt mn, um mit 0, l Bnnennektr ein Getränk mit 45 % Fruchtsftgehlt zu bekmmen? [ 0,4 l ]

4 5. Digrmme Auswerten (Deuten) vn Digrmmen Wnn stieg der Gewinn jeder der Firmen ds erste Ml über ? Wrum ht Firm B dnch eine größere Gewinnsteigerung, bwhl es uf den ersten Blick nders ussieht? Arithmetischer Mittelwert: x + x + x3 + x xn x = n (Ds rithmetische Mittel schfft einen Ausgleich zwischen grßen und kleinen Werten. Die Abweichungen vm Mittelwert ergeben zusmmen Null.) Gewinn in Firm A Gewinn in Jhr Jhr Firm B Die Schüler einer Klsse erreichen in einer Prüfung die links drgestellte Ntenverteilung. Eine Nte wurde vergessen einzutrgen. Der Durchschnitt (Mittelwert) sämtlicher Nten beträgt 3,75. Berechne die fehlende Nte. [ Nte 4] Der durchschnittliche Pr-Kpf-Verbruch vn sieben Testpersnen (A... G) beträgt 3 Liter Milch pr Wche: Persn A B C D E F G Verbruch,5 l 4,5 l 3,0 l 3,5 l? 0,5 l 5,0 l. Erstelle hierzu ein pssendes Säulendigrmm!. Der Verbruch vn Persn E ist verlrengegngen. Berechne ihn! [,0 l ] 6. Dreiecksknstruktinen Kngruenz vn Figuren Zwei deckungsgleiche Figuren F und G heißen kngruent (F G). Zeichne die nebenstehende Figur uf ein kriertes Bltt und zerlege sie in vier zueinnder kngruente Teilflächen!

5 Kngruenzsätze für Dreiecke: SSS SsW *) SWS WSW (bzw. SWW) **) *) die dem gegebenen Winkel gegenüberliegende Seite muss die längere beider Seiten sein **) vgl. Winkelsumme im Dreieck Seiten-Winkel-Beziehung: In jedem Dreieck liegt der längeren Seite der größere Winkel gegenüber und umgekehrt. Überprüfe, b ein Dreieck ABC us flgenden Angben eindeutig knstruierbr ist und gib den entsprechenden Kngruenzstz n! ) = 4 cm, c = 6 cm, β = 85 b) Begründe, b flgende Dreiecke jeweils kngruent sind: ) b) b = 3,5 cm, c = 7 cm, β = 43 [ ) SWS, b) nicht eindeutig] = 5 cm, α = 5, γ = 3 und b = 5 cm, α = 3, β = 5 [ SWW] c = 6,4 cm, α = 50, β = 75 und = 6,4 cm, α = 50, β = 75 [ nicht kngruent] Um die Entfernung zwischen Nepel (Npli, N) und Srrent (Srrent, S) uf dem Schiffsweg zu bestimmen, peilt Krin vm Vesuv (Vesuvi, V) us die beiden Städte n. Sie misst die Entfernung zu N mit c. 4 km und zu S mit c. km. Der Winkel zwischen den Strecken [VN] und [VS] beträgt 94. Ermittle mit Hilfe einer mßstbsgetreuen Zeichnung die Länge der Strecke [NS]. Gib n, welchen Mßstb du verwendet hst. [ c. 7 km ] N S V Knkrete (systemtische) Durchführung vn Knstruktinen: Plnfigur Knstruktinspln Eigentliche Knstruktin (Auf die Anzhl möglicher Lösungen chten!) Knstruiere ein (gleichschenkliges) Dreieck ABC mit Wie viele Lösungen gibt es? C Plnfigur: h = b, = 7,0 cm, h = 7,0 cm. Knstruktinspln: Die Punkte B und C sind durch BC = gegeben. A liegt uf. der Kreislinie k ( C ; r = ), A. der Prllelen zu [BC] im Abstnd h. Es gibt zwei nicht kngruente Lösungen: A BC und A BC. B

6 7. Besndere Linien (Trnsverslen) im Dreieck Knstruktin und Eigenschften vn besnderen Linien (sg. Trnsverslen) im Dreieck: Höhe Mittelsenkrechte Seitenhlbierende Winkelhlbierende Besndere Punkte im Dreieck: Umkreismittelpunkt (siehe ) Inkreismittelpunkt (siehe b) Schwerpunkt (siehe c) Welche zwei der flgenden Eigenschften gelten jeweils zwingend für Höhe h, Winkelhlbierende w, Seitenhlbierende s und Mittelsenkrechte m eines Dreiecks: A) sie verläuft durch eine Ecke B) sie verläuft durch eine Seitenmitte C) sie verläuft senkrecht zu einer Seite D) sie hlbiert einen Innenwinkel [ h : A, C ; w : A, D; s : A, B; m : B, C ] Gegeben ist ds Dreieck ABC durch = 7 cm, c = 8 cm und β = 50. Knstruiere ) den Umkreis, b) den Inkreis, c) den Schwerpunkt des Dreiecks ABC! ) b) c) Besndere Dreiecke: gleichschenkliges Dreieck Bsiswinkelstz: Im gleichschenkligen Dreieck sind die beiden Bsiswinkel gleich grß. gleichseitiges Dreieck Im gleichseitigen Dreieck betrgen lle Innenwinkel 60. rechtwinkliges Dreieck Stz des Thles: Liegen die drei Punkte s uf einem Kreis, dss eine Seite Durchmesser ist, s besitzt ds Dreieck einen rechten Winkel. Benenne besndere Seiten und Winkel im gleichschenkligen und rechtwinkligen Dreieck! Verwende dbei die mthemtischen Fchusdrücke. Schenkel Spitze Schenkel Bsis- Bsiswinkel Bsis winkel Kthete Knstruiere ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hyptenuse Hyptenuse c = 8, 0 cm und der Kthete b = 6, 0 cm. [ Kthete 5,3 cm, α 4,5, β 48, 5 ] Begründe den Stz des Thles! Frmuliere zum Stz des Thles uch den (whren) Kehrstz und begründe ihn!