Lastvorhersage in einer Cloud mit einem Bayes schen Klassifizierer.

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1 Lastvorhersage in einer Cloud mit einem Bayes schen Klassifizierer. basierend auf der Arbeit Host Load Prediction in a Google Compute Cloud with a Bayesian Model. von Sheng Di, Derrick Kondo und Walfredo Cirne. [2] Seminar aus Informatik, Universität Salzburg betreut von Univ.-Prof. Dr. Wolfgang Pree David Herzog-Botzenhart und Johannes Priewasser 18. Juli

2 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort. 2 2 Abstract 2 3 Einführung Die Deplyoment Modelle Service Modelle Essentielle Charakteristiken von Cloud-Infrastrukturen Lastvorhersage in Cloud basierten Systemen Lastvorhersagen in Grid, HPC und Cloud Systemen Verbesserung der Voraussagen durch das Baye sche Modell Datenbasis für die Auswertung Berechnung der Last Exponentiell segmentiertes Muster ESP Exponentially segemented Patern Bayes sches Modell Klassifizierung Risikofunktion Mittlere quadratische Abweichung Beweisfenster (Evidence window) Merkmale (Features) Merkmalskorellation Experimentelle Ergebnisse 17 1

3 1 Vorwort. Diese Arbeit entstand im Zuge einer Ausarbeitung einer Präsentation auf Grundlage der Arbeit und des Studiums jener von Sheng Di, Derrick Kondo und Walfredo Cirne Host Load Prediction in a Google Compute Cloud with a Bayesian Model. Das präsentierte Verfahren und die Auswertung der Feldversuche entstammen eben genau dieser Arbeit von Sheng Di et.al. [2] 2 Abstract Sheng Di, Derrick Kondo und Walfredo Cirne untersuchten die Verwendung eines Bayes schen Klassifizierers mit Hilfe von 9 dafür entwickelten Features für die Lastvoraussage. Vor allem eine adequate Langzeitvoraussage war das Ziel. Hierzu verwendeten Sie die Daten der Aufzeichnung eines Google Data Centers mit über Jobs, 40 Millionen Tasks verteilt auf Maschinen mit der Auflösung von einer Minute über ein ganzes Monat. Eine Motivation der Arbeit ist der Vergleich der Charakteristiken von Lastvoraussagen in Clouds mit jener von Grids. Unter Verwendung der aufgezeichneten Daten erzielten sie vor allem bei Langzeitvoraussagen im Vergleich zu anderen gängigen Lösungen (Gleitender Durchschnitt moving averages, Auto- Regression und/oder Rausch Filter) eine Verbesserung von 5.6% bis 50%[2]. Bei unserem Studium der Arbeit vermissten wir zeitbasierte Features, in denen die Tageszeit oder Zeitzone mit einfließen. Es fiel uns auch der Umstand auf, dass die Messwerte sowohl zum Lernen als auch als Datengrundlage für die Auswertung herangezogen wurden und auf ein Monat begrenzt waren. 2

4 3 Einführung Cloud Computing hat in den letzten fünf Jahren extrem an Bedeutung zugenommen. Im Unterschied zu GRID Computing bei dem eine homogene Lastverteilung und eine meist gut vorhersehbare Last zu verarbeiten sind, stellt Cloud Computing die Branche vor die Aufgabe, komplexe Lastfluktuationen verarbeiten zu müssen. Eine typische Cloud Architektur ist in Abbildung 1 dargestellt. USERS LOAD BALANCER HOST HOST HOST HOST HOST Abbildung 1: Host Load Verteilung in einer Cloud. Definition 3.1 Cloud Computing ermöglicht einen einfachen netzbasierten Zugriff auf Abruf (on-demand) auf einen Pool geteilter und verteilter Computer Resourcen. Der Begriff Resourcen umfasst Netzwerke, Speicher, Anwendungen und Dienste. Diese Resourcen müssen mit geringen Managementaufwand und minimaler Service Provider Interaktion, schnell zur Verfügung gestellt, beziehungsweise released werden können.[1, NIST] Das Cloud Computing Model von Badger et al. unterscheidet fünf essentielle Charakteristiken, drei Service Charakteristiken und vier Deployment Charakteristiken.[1, NIST] 3

5 3.1 Die Deplyoment Modelle Die Deployment Modelle: 1. Private Cloud (private cloud) Die Verwendung ist exklusiv für eine einzelne Organisation bestimmt. Sie kann aber von Dritten zur Verfügung gestellt werden. 2. Gemeinschaftscloud (community cloud) Die Cloud Infrastruktur wird von Konsumenten jener Organisationen geteilt, welche die selben Interessen teilen. (Zum Beisiel Projektmanagement, Sicherheitsverbesserung, etc.) 3. Öffentliche Cloud(public cloud) Die Cloud Infrastruktur wird für die Öffentlichkeit zur Verfügung gestellt. 4. Hybridcloud(hybrid cloud) 3.2 Service Modelle Badger et al. [1, NIST] unterscheiden drei Arten von Service Modellen. 1. Cloud Software als Dienst (SaaS Cloud Software as a Service) Der Konsument nutzt Applikationen des Anbieters aus der Infrastruktur. 2. Cloud Platform als Dienst (PaaS Cloud Platfom as a Service) Der Konsument verteilt und betreibt eigene oder Applikationen Dritter, unter Verwendung der Werkzeuge die der Infrastruktur Provider zur Verfügung stellt. 3. Cloud Infrastruktur als Dienst (IaaS Cloud Infrastructure as a Service) Der Konsument erhält die Möglichkeit fundamentale Resourcen zu nutzen. Dazu können unter anderem Betriebssysteme der Rechner, Speicher, Netzwerke, Verteilung der Applikationen und limitierter Zugriff auf Firewalls gehören. Der Konsument darf aber nicht die Cloud Infrastruktur als solche kontrollieren. 4

6 3.3 Essentielle Charakteristiken von Cloud-Infrastrukturen Badger et al. unterscheiden fünf essentielle Charakteristiken. (On-demand self-service, Broad network acces, Resource pooling, Rapid elasticity und Measured Service). Vorallem die Charakteristiken Rapid elasticity und Measured Service verlangen nach einer möglichst genauen Lastvoraussage um einerseits SLA s (Service Level Agreements) und andererseits die Verfügbarkeit QoS (Quality of Service) garantieren zu können. Dies wiederum ermöglicht es den Aufwand und die daraus folgenden Kosten abschätzen und kontrollieren zu können. 1. Rapid elasticity (Schnelle und elastische Kapazitätsanpassung.) Bedeutet das Kapazitäten schnell und elastisch, zumeist automatisiert, zur Verfügung gestellt werden können. Es kann sowohl nach Innen als auch nach Außen skaliert werden. Dem Konsumenten erscheinen die bereitstellbaren Resourcen unendlich und deren Verfügbarkteit zeitlich unabhängig. 2. Measured Service (Überwachte Dienste) Cloud Systeme kontrollieren und optimieren die Resourcen unter Verwendung von Metriken welche auf den Typ der zur Verfügung gestellten Resourcen angepasst ist. Die Verwendung der Resourcen kann überwacht, kontrolliert und zurückgemeldet werden. Die größte Herausforderung für Cloud Service Anbieter ist eben der Kompromiss (trade-off) zwischen Kundenzufriedenheit und Profit.[3] Daher wurde in den letzten Jahren intensiv untersucht, welche Voraussagesysteme für die Auslastung bei Cloud Computing am besten einzusetzen sind. Es wurden auch adaptive Systeme untersucht, in denen die Kapazitätsplanung abhängig von SLA s und QoS erfolgt. Sheng Di et al. [2] untersuchten den Bayes schen Klassifizierer und die für die Untersuchung nötigen unabhängigen Features. 4 Lastvorhersage in Cloud basierten Systemen Die Lastvorhersage in cloud basierten Systemen verglichen mit klassischen Grid und High Performance Computing (HPC) Systemen stellt eine größere Herausforderung dar, da die Last in der Cloud stärker fluktuiert. Diese Fluktuation ist die Folge von kürzeren Jobdauern und mehr interaktiven Jobs. Die 5

7 Jobdauer in der Google Cloud beträgt nur [ 1, 1 ] verglichen mit der Jobdauer 20 2 im AuverGrid System, was zu einer feingranulareren Resourcenreservierung im Google Daten Center führt. 4.1 Lastvorhersagen in Grid, HPC und Cloud Systemen Bisherige Arbeiten zum Thema Lastvorhersage in Grid und HPC Systemen haben sich hauptsächlich auf Methoden fokussiert die auf dem gleitendem Mittelwert, autoregressiven Modellen oder Rauschfiltern basieren. Diese Methoden erzielen in Cloudsystemen nicht unbedingt brauchbare Genauigkeiten. Zum Beispiel würden durch das Filtern von Rauschen in den Lastaufzeichungen wichtige Daten von tatsächlichen hohen Fluktuationen verloren gehen. Des weiteren konzentrieren sich diese Methoden eher auf kurzfristige Vorhersagen und lassen längere Vorhersageintervalle außer Acht. 5 Verbesserung der Voraussagen durch das Baye sche Modell Durch die Anwendung des bayes schen Modells sollen Voraussagen zur mittleren Auslastung in einem Zeitintervall von bis zu 16 Stunden, sowie auf mehreren aufeinander folgenden Zeitintervallen getroffen werden können. Das Modell verwendet dazu voraussagenden Merkmale (features) die die Erwartung, Voraussagbarkeit, Tendenzen und Muster in den Lastaufzeichnungen erfassen. Wichtige Informationen über Fluktuationen und Rauschen werden bei diesem Ansatz beibehalten. Die mittlere quadratische Abweichung (mean squared error, MSE) beträgt für ein einzelnes Zeitintervall und 10 5 für mehrere aufeinander folgende Zeitintervalle (pattern). Die Vorhersagegenauigkeit verbessert sich verglichen mit anderen Methoden um %. 5.1 Datenbasis für die Auswertung In den Lastaufzeichnungen werden die CPU und die Speicherauslastung erfasst, welche die zwei wichtigen Metriken für das System darstellen. Die zugrunde liegenden Daten wurden über einen Zeitraum von einem Monat in einem Produktivsystem von Google mit über 12,000 Rechnern aufgezeichnet. Die Benutzer senden dabei ihre Aufträge (jobs) an einen gebündelten 6

8 Planungsprozess (batch scheduler). Jeder Auftrag besteht aus einer Menge von Aufgaben (tasks) und einer Menge an Resourcenbeschränkungen. Der Planungsprozess weist die einzelnen Aufgaben an die zur Vergügung stehenden Rechner des Systems zu. In diesem Monat wurden über 670,000 Aufträge und über 40 Millionen Aufgaben abgearbeitet. Die Last in dem System ist darstellbar als Funktion von den eingehenden Aufträgen und der Planungsstrategie (scheduling strategy). 5.2 Berechnung der Last Die Last zu einem bestimmten Zeitpunkt auf einem bestimmten Rechner besteht aus der Gesamtlast aller laufenden Aufgaben auf diesem Rechner. Die relative Last errechnet sich durch die Division von der absoluten Last durch die vorhandene Kapazität. Dieser Wert liegt dann zwischen 0 und 1. Die Lastdaten werden diskretisiert durch die Berechnung der relativen Last jedes Rechners über aufeinanderfolgende Zeitintervalle mit einer festgelegten Länge von ein paar Minuten. Die diskretisierten Daten bilden die Basis der Arbeit. Mit der selben Vorgehensweise wurden auch die relativen Lastdaten zu jeder Periode von AuverGrid s Lastaufzeichnungen berechnet. Damit konnte das höhere Rauschen in den Daten von Google verglichen mit AuverGrid verifiziert werden. Das minimale/mittlere/maximale Rauschen der CPU Lastdaten wurde mit einem Mittelwertfilter berechnet und beträgt jeweils AuverGrid: , , Google: , 0.028,

9 Abbildung 2: Lastvergleich zwischen Google und AuverGrid Die Verteilung der Lastdaten von Google und AuverGrid wird gegenübergestellt in einem Quantile-Quantile-Plot. Dazu wird der Bereich der Lastdaten gleichmäßig aufgeteilt in fünf Teilbereiche. Die Lastdauer ist definiert als die Zeit in der die Last auf einem Rechner konstant in einem der fünf Teilbereiche bleibt. Die Verteilung der Lastdauern wird miteinander verglichen. Abbildung 3: Quantile-Quantile Plot der Dauer and Aufgabenlänge 5.3 Exponentiell segmentiertes Muster ESP Exponentially segemented Patern Vorhergesagt wird die mittlere Last über ein einzelnes Zeitintervall zu einem bestimmten Zeitpunkt t 0. Auf dieser Basis wird die mittlere Last für mehrere 8

10 aufeinander folgende Zeitintervalle vorhergesagt. Um die Fluktuation über eine Zeitperiode zu charakterisieren, wird ein exponentiell segmentiertes Muster (exponentially segmented pattern, ESP) eingeführt. Das Vorhersageintervall wird aufgeteilt in eine Menge von aufeinander folgende Segmente, deren Länge exponentiell zunimmt. Ermittelt wird die mittlere Last in jedem dieser Segmente. Abbildung 4: Illustration des exponentiell segmentierten Musters Die Gesamtlänge des Vorhersageintervalls wird bezeichnet mit s. Das erste Segment (s 1 ) wird als Basislinie (baseline) mit der Länge b bezeichnet und startet vom aktuellen Zeitpunkt t 0 und endet bei t 0 + b. Die Länge jedes weiteren Segments (s i ) berechnet sich mit b 2 i 2 i = 2, 3, 4,... Wird zum Beispiel b auf 1 Stunde gesetzt, so errechnet sich für die das vorherzusagende Intervalls eine Gesamtlänge s von 16 Stunden (= ). Die Mittelwerte werden bezeichnet mit l i i = 1, 2, 3,... Die Vorhersagegenauigkeit ist besser für kurzfristige Vorhersagen als für langfristige. 9

11 Abbildung 5: Induktion der segmentierten Auslastung Es wird der Vektor von Lastdaten (l = (l 1, l 2,..., l n ) T ) vorhergesagt, wobei jeder Wert den Mittelwert über ein bestimmtes Segment repräsentiert. Das Zeitintervall welches die aktuell erfassten Lastdaten einschließt wird als Beweisfenster (evidence window) bezeichnet. Die Vorhersage für jedes einzelne Segment ist der Schlüsselschritt für die gesamte Vorhersage. Die Last korelliert stark zwischen benachbarten Segementen und korelliert nicht für nicht benachbarte Segmente. Die Darstellung der Segmente wird in eine andere Darstellung transformiert, in der jedes Intervall das vorhergesagt werden soll an das Beweisfenster angrenzt. Dann wird eine Menge aus mittleren Lastvorhersagen für die Intervalle verschiedener Länge berechnet, wobei jedes Intervall zum aktuellen Zeitpunkt t 0 startet. Das Ergebnis daraus wird bezeichnet mit η 1, η 2,..., η n η i+1 = 2η i. Das Ziel ist es einen Vektor η = (η 1, η 2,..., η n ) T vorherzusagen, und nicht den Vektor l. Der Vektor l kann durch folgende Induktion aus dem Vektor η berechnet werden: Der aktuelle Zeitpunkt ist t 0 Es wurden bereits zwei Lastvorhersagen (η i 1 and η i ) über zwei Intervalle, [t 0, t i 1 ] und [t 0, t i ] berechnet Die zwei Flächen (S 1 and S 2 ) werden einandern angeglichen Die Ableitung der Lastvorhersage [t i 1, t i ] wird berechnet 10

12 l i ist die vorhergesagte mittlere Last in dem neuen Segment [t i 1, t i ], dargestellt als rote Linie in der Grafik l i = η i + t i 1 t 0 t i t i 1 (η i η i 1 ) (1) Dies vereinfacht und verallgemeinert die Implementierung eines Prädiktors, da jeder Prädiktor der ein einzelnes Intervall voraussagen kann in einen Prädiktor der ein ESP voraussagen kann, verwandelt werden kann. Dadurch ergibt sich die Möglichkeit ein einzelnes oder mehrere aufeinander folgende Intervalle ohne Mehraufwand vorauszusagen. Die zwei Schlüsselschritte des Algorithmus: mittlere Lastvorhersage (Zeile 1-5) Segment Transformation (Zeile 6) Jedes Intervall startet zum aktuellen Zeitpunkt, im Gegensatz zu den vorhin definierten Segmenten in der Vektorräpresentation l. Abbildung 6: Pseudo-code der Cloud Lastmustervorhersage 6 Bayes sches Modell Zur Laufzeit wird das Beweisfenster mit den kürzlich aufgetretenen Fluktuationen aktualisiert. Es wird die A-posteriori Wahrscheinlichkeit aus der A- priori Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnet, wobei ein Bayes Klassifikator 11

13 Abbildung 7: Vorhersagefehler mit unterschiedlichen Vorhersagelängen einbezogen wird. Ein Bayes Klassifikator ist ein klassischer Klassifikator wie er auch beim Data Mining beim überwachten Lernen zum Einsatz kommt. 6.1 Klassifizierung Die Klassifizierung besteht aus fünf Schritten: 1. Bestimme die Menge an Zielzuständen (W = (ω 1, ω 2,..., ω m ) T, mit m als Anzahl der Zustände) Beweisvektor mit h voneinander unabhängigen Merkmalen (χ = (x 1, x 2,..., x h ) T ) 2. Berechne die A-priori Wahrscheinlickkeitsverteilung, P (ω i ), basierend auf den Beweisdaten 3. Berechne die multivariate Wahrscheinlichkeitsverteilung (joint probability) p(χ ω i ) für jeden Zustand ω i 4. Berechne die A-posteriori Wahrscheinlichkeit basierend auf den Beweisdaten 12

14 P (ω i x j ) = p(x j ω i )P (ω i ) m k=1 p(x j ω k )P (ω k ) (2) 5. Triff eine Entscheidung basierend auf der Risikofunktion λ(ˆω i, ω i ), wobei ˆω i und ω i den tatsächlichen und den vorhergesagten Wert des Zustandes darstellen Es gibt zwei Verfahren basierend auf verschiedenen Risikofunktionen um Entscheidungen zu treffen, unter Verwendung des Naiven Bayes-Klassifikators (N-BC) und des auf der minimierten quadratischen Abweichung (minimized mean square error, MMSE) basierten Bayes-Klassifikator (MMSE-BC) 6.2 Risikofunktion Die entsprechenden Risikofunktionen davon sind: { 0 ω i ˆω i < δ λ( ω i, ˆω i ) = 1 ω i ˆω i δ (3) λ( ω i, ˆω i ) = ( ω i ˆω i ) 2 (4) Der vorhergesagte Wert für den Zustand (ˆω i ) wird ermittelt durch den minimalen Fehler: ˆω i = arg max p(ω i x j ) (5) 6.3 Mittlere quadratische Abweichung Mittlere quadratische Abweichung (MSE): ˆω i = m ω i p(ω i x j ) (6) i=1 Der Zielzustandsvektor und der Vektor generiert aus den Lastdaten des Beweisfensters sind die beiden kritischsten Faktoren für eine genaue Vorhersage. 13

15 Die Lastdaten werden aufgeteilt in kleinere Bereiche, wobei jeder Bereich einer gewissen Auslastungsstufe entspricht. Die Anzahl der Bereiche im Lastdatenbereich [0,1] wird mit r bezeichnet. Wird zum Beispiel r = 50 gesetzt ergeben sich daraus die 50 Teilbereiche [0, 0.02), [0.02, 0.04),..., [0.98, 1]. 6.4 Beweisfenster (Evidence window) Die Länge des Beweisfensters (evidence window) wird auf die Hälfte der Länge des vorherzusagenden Intervalls gesetzt. Wenn das Vorhersageintervall zum Beispiel 8 Stunden beträgt, wird das Beweisfenster auf die letzten 4 Stunden gesetzt. Mit dieser Vorgehensweise konnte in experimentellen Resultaten das genaueste Ergebnis erzielt werden. Das Beweisfenster wird in eine Menge von gleich großen Segmenten unterteilt. 48 (= 4 60) aufeinanderfolgende Lastzustände (mit einer Segmentgröße im Beweisfenster von 5 5 Minuten) bilden in dieser Periode die Ausgangsdaten für die Vorhersage. Wenn das Vorhersageintervall zum Beispiel auf 4 Stunden gesetzt wird, beträgt die Länge des Beweisfensters 2 Stunden und es gibt 24 Auslastungswerte im Beweisfenster. Abbildung 8: Illustration des Beweisfensters und den Zielzuständen 6.5 Merkmale (Features) Der Lastzustandsvektor im Beweisfenster wird defininiert durch e = (e 1, e 2,..., e d ) T wobei d die Anzahl der Teilsegmente im Beweisfenster darstellt, auch Fenstergröße (window size) genannt. Die Elemente in dem Vektor sind zeitlich sortiert, beginnend mit dem aktuellsten Wert. 14

16 Das Merkmal mittlere Auslastung (mean load, F ml (e))) ist der Mittelwert des Lastzustandsvektors e: F ml (e) = 1 d d e i (7) i=1 Der Wertebereich der mittleren Auslastung befindet sich in [0,1]. Dieser Bereich wird wiederum aufgeteilt in r gleich große Teilbereiche, wobei wieder jeder Teilbereich einen Lastzustand darstellt. Das Ergebnis der mittleren Auslastung ist also einer dieser Teilbereiche. Die gewichtete mittlere Auslastung ist der linear gewichtete Mittelwert des Lastzustandsvektores e mit: F wml (e) = d i=1 (d i + 1)e i d i=1 i = 2 d(d + 1) d (d i + 1)e i (8) Bei diesem Merkmal werden die aktuelleren Lastzustände stärker gewichtet als ältere. Auch dieses Merkmal befindet sich im Bereich [0,1], wobei der Bereich wiederum aufgeteilt wird auf r Teilbereiche. Der Gerechtigkeitsindex (fairness index, F fi (e))) wird verwendet um den Grad an Lastfluktuation im Beweisfenster zu charakterisieren. Die Formel dafür lautet: F fi (e) = ( d i=1 e i) 2 d (9) d i=1 e2 i Das Ergebnis ist normalisiert im Bereich [0,1]. Ein höherer Wert deutet auf eine stabilere Lastfluktuation hin. Der Wert beträgt 1, genau dann wenn alle einzelnen Lastzustände gleich sind. Nachdem der Zielzustand in diesem Modell die mittlere Auslastung im vorherzusagenden Intervall ist, scheint das Merkmal der mittleren Auslastung wichtiger zu sein als der Gerechtigkeitsindex. Wenn allerdings die Last im vorherzusagenden Intervall ähnlich fluktuiert wie im Beweisfenster, kann der Gerechtigkeitsindex die Vorhersage verbessern. Der rauschunterdrückte Gerechtigkeitsindex (noise-decreased fairness index, F ndfi (e)) wird ebenfalls mit der Formel des Gerechtigkeitsindizes berechnet. Gibt es allerdings ein oder zwei Ausreißer in den Beweisdaten (load outliers) die den Gerechtigkeitsindex maßgeblich verschlechtern, so werden diese nicht in die Berechnung miteinbezogen. Solche Ausreißer sind höchstwahrscheinlich Rauschen oder irreguläre Jitter. 15 i=1

17 Das Zustandsstatus Merkmal (type state, F ts (e)) wird verwendet um den Lastzustandsbereich im Beweisfenster, sowie den Grad an Jitter zu charakterisieren. Es ist definiert als zweiertupel α, β, wobei α die Anzahl an involvierten Zuständen und β die Anzahl an Zustandsänderungen darstellt. Liegt zum Beispiel ein Lastzustandsvektor von (0.023,0.042,0.032,0.045,0.056,0.036) vor, so gibt es nur zwei Zustände die involviert sind, nämlich [0.02,0.04) und [0.04,0.06), sowie vier Zustandsänderungen , , , ist keine Zustandsänderung, nachdem der vorhergehende Zustand in den selben Lastzustandsbereich fällt. Das Erste-Letzte Last Merkmal (first-last, F fll (e)) wird verwendet um grob den Trend der Auslastung in der jüngeren Vergangenheit zu charakterisieren. Es ist definiert als Zweiertupel τ, υ, wobei τ den ersten und υ den letzten Lastzustand aus dem Beweisfenster darstellt. Dieses Merkmal ist praktisch nur brauchbar in Kombination mit anderen Merkmalen. Das N-Segment Muster (N-segment pattern, F N sp (e)) charakterisiert die Segmentmuster basierend auf dem Beweisfenster. Das Beweisfenster wird wieder gleichmäßig aufgeteilt auf Teilbereiche, wobei jeder Teilbereich eine mittlere Auslastung beinhaltet. Beträgt die Länge des Beweisfensters zum Beispiel 4 Stunden (mit einer Fenstergröße von 48), dann besteht das 4- Segment Muster aus einem Vierertupel dessen Elemente die folgenden mittlere Auslastungswerte beinhaltet: [e 1, e 12 ], [e 13, e 24 ], [e 25, e 36 ], [e 37, e 48 ]. N wird jeweils auf 2, 3 und 4 gesetzt, sodass sich daraus eigentlich vier Merkmale mit dem N-Segment Muster ergeben. 6.6 Merkmalskorellation Einige der Merkmale sind untereinander abhängig. Dies widerspricht der Annahme des Bayes Theorems, dass alle Merkmale voneinander unabhängig sind. Die Merkmale die in Formel (3) verwendet wurden, sollten voneinander unabhängig sein. Der Gerechtigkeitsindex und der rauschunterdrückte Gerechtigkeitsindex sind vermutlich voneinander abhängig. Daher wurde untersucht welche Merkmale miteinander linear korellieren und welche nicht. 16

18 Abbildung 9: Kompatibilität der Merkmale Nachdem 9 Merkmale (F ml, F wml, F fi, F ndfi, F ts, F fll, F 2 sp, F 3 sp, F 4 sp ) identifiziert wurden, ist die maximale Anzahl an Kombinationen 2 9. Um diese Zahl zu verkleinern wurden die Merkmale in 4 Gruppen unterteilt: {F ml, F wml, F 2 sp, F 3 sp, F 4 sp }, {F ndfi, F fi }, {F ts }, {F fll }. Elemente der selben Gruppe dürfen nicht mehrfach in einer Kombination vorkommen. Die Anzahl an kompatiblen Kombinationen (number of compatible combinations, NCC) beträgt 6, 3, 2, 2. NCC(9) = NCC(Gruppe 1) * NCC(Gruppe 2) * NCC(Gruppe 3) * NCC(Gruppe 4) = 6 * 3 * 2 * 2 = 72. Dabei wird noch der Fall abgezogen in dem kein Merkmal verwendet wird, was zu einer Gesamtanzahl an 71 gültigen und sinnvollen Kombinationen führt. 7 Experimentelle Ergebnisse Die einmonatige Datenaufzeichnung wurde in zwei Datensätze aufgeteilt, einmal in eine Lernperiode von Beginn der Aufzeichung bis zu Tag 25, und einmal in eine Testperiode von Tag 26 bis zum Ende der Aufzeichnung. Die Lernperiode wurde dazu verwendet um das Modell mit Daten zu füttern, also zum Beispiel um die A-priori Wahrscheinlichkeit P (ω i ) und die abhängige Wahrscheinlichkeit p(x j ω k ) zu berechnen. Die für die Vorhersage zu verwendenden Merkmale werden in einer Binärdarstellung selektiert. Die Reihenfolge der Merkmale ist festgelegt und ein Merkmal wird selektiert indem die entsprechende Stelle auf 1 gesetzt wird. Es stellte sich heraus, dass die beste Kombination an Merkmalen immer F ml und die schlechteste immer F ts ist, unabhängig von der Länge des vorherzusagenden Intervalls. Die Vorhersage unter Verwendung des MMSE- BC ist immer genauer als unter Verwendung von N-BC. Der MMSE-BC Klas- 17

19 sifikator adaptiert den mathematisch erwarteten Wert des vorhergesagten Lastzustands, der die höchste Wahrscheinlichkeit aufweist in den tatsächlichen Lastdaten vorzukommen. Der N-BC Klassifikator verwendet den Lastzustand mit der höchsten A-posteriori Wahrscheinlichkeit als Ergebnis der Vorhersage. Abschließend werden die besten und schlechtesten fünf Ergebnisse und deren Fehlerraten präsentiert. Abbildung 10: Erfolgsrate und MSE des Bayes Klassifikators 18

20 Literatur [1] L. Badger, T. Grance, L. Badger, T. Grance, R. Patt-corner, J. Voas, and P. D. Gallagher. Cloud computing synopsis and recomendations, nist special publication , May [2] S. Di, D. Kondo, and W. Cirne. Host load prediction in a google compute cloud with a bayesian model. In Proceedings of the International Conference on High Performance Computing, Networking, Storage and Analysis, page 21. IEEE Computer Society Press, [3] Y. Kouki and T. Ledoux. Sla-driven capacity planning for cloud applications. In Cloud Computing Technology and Science (CloudCom), 2012 IEEE 4th International Conference on, pages IEEE, Abbildungsverzeichnis 1 Host Load Verteilung in einer Cloud Lastvergleich zwischen Google und AuverGrid Quantile-Quantile Plot der Dauer and Aufgabenlänge Illustration des exponentiell segmentierten Musters Induktion der segmentierten Auslastung Pseudo-code der Cloud Lastmustervorhersage Vorhersagefehler mit unterschiedlichen Vorhersagelängen Illustration des Beweisfensters und den Zielzuständen Kompatibilität der Merkmale Erfolgsrate und MSE des Bayes Klassifikators Wir weisen ausdrücklich darauf hin, dass die Abblidungen 2,3,4,5,6,7,8,9 und 10 aus der Arbeit[2] von Sheng Di, Derrick Kondo und Walfredo Cirne übernommen wurden. Copyright notice: The figures 2,3,4,5,6,7,8,9 and 10 have been taken from the paper[2] of Sheng Di, Derrick Kondo and Walfredo Cirne. 19

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