Musterlösung 7 Lineare Algebra für die Naturwissenschaften

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1 Musterlösung 7 Lineare Algebra für die Naturwissenschaften Aufgabe Entscheiden Sie, ob folgende Abbildungen linear sind, und geben sie für die linearen Abbildungen eine Matrixdarstellung (in einer Basis ihrer Wahl) an: (a) f : R n R, f(x) x für x R n und die Euklidische Norm im R n. (b) Die Abbildung f : R R, x n a i x i, n N. Für welche a i R (i 0,,..., n) ist f eine lineare Abbildung? (c) f : R [x] R, f(ax + bx + c) i0 ( ) a + b b c (d) Die Abbildung f : R 3 R 3, die zuerst 30 im Uhrzeigersinn um die x-achse parallel zur yz-ebene dreht und anschliessend an der xz-ebene spiegelt. Lösung: (a) Wir prüfen f(λx) λx λ x λ x λf(x) für λ negativ. Somit ist f keine lineare Abbildung. (Man könnte auch zeigen, dass f(x + y) f(x) + f(y) nicht für alle x, y R n erfüllt ist.) (b) Zuerst bestimmen wir die a i, für die gilt f(αx) αf(x): n f(αx) a i α i x i, αf(x) i0 n a i αx i. i0 Aus f(αx) αf(x), α R, folgt für beliebige x R a i α i a i α a i (α i ) 0. Seite von 8

2 Also muss gelten a i 0 oder i. Folglich ist a i nur dann ungleich 0, wenn i ist. Es kann also nur die folgende Abbildung linear sein: f(x) a x. Durch Nachprüfen der Bedingung f(x + y) f(x) + f(y) sehen wir, dass diese Abbildung tatsächlich linear ist. Die gesuchte Lösung ist also a R, a i 0 für i {0,, 3,..., n}. (c) Es ist f(λ (a x + b x + c ) + λ (a x + b x + c )) f((λ a + λ a )x + (λ b + λ b )x + (λ c + λ c )) ( ) (λ a + λ a ) + (λ b + λ b ) (λ b + λ b ) (λ c + λ c ) und ( ) ( ) λ f(a x + b x + c ) + λ f(a x a + b + b x + c ) λ a + b + λ b c b c ( ) λ a + λ a + λ b + λ b. λ b + λ b λ c λ c Somit gilt f(λ (a x + b x + c ) + λ (a x + b x + c )) λ f(a x + b x + c ) + λ f(a x + b x + c ) und f ist linear. Wir wählen für R [x] die Basis [x, x, ] und für R die Standardbasis. Dann hat f bzgl. diesen Basen die Matrixdarstellung ( ) 0. 0 (d) Zuerst betrachten wir die Abbildung, welche Punkte 30 Grad im Uhrzeigersinn um die x-achse parallel zur yz-ebene dreht. Da parallel zur yz-ebene gedreht wird, bleibt die x-koordinate gleich. Für ein festes x entspricht die Drehung in der parallelen Ebene einer Drehung im Zweidimensionalen, d. h. (x, y, z) R 3 wird auf (x, cos( π 6 )y + sin( π 6 )z, sin( π 6 )y + cos( π 6 )z) R3 abgebildet (siehe Vorlesung für Drehung im R ). Die Spiegelung an der xz-ebene lässt die x- und z-koordinate invariant und schickt die y-koordinate auf ihr Negatives, d. h. (x, y, z) R 3 wird auf (x, y, z) R 3 abgebildet. Verketten wir die beiden Abbildungen, so sehen wir, dass f(x, y, z) (x, cos( π 6 )y sin(π 6 )z, sin(π 6 )y + cos(π 6 )z) R3. Seite von 8

3 Damit lässt sich leicht nachrechnen, dass f(λ (x, y, z )+λ (x, y, z )) λ f(x, y, z )+ λ f(x, y, z ) und f somit linear ist. An der expliziten Beschreibung von f sieht man, dass diese Abbildung folgende Matrixdarstellung (bzgl. der Standardbasis) hat: 0 0 f [e] [e] 0 cos( π) sin( π) sin( π) cos( π) 6 6 Aufgabe Es sei gegeben die Basis [v] [v (), v (), v (3) ] von R 3 mit v () 0, v (), 0 v (3) 0, 0 und die Basis [w] [w (), w () ] von R mit ( ) w (), w () ( ) 3. 0 Die lineare Abbildung T sei gegeben durch x ( ) T : R 3 R, x x 3x 3. 4x x + x 3 (a) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung T [e] [e] bezüglich der Standardbasis [e]. (b) Bestimmen Sie die Basiswechselmatrizen Id [v] [e], Id [w] [e] und Id [e] [w]. (c) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung T [v] [w]. (d) Sei x in Koordinatendarstellung bezüglich der Standardbasis [e] gegeben durch x Bestimmen Sie die Koordinatendarstellung x bezüglich der Basis [v] von x. Berechnen Sie T (x) in beiden Basisdarstellungen als T [e] [e] x und T [v] [w] x und zeigen Sie, dass beide Darstellungen dasselbe Ergebnis haben. Seite 3 von 8

4 Lösung: (a) T [e] [e] ( 0 ) (b) Id [v] [e] ( v () v () v (3)) Id [w] [e] ( ( ) w () w ()) 3 0 Id [e] [w] Id [w] [e] ( ) (c) T [v] [w] 6 ( ) 0 3 ( ) ( ) (d) 0 0 x Id [e] [v] x Id [v] [e] x 0 0 ( ) ( ) 0 3 y T [e] [e] x ( ) 0 ( ) 0 y T [v] [w] x Es ist zu zeigen, dass y und y derselbe Vektor ist. Da y die Koordinatendarstellung bezüglich Basis [e] und y die Koordinatendarstellung bezüglich Basis [w] ist, ist zu prüfen, dass y Id [w] [e] y : Id [w] [e] y ( ) ( ) ( ) 7 y Aufgabe 3 Gegeben sei die Abbildung T : R 4 [x] R 4 [x] mit T (f) : f f + 3f x für f R 4 [x]. Seite 4 von 8

5 (a) Zeigen Sie, dass T eine lineare Abbildung ist, und geben Sie T in Matrixdarstellung an (Basis frei wählbar). ( Pt.) (b) Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen V, W. Zeigen Sie, dass die Bildmenge von f, also die Menge {w W : w f(v) für ein v V }, ein Untervektorraum von W ist. ( Pt.) (c) Berechnen Sie die Dimension der Bildmenge von T. Lösung: (a) Sei f(x) a x 4 + a x 3 + a 3 x + a 4 x + a 5. Dann ist T (f(x)) a x + 6a x + a 3 (4a x 3 + 3a x + a 3 x + a 4 ) + 3(4a )x 8a x 3 + (a 6a )x + (6a 4a 3 + 7a )x + a 3 a 4. Sei g(x) b x 4 + b x 3 + b 3 x + b 4 x + b 5. Dann folgt T (λ f(x) + λ g(x)) 8(λ a + λ b )x 3 + ((λ a + λ b ) 6(λ a + λ b ))x + (6(λ a + λ b ) 4(λ a 3 + λ b 3 ) + 7(λ a + λ b ))x + (λ a 3 + λ b 3 ) (λ a 4 + λ b 4 ) λ ( 8a x 3 + (a 6a )x + (6a 4a 3 + 7a )x + a 3 a 4 ) + λ ( 8b x 3 + (b 6b )x + (6b 4b 3 + 7b )x + b 3 b 4 ) λ T (f(x)) + λ T (g(x)). Somit ist T eine lineare Abbildung. Die Matrixdarstellung von T bzgl. der Basis [x 4, x 3, x, x, ] ist dann von der Form (b) Wir setzen B f : {w W : w f(v) für ein v V }. Wir müssen prüfen, ob w, w B f w + w B f gilt und ob für alle α R gilt, dass w B f αw B f. Seien w, w B f. Dann gibt es v, v V mit f(v i ) w i, i,. Somit ist w + w f(v ) + f(v ) f(v + v ), Seite 5 von 8

6 da f eine lineare Abbildung ist. Insbesondere haben wir ein Element v + v von V gefunden, das von f auf w + w abbildet wird. Also ist w + w B f. Ebenso sei w B f und v V mit f(v ) w. Dann ist für alle α R αw αf(v ) f(αv ), und somit ist αw B f. Also ist B f ein Untervektorraum von W. (c) Jedes Element g in B T kann als g T (f) geschrieben werden. Jedes f R 4 [x] wiederum kann als Linearkombination der Basis [x 4, x 3, x, x, ] geschrieben werden. Da T eine lineare Abbildung ist, kann somit jedes g B T als a T (x 4 ) + a T (x 3 ) + a 3 T (x ) + a 4 T (x) + a 5 T () mit a,..., a 5 R geschrieben werden. Also ist B T span(t (x 4 ), T (x 3 ), T (x ), T (x), T ()). Die Dimension von B T entspricht damit dem Rang der Matrixdarstellung von T bzgl. [x 4, x 3, x, x, ]. Also dim B T rang Der Rang bleibt unter Zeilenstufenoperationen erhalten. Wir wenden den Gaussalgorithmus an und erhalten Es ist leicht zu sehen, dass der Spaltenraum der letzten Matrix von der Form a x 3 + a 3 x + a 4 x + a 5 ist. Insbesondere ist [x 3, x, x, ] eine Basis dieses Spaltenraums, der damit die Dimension 4 hat. Also ist dim B T 4. Aufgabe 4 Seien v, v, v 3, w, w, w 3 R 3 paarweise verschiedene Vektoren. (a) Welche Bedingungen müssen v, v, v 3, w, w, w 3 erfüllen, dass eine lineare Abbildung f : R 3 R 3 mit f(v i ) w i für i,, 3 existiert? Seite 6 von 8

7 (b) Welche Bedingungen müssen v, v, v 3, w, w, w 3 erfüllen, dass eine eindeutige lineare Abbildung f : R 3 R 3 mit f(v i ) w i für i,, 3 existiert? (c) Sei f : R 3 R 3 mit f(v i ) w i für i,, 3. Welche Bedingungen müssen v, v, v 3, w, w, w 3 erfüllen, dass eine eindeutige lineare Abbildung f : R 3 R 3 existiert so, dass f f Id R 3 (d.h. die Komposition der beiden Abbildungen ist die Identitätsabbildung auf R 3 )? Lösung: (a) Zuerst merken wir an, dass w i 0, wenn v i 0 (i,, 3), da lineare Abbildungen den 0-Vektor immer auf den 0-Vektor abbilden. Der Fall v i 0 und w i 0 hat also keinen Einfluss auf die Existenz einer linearen Abbildung. Wir können also annehmen, dass kein v i gleich dem 0-Vektor ist. Nehmen wir an, eine lineare Abbildung erfüllt f(v ) w. Das definiert f für alle Vektoren αv mit α R. Das heisst, ist v i αv, i, 3, für ein α R, so muss w i αw. Sind hingegen v, v linear unabhängig, so ist f(α v + α v ) : α w + α w linear auf span(v, v ) und f muss von dieser Form auf span(v, v ) sein. Ist v 3 span(v, v ), so finden wir a, a R mit v 3 a v + a v. Dann ist f(v 3 ) f(a v + a v ) a f(v ) + a f(v 3 ) a w + a w. Also muss gelten w 3 a w + a w. Sind v, v, v 3 linear unabhängig und somit eine Basis, so definiert f(α v + α v + α 3 v 3 ) : α w + α w + α 3 w 3 eine lineare Abbildung. Sind v, v, v 3 linear abhängig, so wissen wir aus der Vorlesung, dass wir entweder einen oder zwei Vektoren wegfallen lassen können und durch die passende Anzahl an Vektoren ergänzen, damit wir eine Basis erhalten. Wir nehmen der Einfachheit halber an, dass [v, v, ˆv 3 ] eine Basis sei (für den Fall, dass v, v linear unabhängig und v 3 span(v, v )). Dann definiert f(α v + α v + α 3ˆv 3 ) : α w + α w + α 3 ŵ 3 () eine lineare Abbildung, wobei ŵ 3 R 3 beliebig ist. So kann man insgesamt zeigen: Wenn wir eine lineare Abbildung f auf span(v, v, v 3 ) definiert haben, die die Bedingung f(v i ) w i für i,, 3 erfüllt, so kann man eine lineare Abbildung f auf R 3 finden, die ebenso die Bedingung f(v i ) w i für i,, 3 erfüllt. Zusammengefasst müssen v, v, v 3, w, w, w 3 folgende Bedingungen erfüllen, damit eine lineare Abbildung f : R 3 R 3 mit f(v i ) w i für i,, 3 existiert: Seite 7 von 8

8 Wenn v i 0, so muss auch w i 0 gelten. Wenn v αv, so muss gelten w αw. Wenn v 3 a v + a v span(v, v ), so muss gelten w 3 a w + a w. (b) Ist [v, v, v 3 ] eine Basis, so ist f(α v + α v + α 3 v 3 ) : α w + α w + α 3 w 3 die einzige lineare Abbildung, die die Bedingung f(v i ) w i für i,, 3 erfüllt. In Gleichung () von Aufgabenteil (a) haben wir gesehen, dass eine lineare Abbildung f : span(v, v, v 3 ) span(w, w, w 3 ) auf verschiedene Weisen auf ganz R 3 vorgesetzt werden kann, wenn v, v, v 3 nicht linear unabhängig sind. Insbesondere existiert genau dann eine eindeutige lineare Abbildung f : R 3 R 3 mit f(v i ) w i für i,, 3, wenn [v, v, v 3 ] eine Basis des R 3 ist. (c) Angenommen, so eine Abbildung existiert. Dann gilt f (w i ) v i für i,, 3. Da diese Abbildung eindeutig sein soll, können wir aus (b) folgern, dass [w, w, w 3 ] eine Basis sein muss. Nehmen wir nun an, dass [v, v, v 3 ] keine Basis sei, dass also diese Vektoren linear abhängig seien. Dann gibt es a, a, a 3 R 3 so, dass nicht alle gleichzeitig 0 sind und a v + a v + a 3 v 3 0. Das impliziert 0 f(a v + a v + a 3 v 3 ) a f(v ) + a f(v ) + a 3 f(v 3 ) a w + a w + a 3 w 3, was im Widerspruch dazu steht, dass [w, w, w 3 ] eine Basis ist. Also muss [v, v, v 3 ] ebenso eine Basis sein. Sind also [v, v, v 3 ] und [w, w, w 3 ] Basen, so definiert f (a w + a w + a 3 w 3 ) : a v + a v + a 3 v 3 die gewünschte eindeutige lineare Abbildung. Die Bedingung ist also, dass [v, v, v 3 ] und [w, w, w 3 ] Basen sein müssen. Seite 8 von 8