ist ein Quotient ganzer Zahlen m,n Z und n = 0. Dabei heißt m Zähler und n Nenner. Wegen m 1 = m ist Z eine Teilmenge von Q. Zwei Brüche sind gleich:

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1 Vorlesung 4 Zhlenbereiche 4.1 Rtionle Zhlen Wir hben gesehen, dss nicht jedes Eleent us Z ein ultipliktives Inverses besitzt. Dies führt zur Einführung der rtionlen Zhlen Q, obei der Buchstbe Q für Quotient steht. Eine rtionle Zhl n ist ein Quotient gnzer Zhlen,n Z und n = 0. Dbei heißt Zähler und n Nenner. Wegen 1 = ist Z eine Teilenge von Q. Zei Brüche sind gleich: Wir können Brüche ereitern: Wir können Brüche kürzen: b = b : b = b b = c bc c bc = b Addition von Brüchen it c Z {0}. it c Z {0}. Wenn zei Brüche den gleichen Nenner hben, so ist die Addition einfch: n + + := n n Flls zei Brüche keinen gleichen Nenner besitzen, dnn können ir die Brüche so eit ereitern, bis sie denselben Nenner hben: + b n = n+b n Es bietet sich n, ds kleinste geeinse Vielfche (kgv) von und n ls geeinsen Nenner zu ählen. Derrt bleiben Zähler und Nenner kleinstöglich. 23

2 Offenbr ist 0 = 0, = 0 ein neutrles Eleent bezüglich der Addition. Zu n gibt es ein dditives Inverses, nälich n. Denn: n + n = = 0 n n = 0 Soit können ir n = n schreiben. Dit ist (Q,+) eine belsche Gruppe. Vorsicht: Es gilt nicht 1 +b = b (siehe uch Übungsufgbe uf Bltt 4). Ebenso gilt nicht: b + b = b+b. Dies folgt sofort us Obige Multipliktion von Brüchen Dies ist einfch b c c := d b d it,b,c,d Z, b,d Z {0} Die Addition von Brüchen ist koplizierter ls ihre Multipliktion. (Q {0}, ) ist eine belsche Gruppe. Ds neutrle Eleent ist 1. Für einen Bruch n = 0 ist ds ultipliktive Inverse gegeben durch n. Soit ist (Q,+, ) ein Ring. Q ist sogr ein Körper, ber dzu später ehr. Für,b,c,d Z + (Z + enthält nur die positiven gnzen Zhlen) gilt ier: b + c d > +c b+d, lso b + c +c = d b+d. Diese Ungleichung ist leicht einzusehen, denn: b > b+d, und c d > c b+d. = b + c d > b+d + c b+d = +c b+d Definition Sei K eine Menge it zei Verknüpfungen (K,+, ) heißt Körper, enn (K1) (K, +) ist eine belsche Gruppe. + : K K K : K K K. (K2) (K {0}, ) ist eine belsche Gruppe. (K3) Es gelten die Distributivgesetze, d.h. (b+c) = b+c und(+b)c = c+bc für lle,b,c K. 24

3 Die Division zeier rtionler Zhlen ist definiert ls b : c d := b d c, lso die Multipliktion von b it de ultipliktiven Inversen von c d. ist i folgenden 2 b geeint und kein ge- Vorsicht: Mit der Bezeichnung 2 b ischter Bruch (vgl = ). 4.2 Dezilzhlen Jede rtionle Zhl lässt sich ls Bruch schreiben. Diese lässt sich in eine Dezilzhl undeln, letztere ist enteder endlich oder periodisch. Genuer: Stz Die rtionle Zhl z n it z,n Z in ihrer Drstellung ls Dezilzhl ist enteder bbrechend oder periodisch. Die Periode ist höchstens von der Länge n 1. Vor de Beeis erinnern ir noch einl n ds schriftliche Dividieren; ir betrchten 121 dividiert durch : 7 = 17, Beeis. Es gibt bezüglich der Division durch n insgest n Restklssen. Bei Verfhren des schriftlichen Dividierens koen ir zu Abschluss, flls die Restklsse 0 uftritt. Andernflls können höchstens n 1 Restklssen uftreten. Stz Jede bbrechende oder periodische Dezilzhl lässt sich ls geöhnlicher Bruch drstellen, ist lso eine rtionle Zhl. Aus den Sätzen und folgt 25

4 Stz Die rtionlen Zhlen sind genu die bbrechenden oder periodischen Dezilzhlen. Die Undlung einer bbrechenden Dezilzhl in einen Bruch ist einfch. Für die Uforung von einer periodischen Dezilzhl in einen Bruch benutzen ir die folgenden Beziehungen: 0,1 = 1 9, 0,01 = 1 99, 0,001 = Durch Multipliktion und Addition erhlten ir hierus für lle periodischen Dezilzhlen die entsprechende Bruchdrstellung, z.b. 0, 2: 0,1 = = 0,2 = 2 9 Insbesondere gilt: 1 = 9 9 = 0,9. Die Beziehungen ergeben sich us 10 1 od 9, od 99, od 999, us. Allgeein gilt: Es sei eine k-stellige Zhl deren Ziffern lle 9 seien. I Divisionsverfhren von 1 durch bedrf es nun k Schritte, u 10 k zu erreichen. 4.3 Aussgenlogik Es seien A und B Aussgen, z.b. A Es regnet. und B Die Erde ist nß. Eine Aussge ist enteder hr () oder flsch (f). Eine Ipliktion A B ist eine Schlussfolgerung: Wenn A gilt, so uss uch B gelten. I konkreten Beispiel hben ir lso: Wenn es regnet, so ird die Erde nß. Die Ipliktion A B ist selbst eine Aussge, die hr oder flsch sein knn. Wenn A B gilt, so uss nicht notendigereise uch die Rückrichtung B A gelten, z.b. A Ich rufe Dich n. und B Dein Telefon klingelt. Die Ipliktion A B ist hr: Wenn ich dich nrufe, dnn klingelt dein Telefon. Die Rückrichtung ist ber nicht ier hr: Wenn dein Telefon klingelt, dnn rufe ich dich n. ist nicht hr (es hätte jend nders nrufen können). Flls die Rückrichtung B A zusätzlich uch gilt, dnn sind beide Aussgen gleichertig bz. äquivlent, ir schreiben hierfür A B. Ein Beispiel hierfür hben ir bereits it der Quersuenregel gesehen: A Die Zhl ist durch 3 teilbr. B Die Quersue von ist durch 3 teilbr. 26

5 Wir hben in der letzten Vorlesung gezeigt, dss A B. Wir können eine Aussge A negieren. Für die Negtion von A schreiben ir A. Beispielseise hben ir A Es regnet. A Es regnet nicht. Wir können zei Aussgen A und B logisch verknüpfen. Wir schreiben A B (lies: A und B ), enn beide Aussgen gleichzeitig gelten sollen. Der Whrheitsert von A B hängt von A und B b veröge der folgenden Whrheitstfel A B A B f f f f f f f Wir schreiben A B (lies A oder B ), enn indestens eine der Aussgen gelten soll, lso erhlten ir A B A B f f f f f Für die Ipliktion A B hben ir folgende Whrheitstfel A B A B f f f f f Die letzen beiden Zeilen in der Whrheitstfel besgen lso, dss n unter flschen Vorussetzungen lles folgern knn (hre und flsche Aussgen). Eine ichtige Äquivlenz (Gesetz der Kontrposition) ist die folgende (A B) ( B A). Wir können diese ittels einer Whrheitstfel verifizieren. Ds Gesetz der Kontrpositon verenden ir bei indirekten Beeisen. Einen indirekten Beeis führen ir in folgender Sitution: Wir issen, dss A hr ist und die Ipliktion A B ist scher zu zeigen. Wenn A hr ist, dnn ist A flsch. Wir nehen nun n, dss B flsch ist, dnn uss B hr. Flls us B hr die Aussge A hr folgt, dnn hben ir einen Widerspruch, denn nch Vorussetzung A ist flsch! Dench r unsere Annhe, dss B flsch ist, flsch. Also uss B hr sein. Einen ersten indirekten Beeis führen ir i folgenden Abschnitt. 27

6 4.4 Reelle Zhlen Nch Einführung der rtionlen Zhlen könnte n einen, diese füllten die gnze Zhlengerde us. In beliebiger Nähe einer rtionlen Zhl liegen unendlich viele eitere rtionle Zhlen. Anders foruliert: zischen zei beliebigen rtionlen Zhlen findet n ier eine eitere rtionle Zhl. Dher gibt es uch (nders ls bei den gnzen Zhlen) zu den rtionlen Zhlen keine nächstkleinere oder nächstgrößere Zhl. Trotz der unendlich vielen rtionlen Zhlen gibt es kein x it x 2 = 2 und x Q. Dies ollen ir nun beeisen und zr ittels eines Beeises durch Widerspruch. Le x = 2 ist keine rtionle Zhl. Beeis. Angenoen, x ist eine rtionle Zhl. Dnn hben ir x = n it ggt(,n) = 1 (d.h. die Bruchdrstellung von x knn nicht eiter gekürzt erden). Drus folgt: x 2 = 2 n 2 = 2 2 = 2n 2 2n 2 ist gerde, drus folgt, dss uch 2 gerde sein uss. 2 knn nur gerde sein, enn gerde ist, dher = 2k für ein k Z. Drus folgt: (2k) 2 = 4k 2 = 2n 2 2k 2 = n 2 Soit ist uch n 2 eine gerde Zhl, dit ist n gerde. Hierus folgt: ggt(,n) 2 = 1. Widerspruch! Also ist 2 nicht rtionl. 2 ist irrtionl. D die rtionlen Zhlen genu die Zhlen sind, die eine bbrechende oder periodische Drstellung ls Dezilzhl hben, sind die irrtionlen Zhlen diejenigen, deren Dezildrstellung unendlich und nicht periodisch ist. Definition Die Menge der reellen Zhlen R ist die Vereinigung der rtionlen Zhlen it den irrtionlen Zhlen. Beerkung. (R, +, ) ist ein Körper. 28