Mathematik II für Maschinenbauer

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1 SS 20 Prof. Dr. Michael Dellnitz Dipl.-Math. Sebastian Hage-Packhäuser Dipl.-Math. Katrin Witting Mathematik II für Maschinenbauer Übungsblatt Hausübungen (Abgabe: Di, bis :00 Uhr) Aufgabe. (5 Punkte) Jemand verkauft zwei Büffel und fünf Hammel, und er kauft Schweine; dabei bleiben 000 Münzen übrig. Verkauft er drei Büffel und drei Schweine, so kann er genau neun Hammel kaufen. Verkauft er sechs Hammel und acht Schweine, so fehlen ihm noch 600 Münzen, um fünf Büffel kaufen zu können. Was kostet jeweils ein Büffel, ein Hammel, ein Schwein? (Es ist davon auszugehen, dass am Anfang kein Guthaben vorhanden ist.) Aus dem Aufgabentext ergibt sich das folgende Gleichungssystem: 2b + 5h s = 000 b 9h + s = 0 5b + 6h + 8s = 600, wobei die Variablen b, h und s Büffel, Hammel und Schweine bezeichnen. Dieses liefert das nachstehende Tableau, auf das wir das Gaußsche Eliminationsverfahren anwenden ( + )

2 Damit erreichen wir die gestaffelte Form und können durch Einsetzen von unten nach oben die Lösung berechnen. Aus der dritten Zeile des letzten Tableaus erhalten wir die Gleichung 8s = 2400, was äquivalent zu s = 00. Durch Einsetzen dieses Wertes für s in die durch die zweite Zeile des Tableaus bestimmten Gleichung, berechnet man h = 9 ( ) = 500. Schließlich bestimmen wir aus der der ersten Tableauzeile entsprechenden Gleichung b = = 200. Damit bestimmt sich der Preis für einen Büffel zu 200 Taler, ein Hammel kostet 500 Taler und ein Schwein 00 Taler. Aufgabe.2 ( Punkte) Seien E, E 2 und E drei Ebenen im R. (a) Die Ebene E sei festgelegt durch die drei Punkte A = ( 4, 0, ), B = (,, ) und C = (4,, ). Bestimmen Sie die Hessesche Normalform von E. (b) Seien die Ebenen E 2 und E gegeben durch die Gleichungen x + y + 2z = 9 und x + 6y 5z = 0. Berechnen Sie die Schnittmenge S = E E 2 E. (c) Diskutieren Sie die acht möglichen Schnittszenarien dreier Ebenen im R qualitativ. Fertigen Sie dazu jeweils eine Skizze an, die Sie anschließend kurz erläutern. Welcher Fall liegt in (b) vor? (a) Wir berechnen zunächst einen Normalenvektor der durch die drei gegebenen Punkte bestimmten Ebene E : n = ( 0B 0A) ( 0C 0A) = 8 = Damit ist z.b. n 0A = =, womit wir die Gleichung n (x, y, z) T = erhalten. Nun ist n = = 26 = 29 und Normieren liefert die Hessesche Normalform x y z = 29. Alternativ kann der Normalenvektor n = (n x, n y, n z ) T durch Lösen des linearen Gleichungssystems n 0A = ρ n 0B = ρ n 0C = ρ bzw. bestimmt werden. 4n x n z = ρ n x + n y n z = ρ 4n x n y + n z = ρ 2

3 (b) Durch Multiplikation der Hesseschen Normalform mit dem Faktor 29 erhalten wir die allgemeine Ebenengleichung 2x + 4y z =. Zusammen mit den beiden im Aufgabentext gegebenen Gleichungen ergibt sich das folgende lineare Gleichungssystem x + y + 2z = 9 x + 6y 5z = 0 2x + 4y z = dessen Lösungsmenge gleich der Schnittmenge S = E E 2 E ist und das wir kurzerhand per Gaußschem Eliminationsverfahren in gestaffelte Form überführen: ( ) Dies liefert direkt z = und nach Einsetzen in die zweite Gleichung y = ( 27 + ) = 2. Schlußendlich führt dies auf x = =. Wir erfreuen uns an eindeutiger Lösbarkeit und erhalten die gesuchte Schnittmenge S als S = 2. (c) Die folgende Skizze versammelt alle möglichen Fälle, was den Schnitt dreier Ebenen im R anbelangt.

4 Aufgabe. ( Punkte) Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem mithilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens: x + x 2 + x + x 4 = 4 2x + x 2 4x + 5x 4 = 20 x 2x 2 5x + 2x 4 = 4 5x + 4x 2 2x 5x 4 = 25. Man erhält das folgende Tableau und wendet das Gaußsche Eliminationsverfahren an: ( ) ( 5) Das Vertauschen der dritten und vierten Spalte führt auf die gewünschte gestaffelte Form und die Gleichungen x + x 2 + x + x 4 = 4 () x 2 6x + x 4 = 8 (2) 8x + 4x 4 = 86 () 64x = 92 (4) Aus Gleichung (4) erhält man x =. Setzt man dieses in Gleichung () ein, so liefert dies x 4 = 28 4 (4 86) = 4 = 2. Aus Gleichung (2) folgt dann x 2 = = 4. Schließlich führt Gleichung () auf x = = 5. Damit ist das lineare Gleichungssystem eindeutig lösbar, und die Lösungsmenge L ist gegeben durch L = { (5, 4,, 2) } T. 4

5 Aufgabe.4 (5 Punkte) Gegeben sei das lineare Gleichungssystem x 2x = 2x x 2 + ax = 0 x + x 2 + x = b, welches von zwei reellen Parametern a und b abhängt. Überführen Sie das System mithilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens in eine geeignete Form und geben Sie alle Werte von a und b an, für die dieses Gleichungssystem. genau eine Lösung 2. keine Lösung. unendlich viele Lösungen besitzt. Wir überführen das Gleichungssystem in die bekannte Tableauform und lösen es mittels Gaußschen Eliminationsverfahrens: a 0 b a b a b 0 + b b a b Wir erreichen so die gestaffelte Form und sind gezwungen, eine Fallunterscheidung durchzuführen.. Fall: a, b R. Das ist der gutmütigste Fall, da man das System durch Rückwärtseinsetzen lösen kann und genau eine Lösung erhält (die natürlich von a und b abhängt). Man findet zunächst x (a, b) = b + a und berechnet durch Einsetzen in die nächste Gleichung x 2 (a, b) = + b + b a + 4b + ab + 6 = + a + a 5

6 sowie schließlich x (a, b) = + 2 b + a a + 2b + =. + a Daraus läßt sich die von a und b abhängige Lösungsmenge L(a, b) bestimmen zu a + 2b + L(a, b) = a + 4b + ab a. b 2. Fall: a =, b. In diesem Fall ist + a = 0, aber b 0, womit man aus obigem Tableau den Widerspruch 0 = b 0 erhält. Das Gleichungssystem ist also nicht lösbar.. Fall: a =, b =. Jetzt wird die Gleichung ( + a)x = b wegen + a = 0 und b = 0 zur Tautologie 0 = 0, was wiederum bedeutet, daß das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. 6