Das Reiskornproblem. Modellierungen in der Sek I. Ingrid Guggenberger TU Wien

Transkript

1 Das Reiskornproblem Modellierungen in der Sek I Ingrid Guggenberger TU Wien

2 Reiskornproblem Der Erfinder des Schachbretts hatte einen Wunsch frei. Er wünschte sich Reis: 1 Korn für das 1. Feld, doppelt so viel für das 2. Feld, davon doppelt so viel für das nächste Feld, usw. Wenn es viel Reis ist, wie lang wäre der Güterzug, um diesen Reis zu transportieren zu können?

3 Mögliche Teilfragen Wie viele Reiskörner sind auf dem 64. Feld? Wie viele Körner sind auf dem gesamten Brett? Wie viele Körner sind in einem Kilogramm Reis? Wie groß ist das Reisvolumen? (Modellierung) Wie großist ein Güterzug-Waggon? Wie viel fasst ein Waggon? (Modellierung) Wie lange ist der Zug mit all dem Reis?

4 Bearbeitungen von Schüler/innen

5 Anzahl der Körner auf den Feldern Rubina stellt ihre Vorgangsweise übersichtlich dar und verwendet Excel zur Berechnung. Es fehlt eine Reflexion der Lösung.

6 Schritt für Schritt

7 Anzahl der Körner auf dem Brett Nicki erkennt durch Betrachten der Anfangswerte und mehrmaliges Überprüfen, dass für die Summe gilt: S = 2^n -1

8 Reiskorn als Quader Julian und Mariya modellieren das Volumen eines Reiskorns mit Hilfe eines Quaders. Sie stellen ihren Lösungsweg klar dar.

9 2 Varianten Julian berechnet 2 Varianten Variante 1: 2/3 des Quadervolumens Variante 2: ¾des Quadervolumens

10 Wie viele Waggons? Die Maße des Waggons werden geschätzt. Sein Fassungsvermögen berechnet. Das Volumen eines Reiskorns wird mit der Anzahl der Körner multipliziert, die Maßeinheiten verwandelt.

11 Thematische Anknüpfungspunkte Gleitkomma -Darstellung Tabellenkalkulation Potenzen Exponentielles Wachstum Summe geometrischer Reihen

12 Methoden Ich-Du-Wir (Startphase) Frontalunterricht (Gleitkomma am TR) Gruppenarbeit (gemeinsam, arbeitsteilig) Hausübung (über eine Woche) Präsentationen Diskussion

13 Hierarchie der Hilfen bei Modellierungen (Zech) Prinzip der minimalen Hilfe Motivationshilfen Du wirst es schon schaffen! Rückmeldungshilfen Du bist auf dem richtigen Weg! Da musst du nochmals nachrechnen. Allgemein- strategische Hilfen Mache dir eine Skizze. Welche Daten benötigst du, wie kannst du sie erhalten? Versuche, die Daten in einen Zusammenhang zu bringen

14 Eigenständigkeit durch minimale Hilfe Inhaltsorientierte strategische Hilfen Welche Werte fehlen dir? Versuche, Angaben dafür zu schätzen. Welche Bedeutung hat dieser Wert für das Lösen der Aufgabe? Überlege dir, ob dieses Ergebnis bezogen auf das Ausgangsproblem sinnvoll ist. Inhaltliche Hilfen Stelle einen Zusammenhang zwischen diesen beiden Werten her. Wird sinken, gleichbleiben, oder steigen? Berücksichtige auch, dass

15 Vereinfachte Kreislaufdarstellung (Katja Maaß, 2007, S. 30)

16 Wozu Modellieren? Enge und einseitige Vorstellungen von Mathematik korrigieren Fehlende Alltagskompetenzen erlangen Kreatives und vernetztes Denken anregen Argumentieren und Präsentieren lassen Motivation beleben Alltagsaufgaben mit Hilfe der Mathematik erfolgreich meistern I think modeling is quite cool because you learn a lot and it is not traditional math work. (Chris)

17 Schwierigkeiten beim Modellieren Schwierigkeiten bei der Vereinfachung bzw. Strukturierung der Realität Vielfach fehlt die Interpretation und die Validierung der Lösung. Tendenz zu sehr kurzen Antworten und fehlende Dokumentation der Schritte. Schwierigkeiten, die Genauigkeit eines Ergebnisses einzuschätzen. Statt zu modellieren werden Teilergebnisse im Internet gefunden.

18 Schülerrückmeldungen Modellierungen sind interessant, weil man Dinge aus dem Alltag berechnet und herausfindet. Modellierungen machen viel Arbeit. Modellierungen verunsichern, weil unterschiedliche Ergebnisse und Wege möglich sind. Die Themen müssen unterschiedliche Wege und Lösungen zulassen, um spannend zu sein.

19 Realitätsbezüge im Mathematikunterricht Einkleidungen mathematischer Problemein die Sprache des Alltags Veranschaulichungen mathematischer Begriffe, wie z.b. die Verwendung von Schulden oder Temperaturen bei der Einführung negativer Zahlen. Anwendung mathematischer Standardverfahren, d.h. Anwendung bekannter Algorithmen zur Lösung realer Probleme, z.b. des Modellbildungen, d.h. komplexe Problemlöseprozesse, basierend auf einer Modellauffassung des Verhältnisses von Realität und Mathematik.

20 Prozessorientierte Beliefs In Mathematik muss man Viel nachdenken und ausprobieren Selbst Lösungswege suchen Probleme lösen Ideen zum Lösen von Aufgaben haben Viel begründen Verschiedene Lösungswege finden

21 Schemaorientierte Beliefs Man muss zum Lösen von Mathematikaufgaben Regeln lernen und anwenden. Es gibt immer nur einen Lösungsweg. Man muss zum Lösen von Mathematikaufgaben das Lösungsverfahren kennen. Die Lehrperson muss das Lösungsverfahren erklären. In der Mathematik muss man viel üben. In Mathematik ist eine zügige Wissensvermittlung wichtig.

22 Formalismusorientierte Beliefs Zur Lösung von Mathematikaufgaben müssen exakte Verfahren eingesetzt werden. Eine Mathematikaufgabe muss ein genaues Ergebnis haben. Eine Mathematikaufgabe muss ein eindeutiges Ergebnis haben. Mathematik ist eine logische Wissenschaft. Nach GRIGUTSCH, siehe Maaß, 2003, S. 156f

23 Leistungsbeurteilung Die Kriterien sind vorgegeben und gewichtet. Modellbildung 20% Mathematische Lösung 30% Interpretation der Lösung 10% Kritische Reflexion 10% Gliederung 20% und Form 10% Modellierungen gehen mit 10% in die Gesamtbeurteilung.

24 Weitere Themen vorher-nachher 2. Klasse Wie groß ist die Fläche des Blattes? Wie viele Blätter sind auf dem Baum? Wie kommt man am besten von Graz nach Lyon? Wie lange geht man von Graz nach St. Veit/Glan? Was kostet es? 4. Klasse Wie lange sind die Kopfhaare der gesamten 4b? Klassen-Kosten für die Küchenrollen zum Händetrocknen im Winter Wie viel Wasser und Geld kann man sich ersparen, wenn beim Zähneputzen nicht das Wasser rinnt?

25 Offene Aufgaben Fermi-Aufgaben Medien Alltag Schulbuchaufgaben öffnen (kurzschrittige Anweisungen weglassen) Aufgaben zu früh geben

26 Danke für Ihre Aufmerksamkeit!