Mathematik I. J. Hellmich

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1 Matematik I J. Hellmic Stuttgart Sommer 008

2 Autor: Dr. Jürgen Hellmic 7070 Tübingen Matematik I c Jürgen Hellmic Alle Recte vorbealten, auc die der fotomecaniscen Wiedergabe und der Speicerung in elektroniscen Medien. Der Hörerscaft der Vorlesung Matematik I (EDV-Nr.: 0) an der Hocscule der Medien Stuttgart, im Sommersemester 008, ist die elektronisce Speicerung und die fotomecanisce Wiedergabe nur zur Begleitung der Vorlesung gestattet. Stand:

3 Inaltsverzeicnis I Differentialrecnung I. Der Funktionsbegriff I.. Erste Annäerung I.. Formalisierung I..3 Zweite Annäerung I..4 Übersictlickeit I..5 Operationen mit Funktionen I..6 Einface Verkettungen I. Eine kleine Funktionssammlung I.. Geraden I.. Parabeln I..3 Parabeln dritter Ordnung I..4 Hyperbel I..5 Trigonometrisce Funktionen I..6 Die Additionssätze der trigonometriscen Funktionen I..7 Zwei wictige Grenzwerte I..8 Erinnerung an das Bogenmaß I..9 Die e-funktion I.3 Die Ableitung I.3. Das Tangentenproblem I.3. Vom Differenzenquotient zur Ableitung I.3.3 Notation I.3.4 Die Ableitung einer Geraden f() = m + c I.3.5 Die Ableitung der Parabel f() = I.3.6 Die Ableitung der Parabel dritter Ordnung f() = I.3.7 Der allgemeine Fall f() = n, n N I.3.8 Die Ableitung der Hyperbel f() = I.3.9 Die Ableitung der Wurzel f() = I.3.0 Die Ableitung der trigonometriscen Funktionen I.3. Die Ableitung der e-funktion I.4 Die Ableitungsregeln I.4. Faktorregel I.4. Summenregel I.4.3 Produktregel I.4.4 Quotientenregel I.4.5 Kettenregel i

4 ii Inaltsverzeicnis I.5 Kurvendiskussion I.5. Markante Punkte einer Funktion I.5. Kurvendiskussion: Die einzelnen Scritte I.5.3 f() = 0 ( ) I.5.4 f() = 40 ( ) I.5.5 g() = I.5.6 f() = () = I.5.7 I.6 Umkerfunktionen I.6. Bedingungen für die Eistenz von f I.6. Ableitung der Umkerfunktion I.6.3 Die ln-funktion I.6.4 Die Arcus-Funktionen I.6.5 Die Ableitung von f() = n, n R I.6.6 Die Umkerung der Hyperbelfunktionen I.7 Etremwertaufgaben I.7. Zylinder I.7. Ein zusammengesetzter Körper I.7.3 Prisma II Integralrecnung 5 II. Das Fläcenproblem II.. Fläceninalte geometriscer Figuren II.. Die Fläce unter einer Kurve II..3 Stammfunktionen II..4 Fläcenberecnung mittels Stammfunktionen II. Integrationstecniken II.. Die Produktiontegration II.. Die Substitutionsmetode II..3 Die Logaritmus-Regel II.3 Anwendungen II.3. Taylor-Entwicklung II.3. Das Volumen eines Rotationskörpers II.3.3 Die Länge einer Kurve J. Hellmic

5 I Differentialrecnung I. Der Funktionsbegriff I.. Erste Annäerung Eine reelle Funktion ist durc eine Vorscrift gegeben, nac der Zalen aus R auf eindeutige Weise wiederum Zalen aus R zugeordnet werden. B Verbale Bescreibung einer Vorscrift: Ordne einer Zal ir Quadrat zu. Ziee aus einer gegebenen Zal die Quadratwurzel. Bilde aus einer Zal iren Kerwert. Quadriere eine gegebene Zal, addiere 3 und teile das Ergebnis durc die Zal.. Der Nacteil einer verbalen Funktionsbescreibung liegt offensictlic in irer Scwerfälligkeit und Unübersictlickeit, wie das letzte Beispiel zeigt. I.. Formalisierung der Funktionsbescreibung: Verbale Bescreibung: gegebene Zal beliebige Zal jeder Zal. Formalisierung: R (t, u,... R) quadriere ziee Wurzel u bilde den Kerwert t.. Funktionsname f (g,, k,...) Funktionswert f() (g(t), (u), k(),...) zuordnen Funktion f : f() f() =...

6 I Differentialrecnung B f :, oder f() =. g : u u, oder g(u) = u. : t t, oder (t) = t. k : + 3, oder k() = + 3. Damit können wir nun beliebige Funktionen bilden, einfac dadurc, daß wir die Vorscrift zur Berecnung des Funktionswertes durc eine Formel angeben, die mit Hilfe der Variablen (oder t, u,...) ausgedrückt wird. B f() = 3 + 8, g(t) = sin(t ), (u) = eu e u e u + e u,... Funktionswerte f() zu konkreten Variablenwerten eralten wir durc Ersetzen von durc eben diese Werte: B f() = : = 0: f(0) = =, = : f() = = 0, = : f( ) = = 0, = : f( ) = = 3, get nict! 0 Problem: Nict immer dürfen alle -Werte aus R eingesetzt werden. B f() = 3 + 8,, g() =, 0, k() =, 0. Diese Beispiele zeigen, daß zur vollständigen Bescreibung einer Funktion noc die Angabe des Bereics zulässiger -Werte geört. I..3 Zweite Annäerung Eine reelle Funktion f ist durc eine Vorscrift f() gegeben, nac der Zalen aus einer Teilmenge D f von R auf eindeutige Weise Zalen f() aus R zugeordnet werden. D f ist der Definitionsbereic der Funktion f. Unter W f versteen wir den Wertebereic, d.., die Menge aller möglicen Zalen, die als Funktionswerte von f vorkommen. Wir verwenden die Screibweise f : f(), D f, wobei f() meist durc einen konkreten Formelausdruck in der Variablen angegeben ist, oder wir geben die Vorscrift f() einfac an: f() =..., D f J. Hellmic

7 I. Der Funktionsbegriff 3 B f :, R, oder f() =, D f = R. g :, D g = R +, oder g() =, 0. :, 0, oder () =, R\{0}. In diesen Beispielen wurde der maimale Definitionsbereic angegeben (inter der Funktionsvorscrift als Bedingung an die Variable ), d.., der maimal möglice Bereic von Zalen R, für die die Vorscriften f(), g(),... noc anwendbar sind. D f muß aber durcaus nict der maimale Definitionsbereic einer Funktion sein. Es kann mitunter sinnvoll sein, den Definitionsbereic als Teilmenge des maimal möglicen zu wälen. So ist f() = natürlic für alle R sinnvoll ausfürbar. Durc Einscränkung dieser Vorscrift auf R + eralten wir eine andere Funktion k() =, R +. Diese ist, im Gegensatz zu f, umkerbar, d.., die Gleicung y = k() läßt sic durc = y eindeutig nac auflösen, wärend y = f() normalerweise zwei Lösungen / = ± y besitzt. An diesem Beispiel wird deutlic, daß eine Abänderung des Definitionsbereics normalerweise auc tatsäclic qualitative Untersciede der beteiligten Funktionen nac sic ziet. Merke: Zu einer Funktion f geört neben der Angabe der Vorscrift f(), nac der aus der Variablen der Funktionswert f() zu bilden ist, immer auc der Definitionsbereic D f, der den Zalenbereic der zulässigen -Werte bescreibt. Wenn bei der Definition einer Funktion der Definitionsbereic nict eplizit angegeben wurde (was mitunter bequem ist, wenn die zulässigen -Werte offensictlic sind und keine Einscränkung auf einen kleineren Bereic gewünsct ist), dann ist immer der maimal möglice Definitionsbereic zu nemen. I..4 Übersictlickeit Die Formalisierung des Funktionsbegriffs gibt uns ein leistungsfäiges Werkzeug zur Konstruktion vielfältiger Funktionen an die Hand. Wie stet es aber mit der Übersict über den Verlauf solcer Funktionen? D.., was mact eine gegebene Funktion eigentlic genau? Wo genau liefert sie z.b. positive Werte (eventuell wictig, wenn sie eine Kostenentwicklung oder eine Gewinnerwartung bescreibt), wo wäcst sie und wie stark (z.b. das Wacstumsveralten der Weltbevölkerung), nimmt sie ire größten oder ire kleinsten Werte an und wenn ja, wo...? Eine erste Metode, sic einen Überblick über den Funktionsverlauf zu verscaffen, kann darin besteen, einfac eine Wertetabelle anzulegen: B g() = f() = Wärend im ersten Beispiel tatsäclic ein gewisser Überblick über den Funktionsverlauf gewonnen wird, ist das beim zweiten Beispiel nict mer der Fall. Auc das Hinzufü- J. Hellmic

8 4 I Differentialrecnung gen weiterer -Werte löst das Problem nict wirklic: Man muß scon etwas mer über die Funktion wissen, um die rictigen Stellen zu finden, an denen sie mit einem feineren -Raster ausgewertet werden muß (bei f andelt es sic um das Veralten in einer Umgebung von 0 und um das Veralten für ± ). -Werte, an denen eine Funktion einen maimalen oder einen minimalen Wert annimmt, lassen sic in einer Wertetabelle normalerweise nur ungefär erkennen. Ein erster Scritt, um diese Scwierigkeiten zu überwinden, bestet darin, y den Funktionsverlauf grapisc in einem rectwinkligen Koordina- tensystem in der Ebene R darzustellen. Dabei tragen wir die -Werte auf der waagrecten Acse der -Acse, die zugeörigen Funktionswerte f() senkrect darüber oder darunter auf, je nacdem, ob f() positiv, oder negativ ist. Wenn dann den Definitionsbereic D f durcläuft, wandern die Punkte ( f()) in der Ebene R auf einer Linie, die f den sog. Grapen der Funktion f wiedergibt. Wir füren für in keine neue Notation ein (was streng genommen nötig wäre), sondern bezeicnen in mit demselben Symbol f wie die Funktion selbst. P( f()) f() f() Diese grapisce Darstellung können wir als eine Art kontinuierlice Wertetabelle anseen, weil wir ja eigentlic für alle zulässigen -Werte die zugeörigen Funktionswerte auftragen und nict nur für einige wenige Stützstellen, wie z.b. bei den Wertetabellen obigen Beispiels. Praktisc bestimmen wir allerdings ebenfalls nur einige wenige Kurvenpunkte und verbinden sie, im Vertrauen darauf, daß die Funktion genügend glatt ist, durc eine Linie one Knicke, die den Kurvenverlauf möglicst gut zu erraten versuct. Die Differenzierbarkeit einer Funktion, Abbildung I. Funktionen grapisc darstellen die wir in Abscnitt I.3 kennenlernen werden, liefert normalerweise eine gute Gewär dafür, daß eine Funktion ausreicend glatt ist, um nac dem gescilderten grapiscen Verfaren veranscaulict werden zu können. Das bedeutet aber nict, daß damit immer auc scon ein vollständiges Verständnis einer Funktion erlangt werden kann. Man muß eine Funktion normalerweise noc sorgfältig untersucen, um etwa lokale Maima oder Minima, Wendepunkte etc. aufzufinden. Die Differentialrecnung wird uns dafür ein leistungsfäiges Werkzeug an die Hand geben. I..5 Operationen mit Funktionen Aus Funktionen f, g,,... lassen sic neue Funktionen gewinnen. Uns steen dafür im wesentlicen dieselben Grundrecenarten zur Verfügung, wie für gewönlice Zalen. Die Summe f+g zweier Funktionen f und g definieren wir dabei einfac durc die Vorscrift, daß der Funktionswert (f + g)() der Summe als Summe f()+g() der Funktionswerte f() und g() zu bilden ist. Genauso verfaren wir bei Subtraktion, Multiplikation und Division. Darüberinaus können wir zwei Funktionen f und g ineinander einsetzen verketten, d.., der Funktionswert g() wird der Funktion f als Argument zugewiesen: f(g()) vorausgesetzt, g() liegt im Definitionsbereic D f von f. Im einzelnen gilt für die -Werte, die sowol in D f als auc in D g, die also im sog. Durcscnitt D f D g von D f und D g liegen, bzw., bei der Verkettung, für die g() D f J. Hellmic

9 I. Der Funktionsbegriff 5 gilt: Addition (f + g)() = f() + g() Division ( f g) () = f() g() Subtraktion (f g)() = f() g() Potenzierung f a () = (f()) a Multiplikation (f g)() = f() g() (t g)() = t g(), t R Verkettung (f g)() = f (g()) B Verkettung, oder Hintereinanderausfürung f g zweier Funktionen f und g: f() = 3, D f = R, g() =, D g = R, W f = [, ) (überprüfen!) Dann ist (f g)() = f(g()) = f( ) = ( ) 3 und D f g = R. f() = 3, D f = R\{0}, g() = 4, D g = R, W g = [ 4, ) ist nict vollständig in D f entalten, denn die Zal 0 liegt in W g, die für f verboten ist. 0 wird von g() an den beiden Stellen und angenommen. Also ist D f g = R\{, } und (f g)() = f( 4) = ( 4) 3. f() =, D f = R + 0, g() =, D g = R, W g = [, ). Es muß g() 0 gelten, damit g() in f eingesetzt werden kann. Das ist für oder für der Fall (nacprüfen!), d.., für (, ] oder für [, ). Also ist der Definitionsbereic D f g von f g durc die Vereinigung (, ] [, ) dieser beiden Intervalle gegeben. (f g)() =? J. Hellmic

10 6 I Differentialrecnung I..6 Einface Verkettungen Eine Versciebung einer Funktion f in -Rictung eralten wir, wenn wir sie mit der Funktion g() = + a verketten: () = f( + a). () f(+a) f Für a > 0 wird die Funktion f um a Eineiten nac links gescoben, denn der Funktionswert () an der Stelle wird mit der Vorscrift f an der a Eineiten weiter rects liegenden Stelle + a gebildet. Auf diese Weise wandern alle Funktionswerte von f um a Eineiten nac links. +a Für a < 0 wird die Funktion f nac rects gescoben. Abbildung I. Versciebung in -Rictung: () = f( + a), a > 0 () f a Abbildung I.3 Staucung in -Rictung: () = f(a), a > Eine Staucung einer Funktion f in -Rictung eralten wir, wenn wir sie mit der Funktion g() = a verketten: () = f(a). Für a > wird die Funktion f auf engerem Raum zusammengedrängt, denn der Funktionswert () an der Stelle wird mit der Vorscrift f an der a-fac soweit entfernten Stelle a gebildet. Auf diese Weise wandern weiter außen liegende Funktionswerte von f näer an den Ursprung eran. Für a < wird die Funktion f auf einen weiteren Raum gestreckt, denn der Funktionswert () an der Stelle wird mit der Vorscrift f an der weiter innen liegenden Stelle a gebildet J. Hellmic

11 I. Eine kleine Funktionssammlung 7 I. Eine kleine Funktionssammlung I.. Geraden f() = m + c y f(0) = c ist der y-acsenabscnitt des Scnittpunktes von f mit der y-acse. f( + ) f() = m( + ) + c (m + c) = m + m + c m c = m c m + f()=m+c f(+) f() + D.., m ist der Zuwacs der Gerade in y-rictung, wenn in -Rictung eine Eineit fortgescritten wird. m mißt also die Steileit von f: Großes m bedeutet einen großen y-zuwacs, kleines m einen kleinen Zuwacs bei gleicem Fortscritt in -Rictung. Negatives m bedeutet, daß die Gerade fällt (z.b. g ) und m = 0 gilt für waagrecte Geraden (z.b. ). m eißt daer Steigung der Gerade f. Sie läßt sic aufgrund des Stralensatzes aus jedem sog. Steigungsdreieck als Verältnis von y-zuwacs f( + ) f() zum -Zuwacs ( + ) = bestimmen: = y ()=4 g()= 3 + f()= f( + ) f() = ( ) m + m + c m c = m = m Abbildung I.4 (a) Gerade mit Steigungsdreiecken (b) Beispiele Die senkrecten Geraden sind die einzigen, denen im, y-koordinatensystem keine Steigung zugeordnet werden kann. Sie aben die Gleicung = d. So meint z.b. = die Menge aller Punkte (, y) mit beliebigen y R, also die Parallele zur y-acse, die die -Acse an der Stelle scneidet. J. Hellmic

12 8 I Differentialrecnung I.. Parabeln f() = a + b + c Eine Parabel ist spiegelsymmetrisc zu irem Sceitelpunkt S. Die Nullstellenbestimmung fürt auf die quadratisce Gleicung: a +b+c = 0. Wir lösen sie durc quadratisce Ergänzung: Dazu ergänzen wir die linke Seite von y ()= b a = c a f()= zu einem Binomen ( + p) = + p + p : S g()= ( )( 5) + b a + p + p ( b a + b a + = c a ) = b 4a c a, Abbildung I.5 Parabeln also ( + b ) = b 4ac. a 4a Falls die recte Seite größer oder gleic Null ist, eralten wir daraus durc Wurzelzieen / + b a = ± b 4ac = ± b 4ac 4a a (beacte: a = a!). Da sic a von a allenfalls durc das Vorzeicen untersceidet, können wir auf der recten Seite im Nenner a screiben und ein eventuell vorandenes Vorzeicen mit dem ± des Zälers verrecnen. Auf diese Weise eralten wir die bekannte Lösungsformel für quadratisce Gleicungen (die sog. Mitternactsformel): / = b ± b 4ac a (I.) J. Hellmic

13 I. Eine kleine Funktionssammlung 9 I..3 Parabeln dritter Ordnung f() = a 3 + b + c + d y Die Nullstellenbestimmung stellt normalerweise ein Problem dar. Es gibt zwar eine Auflösungsformel (die sog. Cardanisce Formel), doc ist sie für unsere Zwecke zu kompliziert anzuwenden (vor allem, weil man für iren Gebrauc etwas von kompleen Zalen versteen sollte). Allerdings gibt es eine Situation, in der wir mit unseren Mitteln alle Nullstellen bestimmen können. Immer dann, wenn wir eine Nullstelle bereits kennen, z.b. indem wir sie geraten aben (was leider nict immer geen muß), läßt sic das Problem durc Polynomdivision von f mit ( ) auf eine quadratisce Gleicung zurückfüren. Um ganzzalige Nullstellen zu raten (und etwas anderes wird man normalerweise gar nict erst versucen), gibt es eine wictige Regel: Falls die Koeffizienten a, b, c und d in der Gleicung a 3 + b +c+d = 0 alle ganzzalig sind, muß eine ganzzalige Lösung immer ein Teiler von d sein. Das läßt sic leict folgendermaßen einseen: Aus a 3 + b + c f( 5)=0 f( 3)= 3 5 f( )= 6 5 f(0)= f()=0 f(3)= 3 5 f()= 5 (+5)( ) Abbildung I.6 Kubisce Parabel + d = 0, also d = (a + b + c) folgt, daß d das Produkt aus der (laut Anname) ganzen Zal und dem Ausdruck a + b + c ist. Letzterer ist aber, da er durc Multiplikation und Addition ganzer Zalen entstet, ebenfalls ganzzalig. Also liefert d eine ganze Zal (nämlic (a + b + c)). Offensictlic ängen diese Überlungen nict davon ab, daß es sic um eine Gleicung dritten Grades andelt. Die Regel läßt sic natürlic auc für Gleicungen vierten, fünften und öeren Grades aussprecen. Praktisc bedeutet das, wenn die bescriebenen Voraussetzungen für die Gleicung f() = 0 (eventuell nac Multiplikation mit einem geeigneten Faktor) erfüllt sind, daß wir nur die möglicen Teiler von d zu bestimmen und in f() einzusetzen aben. Liefert einer den Wert Null, dann aben wir eine Nullstelle gefunden, andernfalls gibt es keine ganzzalige Nullstelle. f B Wir betracten f() = Die Nullstellen müssen wir aus = 0 bestimmen. Um unsere Rate-Voraussetzungen zu erfüllen, müssen wir diese Gleicung in eine äquivalente Gleicung mit ganzzaligen Koeffizienten überfüren, was ier leict durc Multiplikation mit 5 zu bewerkstelligen ist: = 0. (I.) J. Hellmic

14 0 I Differentialrecnung Möglice Teiler von 5 sind ± und ±5 (denn 5 ist ja eine Primzal). Durc Einsetzen siet man scnell, daß = eine Lösung darstellt. Die Polynomdivision von mit stellt eine Metode dar, um als Faktor aus auszuklammern muß sic also als Produkt aus einem quadratiscen Term p() und ( ) screiben lassen: oder = p() ( ), ( ) : ( ) = p(). Erster Scritt: Bestimme den Ausdruck, mit dem der fürende Term (d.., der mit der öcsten Potenz) des Teilers ( ) multipliziert werden muß, um im Ergebnis denselben fürenden Term 3 wie in zu eralten. Offensictlic ist das. Nun wird mit multipliziert und von abgezogen. Dabei fällt natürlic 3 weg (denn so aben wir es ja gerade eingerictet!): ( ) : ( ) = ( 3 ) Zweiter Scritt: Wir verfaren wie beim ersten Scritt, nun aber mit dem Ausdruck Wir müssen ( ) mit 4 multiplizieren, um den fürenden Term 4 zu reproduzieren. Im dritten und letzten Scritt ist der Faktor 5: ( ) : ( ) = ( 3 ) (4 4) ( 5 + 5) 0 Als Ergebnis eralten wir p() = +4 5, also = ( +4 5)( ). Statt (I.) können wir nun ( + 4 5)( ) = 0 setzen. Um die weiteren Nullstellen zu gewinnen, von denen es noc maimal zwei geben kann (aber nict muß), braucen wir nun nur noc die quadratisce Gleicung = J. Hellmic

15 I. Eine kleine Funktionssammlung zu lösen. Die Mitternactsformel (I.) liefert = = und 3 = 5. = ist eine sog. doppelte Nullstelle. Damit at es folgende Bewandtnis: Die beiden Faktoren ( ) und ( + 5) müssen one Rest teilen genau wie oben mit der kubiscen Gleicung bescrieben. Nac Division von mit ( ) kann die öcste Potenz des Ergebnisses nur noc sein und nac anscließender Division mit ( + 5) nur noc 0, d.., das Divisionsergebnis bestet nur noc aus einer Zal s. Somit muß = s( )( + 5) gelten. Offensictlic ist s = (ausmultiplizieren). Wir eralten = (+5)( )( ) = (+5)( ). Die linke Seite ist nac (I.) 5 f(), so daß wir jetzt bei der Darstellung f() = ( + 5)( ) 5 für f angelangt sind. Nun seen wir leict, was damit gemeint ist, daß es sic bei = um eine doppelte Nullstelle andelt: Der Faktor ( ) tauct im Gegensatz zum Faktor ( + 5) quadratisc auf. Das at zur Folge, daß f bei = eine Nullstelle one Vorzeicenwecsel besitzt (bei = 5 findet dagegen ein Vorzeicenwecsel von nac + statt). Eine doppelte Nullstelle ist dadurc gekennzeicnet, daß der Faktor ( ) quadratisc in f auftritt. I..4 Hyperbel f() =, D f = R\{0} y In der Definitionslücke = 0 at f eine senkrecte Asymptote, nämlic die y-acse. Das können wir leict einseen, wenn wir Zalen einsetzen, die ser nae bei 0 liegen: f()= f( ) = f( 00 ) = 00 =, f( 4 ) = 4 = 4, f( 0 ) = 0 = 00, f( 000 ) = 000 = 0, = 000,... Auf der kleinen Strecke zwiscen 0 und ergeben sic, indem wir uns mit der Zal 0 immer weiter näern, beliebig große Funktionswerte f(). Das bedeutet aber gerade, daß sic der Grap der Funktion immer besser an die y-acse anscmiegt, d.., daß die y-acse eine Asymptote ist. Setzen wir dagegen -Werte mit immer größerem Betrag ein, so streben die Funktionswerte gegen 0: f(±0) = ±, f(±00000) = ± = ±0, 0000, Der Grap von f scmiegt sic nun also an die -Acse, d.., die -Acse ist eine waagrecte Asymptote von f. Offensictlic ist f punktsymmetrisc zum Koordinatenursprung: f( ) = f() gilt für alle D f. Abbildung I.7 Hyperbel J. Hellmic

16 I Differentialrecnung I..5 Trigonometrisce Funktionen Die Verältnisse zweier Seiten in einem rectwinkligen Dreieck sind nict von dem Maßstab abängig, in dem es gezeicnet wird. 5π sin() = b c cos() = a c π 3π cos tan() = b a = b c a c cot() = a b = sin() cos() c Hypotenuse Ankatete a Gegenkatete b π π cos() tan π sin cos() sin() tan() sin() π π 3π π 5π Abbildung I.8 Entsteung von sin, cos und tan am Eineitskreis Solce Seitenverältnisse werden demnac von dem Winkel bereits eindeutig festgelegt. Für jedes der vier möglicen at sic ein Name eingebürgert. So bezeicnen wir mit sin() das Verältnis b aus Gegenkatete b und Hypotenuse c, bei gegebenem Winkel. c Auf diese Weise aben wir eine Funktionsvorscrift erklärt, die zunäcst nur jedem Winkel zwiscen 0 und π (^= 90 ) das Verältnis der Seiten b und c zuordnet (zur Erinnerung an das Bogenmaß siee Abscnitt I..8). Wir erweitern sie, indem wir Winkel, die größer als π sind, den y-wert des zugeörigen Farstrals auf dem Eineitskreis zuordnen (vergl J. Hellmic

17 I. Eine kleine Funktionssammlung 3 Abbildung I.8). Die so gebildete Funktion nennen wir Sinus und bezeicnen sie mit sin. Genauso füren wir den Cosinus cos, den Tangens tan und den Cotangens cot ein. Aus der Zeicnung erkennen wir, daß der Tangens bei allen ganzzaligen Vielfacen von π eine Definitionslücke at und dort jeweils eine senkrecte Asymptote besitzt. Dasselbe gilt für den Cotangens bei allen ungeraden Vielfacen von π (in Abbildung I.8 der Übersictlickeit alber, aber auc, weil er nur der Kerwert des Tangens ist, nict mit eingezeicnet). Aus Abbildung I.8 lesen wir noc den zentralen Zusammenang zwiscen sin und cos ab. Nac dem Satz von Pytagoras gilt sin () + cos () =. (I.3) Darüberinaus lassen sic die folgenden Symmetrieeigenscaften erkennen: sin( ) = sin(), cos( ) = cos() (I.4) (I.5) und damit tan( ) = tan(), cot( ) = cot(). (I.6) (I.7) Allgemein bedeutet f( ) = f() für alle D f für eine Funktion f, daß sie punktsymmetrisc zum Ursprung und f( ) = f() für alle D f, daß sie acsensymmetrisc zur y-acse ist. Also sind sin, tan und cot punktsymmetrisc zum Ursprung. cos ist acsensymmetrisc zur y-acse. f( ) f() f( ) Abbildung I.9 Punktsymmetrie und Acsensymmetrie f() J. Hellmic

18 4 I Differentialrecnung I..6 Die Additionssätze der trigonometriscen Funktionen Aus der Zeicnung lesen wir folgendes ab: f cos(y) e sin(y) g y cos(+y) e d=cos()cos(y) +y Abbildung I.0 sin( + y), cos( + y) g=sin() cos(y) sin( + y) = g + f, cos( + y) = d e, cos() = d, cos(y) also d = cos() cos(y), sin() = e, sin(y) also e = sin() sin(y), cos() = f, sin(y) also f = cos() sin(y), sin() = g, cos(y) also g = sin() cos(y). Damit eralten wir die Additionssätze für den Sinus und den Cosinus: sin( + y) = sin() cos(y) + cos() sin(y), cos( + y) = cos() cos(y) sin() sin(y). (I.8) (I.9) Mit irer Hilfe können wir nun auc den Additionssatz für den Tangens erleiten: tan( + y) = sin( + y) cos( + y) Erweitern mit cos() cos(y) ergibt: also = = = sin() cos(y) + cos() sin(y) cos() cos(y) sin() sin(y). sin() cos(y) + cos() sin(y) cos() cos(y) sin() sin(y) tan() + tan(y) tan() tan(y), tan( + y) = cos()cos(y) cos()cos(y) = sin()cos(y) + cos()sin(y) cos()cos(y) cos()cos(y) cos()cos(y) sin()sin(y) cos()cos(y) cos()cos(y) tan() + tan(y) tan() tan(y). (I.0) J. Hellmic

19 I. Eine kleine Funktionssammlung 5 I..7 Zwei wictige Grenzwerte Um später den Sinus und den Cosinus ableiten zu können, benötigen wir die Grenzwerte lim sin() cos() 0 und lim. Dazu bestimmen wir aus nebensteender Skizze folgende Fläceninalte: Das Dreieck PST mit den beiden Ka- 0 teten der Länge sin() und cos() at den Fläceninalt A = sin() cos() und das Dreieck PQR mit den Kateten der Länge und tan() besitzt die Fläce A = tan(). Die Fläce A des Kreissektors PQT mit der Bogenlänge ist nac Gleicung (I.5) (für r = ): A =. An der nebensteenden Zeicnung erkennen wir, daß die Fläce A immer kleiner als die Sektorfläce A ist, und daß diese von A übertroffen wird: A A A. Das bedeutet also P cos() sin() T S R tan() Q Abbildung I. Abscätzung zum Bogenmaß sin() cos() tan() = sin() cos(). Daraus eralten wir nac Division mit sin(): cos() sin() cos(). (I.) Der Cosinus at an der Stelle = 0 den Wert (vergl. Abbildung I.8). Da er stetig ist, strebt cos() gegen, wenn gegen 0 strebt. Die linke und recte Seite in (I.) strebt also jeweils gegen, und desalb muß auc der mittlere Ausdruck gegen wandern ("Sandwic-Prinzip"). Dasselbe passiert dann mit dem Kerwert sin(). Wir eralten als Ergebnis: sin() lim 0 Damit können wir den zweiten Grenzwert leict bestimmen: cos() = cos() = cos () ( + cos()) = = sin() =. (I.) + cos() + cos() sin () ( + cos()) + cos() sin(). Der letzte Faktor strebt gegen, wie wir oben geseen aben, der zweite gegen und der erste gegen 0 (denn sin(0) = 0). Das Produkt dieser drei Faktoren strebt also gegen 0. cos() lim 0 = 0. (I.3) J. Hellmic

20 6 I Differentialrecnung I..8 Erinnerung an das Bogenmaß Wir stellen ier noc einmal den Zusammenang er, zwiscen den beiden gängigen Metoden einen Winkel zu messen. Die geläufigste bestet darin, den Eineitskreis in 360 gleic große Kreissektoren α A b aufzuteilen. Ein solcer Sektor repräsentiert den Winkel von einem Grad,. Dieser wird in 60 gleic große Teile unterteilt, die eine r Winkel-Minute darstellen,, die sic wiederum aus 60 gleic großen Sektoren zusammensetzt, die jeweils eine Winkel-Sekunde,, definieren. Auf den meisten Tascenrecnern ist diese Winkelmessung voreingestellt (erkennbar an der Anzeige DEG, für Degree). Für matematisce Untersucungen ist es zweckmäßiger, den Winkel mit Abbildung I. dem sog. Bogenmaß zu bescreiben. Hier wird der Winkel durc die Zum Bogenmaß Länge des Bogens auf einem Kreis mit Radius gemessen (bei Tascenrecnern üblicerweise durc RAD (für Radian) gekennzeicnet). Wir stellen, wenn wir nun scon mal dabei sind, den Zusammenang zwiscen Bogenlänge b und zugeörigem Winkel α gleic für einen beliebigen Radius r er. Das Bogenmaß eralten wir dann einfac, indem wir r = setzen. Der Zusammenang von b und α ist denkbar einfac: b ist proportional zu α, d.., doppelter, alber etc. Winkel α fürt zu doppelter bzw. alber Bogenlänge b des zugeörigen Kreissektors. Zum Vollwinkel α = 360 geört offensictlic die Bogenlänge des gesamten Kreisumfangs, also b = πr. Aufgrund der Proportionalität zwiscen α und b folgt nun b πr = α 360, oder b = α 80 πr. Für r = eralten wir den gewünscten Zusammenang zwiscen dem Bogenmaß und dem Winkel α: = α 80 π. (I.4) Offensictlic gilt b = r. Genauso einfac können wir nun auc noc den Zusammenang zwiscen der Sektorfläce A und dem zugeörigen Bogenmaß finden: A ist proportional zu b. Zum Bogen πr, dem Umfang des Vollkreises, geört die Fläce πr der vollen Kreissceibe. Also verält sic der Bogen b zum Gesamtumfang, wie die Fläce A zum Gesamtfläceninalt: woraus wir sofort b πr = A πr, eralten. A = b r = r (I.5) J. Hellmic

21 I. Eine kleine Funktionssammlung 7 I..9 Die e-funktion Die Eulersce Zal e ist durc den Grenzwert ( e = lim + )n, (I.6) n n gegeben. Da wir Grenzwerte eer intuitiv verwenden wollen, können wir nict in die etwas aufwendige Untersucung dieser Zal einsteigen. Wir definieren die Eponentialfunktion, oft durc ep bezeicnet, als die Potenzfunktion mit der Basis e: ep : e, D ep = R. Neben ep werden wir auc die Bezeicnung e-funktion verwenden. Von entsceidender Bedeutung (und nur für die Potenzfunktion mit dieser selt- Abbildung I.3 Die e-funktion samen Basis e erfüllt) wird die sceinbar nebensäclice Tatsace sein, daß die Tangente im Punkt (0 ) die Steigung besitzt. Das können wir ier nict beweisen, sondern müssen es als gegeben annemen. Diese Eigenscaft ist der eigentlice Grund dafür, daß die e-funktion ire eigene Ableitung ist. In Abscnitt I.3. werden wir einen Hinweis darauf geben, warum die Zal mit den bescriebenen Eigenscaften gerade durc (I.6) gegeben ist. Weitere Eigenscaften der e-funktion: (a) Sie ist streng monoton wacsend, d.., für > gilt ep( ) > ep( ) oder e > e : der größere von zwei -Werten liefert auc den größeren Funktionswert. (b) Die e-funktion besitzt keine Nullstellen. ep() = e > 0 gilt für alle R. (c) Die Recenregeln des Potenzierens bedeuten für die e-funktion: e + = e e, e = e ( e und e )a = e a. y e ep Zur Erinnerung: Die Potenzrecengesetze lauten (für a, b > 0,, y R): a a y = a +y, (ab) = a b, a a = a y, (a ) y = a y ; ( y a b) = a b, a 0 =. J. Hellmic

22 f f y y y 8 I Differentialrecnung P( f()) W I.3 Die Ableitung I.3. Das Tangentenproblem t g t An eine Funktion f soll in einem gegebenen Kurvenpunkt P eine Tangente angelegt werden. Um einer Lösung dieses Problems näerzukommen, müssen wir zunäcst einmal klären, was wir überaupt unter einer Tangente versteen wollen. Eine gängige Vorstellung bestet darin, von einer Tangente zu verlangen, daß sie die Kurve im Kurvenpunkt P( f()) nur berürt, aber nict scneidet. Diese Vorstellung wird noc dadurc gestützt, daß sie für die meisten Kurvenpunkte P auc tatsäclic zutrifft. Aber wie stet es etwa mit einem Wendepunkt W der Kurve, also einem Punkt, in dem sie z.b. von einer Rectskurve in eine Linkskurve überget? Hier wird jede Gerade durc W die Kurve in W scneiden. Trotzdem wird vermutlic jeder, der unter den Geraden g, und t zu wälen at, zu dem Scluß gelangen, daß als Tangente wol nur t in Frage kommt. Das liegt daran, daß t die Kurve in einer kleinen Umgebung des Kurvenpunktes W besser annäert, als die anderen Geraden. Für Kurvenpunkte P, die nict gerade Wendepunkte sind, at die Gerade, die die Kurve besser als andere Geraden annäert, normalerweise auc die Eigenscaft, die Kurve nur zu berüren und nict zu scneiden. Aber diese Eigenscaft ist, wie unsere Überlegungen naelegen, eben nur zweitrangig. Im Vordergrund stet die Forderung, daß eine Tangente die Kurve in einer Umgebung des Punktes besser als alle anderen Geraden annäert. Damit meinen wir, daß der Unterscied der y-werte von Kurve und Tangente in einer Umgebung rects und links des Kurvenpunktes kleiner ist, als der Unterscied zwiscen Kurve und jeder anderen Geraden durc diesen Punkt. Damit kann es in einem Kurvenpunkt nur eine Tangente geben vorausgesetzt, es gibt überaupt eine. f Abbildung I.4 Stetige Funktion mit Knick Man mace sic klar, daß es z.b. für einen Punkt, in dem die Kurve einen Knick at, keine Gerade geben kann, die unsere Anforderungen an eine Tangente erfüllt. Die strenge Forderung nac bester Annäerung an die Kurve fürt also dazu, daß es Kurvenpunkte geben kann, in denen keine Tangente möglic ist, obwol es eventuell viele Geraden gibt, die die Funktion in diesen Punkten nur berüren. Tatsäclic ist das aber kein Feler unserer Tangentendefinition! Normalerweise sind wir nämlic weniger an der Tangente selbst interessiert, als vielmer an irer Steigung. Durc sie gewinnen wir ein Maß für die "Steileit" der Kurve an der betreffenden Stelle. Für Kurvenpunkte, an denen wir keine Tangente (in unserem strengen Sinn) anlegen können, wie etwa bei Knickstellen, mact es dann eben keinen Sinn, von der Steileit der Kurve sprecen zu wollen J. Hellmic

23 I.3 Die Ableitung 9 I.3. Vom Differenzenquotient zur Ableitung Um die Steigung der Tangente t in P( f()) zu erklären, bestimmen wir zunäcst einmal die Steigung der Sekante s durc P und einen weiteren Kurvenpunkt Q( + f( + )), der von P verscieden ist ( 0). Sie ist durc das Verältnis der Katetenlängen im Steigungsdreieck von s gegeben, also durc das Verältnis des Zuwacses f() = f( + ) f() der Funktionswerte zum Zuwacs = der zugeörigen -Koordinaten: f() = f( + ) f() (I.7) y Tangente t Q 0 Sekante s Dieser Ausdruck wird als Differenzenquotient bezeicnet, da er der P( f()) Quotient aus der Differenz der Funktionswerte von f und der Differenz = ( + ) der zugeörigen - Werte + und ist. Er ist als Näerung für die Tangentensteigung anzu- f f() f(+) seen, die wir zu finden offen. Diese Näerung ist normalerweise um so besser, je dicter die zweite Stelle + bei der eigentlic interessie- + 0 renden Stelle liegt, d.., je kleiner Abbildung I.5 Von der Sekante zur Tangente ist. Lassen wir gegen 0 streben, so wird Q gegen P streben vorausgesetzt, die Funktion f ist an der Stelle stetig. Wir seen also, daß die Stetigkeit von f in eine Mindestvoraussetzung darstellt, um überaupt eine Tangentensteigung über eine Annäerung durc Sekantensteigungen einfüren zu können. Es sei auc gleic betont, daß es sic bei der Stetigkeit wirklic nur um eine notwendige Bedingung andelt, die keineswegs ausreicend sein muß, um die Tangentensteigung angeben zu können: Man denke nur an stetige Funktionen mit Knickstellen (vergl. Abbildung I.4). f(+) f() Wenn der Differenzenquotient (I.7) für beliebig klein werdendes eine feste Zal immer genauer annäert, sic von ir also beliebig wenig untersceidet, so können wir diese Zal mit Fug und Rect als die Steigung der Tangente t in P( f()) anseen. Sie ist also durc einen Grenzwert, der diese Annäerungsprozedur bescreibt, gegeben: f( + ) f() lim 0 (I.8) Um zum Ausdruck zu bringen, daß es sic dabei um die Steigung der Tangente der Funktion f an der Stelle andelt, bezeicnen wir diese Zal mit f (). Auf diese Weise aben wir für jedes aus dem Definitionsbereic von f, für das der Grenzwert eistiert, eine Vorscrift f angegeben, die wir Ableitung von f nennen: f f( + ) f() () = lim. (I.9) 0 J. Hellmic

24 0 I Differentialrecnung Eine Funktion f eißt an der Stelle D f differenzierbar, falls der Grenzwert (I.9) eistiert. Eine Funktion eißt differenzierbar, falls sie für alle Werte aus irem Definitionsbereic differenzierbar ist. I.3.3 Notation Neben f () gibt es auc noc die Screibweise df(), oder d f(), die d d an die Herkunft als Grenzwert des Differenzenquotienten f() für ( =) 0 erinnern soll. f () = df() eißt daer auc Differentialquotient von f an der Stelle. Die d sogenannten Differentiale df() und d sind dabei keine wirklicen matematiscen Objekte, denn df() müßte einfac 0 sein, wenn wir versucen sollten, diesen Ausdruck als Grenzwert von f() für 0 zu definieren. Sie sind nur als Symbole anzuseen. I.3.4 Die Ableitung einer Geraden f() = m + c Wenn unsere Überlegungen zur Tangentensteigung biser rictig waren, dann müßte die konstante Funktion f () = m die Ableitung von f sein, denn eine Gerade besitzt überall die gleice Steigung m: f( + ) f() = m( + ) + c (m + c) = m = m. Der Differenzenquotient ängt, wie erwartet, gar nict mer von ab, so daß sic eine Grenzwertbildung erübrigt: f () = m, wie es sein muß. I.3.5 Die Ableitung der Parabel f() = f( + ) f() = ( + ) = + + = ( + ) = +. Dieser Ausdruck strebt für 0 offensictlic beliebig genau gegen die Zal, die daer den Grenzwert des Differenzenquotienten darstellt: für alle R. f f( + ) f() () = lim = lim + =, 0 0 I.3.6 Die Ableitung der Parabel dritter Ordnung f() = 3 f( + ) f() = ( + )3 3 = ( ) = = Für alle R strebt das gegen 3, wenn gegen 0 strebt: f f( + ) f() () = lim = lim = J. Hellmic

25 I.3 Die Ableitung I.3.7 Der allgemeine Fall f() = n, n N Hier steen wir zunäcst vor dem Problem, den Ausdruck f( + ) = ( + ) n auszuwerten, d.., wir müßten in der Lage sein, das allgemeine Binom ( + ) n auszumultiplizieren. Dafür gibt es zwar eine Formel, doc kommen wir one sie aus. Wenn wir die beiden letzten Fälle analysieren, dann fällt auf, daß sic der Summand mit der öcsten -Potenz (also bzw. 3 ) immer erausebt. Alle anderen Summanden kommen mit mindestens einem multipliziert vor. Dabei werden alle, außer der zweite Summand ( bzw. 3 ), mit, 3 oder noc öeren Potenzen von multipliziert, so daß diese, nac Ausklammern und Kürzen des gemeinsamen Faktors aller Summanden, mindestens noc mit multipliziert bleiben. Den Grenzwert 0 überlebt dann nur noc der zweite Summand, denn er kommt als einziger nict mer in Gesellscaft eines Faktors vor. Wir versucen nun, diese Beobactung auf den allgemeinen Fall zu übertragen. Wenn wir uns (+) n = (+)(+)(+) (+) ausmultipliziert denken, also jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem der zweiten multiplizieren, dann mit jedem der dritten usw., bis zur letzten, dann werden wir für die ersten Summanden des Ergebnisses den Ausdruck n + n n + a n + b n c n n mit den noc unbestimmten Koeffizienten a, b, c usw. eralten. Dabei gibt es nur eine Möglickeit n zu eralten, wesalb der Vorfaktor von n auc ist. Dagegen gibt es n Möglickeiten, den Ausdruck n zu gewinnen: Wir multiplizieren n -mal mit sic selbst und nur einmal mit. Dafür gibt es die n Möglickeiten n = n = n 3 = = n = n. Also muß der Vorfaktor dieses Ausdrucks n sein. Wir könnten nun einige Arbeit dafür verwenden, auc noc die Koeffizienten a, b, c usw. zu bestimmen. Der Punkt ist aber, daß das gar nict nötig ist. Bei der Grenzwertbildung werden die Summanden mit diesen Koeffizienten sowieso gegen 0 streben: f( + ) f() = ( + )n n = n + n n + a n + b n c n n n = nn + a n + b n c n n = (nn + a n + b n 3 + c n n ) = n n + a n + b n 3 + c n n. Außer dem ersten Summanden n n aben alle anderen mindestens einen Faktor und verscwinden daer im Grenzwert für 0. Wir eralten also für f() = n : f f( + ) f() () = lim = dn 0 d = nn. (I.0) J. Hellmic

26 I Differentialrecnung I.3.8 Die Ableitung der Hyperbel f() = f( + ) f() = + = (+) (+) = (+) = ( + ) 0. Also gilt f () =. Versucen wir die Bezeiung (I.0), nämlic f () = n n für f() = n, auc für n = anzuwenden, d.., auf die Funktion f() = =, so würden wir den Ausdruck ( ) = = eralten, also genau das Ergebnis, daß wir eben für die Ableitung von f() = erzielt aben. Das bedeutet, daß nn zumindest auc noc für n = die Ableitung von f() = n ist. Das läßt offen, daß diese Bezieung sogar für alle negativen ganzen Zalen gültig ist. Um sic davon zu überzeugen, könnte man als näcstes den Fall n = untersucen, also f() =. Wir müßten durc direktes Ausrecnen (so wie oben) als Ableitung f () = 3 = eralten, 3 also wieder das, was (I.0) für n = voraussagen würde. Ü Wir werden diesen Weg aber nict weiterverfolgen, denn die Gültigkeit von (I.0) für alle ganzen Zalen eralten wir viel einfacer, wenn wir uns zunäcst leistungsfäige Recenregeln für die Ableitung bescaffen und diese auf das Problem anwenden. Es wird sic dabei erausstellen, daß n n für alle gebrocenen Hoczalen n, tatsäclic sogar für alle Hoczalen aus R die Ableitung von f() = n ergibt (vergl. Seite 44). I.3.9 Die Ableitung der Wurzel f() = f( + ) f() = = = ( + + ) = ( + + ). Man überzeuge sic davon, daß dieses Ergebnis ebenfalls aus (I.0) für n = entstet ( = ). Der Definitionsbereic von f() = bestet aus allen positiven Zalen einscließlic der Null, wärend die Ableitung f () = nur für alle positiven Zalen (one die Null) eistiert. Das liegt ier daran, daß die Tangente in = 0 senkrect ist und desalb keine endlice Steigung besitzen kann. I.3.0 Die Ableitung der trigonometriscen Funktionen Wir beginnen mit f() = sin(). Um den Differenzenquotienten auswerten zu können, benötigen wir die Additionssätze der trigonometriscen Funktionen, die wir im Abscnitt I..6 mit den Formeln (I.8), (I.9) scon bereitgestellt aben und die Grenzwerte (I.), sowie (I.3) aus Abscnitt I..7: f( + ) f() = sin( + ) sin() = sin()( cos() ) + cos() sin() = sin() cos() + cos() sin() sin() J. Hellmic

27 I.3 Die Ableitung 3 = sin() cos() 0 cos(), + cos() sin() denn nac (I.3), (I.) strebt sin() cos() für 0 gegen 0 und cos() sin() gegen cos(). Genauso untersucen wir nun g() = cos(): g( + ) g() = cos( + ) cos() = cos()( cos() ) sin() sin() = cos() cos() sin() sin() 0 sin(). Wir eralten die Ableitungsregeln = sin = cos, cos = sin. cos() cos() sin() sin() cos() (I.) (I.) Die Ableitung des Tangens können wir daraus leict ausrecnen, wenn wir die Quotientenregel zur Verfügung aben werden (siee Abscnitt I.4.4). I.3. Die Ableitung der e-funktion ep( + ) ep() = e+ e = e e e 0 e = ep(), = e e denn wir atten in Abscnitt I..9 scon darauf ingewiesen, daß die Tangente bei = 0 die Steigung at, d.., daß e für 0 gegen strebt. Das bedeutet ep = ep. (I.3) Nun können wir einen Hinweis darauf geben, warum die Zal e durc den Grenzwert (I.6) gegeben sein muß, damit ep = ep gelten kann. Wir wissen daß ep = ep genau dann gilt, wenn e für 0 gilt. Daraus folgt, daß e für kleine erfüllt sein muß. Wir wälen = mit großem n N und eralten damit naceinander: n e n n, e n n, e n + n. Im letzten Scritt nemen wir beide Seiten zur n-ten Potenz. Links eralten wir (e /n ) n = e und rects ( n. + n) Die eigentlice Arbeit bestet nun darin, naczuweisen, daß das -Zeicen bei diesem letzten Scritt weiterin seine Berectigung beält: ( e + n) n. J. Hellmic

28 4 I Differentialrecnung I.4 Die Ableitungsregeln Um unseren Vorat an ableitbaren Funktionen zu erweitern, stellen wir Recenregeln für die Ableitung auf, die es uns erlauben, die Ableitung von Funktionen aus den Ableitungen irer einfaceren Bestandteile zu gewinnen. Für jede der Operationen, die man mit Funktionen ausfüren kann (vergl. Abscnitt I..5) gibt es eine Ableitungsregel. I.4. Faktorregel Bilden wir aus einer Funktion f durc Multiplikation mit einer festen Zal t die neue Funktion g = t f, so ist ire Ableitung g = t f : (t f) (t f)( + ) (t f)() () = lim 0 = lim 0 t f( + ) f() = lim 0 t f( + ) t f() = t f () = (t f )(). Ob wir also eine Funktion mit der Zal t multiplizieren und die entsteende Funktion ableiten, oder ob wir zuerst ableiten und dann mit t multiplizieren, läuft auf dasselbe inaus. B f() = 4, t = 3, g() = 3 4 = 3f(). Dann ist g () = 3f () = = 3. () = 3 5 = 3 5, () = 3 5 = 3 5. k() = sin(), k () = cos(). l() = 5e, l () = 5e. I.4. Summenregel Die Ableitung (f + g) einer Summe zweier Funktionen f und g ist die Summe f + g irer Ableitungen f und g : (f + g) = f + g (f + g) (f + g)( + ) (f + g)() () = lim 0 f( + ) + g( + ) f() g() = lim 0 f( + ) f() = lim + 0 g( + ) g() = f () + g (). B f() = 3 4, g() = 6, (f + g) () = f () + g () = g() = , g () = = k() = sin() + cos(), k () = cos() sin(). I.4.3 Produktregel (f g) = f g + f g (f g) (f g)( + ) (f g)() f( + )g( + ) f()g() () = lim = lim J. Hellmic

29 I.4 Die Ableitungsregeln 5 f( + )g( + ) f()g( + ) + f()g( + ) f()g() = lim 0 f( + ) f() g( + ) g() = lim g( + ) + f() 0 = f ()g() + f()g (). B () = sin(), f() =, g() = sin(), () = sin() + cos(). f() = e, f () = e + e = ( + ) e = ( + ) e. g() = sin () = sin() sin(), g () = cos() sin() + sin() cos() = cos() sin(). I.4.4 Quotientenregel ( fg ) = f g fg Wir zeigen diese Regel zunäcst nur für die Funktion g : ( g ) = g ( ) () = lim g 0 = lim 0 = lim 0 = g () g (). g ( ( ( + ) () g) g) g() g( + ) g( + )g() g( + ) g() g g( + ) g() = lim 0 g() g( + ) = lim 0 g( + )g() g( + )g() = g () Nun ist der allgemeine Fall nur noc die Anwendung der Produktregel I.4.3: ( ) ( f = f ) ( ) = f g g g ( + f g g() ) = f g f g g = f g fg g. J. Hellmic

30 6 I Differentialrecnung B () = 3 +, f() = 3, f () = 4 3, g() = +, g () =, () = (4 3)( + ) ( 3) ( + ) = ( + ) = ( + ). f() = = ( ) = ( ), f () = ( 3 5 ) = Man siet: Nict immer ist die Quotientenregel die beste Wal. tan() = sin() cos(), tan () = cos() cos() + sin() sin() cos () = cos (). I.4.5 Kettenregel (f g) () = f (g()) g () (f g) (f g)( + ) (f g)() f(g( + )) f(g()) () = lim = lim 0 0 f(g( + )) f(g()) g( + ) g() = lim 0 g( + ) g() f(y + k) f(y) g( + ) g() = lim 0 k = f (y) g () = f (g()) g (), mit k = g(+) g() und g(+) = y+k, wobei wir y = g() setzen. Für 0 strebt auc k gegen Null, denn g ist stetig. Also strebt der erste Bruc gegen f (y) = f (g()) und der zweite gegen g (). B f() =, f () =, g() = 3 8, g () = 3. Dann ist f g() = 3 8 und (f g) () = g() g () = = () = + 5 setzt sic aus den beiden Funktionen f() = und g() = +5 zusammen. f () =, g () = 4. Also ist () = f (g()) g () = g() 4 = 8 ( + 5) J. Hellmic

31 I.4 Die Ableitungsregeln 7 Ü Leiten Sie die folgenden Funktionen ab. f() = 40 ( ) g() = () = l() = e 3+ k() = e m() = e n() = e p() = sin(e ) q() = 3( ) 3 s() = (e e ) c() = (e + e ) t() = e e e + e cot() = cos() r() = ( + ) e sin() s() = ( 3 8 ) 8 t() = ( 3 + ) 3 u() = sin() cos() v() = e 3 cos() w() = e cos() e + sin() z() = e 3 cos() Kontrollergebnis: f () = 0 (3 3 + ) g () = () = (3 4) k () = ( + ) e l () = 3 e 3+ m () = 4 e n () = ( ) e p () = 4 e cos(e ) q () = 3 ( )( ) ( 3 ) c () = (e e ) = s() s () = (e + e ) = c() t () = 4 (e + e ) = c () cot () = sin () r () = (3 ) e ( ) s () = 8 5 (3 6) ( 8) 7 t () = ( 3 + ) 4 u () = cos() cos() sin() sin() v () = ( 3 cos() + sin() ) e 3 w () = e( sin() cos() e sin() ) z sin() 3 cos() () = (e + sin()) e 3 cos () J. Hellmic

32 8 I Differentialrecnung J. Hellmic

33 I.5 Kurvendiskussion 9 I.5 Kurvendiskussion I.5. Markante Punkte einer Funktion Die Aufgabe der Kurvendiskussion bestet darin, den Kurvenverlauf einer Funktion f möglicst eakt zu ermitteln. Dazu stellt man Untersucungen zur Stetigkeit, Differenzierbarkeit an, versuct Symmetrien und Asymptoten zu erkennen. Besonders wictig sind auc die markanten Punkte einer Funktion, wie Nullstellen, lokale (globale) Maima oder Minima und Wendepunkte (d.., Stellen, an denen die Kurve von einer Rects- in eine Linkskurve oder umgekert wecselt). Für Funktionen, die genügend glatt sind, so wie sie ier überwiegend vorliegen werden, entfallen die Untersucungen auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit, da sie gegeben sind. Wir bescränken uns daer im folgenden auf das Finden der markanten Punkte einer Funktion. In der nebensteenden Figur ist eine Funktion f und ire Ableitung f wiedergegeben, die alle markanten Punkte aufweist. H W lokal die kleinste Steigung in W f. Nullstellen: Die Stellen, an denen f() = 0 gilt. Wir untersceiden Nullstellen (a) (b) mit Vorzeicenwecsel (a), al- N N so Stellen, an denen f die -Acse wirklic scneidet und Nullstellen one Vorzeicenwecsel (b), Stellen, an denen f die -Acse nur berürt. Im letzteren Fall liegt dann ein lokales Maimum oder Minimum vor. N ^ S =^ W ^ 3 T 3 f. Etremstellen: Lokale Maima und Minima verraten sic durc ire waagrecte Tangente. Da f () die Steigung der Tangente an der Stelle angibt, finden wir die möglicen Positionen also als Lösungen der Gleicung f () = 0. Identifikation: Stellen, an denen sic ein lokales Maimum befindet, sind zweifelsfrei daran zu erkennen, daß die Ableitung f an der betreffenden Stelle einen Vorzeicenwecsel (VZW) von nac aufweist. Wenn wir nämlic von links nac (f ) ( )= f ( )<0 Tangente an f mit negativer Steigung: H lokales Minimum von f : Wendepunkt von f f ( )=0 lokales Maimum von f : Wendepunkt von f Abbildung I.6 Die markanten Punkte einer Funktion f ( 3 )>0 Tangente an f mit positiver Steigung: T J. Hellmic

34 30 I Differentialrecnung f H f T rects ein lokales Maimum H passieren, so müssen wir uns zunäcst bergauf (positives Vorzeicen von f ) und dann bergab (negatives Vorzeicen von f ) bewegen. Genauso läßt sic ein lokales Minimum T durc ein VZW von nac identifizieren. Wir wollen diese Metode die Vorzeicenmetode zur Identifikation lokaler Maima oder Minima (auc als Hocpunkte bzw. Tiefpunkte bezeicnet) nennen. Die Vorzeicenmetode identifiziert uns auc den Sonderfall, in dem zwar f () = 0 gilt, aber kein Vorzeicenwecsel stattfindet. Dann muß für die Ableitung f entweder der Übergang oder vorliegen. Im ersten Fall steigt die Funktion, at dann an f f S S der Stelle eine waagrecte Tangente und steigt anscließend weiter. Im zweiten Fall fällt die Funktion, unterbrocen durc eine Stelle waagrecter Tangente. In beiden Fällen liegt also ein Wendepunkt mit waagrecter Tangente, ein sog. Sattelpunkt vor, denn im ersten Fall bescreibt die Funktion bis zur Stelle eine Rectskurve und anscließend eine Linkskurve, im zweiten Fall get sie von einer Links- in eine Rectskurve über (vergl. auc die Stelle in Abbildung I.6). Eine andere Metode, ein lokales Maimum bzw. Minimum zu erkennen, bestet darin, eine inreicende Bedingung für den VZW von f zu untersucen: f mact an der Stelle sicer dann ein VZW von nac, d.., bei befindet sic ein lokales Maimum, wenn die Steigung der Tangente an f in negativ ist (vergl. f f ()<0 die Stelle in Abbildung I.6). Die Steigung der Tangente an f in wird, wie bei jeder anderen differenzierbaren Funktion auc, durc die Ableitung in gegeben: (f ) () = f (). Als inreicende Bedingung für ein lokales Maimum eralten wir also f () < 0 und entsprecend f () > 0 für ein lokales Minimum. Man beacte aber, daß es sic wirklic nur um inreicende Bedingungen andelt. Wenn sie nict erfüllt sind, wenn also f () = 0 gilt, eißt das noc nict, daß kein Maimum oder Minimum vorliegt (obwol es in vielen Fällen so ist, denn meist tritt diese Situation auf, wenn an der betreffenden Stelle ein Wendepunkt mit waagrecter Tangente, also ein Sattelpunkt vorliegt). Es gibt durcaus die Möglickeit eines Vorzeicenwecsels von f mit waagrecter Tangente, d.., ein VZW, bei dem f () = 0 gilt. Dann liegt also ein lokales Maimum oder Minimum vor, one daß wir es durc das Vorzeicen der zweiten Ableitung identifizieren können. Z.B. at die Funktion f() = 4 an der Stelle = 0 ein Minimum, aber f () ist durc 3 gegeben, so daß f (0) = 0 gilt. Die Vorzeicenmetode ergibt aber mit f ( ) = 4 < 0 und f () = 4 > 0 problemlos den VZW, also ein lokales Minimum. Um sic in solcen Fällen Klareit zu verscaffen, kann man die betreffende Stelle auf Wendepunkt in prüfen (s.u.), um eventuell einen Sattelpunkt zu identifizieren, oder gleic die Vorzeicenmetode anwenden, die immer zu einem definitiven Ergebnis fürt.. Wendestellen: Stellen, an denen eine Kurve von einer Rects- in eine Linkskurve oder von einer Links- in eine Rectskurve überget nennen wir Wendestellen. Die zugeörigen Punkte auf der Kurve eißen Wendepunkte J. Hellmic

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