Synchronisation und Nachrichtenübertragung zwischen zwei gekoppelten chaotischen Bernoulli-Einheiten mit Hilfe einer dritten Einheit.

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1 Synchronisation und Nachrichtenübertragung zwischen zwei gekoppelten chaotischen Bernoulli-Einheiten mit Hilfe einer dritten Einheit Diplomarbeit

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3 Synchronisation und Nachrichtenübertragung zwischen zwei gekoppelten chaotischen Bernoulli-Einheiten mit Hilfe einer dritten Einheit Diplomarbeit vorgelegt von Sven Heiligenthal am 25. Februar 2009 Institut für Theoretische Physik und Astrophysik Fakultät für Physik und Astronomie Julius-Maximilians-Universität Würzburg

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5 Though this be madness, yet there is method in t. William Shakespeare: Hamlet, II. Akt, 2. Szene

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7 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Chaos-Synchronisation Vom Paar zum 3er-Ring Analytische Behandlung Mögliche Synchronisationsformen Lineare Stabilitätsanalyse Einfluss der Kopplungszeiten Fall τ c = τ f Kleine Kopplungszeiten Große Kopplungszeiten Fall τ c > τ f Kleine Differenz Kleine Kopplungszeiten Große Kopplungszeiten Große Differenz Kleine Kopplungszeit τ f Große Kopplungszeiten Fall τ c < τ f Kleine Differenz Kleine Kopplungszeiten Große Kopplungszeiten Große Differenz Kleine Kopplungszeit τ c Große Kopplungszeiten Fazit Einfluss der Kopplungsstärken er-Ring mit Selbstrückkopplung er-Ring ohne Selbstrückkopplung Nachrichtenübertragung Übertragungsmethode Chaos-Masking Bitfehlerrate beim 3er-Ring ohne Selbstrückkopplung Bitfehlerrate beim Paar mit Selbstrückkopplung

8 8 Inhaltsverzeichnis 6 Zusammenfassung 77 A Quellcode des Simulationsprogramms 83 A.1 NetzwerkEinheit.h A.2 NetzwerkEinheit.cpp A.3 BernoulliEinheit.h A.4 BernoulliEinheit.cpp A.5 RauschQuelle.h A.6 RauschQuelle.cpp A.7 NachrichtenQuelle.h A.8 NachrichtenQuelle.cpp A.9 Kopplung.h A.10 Kopplung.cpp A.11 DreierRing.h A.12 DreierRing.cpp A.13 Config.h A.14 Main.cpp Literaturverzeichnis 109

9 1 Einleitung 1.1 Chaos-Synchronisation Genauso antithetisch wie Wahnsinn und Methode im Zitat aus Shakespeares Werk stehen sich eigentlich Chaos und Synchronisation gegenüber: Das eine ist der Inbegriff von Unordnung und Unvorhersagbarkeit, das andere von Ordnung und Bestimmtheit, und so scheinen diese Begriffe auch völlig unvereinbar miteinander. Chaos ist ein Systemzustand nichtlinearer Systeme, in dem diese sich für bestimmte Werte der Systemparameter irregulär 1 verhalten und empfindlich auf Veränderungen ebendieser Systemparameter reagieren, so dass selbst bei minimalen Unterschieden die Trajektorien exponentiell auseinander laufen. Gerade letztere Eigenschaft lässt ein Abstimmen zweier oder mehrerer Systeme aufeinander unmöglich erscheinen. Synchronisation ist ein Phänomen, bei dem ein oder mehrere dynamische Systeme durch gegenseitige Kopplung für eine oder mehrere ihrer Zustandsvariablen 2 eine funktionale Abhängigkeit ausbilden, insbesondere die Identität dieser Variablen. Dies kann isochron 3 oder mit einer zeitlichen Verzögerung geschehen. Für die Fachwelt war es daher überraschend, als Pecora und Carroll in ihrer wegweisenden Arbeit zeigen konnten, dass sich beide Phänomene doch vereinbaren lassen, als sie die Chaos-Synchronisation entdeckten [1]. Dabei können auch chaotische Systeme durch gegenseitige Kopplung unter bestimmten Umständen miteinander synchronisieren. Jedes System für sich verhält sich weiterhin chaotisch, doch die Systeme folgen einer gemeinsamen Trajektorie sie sind sozusagen im Gleichtakt chaotisch. Zudem ist dieser synchrone Zustand auch stabil, d. h. kleine Störungen der Synchronisation können die Einheiten nicht trennen, sondern werden exponentiell wieder hin zum synchronen Zustand gedämpft. Die einzelnen Systeme reagieren aber weiterhin empfindlich auf Störungen, diese explodieren und führen exponentiell weg von der bisherigen Trajektorie dies ist ja gerade eine wesentliche Eigenschaft von Chaos. Anschaulich verstehen kann man die Chaos-Synchronisation, wenn man sich klar macht, dass sie nichts anderes ist als der Übergang eines einzelnen nichtlinearen Systems vom chaotischen zum regulären Verhalten bei Veränderung eines Systemparameters nun jedoch in einem System von zwei oder mehreren gekoppelten Teilsystemen. In diesem kann man nämlich z. B. für zwei Teilsysteme neue Zustandsvariablen in Form der Summe und der Differenz der Zustände der Teilsysteme einführen. Verhält sich für chaotische Teilsysteme auch die Differenz chaotisch, so ist keine 1 d. h. nicht periodisch und auch nicht dissipativ auf einen Fixpunkt zulaufend 2 z. B. Amplitude oder Phase 3 d. h. ohne Zeitverzögerung 9

10 10 1 Einleitung Synchronisation möglich. Geht das Verhalten der Differenz jedoch für bestimmte Systemparameter in ein reguläres über, indem diese dissipativ gedämpft wird, so ist Synchronisation der Teilsysteme möglich, während jedes für sich und damit auch die andere neue Zustandsvariable Summe weiterhin chaotisch sein kann [2, 3]. Das Gesamtsystem zeigt dann also sowohl reguläres als auch chaotisches Verhalten. Seit der Entdeckung im Jahr 1990 hat die Chaos-Synchronisation das Interesse vieler Forscher geweckt, und es wurden auch noch weitere neue erstaunliche mit ihr verbundene Effekte entdeckt, so z. B. die Untergittersynchronisation chaotischer Systeme [2, 4, 5]. Bei dieser können in einem Netzwerk aus mehr als zwei miteinander gekoppelten chaotischen Teilsystemen für bestimmte Topologien zwei oder mehrere Teilsysteme für bestimmte Werte der Systemparameter miteinander synchronisieren, obwohl sie nicht direkt miteinander, sondern nur über ein weiteres Teilsystem verbunden sind, während ebenjenes Teilsystem mit den anderen nicht synchronisiert und auch nur schwache Korrelationen mit ihnen zeigt. Schon bald wurde auch das Potential der Chaos-Synchronisation für die abhörsichere Kommunikation erkannt [6], denn sie vereint die Unvorhersagbarkeit chaotischer Systeme mit der Vorhersagbarkeit durch einen synchronisierten Kommunikationspartner. Während alle heute verwendeten Verschlüsselungsmethoden im Prinzip darauf beruhen, dass große Zahlen nicht schnell in ihre Primfaktoren zerlegt werden können, bei Kenntnis der Primfaktoren das Produkt jedoch sehr schnell berechnet werden kann, und es möglich ist, dass irgendwann evtl. in Verbindung mit einem Quantencomputer ein Algorithmus entwickelt wird, der die Primfaktorzerlegung schnell bewerkstelligen kann, so ist die sichere Nachrichtenübertragung per Chaos- Synchronisation grundlegend anders. Sie stellt im eigentlichen Sinn nämlich keine Verschlüsselung dar, sondern ist vielmehr eine Art Verstecken einer winzigen Nachricht in einem chaotischen Rauschen. Während ein nicht synchronisierter Angreifer, der das Signal abhört, nur dieses unvorhersagbare Rauschen sieht, kann der mit dem Sender synchronisierte Empfänger die Nachricht wieder rekonstruieren, da er den chaotischen Anteil vom Signal abziehen kann es ist aufgrund der Synchronisation ja gerade sein eigener Zustand. Insbesondere zeigte sich, dass es bei bidirektionaler Kopplung der Kommunikationspartner einen Bereich der Systemparameter gibt, bei dem ein Angreifer, der nur eines von beiden ausgetauschten Signalen abhört und sämtliche Systemparameter der Kommunikationspartner kennt, sich prinzipbedingt trotzdem nicht mit ihnen synchronsieren kann [7 9]. Kann der Angreifer beide Signale abhören, so ist ihm dies hingegen leider doch möglich, allerdings konnte auch hierfür eine Lösung gefunden werden, nämlich (in verbesserter Form sich sogar dynamisch verändernde) geheime kommutierende Signalfilter, durch die Sender und Empfänger die ausgetauschten Signale schicken, so dass diese nicht mehr direkt den eigenen Systemzustand darstellen [8, 10]. Wurde die Kommunikation per Chaos-Synchronisation in der Praxis zunächst noch mit chaotischen elektronischen Schaltkreisen realisiert [6], kam man bald dazu, stattdessen Halbleiterlaser zu verwenden [11]. Ein Laser stellt zwar eigentlich ein Musterbeispiel für reguläres, periodisches Verhalten dar, jedoch kann ein Laser zu chaotischem Verhalten gebracht werden, indem das eigene Signal zeitverzögert wieder in ihn

11 1.2 Vom Paar zum 3er-Ring 11 Τ f A Τ c B Τ f Abbildung 1.1: Zwei chaotische Einheiten Alice und Bob sind bidirektional miteinander gekoppelt und besitzen zusätzlich jeweils eine Selbstrückkopplung. selbst zurückgekoppelt wird. Dieser chaotische Laser kann mit einem weiteren chaotischen Laser zur Synchronisation und Nachrichtenübertragung per Glasfaserkabel über weite Entfernungen und damit mit großer Zeitverzögerung gekoppelt werden. Die Vorteile der Verwendung von chaotischen Lasern liegen in der sehr großen Datenübertragungsrate im Bereich von Gbit/s, dem kostengünstigen Aufbau und der bereits vorhandenen weitverbreiteten Glasfasernetzinfrastruktur für die Kopplung. Tatsächlich konnte ein solcher Aufbau im Jahr 2005 bereits erfolgreich über eine Entfernung von 120 km im öffentlichen Athener Glasfasernetz realisiert werden [12]. Die potentielle Relevanz und Anwendbarkeit der Chaos-Synchronisation für die Praxis der sicheren Kommunikation, gepaart mit den verblüffenden immanenten Effekten und ihrem gegen die Intuition laufenden grundlegenden Prinzip machen dieses Forschungsgebiet so interessant und faszinierend. Dabei ist es ein noch recht junges Forschungsgebiet, und obwohl schon viele Aspekte untersucht und verstanden wurden, sind doch noch viele Fragen offen und bedürfen weiterer intensiver Forschungsarbeit. Auch diese Diplomarbeit soll einen Teilaspekt untersuchen und das Verständnis einen Schritt weiter bringen. 1.2 Vom Paar zum 3er-Ring Um die grundlegenden Gesetzmäßigkeiten und Effekte der Chaos-Synchronisation theoretisch in analytischen Rechnungen und dazu korrespondierenden Computersimulationen zu untersuchen, abstrahiert man die realen Systeme wie z. B. die chaotischen Laser in stark vereinfachte Modelle von einfachen Netzwerken, die aus zeitverzögert miteinander gekoppelten, chaotischen Einheiten bestehen, welche eine durch eine einfache, aber chaotische nichtlineare Abbildung beschriebene Zeitentwicklung 4 besitzen. Das einfachst denkbare, doch für die theoretische Untersuchung der Nachrichtenübertragung per Chaos-Synchronisation relevante Netzwerk ist dabei ein Paar von zwei bidirektional miteinander gekoppelten chaotischen Einheiten Alice und Bob (Abbildung 1.1). Über die gegenseitigen Kopplungen übertragen sie ihre Systemzustände, dies jedoch mit einer Zeitverzögerung τ c 5, welche die in der Realität endliche 4 Diese Zeitentwicklung ist im Modell diskretisiert, d. h. man betrachtet nur ganzzahlige Zeitpunkte, und sie wird durch sukzessive Iteration der nichtlinearen Abbildung realisiert. 5 c wie communication

12 12 1 Einleitung Signallaufzeit beschreiben soll. Zusätzlich besitzen die beiden Einheiten jeweils eine Selbstrückkopplung, welche den eigenen Systemzustand mit einer Zeitverzögerung τ 6 f wieder in die Einheit einkoppelt 7. Frühere Arbeiten haben gezeigt, dass die beiden Einheiten trotz ihrer chaotischen Dynamik für bestimmte Systemparameter miteinander synchroniseren können, und dass diese Synchronisation stabil ist [2, 13]. Erstaunlich ist, dass sie sogar isochron synchroniseren, obwohl die gegenseitige Kopplung, die ja als Vermittler fungiert und die Synchronisation bewirkt, eine Zeitverzögerung τ c hat [2, 14 16]. Dies eröffnet, wie im letzten Abschnitt erwähnt, in Verbindung mit weiteren Maßnahmen die Möglichkeit einer prinzipiell sicheren Nachrichtenübertragung per Chaos-Synchronisation [3, 8 10, 17 22]. Jedoch hat sich auch gezeigt, dass die Möglichkeit der Synchronisation der beiden Einheiten an strenge Bedingungen geknüpft ist. Einerseits ist die Existenz einer zusätzlichen Selbstrückkopplung bei beiden Einheiten grundlegend notwendig. Ohne eine solche ist Synchronisation zwischen zwei chaotischen Einheiten zumindest mit nur einer gegenseitigen Kopplung in jeder der beiden Kopplungsrichtungen grundsätzlich nicht möglich [2]. Andererseits muss die Verzögerungszeit τ f der Selbstrückkopplungen aufs Genaueste feinjustiert sein. Sie muss nämlich entweder exakt gleich der Verzögerungszeit τ c der gegenseitigen Kopplung sein, oder ihr Verhältnis τc τ f muss in einem schmalen Bereich von erlaubten diskreten Werten liegen [23]. Wird von dieser Feinjustierung auch nur geringfügig abgewichen, so bricht die Synchronisation zusammen. In der Praxis ist gerade letztere Bedingung schwer zu bewerkstelligen, und so sucht man nach Möglichkeiten, die Synchronisation zwischen den beiden Einheiten stabiler gegenüber kleinen Verstimmungen der Systemparameter von den Idealwerten und gegenüber Fluktuationen zu machen. Eine mögliche und bereits erforschte Lösung für dieses Problem ist das Einführen von einer oder mehreren weiteren Selbstrückkopplungen pro Einheit mit unterschiedlichen Verzögerungszeiten zusätzlich zu den bereits existierenden einzelnen Selbstrückkopplungen der Einheiten [23]. Dies verbreitert den Bereich der für Synchronisation möglichen Werte von τc τ fi oder ermöglicht gar unter gewissen Umständen das kontinuierliche Durchstimmen dieses Verhältnisses. Diese Methode bringt jedoch auch den Nachteil mit sich, dass sie für ihre Realisierung in der Praxis durch die zusätzlichen Selbstrückkopplungen einen größeren zusätzlichen technischen Aufwand für die Kommunikationspartner erfordert und zwar für jeden von ihnen. Will ei- 6 f wie feedback 7 Zwar ist im Modell bereits die interne Dynamik der Einheiten schon so gewählt, dass sie chaotisch ist, doch werden die Systemparameter zur Normierungserhaltung so gewählt, dass der chaotische Charakter der internen Dynamik durch die gegenseitigen Kopplungen der Einheiten abgeschwächt wird. Die zusätzliche Selbstrückkopplung stellt sicher, dass das Gesamtsystem trotzdem stets chaotisch ist, nicht jedoch zwangsweise auch die Teilsysteme. Zudem soll durch die zusätzliche Selbstrückopplung auch eine Vergleichbarkeit mit den realen chaotischen Lasern hergestellt werden, welche ja überhaupt erst durch die Selbstrückkopplung zu chaotischen Systemen werden.

13 1.2 Vom Paar zum 3er-Ring 13 Τ f S Τ d Τ d Τ f A Τ c B Τ f Abbildung 1.2: Durch Hinzufügen einer dritten Einheit Server wird aus dem bidirektional gekoppelten Paar ein bidirektionaler 3er-Ring. ne der beiden Einheiten mit einem anderen, neuen Partner kommunizieren, so muss auch dieser über einen entsprechenden Aufbau mit mehreren Selbstrückkopplungen verfügen. So stellt sich die Frage, ob es nicht auch noch eine andere, einfachere Lösung für das Problem der nötigen Feinjustierung zwischen gegenseitiger Kopplung und Selbstrückkopplung gibt. Die Idee hierfür ist nun, diese Notwendigkeit zu eliminieren, indem man auf die Selbstrückkopplung gänzlich verzichtet. Da, wie oben erwähnt, jedoch ohne Selbstrückkopplung keine Synchronisation zwischen Alice und Bob möglich ist, heißt das nichts anderes, als dass man einen Weg finden muss, wie man Synchronisation zwischen den beiden auch ohne Selbstrückkopplung erreichen kann. Hier kommt ein wesentliches Ergebnis aus [2] zur Hilfe. Dort wurde gezeigt, dass in Ringen aus bidirektional gekoppelten Einheiten diese prinzipiell nicht ohne Selbstrückkopplung synchroniseren können, wenn die Anzahl der Einheiten gerade ist (wie es auch hier beim Paar der Fall ist). Ist die Anzahl der Einheiten jedoch ungerade, so ist neben der Synchronisation mit Selbstrückkopplung unter bestimmten Umständen auch Synchronisation ohne Selbstrückkopplung möglich. Da man das Netzwerk gleichzeitig auch möglichst klein und simpel halten will, erweitert man also das Netzwerk um genau eine weitere chaotische Einheit Server, indem diese zunächst bidirektional mit der gleichen Verzögerungszeit τ d 8 mit Alice wie auch mit Bob gekoppelt wird 9 (Abbildung 1.2). Topologisch ist aus dem Paar ein 3er-Ring geworden, und Synchronisation ist sowohl mit Selbstrückkopplung als 8 d wie drive. Beachte: Im Allgemeinen ist τ d τ c. 9 Ein ähnlicher Aufbau mit drei gekoppelten Lasern wurde in [24] experimentell untersucht.

14 14 1 Einleitung unter gewissen Umständen sogar auch ohne Selbstrückkopplung möglich. Die vorliegende Diplomarbeit soll die Möglichkeit und die Formen der Synchronisation in diesem Netzwerk und den Einfluss verschiedener Konstellationen von Verzögerungszeiten und -stärken der einzelnen Kopplungen auf die Synchronisation analytisch und numerisch per Computersimulation untersuchen. Zudem sollen vor allem auch die Möglichkeit und die Güte der Nachrichtenübertragung zwischen Alice und Bob per Chaos-Synchronisation in diesem Netzwerk genauer betrachtet werden. Auf den Aspekt der Abhörsicherheit dieser Kommunikation wird dabei jedoch nicht weiter eingegangen werden.

15 2 Analytische Behandlung 2.1 Mögliche Synchronisationsformen Mathematisch wird der 3er-Ring sowohl für die analytische Behandlung als auch für die spätere Computersimulation durch folgendes System aus drei gekoppelten nichtlinearen Gleichungen beschrieben: S t = (1 ε) f(s t 1 ) + ε κ f ( ( ) 1 S t τf + ε (1 κ) 2 f(a t τ d ) + 1 ) 2 f(b t τ d ) A t = (1 ε) f(a t 1 ) + ε κ f ( ( ) 1 A t τf + ε (1 κ) 2 f(s t τ d ) + 1 ) 2 f(b t τ c ) (2.1) B t = (1 ε) f(b t 1 ) + ε κ f ( ( ) 1 B t τf + ε (1 κ) 2 f(s t τ d ) + 1 ) 2 f(a t τ c ) Jede der drei Gleichungen beschreibt die Dynamik einer der drei Einheiten S, A, B, wobei diese im Modell zeitdiskret 1 und jeweils durch drei Summanden bestimmt ist. Der erste Summand repräsentiert die interne, zeitlich lokale Dynamik einer Einheit, wobei dieser Term zum Zeitpunkt t jeweils nur vom Zustand der Einheit zum Zeitpunkt t 1 abhängt. Die zeitverzögerte Selbstrückkopplung wird durch den zweiten Summanden modelliert, er hängt zum Zeitpunkt t nur vom Zustand der gleichen Einheit zum Zeitpunkt t τ f ab. Die externe zeitverzögerte Kopplung zwischen den drei Einheiten wird durch den dritten Summanden eingeführt. Der Zustand der Einheit zum Zeitpunkt t ist dabei entsprechend der Topologie von den Zuständen der anderen beiden Einheiten zu den Zeitpunkten t τ c bzw. t τ d abhängig. Die drei Summanden werden untereinander durch die beiden Systemparameter ε und κ gewichtet, wobei die Gewichte so gewählt werden, dass die Normierung der Zustände der Einheiten erhalten bleibt. Der Parameter ε gewichtet dabei die zeitlich lokale Eigendynamik der Einheit gegenüber den zeitverzögerten Einkopplungen, der Parameter κ die Selbstrückkopplung gegenüber der externen Kopplung. ε = 0 bedeutet also keine zeitverzögerten Einkopplungen, κ = 0 keine Selbstrückkopplung. Die Funktion f kann jede chaotische Funktion sein, bei der Definitions- und Wertemenge identisch sind, damit sie sinnvoll iteriert werden kann, z. B. die Bernoulli-Abbildung oder die logistische Abbildung 2. 1 D. h. die Zustände der Einheiten werden zu ganzzahligen Zeitpunkten durch Iteration berechnet. 2 Die logistische Abbildung ist definiert als f(x) = r x (1 x). Für r = 4 und x [0, 1] sind Definitions- und Wertemenge identisch. 15

16 16 2 Analytische Behandlung f x x (a) Der Verlauf der Bernoulli-Abbildung ist durch einen Sprung bei 1 a geprägt. xt t (b) Die Iteration der Bernoulli- Abbildung zeigt chaotisches Verhalten für a > 1. Abbildung 2.1: Die Bernoulli-Abbildung f(x) = (a x) mod 1 mit a = 3 2 (Abbil- In dieser Diplomarbeit wird ausschließlich die Bernoulli-Abbildung 3 dung 2.1) f(x) = (a x) mod 1 mit a = 3 2 und x [0, 1] verwendet werden, da sie die einfachste Abbildung ist, die chaotisches Verhalten (für a > 1) zeigt und aufgrund der konstanten Steigung eine bekannte Verteilung ihrer Ableitung f (x) bei der Iteration besitzt, was die analytische Behandlung überhaupt erst möglich macht. Es stellt sich nun die Frage, welche Synchronisationsformen in dem zu untersuchenden 3er-Ring (Abbildung 1.2) überhaupt auftreten können. Die naheliegendste Form wäre die vollständige isochrone Synchronisation S t = A t = B t (2.2) bei der alle drei Einheiten zeitgleich derselben Trajektorie folgen. Um zu überprüfen, ob Gleichung 2.2 eine synchrone, d. h. für beliebige t gültige Lösung des Gleichungssystems 2.1 ist, nimmt man aufgrund von Gleichung 2.2 an, dass die linken Seiten der Gleichungen des Gleichungssystem für beliebige t gleich seien, ersetzt die rechten Seiten der Gleichungen mittels Gleichung 2.2 o. B. d. A. z. B. durch die entsprechenden Terme A t von Einheit A und überprüft, ob auch die 3 mod bezeichnet die Modulo-Funktion, sie ist der nichtganzzahlige Rest bei ganzzahliger Divison.

17 2.1 Mögliche Synchronisationsformen 17 rechten Seiten für beliebige Zeiten t gleich sind: S t = (1 ε) f(a t 1 ) + ε κ f ( ( ) 1 A t τf + ε (1 κ) 2 f(a t τ d ) + 1 ) 2 f(a t τ d ) A t = (1 ε) f(a t 1 ) + ε κ f ( ( ) 1 A t τf + ε (1 κ) 2 f(a t τ d ) + 1 ) 2 f(a t τ c ) B t = (1 ε) f(a t 1 ) + ε κ f ( ( ) 1 A t τf + ε (1 κ) 2 f(a t τ d ) + 1 ) 2 f(a t τ c ) Man erkennt hierbei, dass die rechten Seiten nur bis auf den letzten Term identisch sind. Lediglich wenn τ c = τ d ist, sind die letzten Terme für beliebige Zeiten t gleich und ist S t = A t = B t somit eine synchrone Lösung von Gleichungssystem 2.1. Im allgemeinen Fall mit τ c τ d heißt das, dass die vollständige isochrone Synchronisation S t = A t = B t nicht auftreten kann. Man erkennt jedoch auch, dass für beliebige τ c und τ d A t = B t stets eine gültige synchrone Lösung für das Teilsystem AB ist, d. h. durch die Symmetriebrechung im 3er-Ring aufgrund der beiden im Allgemeinen verschiedenen Kopplungszeiten τ c und τ d entsteht für τ c τ d die Möglichkeit einer Untergittersynchronisation AB, während S mit dem Teilsystem AB nicht synchronisiert, was im 3er-Ring mit gleichen Kopplungszeiten nicht möglich ist [2]. Da man nun weiß, dass Synchronisation des Teilsystems AB möglich ist, könnte man vermuten, dass zwischen diesem Teilsystem und der Einheit S wenigstens noch eine zeitverzögerte Synchronisation S t = A t = B t mit = τ c τ d (2.3) existieren kann [15]. Ersetzt man, um dies zu überprüfen, mit Gleichung 2.3 die linke Seite von Gleichungssystem 2.1, nimmt an, dass sie für beliebige Zeiten t gelte, und ersetzt abermals mittels Gleichung 2.3 auch die rechte Seite des Gleichungssystems 2.1 o. B. d. A. z. B. durch die entsprechenden Terme von Einheit A, so erhält man: S t = (1 ε) f(a t 1 ) + ε κ f ( ( ) 1 A t τf + ε (1 κ) 2 f(a t τ d ) + 1 ) 2 f(a t τ d ) A t = (1 ε) f(a t 1 ) + ε κ f ( ( ) 1 A t τf + ε (1 κ) 2 f(a t τ c ) + 1 ) 2 f(a t τ c ) B t = (1 ε) f(a t 1 ) + ε κ f ( ( ) 1 A t τf + ε (1 κ) 2 f(a t τ c ) + 1 ) 2 f(a t τ c ) Auch in diesem verallgemeinerten Fall sind die rechten Seiten wieder nur bis auf die beiden letzten Terme für beliebige Zeiten t gleich. Nur wenn τ c = τ d ist, sind sie identisch und ist somit die Synchronisationsform S t = A t = B t möglich.

18 18 2 Analytische Behandlung Jedoch ist dann = τ c τ d = 0, und man hat wieder obigen isochronen Fall, d. h. bis auf den Spezialfall vollständiger isochroner Synchronisation S t = A t = B t für τ c = τ d kann es keinerlei weitere (identische) Synchronisationsform zwischen S und dem Teilsystem AB geben 4. Die Synchronisation A t = B t für das Teilsystem AB ist jedoch für beliebige Situationen von τ c und τ d möglich, und das auch stets isochron. Daher soll der Fokus im weiteren Verlauf der Arbeit nur noch auf die Synchronisation zwischen Alice und Bob gelegt sein, was jedoch keine Einschränkung darstellt, da man sich ja letztlich vor allem für die Nachrichtenübertragung zwischen den beiden interessiert. 2.2 Lineare Stabilitätsanalyse Für die tatsächliche Existenz der Synchronisation zwischen Alice und Bob stellt der Umstand, dass A t = B t eine Lösung des Gleichungssystems 2.1 für das Teilsystem AB ist, nur eine notwendige Bedingung dar. Es muss als hinreichende Bedingung noch hinzukommen, dass diese synchrone Lösung auch stabil ist, d. h., dass kleine Abweichungen vom synchronen Zustand bzw. kleine Störungen desselben mit der Zeit gedämpft werden, und dass das System wieder zum synchronen Zustand zurückläuft. Um zu bestimmen, für welche Werte der Systemparameter ε und κ dies der Fall ist, führt man eine lineare Stabilitätsanalyse durch, indem man in einem ersten Schritt die Differenz d t der Zustände der beiden Einheiten zum Zeitpunkt t betrachtet 5 : d t = A t B t = (1 ε) (f(a t 1 ) f(b t 1 )) + ε κ ( f ( ) ( )) A t τf f Bt τf ( + ε (1 κ) 1 ) (f(a t τc ) f(b t τc )) 2 (2.4) Noch ist diese Differenz nicht linearisiert, denn es steht hier noch die (nichtlineare) Bernoulli-Abbildung f(x) im Ausdruck. Doch kann man schon ein wesentliches Ergebnis erkennen: Da Alice und Bob exakt das gleiche Signal zur gleichen Zeit vom Server empfangen sie sind ja mit derselben Verzögerungszeit τ d an ihn gekoppelt (vgl. Gleichungssystem 2.1) hebt sich dieses Signal in der Differenz der Zustände von Alice und Bob gerade weg. In der Differenz kommen somit nur noch Zustandsterme von Alice und Bob vor 6. Das heißt also, dass weder das konkrete Signal des Servers noch der Wert der Kopplungszeit τ d einen Einfluss auf die 4 Man mache sich z. B. durch Einsetzen klar, dass eine analoge Argumentation auch für beliebige andere als das in Gleichung 2.3 definierte = τ c τ d gilt. Jedoch sind endliche Korrelationen zwischen S und dem Teilsystem AB isochron oder zeitverschoben möglich dazu später mehr. 5 Dies ist sowohl mathematisch als auch inhaltlich äquivalent zur Betrachtung kleiner Störungen des synchronen Zustandes [2]. 1 ist hierbei der für die Differenz zwischen A und B und damit 2 für Synchronisation relevante Eigenwert des Gleichungssystems für das Teilsystem AB. 6 Natürlich muss dafür die Kopplungszeit zwischen Server und Alice exakt gleich jener zwischen Server und Bob sein, was in der Praxis wieder eine Justierung erfordert, jedoch eine Grundannahme des in dieser Diplomarbeit behandelten Modells sein soll.

19 2.2 Lineare Stabilitätsanalyse 19 Τ f S N Τ d Τ d Τ d Τ d Τ f A Τ c B Τ f Τ f A Τ c B Τ f (a) Der Server ist nur unidirektional mit Alice und Bob gekoppelt. (b) Der Server muss nicht einmal dieselbe interne Dynamik wie Alice und Bob besitzen. Er kann auch z. B. einfach eine Rauschquelle Noiser mit gleichverteiltem Rauschen sein. Abbildung 2.2: Da Alice und Bob genau das gleiche Signal vom Server empfangen, genügt es für die Stabilität ihrer Synchronisation auch, den Server lediglich unidirektional mit ihnen zu koppeln. Synchronisation zwischen Alice und Bob haben 7, und man betrachtet effektiv nur die Synchronisation eines Systems aus zwei bidirektional miteinander gekoppelten Bernoulli-Einheiten, jedoch nun mit einem betragsmäßig verringerten Eigenwert von 1 2 statt 1, wie es beim gekoppelten Paar (Abbildung 1.1) der Fall ist [2]. Dieser Umstand erlaubt eine Vereinfachung des betrachteten 3er-Rings, ohne irgendwelche neuen Effekte hinsichtlich der Synchronisation zwischen Alice und Bob zu erzeugen oder derartige bestehende Effekte zu eliminieren. Es genügt nämlich, den Server uni- statt bidirektional mit Alice und Bob zu koppeln, so dass die beiden sein Signal empfangen, er jedoch nicht ihre Signale (Abbildung 2.2a). Gleichzeitig muss entsprechend die Selbstrückkopplung des Servers verstärkt werden, damit seine Zustände normiert bleiben. Seine neue Zustandsgleichung lautet dann: S t = (1 ε) f(s t 1 ) + ε f ( ) S t τf Man kann das System sogar noch weiter vereinfachen. Der Server muss nämlich nicht einmal die gleiche Dynamik wie Alice und Bob besitzen, d. h. eine Bernoulli-Einheit sein. Es genügt auch, wenn er einfach eine Rauschquelle ist, die z. B. gleichverteilte Zufallszahlen aus dem Intervall [0, 1] an Alice und Bob sendet, solange die beiden Kopplungszeiten auch weiterhin exakt gleich sind (Abbildung 2.2b). Nun soll der Ausdruck 2.4 für die Differenz d t = A t B t linearisiert werden. Die Annahme hierbei ist, dass diese Differenz klein sei und daher dann die beiden 7 Natürlich hat das Signal des Servers und der Wert von τ d Einfluss auf die konkreten Signale von Alice und Bob, jedoch auf genau dieselbe Art und Weise, so dass die Differenz unbeeinflusst bleibt. Bei der Untersuchung der Stabilität der Synchronisation zwischen Alice und Bob interessiert man sich aber eben nur für diese Differenz.

20 20 2 Analytische Behandlung Zustände A t und B t mit hoher Wahrscheinlichkeit auf demselben Zahn der Bernoulli-Abbildung liegen. Da auch die Verteilung der Steigung f (x) bekannt ist die Steigung ist stets gleich a kann man die Differenzen der Funktionswerte von A und B linear durch die Steigung multipliziert mit der Differenz der Zustände von A und B approximieren und erhält: d t = (1 ε) a (A t 1 B t 1 ) + ε κ a ( ) A t τf B t τf ( + ε (1 κ) a 1 ) (A t τc B t τc ) 2 Die Steigung a sei dabei im chaotischen Bereich (d. h. a > 1) beliebig, aber fest 8. Drückt man die Zustandsdifferenzen von A und B zu den Zeitpunkten t 1, t τ f und t τ c wieder durch eine Differenz d aus, so erhält man eine Rekursionsformel für die Zeitentwicklung der Differenz d: ( d t = (1 ε) a d t 1 + ε κ a d t τf + ε (1 κ) a 1 ) d t τc 2 Um diese Rekursionsformel zu lösen, sei angenommen, dass die Differenz zwischen A und B eine exponentielle Zeitentwicklung aufweist 9. Man macht daher folgenden komplexwertigen 10 Exponentialansatz [2, 13]: d t = c t d 0 = e (λ+i ω) t d 0 mit c C \ {0} und d 0, λ, ω R d 0 0 (2.5) Dabei ist λ = ln c der Lyapunov-Exponent, der die Geschwindigkeit der Zu- oder Abnahme der Differenz mit der Zeit charakterisiert, und ω ist die komplexe Phase der Lösung c, welche die Oszillationsfrequenz der Differenz in der Zeitentwicklung beschreibt. Daraus ergibt sich eine komplexwertige Polynomgleichung vom Grade max(τ c, τ f ): ( c t d 0 = (1 ε) a c t 1 d 0 + ε κ a c t τ f d 0 + ε (1 κ) a 1 ) c t τc d 0 2 oder nach Kürzen von c t d 0 0: ( 1 = (1 ε) a c 1 + ε κ a c τ f + ε (1 κ) a 1 ) c τc (2.6) 2 Beim Lösen dieser Polynomgleichung erhält man max(τ c, τ f ) komplexwertige Lösungen c(ε, κ) mit einem Spektrum von max(τ c, τ f ) Lyapunov-Exponenten λ, welche 8 In dieser Arbeit gelte stets a = d. h. exponentiell anwächst, exponentiell schrumpft oder im Grenzfall konstant ist 10 Da die Differenz d t genauso wie die Zustände der Einheiten eine reelle Größe ist, hat dann aber nur der Realteil von c t d 0 eine physikalische Bedeutung (vgl. komplexwertiger Ansatz bei einem reellen Schwingungsproblem).

21 2.2 Lineare Stabilitätsanalyse 21 eindeutig 11 über die max(τ c, τ f ) erlaubten Werte der komplexen Phase ω parametrisiert sind, d. h. λ = λ(ω) und somit c(ε, κ) = c(ω, ε, κ) =: c ω (ε, κ). Die Zeitentwicklung der Differenz d t besteht also aus einer Überlagerung von max(τ c, τ f ) im Allgemeinen gedämpften oder anwachsenden Schwingungen mit unterschiedlichen Frequenzen und Dämpfungs- bzw. Wachstumskonstanten, wobei jeder Frequenz eine Dämpfungs- bzw. Wachstumskonstante eindeutig zugeordnet ist. Um zu bestimmen, für welche Systemparameter ε und κ die Synchronisation zwischen A und B stabil ist, betrachtet man diese Lösungen c ω (ε, κ) für die Zeitentwicklung der Differenz zwischen A und B. Wie oben beschrieben bedeutet Stabilität ja, dass die Differenz d t mit der Zeit gedämpft wird und das System somit wieder zum synchronen Zustand zurückläuft. Da die Lösungen c ω (ε, κ) mit der Zeit t potenziert werden (Gleichung 2.5), heißt das, dass für Dämpfung der Differenz für alle max(τ c, τ f ) Lösungen gleichzeitig c ω (ε, κ) < 1 gelten muss, oder anders ausgedrückt, dass alle Lyapunov-Exponenten λ ω = ln c ω (ε, κ) < 0, also negativ sein müssen. Dies kann man leicht dadurch überprüfen, dass man nur die betragsmäßig größte Lösung c max (ε, κ) mit c max (ε, κ) = max c ω(ε, κ) betrachtet, denn sie stellt für den Betrag eine obere Schranke dar, und ist für sie obige Bedingung erfüllt, so ist die Bedingung automatisch auch für alle anderen Lösungen erfüllt. In der Praxis kann man jedoch nur das oder ggf. die ω bestimmen, für das bzw. die der Betrag ein lokales Maximum annimmt. Gibt es nur ein solches ω, so hat der Betrag dort generell auch sein globales Maximum. Dies ist im Speziellen dann der Fall, wenn τ c = τ f ist. Jedoch gerade in den Fällen τ c τ f kann es vorkommen, dass es zwei oder mehrere solche lokalen Maxima gibt, und je nach der konkreten Wahl der Systemparameter ε und κ kann das eine oder aber eines der anderen lokalen Maxima auch das globale Maximum des Betrags darstellen 12. Um den gesamten Parameterraum (ε, κ) abzudecken, muss man daher stets alle bestimmten Lösungen c lokmax,i (ε, κ) mit relevanten 13 lokalen Betragsmaxima berücksichtigen. Man erhält schlussendlich eine (oder mehrere) Bedingung(en) c lokmax,i (ε, κ) < 1 für ε und κ, deren Schnittmenge beschreibt, für welche Punkte (ε, κ) im Parameterraum die synchrone Lösung A t = B t stabil ist und diese Synchronisationsform somit tatsächlich auftreten kann. ω 11 aber nicht zwangsweise eineindeutig 12 Es können auch sogar zwei oder mehrere lokale Maxima für eine bestimmte Wahl von ε und κ gleichzeitig das globale Maximum darstellen, der maximale Betrag wird dann zugleich für die verschiedenen ω dieser lokalen Maxima angenommen. Dies ist gerade an den Schnittpunkten der Grenzen der einzelnen zu den jeweiligen Lösungen c lokmax,i (ε, κ) gehörenden Dämpfungsgebiete im Parameterraum (ε, κ) der Fall. 13 d. h. jene lokale Betragsmaxima, die mindestens für einen Punkt im Parameterraum (ε, κ) auch das globale Maximum darstellen. Anschaulich kann man die Relevanz einer Lösung c lokmax,j (ε, κ) mit einem lokalen Betragsmaximum daran erkennen, dass die Schnittmenge der Dämpfungsgebiete der anderen Lösungen c lokmax,i (ε, κ) mit dem Dämpfungsgebiet ebendieser Lösung kleiner ist als die Schnittmenge der Dämpfungsgebiete der anderen Lösungen ohne die Hinzunahme dieser Lösung, d. h. dass die Schnittmenge der Dämpfungsgebiete der anderen Lösungen nicht vollständig im Dämpfungsgebiet dieser Lösung enthalten ist.

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23 3 Einfluss der Kopplungszeiten In diesem Kapitel sollen analytische lineare Stabilitätsanalysen für verschiedene Situationen der Werte der Kopplungszeiten τ c und τ f durchgeführt und mit den entsprechenden numerischen Ergebnissen aus der Computersimulation des 3er-Rings verglichen werden, um den Einfluss dieser beiden Kopplungszeiten auf das Stabilitätsgebiet der Synchronisationsform A t = B t im Parameterraum (ε, κ) zu untersuchen. Hierbei kann man drei wesentliche Aspekte der beiden Kopplungszeiten unterscheiden. Zum einen ist dies die relative Situation von τ c und τ f zueinander: Sind die beiden Kopplungszeiten genau gleich (Abschnitt 3.1), ist τ c größer als τ f (Abschnitt 3.2) dies wird in der Realität wohl der am ehesten zutreffende Fall sein, oder ist τ c kleiner als τ f (Abschnitt 3.3)? In den letzten beiden Fällen kann man als zweiten Aspekt unterscheiden, ob die Differenz zwischen den beiden Kopplungszeiten groß oder klein ist. Als dritten Aspekt kann man schließlich noch jeweils die beiden Fälle differenzieren, ob die Kopplungszeiten selbst groß oder klein sind, wobei groß hier als groß gegenüber der Zeitskala der internen Dynamik der Bernoulli-Einheiten zu verstehen ist dies wird in der Realität wohl der Fall sein und klein in der gleichen Größenordnung wie die der Zeitskala der internen Dynamik der Bernoulli-Einheiten bedeutet. Diese drei Aspekte spiegeln sich systematisch in den Abschnitten dieses Kapitels wider. Pro möglichem Fall wird dabei eine exemplarische Kombination der Werte von τ c und τ f untersucht werden. In der Computersimulation wird der 3er-Ring und die Zeitentwicklung seiner Bernoulli-Einheiten durch Iteration der Gleichungen des Gleichungssystems 2.1 berechnet. Um eine bessere und schnellere Aussage darüber zu erhalten, ob für einen Punkt im Parameterraum (ε, κ) die Synchronisation stabil ist oder nicht, wird der Startzustand der Einheiten im Zustand der sog. Fast-Synchronisation initialisiert. Dabei sind die Anfangszustände des entsprechend der endlichen Kopplungszeiten dimensionierten internen Zustandsspeichers der Einheiten zwar zufällig aus dem Intervall [0, 1] gewählt, unterscheiden sich zwischen den Einheiten aber nur geringfügig in der Größenordnung 10 9 voneinander. Die Einheiten sind also zu Beginn nahezu synchronisiert. Wenn die Synchronisation stabil ist, werden diese kleinen Differenzen schnell hin zur vollständigen Synchronisation gedämpft, ansonsten laufen die Einheiten schnell auseinander. Um jedoch eine differenziertere Aussage über die Synchronisation zu erhalten als nur jene, ob sie stabil oder nicht stabil ist, wird die sog. Kreuzkorrelation zwischen jeweils zwei der drei Einheiten, definiert durch Corr AB ( τ) := A t τ B t A t B t A 2 2 B t At 2 2 t Bt 23

24 24 3 Einfluss der Kopplungszeiten (analog für SA und SB), berechnet. Die Mittelwerte sind dabei Mittelwerte über mehrere Zeitschritte. Der Wertebereich der Kreuzkorrelation geht von 1 bis +1, ein Wert von +1 bedeutet dabei vollständige und stabile Synchronisation, ein Wert von 0 völlige Korrelationsfreiheit, d. h. gegenseitige Unabhängigkeit in der Zeitentwicklung. Für τ = 0 erhält man die isochrone Kreuzkorrelation, d. h. insbesondere eine Aussage darüber, ob die Einheiten exakt gleichzeitig die gleichen Werte annehmen, also ohne Zeitverzögerung miteinander synchronisiert sind. Der Parameterraum (ε, κ) wird in Schritten von 25 in jeder der beiden Dimensionen abgerastert. Für jeden Punkt, also jede Kombination der Werte von ε und κ, wird die isochrone Kreuzkorrelation berechnet und in einem Phasendiagramm aufgetragen. Dem System wird dabei eine Einschwingzeit von 10 5 Zeitschritten gegeben, die Korrelation wird danach aus einer Mittelung von 10 4 weiteren Zeitschritten berechnet. Zusätzlich werden für den festen Punkt 1 ε = 4 5, κ = 0 des Parameterraums die zeitverschobenen Kreuzkorrelationen in Abhängigkeit der Zeitverschiebung τ berechnet und in einem Diagramm aufgetragen, um auf wenn nicht isochron so wenigstens evtl. zeitverschoben vorhandene starke Korrelationen der Einheiten zu testen. Positive Werte von τ bedeuten dabei eine Zeitverschiebung, bei der die erste Einheit (in obiger Formel A) der zweiten Einheit (in obiger Formel B) hinterherläuft, negative Werte entsprechend umgekehrt. Um die im vorigen Kapitel gemachten Aussagen zu verifizieren, werden neben den isochronen und zeitverschobenen Kreuzkorrelationen zwischen den uns primär interessierenden Einheiten Alice und Bob auch noch die entsprechenden Korrelationen zwischen den Einheiten Server und Alice bzw. Server und Bob 2 dargestellt. Der Server sei dabei entsprechend Gleichungssystem 2.1 bidirektional mit Alice und Bob gekoppelt. Für die Kopplungszeit τ d (die nur für die Korrelationen zwischen Server und Alice bzw. Server und Bob eine Rolle spielt) gelte der Einfachheit halber stets τ d = τ f. 3.1 Fall τ c = τ f In diesem Abschnitt soll der einfachste Fall gleicher Kopplungszeiten τ c = τ f betrachtet werden. Da wegen der Wahl τ d = τ f (s. o.) damit sogar τ c = τ d = τ f gilt, ist in diesem Fall die Symmetriebrechung des 3er-Rings bezüglich τ d und τ c aufgehoben, d. h. es ist, wie in Abschnitt 2.1 erläutert, als einzige Synchronisationsform nur die vollständige isochrone Synchronisation aller drei Einheiten möglich. Wenn die Synchronisation zwischen Alice und Bob stabil ist, so ist sie dies somit auch zwischen Server und Alice bzw. Server und Bob. 1 Dieser Punkt wurde gewählt, da einerseits besonders der Fall nicht vorhandener Selbstrückkopplung (κ = 0) von Interesse ist und andererseits ohne Selbstrückkopplung für ε = 4 in jedem der 5 betrachteten Fälle stabile Synchronisation zwischen Alice und Bob möglich ist. Dadurch ist eine direkte Vergleichbarkeit der zeitverschobenen Kreuzkorrelationen zwischen den verschiedenen Fällen gegeben. 2 Die Korrelationen zwischen Server und Alice müssen aus Symmetriegründen gleich jenen zwischen Server und Bob sein.

25 3.1 Fall τ c = τ f Kleine Kopplungszeiten Als exemplarischer Wert für kleine Kopplungszeiten sei hier τ c = τ f = 2 gewählt. Damit wird Polynomgleichung 2.6 zu: c 2 (1 ε) a c ε a 2 (3 κ 1) = 0 Diese quadratische Gleichung für c kann man direkt lösen. Ihre beiden Lösungen sind: c ± = (1 ε) a ± (1 ε) 2 a ε a (3 κ 1) 2 Da man nur an der Lösung interessiert ist, für die der Betrag von c maximal wird, ist nur die Lösung c + relevant. Man erhält somit als einzige Bedingung für das Stabilitätsgebiet der Synchronisation im Parameterraum (ε, κ): (1 ε) a + (1 ε) 2 a ε a (3 κ 1) 2 < 1 Abbildung 3.1 zeigt das analytisch bestimmte Stabilitätsgebiet in einem Phasendiagramm zusammen mit den isochronen Kreuzkorrelationen zwischen Alice und Bob aus der Simulation sowie zum Vergleich die isochronen Kreuzkorrelationen zwischen Server und Alice bzw. Server und Bob, deren Stabilitätsgebiet der in diesem Fall möglichen Synchronisation aus Symmetriegründen identisch mit dem von Alice und Bob ist. Des Weiteren sind dort die jeweiligen zeitverschobenen Kreuzkorrelationen dargestellt.

26 26 3 Einfluss der Kopplungszeiten 1.0 Corr 1.0 Corr Κ Κ Ε Ε (a) Phasendiagramm mit isochronen Kreuzkorrelationen Server Alice bzw. Server Bob (blaue Linie: Grenze des analytischen Stabilitätsgebietes der Synchronisation) Corr Τ (c) Zeitverschobene Kreuzkorrelationen Server Alice bzw. Server Bob für ε = 4 5, κ = 0 (b) Phasendiagramm mit isochronen Kreuzkorrelationen Alice Bob (blaue Linie: Grenze des analytischen Stabilitätsgebietes der Synchronisation) Corr Τ (d) Zeitverschobene Kreuzkorrelationen Alice Bob für ε = 4 5, κ = 0 Abbildung 3.1: Kreuzkorrelationen für den Fall τ c = τ f und kleine Kopplungszeiten (analytisch und in der Simulation τ c = τ f = 2)

27 3.1 Fall τ c = τ f Große Kopplungszeiten Polynomgleichung 2.6 wird für den Fall τ c = τ f =: τ zu: 1 = (1 ε) a c 1 +ε κ a c τ ε (1 κ) a 2 In der analytischen Rechnung seien große Kopplungszeiten durch τ c = τ f = τ realisiert. Eine der Lösungen der Polynomgleichung ist von der Größenordnung Eins [1, 2]. Für diese Lösung kann man die letzten beiden Terme vernachlässigen und erhält als Lösung der Gleichung: c = c = (1 ε) a Auch für diese Lösung muss c < 1 gelten. Man erhält daher als erste Bedingung für Stabilität: ε > a 1 a Die anderen τ 1 Lösungen sind von der Größenordnung 1 τ. Zu deren Bestimmung kann man die Polynomgleichung umformen zu: c τ (1 ε) a c τ 1 ε a 2 (3 κ 1) = 0 Mit dem in Abschnitt 2.2 erklärten komplexen Exponentialansatz c = e λ+i ω = e λ (cos(ω) + i sin(ω)) c τ und der Näherung e λ τ e λ (τ 1) für τ erhält man: e λ τ = ε a 2 (3 κ 1) (cos(ω τ) i sin(ω τ)) 1 (1 ε) a (cos(ω) i sin(ω)) Bei dieser Bestimmungsgleichung steht auf der linken Seite ein reeller Term, während auf der rechten Seite ein im Allgemeinen komplexer Term steht. Die Erklärung für diesen Umstand ist, dass man statt einer Bestimmungsgleichung für ein komplexes c wie oben nun effektiv zwei Bestimmungsgleichungen für die zwei Unbekannten λ und ω hat, nämlich den Real- und den Imaginärteil dieser Gleichung, wobei jede der beiden Teilgleichungen rein reell ist, so wie man es für die reellen Variablen λ und ω auch erwartet. Diese eine Gleichung stellt also nur eine Zusammenfassung der beiden Teilgleichungen in einer Gleichung dar. Da man für die Betrachtung der Stabilität der Synchronisation und somit des Betrags von c jedoch nur an der Unbekannten λ (dem Lyapunov-Exponenten) interessiert ist, kann man die beiden Teilgleichungen durch Eliminierung der Terme mit ω τ in eine einzige Gleichung zusammenführen, indem man obige Gleichung mit

28 28 3 Einfluss der Kopplungszeiten ihrer Komplex-Konjugierten multipliziert 3. Damit eliminiert man zwar auch die Information über die Phase ω, jedoch ist diese Information für die Betrachtung des Betrages nicht von Bedeutung. Man erhält dann: c ω (ε, κ) 2 τ = e 2 λ τ = ε 2 a 2 4 (3 κ 1)2 1 2 (1 ε) a cos(ω) + (1 ε) 2 a 2 Diese Gleichung hat, wie in Abschnitt 2.2 beschrieben, die Struktur λ = λ(ω), verknüpft zur Lösung der ursprünglichen Polynomgleichung zumindest bezüglich des Betrages c ω (ε, κ) der Lösung c ω (ε, κ) also die beiden Unbekannten λ und ω eindeutig miteinander. Welche Werte von ω eine Lösung darstellen, kann man hieraus freilich nicht mehr erschließen, jedoch geht für τ der Bereich der erlaubten Werte von ω (und damit auch der Werte von λ) in ein kontinuierliches Spektrum ω [0, 2 π) über, so dass jedes beliebige ω erlaubt ist und in Verbindung mit dem mit ihm verbundenen λ(ω) eine gültige Lösung darstellt. Das heißt aber auch, dass die Information über die Phase ω, die oben eliminiert wurde, für τ selbst für die Lösung c ω (ε, κ) und nicht nur für ihren Betrag c ω (ε, κ) unnötig ist. Sein einziges und damit für die Betrachtung relevantes Maximum nimmt der Ausdruck für ω = 0 an. Man erhält dann: oder Aufgrund der Äquivalenz c max (ε, κ) 2 τ = e 2 λmax τ = ε2 a 2 (3 κ 1) 2 4 (1 (1 ε) a) 2 c max (ε, κ) τ = e λmax τ = ε a (3 κ 1) 2 (1 (1 ε) a) c max (ε, κ) τ < 1 c max (ε, κ) < 1 muss man den Ausdruck nicht weiter umformen und erhält somit als zweite Bedingung für Stabilität der Synchronisation: ε a (3 κ 1) 2 (1 (1 ε) a) < 1 Abbildung 3.2 zeigt das analytisch bestimmte Stabilitätsgebiet in einem Phasendiagramm zusammen mit den isochronen Kreuzkorrelationen zwischen Alice und Bob aus der Simulation sowie zum Vergleich die isochronen Kreuzkorrelationen zwischen Server und Alice bzw. Server und Bob, deren Stabilitätsgebiet der in diesem Fall möglichen Synchronisation aus Symmetriegründen identisch mit dem von Alice und Bob ist. Des Weiteren sind dort die jeweiligen zeitverschobenen Kreuzkorrelationen dargestellt. 3 Dies entspricht effektiv der Ausnutzung der Identität cos 2 (...) + sin 2 (...) = 1 wie in [1, 2].

29 3.1 Fall τ c = τ f Corr 1.0 Corr Κ Κ Ε Ε (a) Phasendiagramm mit isochronen Kreuzkorrelationen Server Alice bzw. Server Bob (blaue Linie: Grenze des analytischen Stabilitätsgebietes der Synchronisation) Corr Τ (c) Zeitverschobene Kreuzkorrelationen Server Alice bzw. Server Bob für ε = 4 5, κ = 0 (b) Phasendiagramm mit isochronen Kreuzkorrelationen Alice Bob (blaue Linie: Grenze des analytischen Stabilitätsgebietes der Synchronisation) Corr Τ (d) Zeitverschobene Kreuzkorrelationen Alice Bob für ε = 4 5, κ = 0 Abbildung 3.2: Kreuzkorrelationen für den Fall τ c = τ f und große Kopplungszeiten (analytisch τ c = τ f, in der Simulation τ c = τ f = 40)

30 30 3 Einfluss der Kopplungszeiten 3.2 Fall τ c > τ f In diesem Abschnitt soll der Fall τ c > τ f betrachtet werden, welcher in der Realität wohl am ehesten zutrifft und daher für die Praxis besonders relevant ist. Wegen der Wahl τ d = τ f (s. o.) gilt in diesem Fall auch τ c > τ d Kleine Differenz Als exemplarischer Wert für eine kleine Differenz zwischen τ c und τ f sei hier τ c τ f = 1 gewählt Kleine Kopplungszeiten Für den Fall kleiner Kopplungszeiten seien beispielhaft τ c = 3 und τ f = 2. Polynomgleichung 2.6 wird damit zu: c 3 (1 ε) a c 2 ε a 2 ((2 c + 1) κ 1) = 0 Diese kubische Gleichung kann man direkt lösen. Ihre Lösungen sind: c 1 = 1 3 (1 ε) a s r 3 ( 4 ε ε 2 12 ε+4) a (1 ε) ε κ a 2 27 ε (1 κ) a+ a 2 (( 4 (1 ε) 3 a 2 18 (1 ε) ε κ a+27 ε (1 κ)) 2 16 a((1 ε) 2 a+3 ε κ) 3 ) a((1 ε) 2 a+3 ε κ) + 3 s( 4 3 r ε ε 2 12 ε+4) a (1 ε) ε κ a 2 27 ε (1 κ) a+ a 2 (( 4 (1 ε) 3 a 2 18 (1 ε) ε κ a+27 ε (1 κ)) 2 16 a((1 ε) 2 a+3 ε κ) 3 ) und c 2,± = 3 1 (1 ε) a ± ( 1+ 3 i) s 3 r ( 4 ε ε 2 12 ε+4) a (1 ε) ε κ a 2 27 ε (1 κ) a+ a 2 (( 4 (1 ε) 3 a 2 18 (1 ε) ε κ a+27 ε (1 κ)) 2 16 a((1 ε) 2 a+3 ε κ) 3 ) (±1+ 3 i) a((1 ε) 2 a+3 ε κ) 6 s( 4 3 r ε ε 2 12 ε+4) a (1 ε) ε κ a 2 27 ε (1 κ) a+ a 2 (( 4 (1 ε) 3 a 2 18 (1 ε) ε κ a+27 ε (1 κ)) 2 16 a((1 ε) 2 a+3 ε κ) 3 ) Für die Stabilitätsbetrachtung sind nur die beiden Lösungen c 1 und c 2,+ relevant. Man erhält somit für das Stabilitätsgebiet der Synchronisation im Parameterraum (ε, κ) die beiden Bedingungen c 1 < 1 und c 2,+ < 1 Abbildung 3.3 zeigt das analytisch bestimmte Stabilitätsgebiet in einem Phasendiagramm zusammen mit den isochronen Kreuzkorrelationen zwischen Alice und Bob aus der Simulation sowie zum Vergleich die isochronen Kreuzkorrelationen zwischen Server und Alice bzw. Server und Bob. Des Weiteren sind dort die jeweiligen zeitverschobenen Kreuzkorrelationen dargestellt.

31 3.2 Fall τ c > τ f Corr 1.0 Corr Κ Κ Ε Ε (a) Phasendiagramm mit isochronen Kreuzkorrelationen Server Alice bzw. Server Bob Corr Τ (c) Zeitverschobene Kreuzkorrelationen Server Alice bzw. Server Bob für ε = 4 5, κ = 0 (b) Phasendiagramm mit isochronen Kreuzkorrelationen Alice Bob (blaue Linie: Grenze des analytischen Stabilitätsgebietes der Synchronisation, grüne Linie: zum Vergleich Grenze des analytischen Stabilitätsgebietes für τ c = τ f ) Corr Τ (d) Zeitverschobene Kreuzkorrelationen Alice Bob für ε = 4 5, κ = 0 Abbildung 3.3: Kreuzkorrelationen für den Fall τ c > τ f und kleine Kopplungszeiten mit kleiner Differenz (analytisch und in der Simulation τ c = 3, τ f = 2)