Institut für Stochastik, Fernstudienzentrum

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1 Institut Stochastik, Fernstudienzentrum Vorkurs Mathematik die Fachrichtung Wirtschaftswissenschaften im Herbst 01 Präsenzwoche Übungsaufgaben zum Thema Zahlbereiche Aufgabe 7 Im Yellowstone Nationalpark befinden sich direkt nebeneinander zwei Geysire, von denen der eine (A) genau alle 0 Stunden ausbricht, der andere (B) genau alle 1 Stunden. A ist vor Stunden das letzte Mal ausgebrochen, B vor 6 Stunden. In wie vielen Stunden werden sie das nächste Mal gleichzeitig ausbrechen? Lösung: Bezeichnet 0 den augenblicklichen Zeitpunkt, so sind die Ausbruchzeiten des Geysirs A, 18, 8, 58, 78, 98,..., oder allgemein bricht der Geysir A, gerechnet vom Zeitpunkt 0, zu den Zeitpunkten + k 0, k N, aus. Der Geysir B bricht zu den Zeitpunkten 6, 15, 6, 57, 78, 99,..., oder allgemein, gerechnet vom Zeitpunkt 0,zu den Zeitpunkten 6 + l 1, l N, aus. Der nächste gemeinsame Ausbruch ist zum Zeitpunkt 78. Allgemein finden die gemeinsamen Ausbrüche statt zu den Zeitpunkten 78 + n 0 1 = 78 + n 0, n N 0.

2 Aufgabe 8 1. Bestimmen Sie alle natürlichen Zahlen n N, die die drei Zahlen n, n +, n + Primzahlen sind.. Zeigen Sie, dass es unendlich viele natürliche Zahlen n N gibt, die 5 ein Teiler von n + 1 ist. Lösung: 1. Für jede natürliche Zahl n ist eine der drei Zahlen n, n +, n + durch teilbar, damit gibt es nur ein derartiges Tripel, nämlich das Tripel, 5, Fall: n ist durch 5 teilbar, dann läßt n + 1 den Rest 1 bei der Division durch 5.. Fall: n läßt den Rest 1 bei der Division durch 5, dann läßt n auch den Rest 1 bei der Division durch 5, und folglich ist n + 1 durch 5 teilbar.. Fall: n läßt den Rest bei der Division durch 5, dann läßt n den Rest bei der Division durch 5, und folglich ist n + 1 nicht durch 5 teilbar.. Fall: n läßt den Rest bei der Division durch 5, dann läßt n den Rest bei der Division durch 5, und folglich ist n + 1 nicht durch 5 teilbar. 5. Fall: n läßt den Rest bei der Division durch 5, dann läßt n den Rest 1 bei der Division durch 5, und folglich ist n + 1 durch 5 teilbar.

3 Aufgabe 9 Ein Magier habe ein Kartenspiel mit 7 verschiedenen von 1 bis 7 durchnummerierten Karten. Er bittet einen Zuschauer, sich eine Karte zu denken. Dann legt er zunächst die Karten zeilenweise auf in einem Rechteck mit 8 Zeilen und fragt den Zuschauer, in welcher Spalte sich die gedachte Karte befindet. Der Zuschauer antwortet: in Spalte a. Danach sammelt der Magier die Karten in der Reihenfolge ein, in der sie sich zum Anfang des Spieles befunden haben und legt sie danach wieder zeilenweise in einem Rechteck auf, diesmal aber mit 9 Zeilen. Auf die Frage nach der Spalte, in der sich jetzt die gedachte Karte befindet, lautet die Antwort des Zuschauers: in Spalte b. 1. Welche Karte hat sich der Zuschauer gedacht, wenn die Antworten a = und b = 7 lauten?. Geben Sie eine einfache Rechenvorschrift an, mit der der Magier schnell die gedachte Karte bestimmen kann, wenn die Antwort des Zuschauers Spalte a im ersten Durchgang und Spalte b im zweiten Durchgang lautet. Lösung: Der Zuschauer denke sich die Karte mit der Nummer x {1,,,..., 71, 7}. Erster Durchgang: 8 Zeilen und daher 9 Spalten: die Karte x liegt in der Spalte a, also muss sich bei der Division von x durch 9 der Rest a ergeben, falls a 9 gilt, und der Rest 0, falls a = 9 gilt. Die Zahl x besitzt eine Darstellung der Form x = a + k 9 mit k {0, 1,,,, 5, 6, 7}. Zweiter Durchgang: 9 Zeilen und daher 8 Spalten: die Karte x liegt in der Spalte b, also muss sich bei der Division von x durch 8 der Rest b ergeben, falls b 8 gilt, und der Rest 0, falls b = 8 gilt. Die Zahl x besitzt eine Darstellung der Form Durch Einsetzen erhält man x = b + l 8 mit l {0, 1,,,, 5, 6, 7, 8}. x = 9 x 8 x = 9 (b + l 8) 8 (a + k 9) = 9 b 8 a + (l k) 7. Damit ergibt sich die folgende einfache Rechenregel den Magier: Bilde c = 9 b 8 a. Dividiere die Zahl c mit Rest durch 7, also Es gilt c = 9 b 8 a = q 7 + r mit r {0, 1,,... 70, 71}. x = { r, falls r 0, 7, falls r = 0. Im Spezialfall a = und b = 7 ergibt sich x = 6 = 1.

4 Aufgabe 10 Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden quadratischen Gleichungen. (a) x x + = 0, (b) x 6 x 9 = 0, (c) x 8 x + = 0, (d) x + 1 x = 1, (e) x + x + 5 = 0, (f) x + 6 x + = 1. Lösung: Die quadratische Gleichung x + a x + b = 0 hat die (reellen) Lösungen x 1/ = a a ± b = a ± a b, falls a b > 0. Im Fall a b < 0 besitzt die Gleichung keine reellen Lösungen. Besitzt die quadratische Gleichung die reellen Lösungen x 1, x R, so gilt x + a x + b = (x x 1 ) (x x ). (a) x x + = 0, die Gleichung hat die Lösungen x 1/ = ± = ± 1, also x 1 = 1 oder x =. Es gilt x x + = (x 1) (x ). (b) x 6 x 9 = 0, Multiplikation mit ( 1) ergibt die Gleichung x + 6 x + 9 = 0 mit den Lösungen x 1/ = ± 9 9 =, also x 1 = x =. Es gilt x + 6 x + 9 = (x + ).

5 (c) x 8 x + = 0, Muliplikation mit 1 ergibt die Gleichung mit den Lösungen Es gilt x 1/ = 1 ± x x + = 0 1 = 1 ± 1, also x 1 = 1 und x =. x x + = (x 1 ) (x ). (d) x + 1 x = 1, Addition von 1 ergibt die Gleichung mit den Lösungen Es gilt x + 1 x + 1 = 0 x 1/ = 7 ± 9 1 = 7 ± 6, also x = 1 oder x = 1. (e) x + x + 5 = 0, die Gleichung hat wegen keine Lösungen. x + 1 x + 1 = (x + 1) (x + 1). a b = 0 = 16 < 0 (f) x + 6 x + = 1, Addition von 1 ergibt die Gleichung mit den Lösungen x + 6 x + = (x + x + 1) = (x + 1) = 0 x 1 = x = 1. 5

6 Aufgabe 11 Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden Betragsgleichungen. (a) 5 x 1 = 9, (b) x + = x, (c) x 5 + x + 1 x = 1, (d) x x + = 0, (e) x 1 + x = x, (f) x = x 6 + x 1. Lösung: (a) 5 x 1 = 9, 1. Fall: 5 x 1 < 0, also x < 1, in diesem Fall gilt 5 5 x 1 = 1 5 x = 9, also 5 x = 8, x = 8 5 (, 1 5 ).. Fall: 5 x 1 0, also x 1, in diesem Fall gilt 5 5 x 1 = 5 x 1 = 9, also 5 x = 10, x = [ 1 5, ). Die Lösungmenge der Betragsgleichung lautet folglich L a = { 5 8, } x 5 Schaubild der Funktion f a (x) = 5 x

7 (b) x + = x, 1. Fall: x < 0, also x <, in diesem Fall gilt also x + = x + = x = x, x + x = (x 1) (x + ) = 0, wegen x < (beachte: 1 / (, ), (, ) ) x 1 =.. Fall: x 0, also x, in diesem Fall gilt also x + = x + = x = x, x x = x (x ) = 0, wegen x (beachte: 0 / [, ), [, ) ) x =. Die Lösungsmenge der Betragsgleichung lautet folglich L b = {, }. 6 x Schaubild der Funktion f b (x) = x + x. 7

8 (c) x 5 + x + 1 x = 1, 1. Fall: x < 1, in diesem Fall gilt x 5 + x + 1 x = 5 x (x + 1) ( x) = 0 1, in diesem Fall ergeben sich keine Lösungen.. Fall: 1 x <, in diesem Fall gilt x 5 + x + 1 x = 5 x + x + 1 ( x) = x + = 1 x = x 1 = 1 [ 1, ).. Fall: x < 5, in diesem Fall gilt x 5 + x + 1 x = 5 x + x + 1 (x ) = x + 10 = 1 x = x = 9 [, 5).. Fall: 5 x, in diesem Fall gilt x 5 + x + 1 x = x 5 + x + 1 (x ) = 0 1, in diesem Fall ergeben sich keine Lösungen. Die Lösungmenge der Betragsgleichung lautet folglich L c = { 1, 9 } x 6 1 Schaubild der Funktion f c (x) = x 5 + x + 1 x 1. 8

9 (d) x x + = 0, 1. Fall: x <, in diesem Fall gilt x x + = x ( x ) = 7 + x = 0 x = x 1 = 7 ( ).. Fall: x <, in diesem Fall gilt x x + = x ( x + ) = x 1 = 0 x = x = 1 [, ).. Fall: x, in diesem Fall gilt x x + = x ( x + ) = x 7 = 0. Diese Gleichung hat im Intervall [, ) keine Lösung (beachte: 7 / [, ) ). Die Lösungmenge der Betragsgleichung lautet folglich L d = { 7, 1 }. 8 6 x Schaubild der Funktion f d (x) = x x +. 9

10 (e) x 1 + x = x, 1. Fall: x < 1, in diesem Fall gilt x 1 + x = (1 x) + ( x) = 5 x = x, wegen 1 / (, 1) ergeben sich in diesem Fall keine Lösungen.. Fall: 1 x <, in diesem Fall gilt x 1 + x = (x 1) + ( x) = x = x x = x 1 = 1 [1, ).. Fall: x, in diesem Fall gilt x 1 + x = (x 1) + (x ) = x 5 = x x = x = 5 [, ). Die Lösungmenge der Betragsgleichung lautet folglich L e = {1, 5} x Schaubild der Funktion f e (x) = x 1 + x x. 10

11 (f) x = x 6 + x 1, 1. Fall: x < 1, in diesem Fall gilt x x 6 x 1 = x 1 + x x 1 = x + 6 = 0, wegen / (, 1) ergeben sich in diesem Fall keine Lösungen.. Fall: 1 x < 1, in diesem Fall gilt x x 6 x 1 = x x x 1 = 8 0, in diesem Fall ergeben sich keine Lösungen.. Fall: 1 x <, in diesem Fall gilt x x 6 x 1 = x x + 6 x + 1 = x + 10, wegen 5 / [1, ) ergeben sich in diesem Fall keine Lösungen.. Fall: x, in diesem Fall gilt x x 6 x 1 = x x 6 x + 1 = x = 0, wegen 1 / [, ) ergeben sich in diesem Fall keine Lösungen. Die Lösungmenge der Betragsgleichung lautet folglich L f = y x Schaubild der Funktion f f (x) = x x 6 x 1. 11

12 Aufgabe 1 Lösen Sie die folgenden Ungleichungen, d.h. bestimmen Sie jeweils die Menge aller x R, welche die Ungleichung erfüllen. (a) 9 x (6 x 1), (b) x 1 1 x, (c) x + 18 x 6 < 0, (d) x 8 x + > 0, (e) x + x, x, (f) x x + 1 x 1, x,, (g) x + x 1, (h) x x Lösung: (6 x 1) (a) 9 x, die Ungleichung ist äquivalent zu der Ungleichung (multiplikation mit > 0) 18 x 18 x. Subtrahiert man auf beiden Seiten den Term 18 x, so erhält man die von x unabhängige Ungleichung 0, welche offensichtlich richtig ist. Die Lösungmenge lautet somit L a = R. (b) x 1 1 x, die Ungleichung ist äquivalent zur Ungleichung (Multiplikation mit 6 > 0) (x 1) = x (1 x) = x. Addiert man auf beiden Seiten den Term x +, so erhält man die Ungleichung 5 x 5 mit der Lösungmenge L b = {x R : x 1} = [1, ). 1

13 (c) x + 18 x 6 < 0, < 0, so erhält man die äquivalente Unglei- multipliziert man diese Ungleichung mit 1 chung x 6 x + 1 > 0. Wegen a b = 6 1 = 108 < 0 besitzt die quadratische Gleichung x 6 x+1 = 0 keine Lösung. Folglich gilt entweder stets x 6 x + 1 > 0 oder stets < 0. Da man x = 0 den positiven Wert 1 erhält, folgt die Lösungmenge L c = R. (d) x 8 x + > 0, multipliziert man diese Ungleichung mit 1 > 0, so erhält man die äquivalente Ungleichung x x + > 0. Die Lösungen der quadratischen Gleichung x x + = 0 lauten x 1/ = 1 ± 1 = 1 ± 1, also x 1 = 1 und x =. Da es sich bei dem Graphen der Funktion x x x + Parabel handelt, lautet die Lösungsmenge um eine nach oben geöffnete (e) x + x L d = R \ [ 1, ]., x, die Ungleichung ist äquivalent zu der Ungleichung x + x + (x ) = x x = x + 8 x 0, x. Die einzige Nullstelle der Funktion x x+ x = x+8 x lautet x = x 1 = Fall: x + 8 > 0, also x < 8, Fall 1.1: x <, in dem Fall gilt Fall 1.: x >, in dem Fall gilt. Fall: x + 8 < 0, also x > 8, in diesem Fall gilt insbesondere x > und Damit ergibt sich die Lösungsmenge x + x = x + 8 x < 0. x + x = x + 8 x > 0. x + x = x + 8 x < 0. L e = (, ) [8, ). 1

14 (f) x x + 1 x 1, x,, diese Ungleichung ist äquivalent zu der Ungleichung Die einzige Nullstelle der Funktion x x + (x + ) (x ) Fall: x < und (x + ) (x ) = x + x 6 > 0. In diesem Fall ergibt sich die Lösungsmenge x+ lautet x = x (x+) (x ) 1 =. L 1 = (, ).. Fall: x > und (x + ) (x ) = x + x 6 < 0. In diesem Fall ergibt sich die Lösungsmenge Insgesamt ergibt sich die Lösungmenge L = (, ). L f = L 1 L { } = (, ) [, ). Schaubild der Funktion x (g) x + x 1, x 1 x+ x 1. Fall: x, in dem Fall ergibt sich die Ungleichung mit eingezeichneter Geraden y = 1. x + x 1, also x.. Fall: x <,in dem Fall ergibt sich die Ungleichung x x 1, also x 1, wegen x < ergeben sich in diesem Fall keine Lösungen. Die Lösungsmenge lautet folglich L g = [, ). 1

15 (h) x x + 6 0, 1. Fall: x, in diesem Fall ergibt sich die Ungleichung x + ( x 6) = x , also x 10.. Fall: < x <, in diesem Fall ergibt sich die Ungleichung x + x 6 = x 0, also x.. Fall: x, in diesem Fall ergibt sich die Ungleichung x x 6 = x 10 0, also x 10, wegen x ergeben sich in diesem Fall keine Lösungen. Insgesamt ergibt sich die Lösungsmenge L h = [ 10, ]. 5 6 x Schaubild der Funktion x x x

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