2. Grundbegriffe der Statistik

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1 Statstsche Physk, G. Schön, Karlsruher Insttut für Technologe (Unverstät) 3. Grundbegrffe der Statstk.1 Elementare Begrffe Im Folgenden betrachten wr ene oder mehrere stochastsche Varablen X oder auch stochastsche Funktonen. Ene stochastsche Varable kann entweder dskrete Werte {x 1, x,...} annehmen (z.b. de Zahl der Punkte be 3 Würfeln) oder kontnuerlche Werte {x} (z.b. de Koordnate enes Telchens). De statstschen Egenschaften von X snd vollständg beschreben durch de Wahrschenlchketsvertelung oder Vertelungsfunkton ρ. Se erfüllt für dskrete Werte Postvtät ρ 0 ρ(x) 0 orm ρ = 1 kontnuerlche Werte von X dx ρ(x) = 1. Damt fnden wr: Mttelwert <X> = x ρ = dx x ρ(x) n-tes Moment <X n > = x n ρ = dx x n ρ(x) Standardabwechung σ = [<X > <X> ] 1/ und Varanz = σ De charakterstsche Funkton st φ(k) = <e kx > = dx e kx ρ(x). De Umkehrung lautet dk ρ(x) = e kx φ(k). De charakterstsche Funkton kann nach den Momenten entwckelt π (k) n werden, φ(k) = n! <X n >, und so aus den Momenten de Vertelungsfunkton bestmmt n=0 werden. Umgekehrt lassen sch aus der charakterstschen Funkton de Momente bestmmen <X n > = 1 n dn φ(k) dk n k=0. Kumulanten-Entwcklung und Kumulanten-erzeugende Funkton φ(k) = exp{ (k) n n 1 d n! C n (X)} = exp S mt C n (X) = n n S n=1 dk k=0 Der Verglech (nach Entwckeln) lefert de Relaton zwschen Kumulanten und Momenten C 1 (X) = <X> ; C (X) = σ ; C 3 (X) = <X 3 > 3 <X> <X > + <X> 3 ;

2 4 De Kumulanten-Entwcklung konvergert.a. schneller als de Entwcklung nach Momenten. 1 Z.B für ene Gauß-Vertelung, ρ(x) = σ π exp[ 1 (x x ) ], glt C n (X) = 0 für n 3. σ Mehrere stochastsche Varablen Als Bespel betrachten wr kontnuerlche Varablen X mt möglchen Werten {x} und Y mt den Werten {y}. Im Produktraum X Y snd de möglchen Werte {(x,y)}. Es glt Gemensame Vertelungsfunkton ρ X Y (x,y) 0, normert dx dy ρ X Y (x,y) = 1 Momente <X n Y m > = dx dy x n y m ρ X Y (x,y) reduzerte Vertelungsfunkton ρ X (x) = dy ρ X Y (x,y) Kovaranz: cov (X,Y) <(X <X>) (Y <Y>)> Korrelaton: cor (X,Y) Unabhängge Varablen cov (X,Y) σ x σ y Wenn X und Y unabhängg snd, faktorsert de gemensame Vertelungsfunkton, ρ X Y (x,y) = ρ X (x) ρ Y (y). Stochastsche Funkton Als Bespel betrachten wr ene stochastsche zetabhängg Funkton der Zet X(t). Her nteressert de Autokorrelatonsfunkton f(t,t') = <(X(t) <X>) (X(t') <X>)>. De Bnomal-, Gauß- und Posson-Vertelung Wr betrachten verschedene Objekte. Dann st de Zahl der Permutatonen Ν! (d.h. unter Berückschtgung der Anordnung). Wenn wr R Objekte aus Ν herausgrefen, st de Zahl der Varatonen (mt Berückschtgung der Anordnung)! ( R)!. Dagegen st de Zahl der Kombnatonen (d.h. ohne Berückschtgung der Anordnung) R =! ( R)!R!. Wr betrachten en System, wo jede Messung enes von zwe möglchen Ergebnssen A oder B lefert mt den Wahrschenlchketen p und q = 1 p. Bespele: Münze: Ergebns = Kopf (mt p = 1 ) oder Ergebns = Zahl (mt q = 1 ) Spn m Magnetfeld: (p) oder (q)

3 Telchen n Telvolumen V 1 (p = V 1 /V) oder außerhalb (q = V V 1 V ) radoaktver Zerfall: Zerfallswahrschenlchket n Zetenhet t st p «1. 5 De Wahrschenlchket dafür, dass Messungen n mal das Ergebns A und entsprechend n mal das Ergebns B lefern, st gegeben durch de Bnomal-Vertelung ρ (n) =! n!( n)! pn q n ρ (n) = (p+q) = 1 n=0 <n> = n ρ (n) = p n=0 σ = n n = pq ρ(n) 0,3 0,5 0, 0,15 0,1 0, Bnomal-Vertelung für = 10, p = 1/3 n Für große glt σ Ν /<n> 1/. D.h. de relatve Brete verschwndet für große. Gauß-Vertelung Für große, p und q reduzert sch de Bnomal-Vertelung auf ene Gauß-Vertelung um den Mttelwert <n> = p mt der Varanz σ = pq, und n kann als kontnuerlche Varable betrachtet werden. Zum Bewes verwenden wr de Strlng-Formel, de sagt, dass für große m glt: m! m m m πm. Damt glt e 1 ρ(n) = exp πσ ( n n ) σ mt dn ρ (n) = 1 - Posson-Vertelung Für und glechzetg p 0, so dass a = p endlch blebt, reduzert sch de Bnomal- Vertelung auf ene Posson-Vertelung (z.b. radoaktver Zerfall)

4 6 n a a e ρ(n) = n! n=0 <n> = a σ = ρ(n) = 1 n n = n ρ(n) 0,3 0,5 0, 0,15 0,1 0, Posson-Vertelung für a = n Gauß-Vertelung für mehrere Varablen x 1... x M Als nächstes betrachten wr mehrere stochastsche Varablen x, de charaktersert snd durch ene gemensame (normerte) Gauß-Vertelung det( A) ρ(x 1,... x M ) = M/ (π) det( A) = M/ (π) M 1 exp (x a ) A j(x j a j),j=1 M 1 exp ξ A j ξj,j=1 wobe ξ = x a, und A st ene M-dmensonale, symmetrsche, postv defnte Matrx. Dann glt für Mttelwert, Kovaranz und de höheren Momente <x n > = a n, < ξξ j >=A, <ξ ξ j ξ k ξ m > = A j Akm + Ak Ajm + Am Ajk, usw. Zur Herletung bewesen wr zunächst de Relaton j det( A) (π) M/ M 1 T T 1 T 1 d exp + = exp ξ ξ Aξ b ξ b A b. (*) Dazu vervollständgen wr das Quadrat m Exponenten der lnken Sete durch den der rechten Sete 1 T T 1 T 1 1 T ξ Aξ+ b ξ b A b= y Ay mt y = ξ 1 A b. Weter dagonalseren wr de Matrx A durch ene orthogonale Transformaton B= O AO. Mt 1 1 T 1 T z = O y erhalten wr y Ay= z Bz. Damt reduzert sch das M-dmensonale Integral T

5 (unter Verwendung bekannter Egenschaften we det O= 1; det A= det B) auf en Produkt von M en-dmensonalen Gauß schen Integralen M 1 T T 1 T 1 M 1 T M 1 T d ξ exp[ ξ Aξ+ b ξ b A b] = d y exp[ y Ay] = d exp[ ] z z Bz M/ M/ M 1 1 (π) (π) = d z exp[ zbz ] = d z exp[ zbz ] = = B det( A) 7 Für b=0 sehen wr, dass de angegebene Vertelungsfunkton korrekt normert st. Den Ausdruck für de Kovaranz erhalten wr dann, ndem wr de Relaton (*) nach b und b j ableten und anschleßend b=0 setzen. Analog können wr de Ausdrücke für de höheren Momente ableten..3 Random Walk und Dffuson Wr betrachten den Weg enes Betrunkenen n ener Dmenson (d=1). De Wahrschenlchket für enen Schrtt der Wete a nach vorne oder zurück st p = q = 1. ach Schrtten, n nach vorne und n zurück, st der Abstand vom Anfangspunkt (n Enheten von a) glech m = n ( n) = n. 0 a x = m a De Wahrschenlchket, nach Schrtten be m zu sen, st gegeben durch de Bnomal- Vertelung! ρ (m) = n!( n)! 1! = ( +m )! ( m π Ν m exp ( 1 )! ) Ν D. h. der Mttelwert st <m> = 0 und de Varanz <m > =. Beachte, dass für gerade (ungerade) auch m gerade (ungerade) st, und de Vertelung be anderen Werten verschwndet. Für enen Übergang zu ener Kontnuumsbeschrebung defneren wr x = m a und ρ (x) = ρ (m)/a. (Der Faktor 1/ st nötg, wel wr n der Kontnuumsbeschrebung ncht mehr zwschen geraden und ungeraden m unterscheden.) Wr führen ene Zet proportonal zur Zahl der Schrtte t = t en und defneren ene Dffusonskonstante D = a /( t). Dann glt ρ(x,t) = 1 πdt exp x 4Dt ; mt dx ρ( x ) = 1, <x> = 0, <x > = D t

6 8 D.h. ρ(x,t) erfüllt ene Dffusonsglechung t ρ(x,t) = D x ρ(x,t). Dese lässt sch auf 3 Dmensonen verallgemenern und erlaubt auch Berückschtgung von Randbedngungen und Anfangsbedngungen t ρ(r,t) = D ρ(r,t)..4 Zentraler Grenzwertsatz Es werden Messungen derselben stochastschen Varablen durchgeführt (d.h. das Experment wrd -mal durchgeführt). De enzelne Messung st charaktersert durch ene belebge Vertelungsfunkton ρ X (x) mt Mttelwert <x> und Brete x x = σ x. Wr bezechnen den Wert der stochastsche Varable be der -ten Messung mt x und den durch de Summe aller Messungen gebldeten Mttelwert mt y = 1 x. =1 Satz: Der so gebldete Mttelwert von Messungen erfüllt y = x. De Abwechungen snd beschreben durch ene Gauß-Vertelung mt Brete σ y =σ x /, de also mt zunehmendem abnmmt, ρ Y (y) = 1 π σ x exp[ y x σ ( ) ] x Bewes: De Vertelungsfunkton für den Mttelwert y st ρ Y (y) = dx1... dx δ(y 1 x ) ρ X... X (x 1,, x ). Da de Messungen unabhängg snd, faktorsert de gemensame Vertelung und es

7 glt ρ Y (y) = dx1... dx δ(y 1 x ) ρ X (x 1 )... ρ X (x ). De charakterstsche Funkton der Enzelmessungen st Φ X (k) = dx e kx ρ X (x), de der Summe st Φ Y (k) = dy e ky ρ Y (y), also Φ Y (k) = dy e ky dx1... dx δ(y 1 = dx exp[ k x ] ρ X (x ) x ) ρ X (x 1 )... ρ X (x ) k x k k x = e dx exp[ (x x )] ρ X (x ) = e ~ Φ k X Für große kann Φ ~ X k dx k k exp[ (x x ) ] ρ X (x) n Potenzen von (x x ) entwckelt werden (unabhängg von der detallerten Form von ρ X (x)) 9 Φ ~ X k = 1 1 k <(x x ) > +... = 1 1 k lm Φ Y (k) = k x e lm σ x k σ 1 k 1 x = exp[ σ Ν x + k x ] Ν ρ Y (y) = dk π exp[ k y + k x 1 k σ x ] = Ν 1 π σ x exp[ y x σ ( ) ] q.e.d. x De Sere von Abbldungen verdeutlcht, we Mtteln über wederholte Messungen das Rauschen unterdrückt. Dabe st de Anzahl der Messungen. Das Rauschen nmmt we 1/ ab. (In dem Bespel wrd ene Dode mmer weder m selben Anfangszustand präparert und dann der elektrsche Strom als Funkton der Zet gemessen.)

8 30.5 Rauschspektrum Im Folgenden untersuchen wr stochastsche Prozesse, z.b. ene Größe X(t) = <X> + δx(t), de durch enen Mttelwert und zetabhängg Fluktuatonen charaktersert st. En Bespel st der Strom n enem elektrschen Stromkres. Be genügender Auflösung m Experment stellt man fest, dass es Abwechungen des Stromes vom Mttelwert gbt. De Fluktuatonen erfüllen stets <δx(t)> = 0. De wchtgen Größen zur Charakterserung der Fluktuatonen snd deren Vertelungsfunkton (z.b. ene Gauß sche Vertelung) und de Autokorrelatonsfunkton <δx(t) δx(t')>. Dese hängt mt der spektralen Dchte (power spectrum) zusammen, de wr nun defneren: Wr betrachten de Fourer-Transformerte δx(ω) = <δx(ω) δx(ω')> = dt dt' e ωt ω't' δx(t)δx( t '). dte ωt δx(t) und Be statonären Prozessen hängt δx(t)δx( t ') nur von τ = t t' ab, und wr können über t = (t + t ') / ntegreren, (ω+ω')t δx(ω)δx( ω' ) = dte ω ω' τ dτ e δx(τ)δx( 0 ) = π δ(ω+ω') S(ω) Auf der rechten Sete führen wr de spektrale Dchte S(ω) en. Se st (bs auf enen hstorsch bedngten Faktor ) de Fourer-Transformerte der Korrelatonsfunkton S(ω)= d t exp(-ωt) δx(t)δx(0) De Stärke und das Frequenzspektrum des Rauschens werden durch ene solche spektrale Dchte charaktersert. Der Zusammenhang zwschen der spektralen Dchte (de auch n anderer Wese engeführt werden kann) und der Korrelatonsfunkton st auch unter dem amen Wener- Khntchne (oder Wener-Chntschn) Theorem bekannt. (Der her ncht logsche erschenende Faktor rührt von desem Zugang.) Bespele snd thermsches, weßes Rauschen: Im klassschen Grenzfall (hohe Temperatur, ) haben de Fluktuatonen des Stromes I(t) = I + δi(t) durch enen Wderstand R de folgenden Egenschaften (yqust Rauschen) δi(t) = 0 δi(t) δi(t') = kt R δ(t t') S I (ω) = 4 kt R.

9 31 De Korrelatonsfunkton st δ-korrelert, d.h. es gbt kene Korrelatonen zwschen den Werten des Rauschstroms zu verschedenen Zeten. Im Fourer-Spektrum bedeutet des, dass de spektrale Dchte frequenzunabhängg st, d.h. das Rauschen st weß. Mest kann angenommen werden, dass de Fluktuatonen, de herrühren von sehr velen enzelnen Prozessen, konsstent mt dem Zentralen Grenzwertsatz Gauß'sch vertelt snd. De Stärke des Rauschens st proportonal zur Stärke der Dsspaton 1/R. Des wrd n folgenden Kapteln begründet. Quantenrauschen enes Wderstands R (Johnson-yqust Rauschen) Allgemener glt für das Stromrauschen enes Wderstands ω ω S(ω) I = coth R kt Dese Form kann n quantenmechanschen Modellen hergeletet werden. Wr bemerken, dass se sch für ω kt auf das klasssche, weße Rauschen reduzert. Unterschede gbt es be tefen Temperaturen oder hohen Frequenzen. Für ω kt fndet man S I (ω) = ω /R. Dazu en Zahlenbespel: mt = 1, erg sec und k = 1, erg/k entsprcht ene Temperatur von T = 1K ener Kresfrequenz ω = 1, sec -1 bzw. ener Frequenz f = ω/π 1 GHz. Schrotrauschen st assozert mt dskreten stochastschen Prozessen z.b. Elektronentunneln. Dafür glt (sehe Übungen) δi(t) δi(t') = ev R coth ev kt δ(t t') S I (ω) = ev R coth ev ei kt ev kt Auch herzu en Zahlenbespel: mt e = 1, C und k = 1, Joule/K entsprcht ene Temperatur von T = 1K ener Energe ev [ev] ([ev] st her de Energeenhet Elektronvolt) und entsprechenden Werten der Spannung. 1/f - Rauschen Her st de Frequenzabhänggket des Rauschspektrums S(ω) 1/ω 1/f - Rauschen wrd n velen Systemen be nederen Frequenzen (ω = πf) beobachtet, wo es stärker wrd als das weße thermsche Rauschen. In manchen physkalschen Systemen fndet man dafür physkalsche Erklärungen. Überraschend fndet man 1/f - Rauschen aber auch n ganz anderen Fällen, z.b. be der Analyse der Schwankungen des Wasserstandes des ls m Altertum, be klassscher Musk, bem Vogelgesang und so weter. Ene unverselle Erklärung dafür wurde noch ncht gefunden.

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