Martingal-Maße. Stochastic Finance: An Introduction in Discrete Time (Hans Föllmer, Alexander Schied) Manuel Müller Mathematisches Institut

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1 Martingal-Maße Manuel Müller Mathematisches Institut Stochastic Finance: An Introduction in Discrete Time (Hans Föllmer, Alexander Schied)

2 Seite 2 Martingal-Maße Inhaltsverzeichnis Ausgangssituation Idee und Ziel von Martingalen Martingale 1. Fundamentalsatz der Finanzmathematik Beispiel zum FTAP1

3 Seite 3 Ausgangssituation Martingal-Maße Überblick Ausgangssituation Idee und Ziel von Martingalen Martingale 1. Fundamentalsatz der Finanzmathematik Beispiel zum FTAP1

4 Seite 4 Ausgangssituation Martingal-Maße Ausgangssituation Kurze Wiederholung der wichtigsten Definitionen und Annahmen: ) (, F, Q) bezeichnet einen Wahrscheinlichkeitsraum versehen mit einer Filtrierung (F t ) t={0,...,t }, wobei T 2 N für einen festen Zeithorizont (Zahl der Handelsperioden) steht. ) Ein Finanzmarkt mit d + 1 Anlagegütern und Zeithorizont T ist ein (F t )-adaptierter Prozess S t =(S 0 t, S1 t,...,sd t ) t={0,...,t } mit Werten in R d+1. ) Eine Handelsstrategie ist ein vorhersehbarer R d+1 -wertiger Prozess =( 0, )=( 0 t, 1 t,..., d t ) t={1,...,t }.

5 Seite 5 Ausgangssituation Martingal-Maße Ausgangssituation ) Eine Handelsstrategie heißt selbstfinanzierend, wenn t S t = t+1 S t für t = 1,...,T 1. ) Der diskontierte Wertprozess V =(V t ) t={0,...,t } für eine selbstfinanzierende Handelsstrategie ist gegeben durch: V 0 = 1 X 0 und V t = t X t für t = 1,...,T und X i t = Si t S 0 t für t = 0,...,T, i = 0,...,d. ) Eine selbstfinanzierende Handelsstrategie heißt Arbitrage, wenn V 0 ( ) apple 0 apple V T ( ), Q-fast sicher, und P(V T ( ) > 0) > 0.

6 Seite 6 Idee und Ziel von Martingalen Martingal-Maße Überblick Ausgangssituation Idee und Ziel von Martingalen Martingale 1. Fundamentalsatz der Finanzmathematik Beispiel zum FTAP1

7 Seite 7 Idee und Ziel von Martingalen Martingal-Maße Idee und Ziel von Martingalen Zur Untersuchung von Finanzmärkten auf Arbitragefreiheit betrachten wir häufig andere Wahrscheinlichkeitsmaße auf (, F) als Q. ) Arbitragefreiheit einer Handelsstrategie hängt nur von den Nullmengen unter dem Maß Q ab. ) Ersetzt man Q durch ein Maß P mit gleichen Nullmengen, so sind im neuen Marktmodell die Arbitragen die gleichen wie im alten. ) Dann ist P äquivalent zu Q (P Q) Gibt es besondere äquivalente Maße, unter denen die Arbitragefreiheit leicht ersichtlich ist?

8 Seite 8 Martingale Martingal-Maße Überblick Ausgangssituation Idee und Ziel von Martingalen Martingale 1. Fundamentalsatz der Finanzmathematik Beispiel zum FTAP1

9 Seite 9 Martingale Martingal-Maße Q-Martingale Es sei (, F, F t, Q) ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum. Ein stochastischer Prozess M =(M t ) t={0,...,t } heißt Q-Martingal in diskreter Zeit, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: (1) M t ist messbar bezüglich F t 8 t (adaptiert) (2) E Q [ M t ] < 1 8 t (M t 2 L 1, integrierbar) (3) E Q [M t F s ]=M s 8 0 apple s apple t apple T (innovativ) ) Der bedingte Erwartungswert einer Beobachtung ist gleich dem Wert der vorigen Beobachtung. ) Ein Martingal kann als faires Spiel betrachtet werden.

10 Seite 10 Martingale Martingal-Maße Martingal-Maß und EMM Ein Wahrscheinlichkeitsmaß P auf (, F) im filtrierten Raum (, F, F t, Q) heißt Martingal-Maß, wenn der diskontierte Preisprozess Xt i für jedes i = 1,...,d ein (d-dimensionales) P-Martingal ist. Es muss also gelten: ) E P [X i t ] < 1 und E P[X i t F s]=x i s, 0 apple s apple t apple T Ist das Martingal-Maß P zu Q äquivalent (P Q), so heißt es ein zu Q äquivalentes Martingal-Maß (EMM). Die Menge aller äquivalenten Martingal-Maße bezeichnen wir mit P.

11 Seite 11 Martingale Martingal-Maße Arbitragefreiheit Arbitragefreiheit einer Handelsstrategie hängt nur von den Nullmengen unter dem Maß Q ab. Zwei Wahrscheinlichkeitsmaße Q und P auf (, F) heißen äquivalent, falls sie dieselben Nullmengen haben, d.h. falls für alle A 2Fgilt P(A) =0, Q(A) =0. (Q P) ) Ersetzt man Q durch ein Maß P mit gleichen Nullmengen, so sind im neuen Marktmodell die Arbitragen die gleichen wie im alten. Ist P zusätzlich ein Martingal-Maß, so lässt sich die Arbitragefreiheit eines Finanzmarktes mithilfe des 1. Fundamentalsatzes der Finanzmathematik charakterisieren.

12 Seite Fundamentalsatz der Finanzmathematik Martingal-Maße Überblick Ausgangssituation Idee und Ziel von Martingalen Martingale 1. Fundamentalsatz der Finanzmathematik Beispiel zum FTAP1

13 Seite Fundamentalsatz der Finanzmathematik Martingal-Maße Fundamentalsatz der Finanzmathematik (FTAP1) Mithilfe von äquivalenten Martingal-Maßen können wir die dynamische Version des 1. Fundamentalsatzes der Finanzmathematik einführen: Folgende Aussagen sind für einen Finanzmarkt auf (, F, F t, Q) äquivalent: (1) Der Finanzmarkt ist arbitragefrei (2) Der Finanzmarkt besitzt mindestens ein Q-äquivalentes Martingal-Maß P (P 6= 0)

14 Seite Fundamentalsatz der Finanzmathematik Martingal-Maße Fundamentalsatz der Finanzmathematik Beweisidee: (1) ) (2) : arbitragefrei ) EMM existiert Jedes Mehr-Perioden Modell kann als T Ein-Perioden Modelle aufgefasst werden. Dieses ist genau dann arbitragefrei, wenn alle T Ein-Perioden Modelle arbitragefrei sind. Idee ist nun, durch iteratives Anwenden des FTAP1 im Ein-Perioden Modell ein Wahrscheinlichkeitsmaß P T,...,P 1 =: P 2Pzu konstruieren. Dann zeigt man: E P [Xt i F t d.h (Xt i ) ist ein Martingal unter P. 1] =... = E Pt [X i t F t 1] =X i t 1,

15 Seite Fundamentalsatz der Finanzmathematik Martingal-Maße Fundamentalsatz der Finanzmathematik Beweis: (2) ) (1) : EMM existiert ) arbitragefrei Zum Beweis der Implikation nutzen wir Doob s System Theorem.

16 Seite Fundamentalsatz der Finanzmathematik Martingal-Maße Doob s System Theorem (Doob s System Theorem). Für ein Wahrscheinlichkeitsmaß Q auf (, F) sind folgende Aussagen äquivalent: (1) Q ist ein Martingal-Maß. (2) Für jede selbstfinanzierende Handelsstrategie =( 0, ) mit beschränktem ist der Wertprozess V ( ) ein Q-Martingal. (3) Für jede selbstfinanzierende Handelsstrategie =( 0, ) mit E Q [(V T ( )) ] < 1 ist V ( ) ein Q-Martingal. (4) Für jede selbstfinanzierende Handelsstrategie =( 0, ) mit V T ( ) 0, Q-fast sicher, gilt E Q [V T ( )] = V 0 ( ).

17 Seite Fundamentalsatz der Finanzmathematik Martingal-Maße Fundamentalsatz der Finanzmathematik Beweis: (2) ) (1) : EMM existiert ) arbitragefrei Ersetzt man Q durch ein EMM P, so ändern wir nichts an der Menge der Arbitragen. Es genügt also zu zeigen, dass es keine Handelsstrategie gibt, die unter P eine Arbitrage ist. Sei eine selbstfinanzierende Handelsstrategie mit V 0 ( ) apple 0 apple V T ( ), P-fast sicher. (Doob s System Theorem (4)) ) E P [V T ( )] = V 0 ( ) apple 0. Aus der Nichtnegativität von V T ( ) folgt, dass V T ( ) =0, P-fast sicher. ) ist keine Arbitrage.

18 Seite 18 Beispiel zum FTAP1 Martingal-Maße Überblick Ausgangssituation Idee und Ziel von Martingalen Martingale 1. Fundamentalsatz der Finanzmathematik Beispiel zum FTAP1

19 Seite 19 Beispiel zum FTAP1 Martingal-Maße Beispiel zum FTAP1 Sei ={! 1,! 2,! 3 } und sei (, P( ), Q) ein Wahrscheinlichkeitsraum mit der Filtrierung {{;, }, P( )}. Weiter sei S t =(St 0, S1 t, S2 t ) ein Finanzmarkt mit Anfangspreisen S 0 =(S0 0, S1 0, S2 0 )=(1, 15, 28) und Zeithorizont T = 1. S 0 bezeichne die risikolose Anlage mit konstantem Preisprozess in! und der Zinssatz sei r = 20%. Zu T = 1 seien die Preise durch folgende Matrix gegeben: S 1 1 (! 1 ) S1 1(! 2) S1 1(! 3) S1 2(! 1) S1 2(! 2) S1 2(! = 3) ) Ist der Finanzmarkt arbitragefrei?

20 Seite 20 Beispiel zum FTAP1 Martingal-Maße Beispiel Lösung: Um zu bestimmen ob der Finanzmarkt arbitragefrei ist, genügt es die Menge der EMM P 2Pvon Q zu bestimmen (FTAP1). Die EMM ergeben sich als Lösungen der linearen Gleichungen: E P [X1 k F 0]=X 0, E P [ Sk 1 ]= Sk S1 0 0 S0 0 = S0 k, k = 0, 1, 2. (1) p 1 S 0 1 (! 1) S 0 1 (2) p 1 S 1 1 (! 1) S 0 1 (3) p 1 S 2 1 (! 1) S p 2 S 0 1 (! 2) S p 2 S 1 1 (! 2) S p 2 S 2 1 (! 2) S p 3 S 0 1 (! 3) S p 3 S 1 1 (! 3) S p 3 S 2 1 (! 3) S 0 1 = S 0 0 = S 1 0 = S 2 0

21 Seite 21 Beispiel zum FTAP1 Martingal-Maße Beispiel (1) p 1 + p 2 + p 3 = 1 (2) 30p p p 3 = 15 (3) 10p p p 3 = 28 (1) p 1 + p 2 + p 3 = 1 (2) 20p 2 20p 3 = 15 (3) +20p p 3 = 18 (1) p 1 + p 2 + p 3 = 1 ) p 1 = 1 4 (2) 20p 2 20p 3 = 15 ) p 2 = (3) +30p 3 = 3 ) p 3 = 1 10 ) LGS hat eindeutige Lösung P =(p 1, p 2, p 3 ) T =( 1 4, 13 ) P6= 0, Markt arbitragefrei. 20, 1 10 )T, p i > 0.

22 Seite 22 Beispiel zum FTAP1 Martingal-Maße Ende Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!!!