Graphentheorie in der Schule

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1 OTTO VON GUERICKE UNIVERSITÄT MAGDEBURG Graphentheorie in der Schule Eulerkreise/-wege & Hamiltonkreise/-wege Professorin: apl. Prof. Dr. rer. nat. habil. Heidemarie Bräsel Masterstudiengang: Lehramt an Berufsbildenden Schulen Leistung zum Erhalt von 6 Credit Points vorgelegt von Anna-Lisa Köthke Matrikelnummer: Aufgabenstellung: Stellen Sie für 4 Unterrichtseinheiten zum Thema Eulerkreise/-wege & Hamiltonkreise/-wege Anregungen, graphentheoretische Grundgedanken und Aufgaben mit Lösungen für die Anwendung im Unterricht zusammen, der Jugendlichen einen Zugang in die Denkweise der heutigen mathematischen Basisgebiete ermöglicht.

2 Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung 4 2. Grundlagen der Graphentheorie Was ist ein Graph Grad eines Knotens(Valenz) Kantengewichtung gerichteter/ungerichtete Graph Schlinge schlichter Graph vollständiger Graph Nachbar Kantenzug Weg Zusammenhangskomponente zusammenhängender Graph Kreis Zyklus Eulerweg/-kreis Eulerweg Eulerkreis Satz von Euler Hamiltonweg/-kreis Hamiltonweg Hamiltonkreis 11 2

3 3. Übungsblatt 1: Eulerwege Übungsblatt 2: Eulerkreise Übungsblatt 3: Hamiltonwege Übungsblatt 4: Hamiltonkreise Literatur 10 Anhang Beispiele für Graphen (Folien) Formelsammlung Lösungen der Übungsaufgaben Zusatzmaterial 3

4 1. Einleitung Themen der Diskreten Mathematik, speziell der Graphentheorie, bieten sich aus verschiedenen Gründen für den Unterricht u. a. in der Oberschule an. Einige dieser Gründe möchte ich hier aufzeigen. Sie behandeln Probleme, die den Schülern vertrauten Dingen zu Grunde liegen. So werden Graphenalgorithmen bei Online- Fahrplandiensten, beim GPS-Gerät, bei der Tourenplanung der Müllabfuhr und bei der Erstellung von Stadtplänen genutzt. Graphentheoretische Probleme sind ohne große mathematische Vorkenntnisse verständlich. Diese Themen bieten also Schülern, die ansonsten schon aus dem Mathematikunterricht ausgestiegen sind, die Möglichkeit wieder mitzumachen und neuen Spaß an Mathematik zu gewinnen. Die Diskrete Mathematik ist ein recht junges Gebiet der Mathematik, auf dem noch viel geforscht wird. Die Problemstellungen sind dabei so, dass sie auch von Schülern verstanden werden können. Dadurch lassen sich aktuelle, aber auch ungelöste Fragestellungen thematisieren. Für die meisten Schüler ist Mathematik mit Rechnen gleichgesetzt. Graphentheoretische Themen zeigen noch einen anderen Gesichtspunkt auf. Außerdem werden dabei verstärkt Fähigkeiten wie Probleme lösen, Modellieren und Kommunizieren geübt, die in der Freizeit und im Berufsleben eine wichtige Rolle spielen. Die Beschäftigung mit Graphen hat etwas Spielerisches. Um den Einstieg in die Graphentheorie möglichst problemlos und schnell vorzunehmen, ist es unumgänglich zunächst einige einfache und zur Graphentheorie hinführende Beispiele aus dem täglichen Leben, der Chemie oder der elementaren Zahlentheorie darzubieten. Bei vielen Problemen, die uns in verschiedenen Bereichen des Lebens begegnen, stoßen wir direkt oder indirekt auf Graphen. Anwendungen aus der Praxis sind für Schüler und Schülerinnen außerdem immer ein Motivationsfaktor. (die hier aufgeführten, sowie weitere Beispiele sind auch im Anhang im Großformat zu finden, zum Auflegen als Folie im Unterricht) 4

5 Abb.1: Straßenplan (1) Die Graphentheorie vereinfacht dieses Straßennetz für den Autofahrer in der Weise der Abb. 2: Abb.2: Darstellungsweise des Straßennetzes in der Graphentheorie (1) (gerichteter Graph) 1 Bodendiek-Jeuck-Rasch; S

6 Da den Fußgängern die Fahrtrichtungen i. a. nicht interessieren, entwirft der Graphentheoretiker für ihn den Plan, dargestellt in Abb. 3. Abb.3: Straßenplan ohne Berücksichtigung der Fahrtrichtungen (1) (ungerichteter Graph) Ein weiteres Beispiel für einfache Graphen liefert die chemische Strukturformel. Gegeben seien etwa die beiden chemischen Verbindungen aus Abb. 4. Abb.4: Chemische Verbindungsformeln (1) 1 Bodendiek-Jeuck-Rasch; S

7 Für sie gibt die Graphentheorie die Graphen der Figur 5 an. Abb.5: Darstellung chemischer Verbindungsformeln in der Graphentheorie (1) 2. Grundlagen der Graphentheorie Das Ziel des ersten Kapitels soll das spätere eigenständige Lösen der Schüler graphentheoretischer Aufgaben sein. Dazu müssen wichtige Grundbegriffe und Definitionen durchgenommen bzw. mit der Klasse gemeinsam erarbeitet werden, um die Schüler zum Thema hinzuführen. Graphentheorie als solche dürfte den Schülern nicht bekannt sein und der Lehrer sollte möglichst kleinschrittig anfangen und erst nach und nach zu komplexeren Themen/Aufgaben übergehen. Die folgenden Definitionen können als Tafelbild oder als Formelsammlung für die Schüler zusammengestellt werden, welche ich im Anhang zur Verfügung stellen werde. Es werden im folgenden nur nüztliche und vereinfachte Definitionen auf das Thema bezogen aufgeführt. 2.1 Was ist ein Graph? Anschaulich setzt sich ein Graph zusammen aus: 1.Knoten ; 2.Kanten Die Knoten werden durch die Kanten miteinander verbunden: 1 Bodendiek-Jeuck-Rasch; S

8 Die Knoten können in einem Graphen für viele Dinge stehen, z.b. für die Häuser einer Stadt oder die Städte in einem Land, während z.b. die Kanten dann die Verbindungen zwischen diesen Orten darstellen, also die Straßen. Ein Graph ist ein Tupel (V,E), wobei V eine Menge von Knoten und E eine Menge von Kanten bezeichnet. 2.2 Grad eines Knotens (Valenz) Der Grad oder die Valenz eines Knotens gibt immer die Anzahl der Kanten an, die mit einem Knoten verbunden sind. Für das untere Beispiel ist die Valenz jeden Knotens Kantengewichtung Bei manchen Problemen ist es sinnvoll auch den Kanten einen Wert zuzuweisen, der dann z.b. für die Entfernungen zwischen zwei Orten steht. Diesen Wert bezeichnet man dann als Kantengewicht. 2.4 gerichteter/ungerichteter Graph In gerichteten Graphen bzw. orientierten Graphen werden Kanten statt durch Linien (ungerichteter Graph) durch Pfeile gekennzeichnet, wobei der Pfeil vom ersten zum zweiten Knoten zeigt. (siehe Anfangsbeispiele). 8

9 2.5 Schlinge Einer Schlinge ist eine Kante mit gleichem Anfangs- und Endknoten. 2.6 schlichter Graph Ein Graph heißt schlicht, wenn er weder Schlingen (Anfangs- = Endpunkt), noch parallele Kanten (haben gleichen Anfangs- und Endpunkt) besitzt. 2.7 vollständiger Graph Ein vollständiger Graph ist ein Graph, bei dem jeder Knoten mit jedem anderen Knoten durch genau eine Kante verbunden ist. Den vollständigen Graphen mit n Knoten bezeichnet man mit K n 2.8 Nachbar Ein Knoten x ist Nachbar eines Knotens y genau dann, wenn sie durch eine Kante verbunden sind. 2.9 Kantenzug Ein Kantenzug ist eine Folge von Knoten, wobei zwei aufeinander folgende Knoten durch eine Kante verbunden sind Weg Ein Weg ist ein Kantenzug, bei dem keine Kante doppelt vorkommt Zusammenhangskomponente Eine Zusammenhangskomponente eines ungerichteten Graphen ist eine maximale Teilmenge seiner Knoten, in der zwischen je zwei beliebigen Knoten dieser Menge mindestens ein Weg existiert Zusammenhängender Graph Ein zusammenhängender Graph ist ein Graph, der nur aus einer Zusammenhangskomponente besteht Kreis Ein Kreis ist ein geschlossener Weg. 9

10 2.14 Zyklus Ein Zyklus in einem Graphen ist ein Weg, der im selben Knoten beginnt und endet Eulerweg/-kreis Eulerweg Sei G = (V,E) ein zusammenhängender Graph. Ein Weg W heißt Eulerscher Weg, wenn W jede Kante aus E genau ein Mal durchläuft. Ein eulerscher Weg ist also ein Weg, der alle Kanten enthält. Der Graph ist dann "in einem Zug" zeichenbar Eulerkreis Sei G = (V,E) ein zusammenhängender Graph. Ein Weg W heißt Eulerscher Kreis, falls W jede Kante genau ein Mal berührt und wieder am Ausgangsknoten rauskommt. Ein eulerscher Kreis ist also ein geschlossener eulerscher Weg. Er enthält also alle Kanten genau einmal und kehrt an seinen Anfangspunkt zurück Satz von Euler Sei G (V,E) ein zusammenhängender Graph. Dann gilt: 1. Ein Graph hat einen offenen eulerschen Weg genau dann, wenn genau zwei Ecken einen ungeraden Grad haben. 2. Ein Graph hat einen eulerschen Kreis genau dann, wenn alle Ecken/Knoten einen geraden Grad haben. 10

11 2.17 Hamiltonweg/-kreis Hamiltonweg Ein Weg, der jeden Knoten des Graphen genau ein Mal berührt, nennt man Hamiltonschen Weg Hamiltonkreis Ein Weg, der jeden Knoten des Graphen genau einmal passiert und schließlich wieder am Ausgangsknoten ankommt, nennt man Hamiltonschen Kreis. Sollten Verständnisschwierigkeiten für einige Schüler bei den Definitionen auftreten, können einzelne Schüler evtl. mit Hilfe des Lehrers gebeten werden, ein Beispiel zur Verdeutlichung an die Tafel zu zeichnen, welches die anderen Schüler in Ihre Aufzeichnungen übernehmen. Alternativ wäre es möglich zuvor die folgende Aufgabe zu stellen und dazu die Formelsammlung auszuteilen. Dies liegt im Ermessen des Lehrers und richtet sich stark nach dem Leistungsniveau der Klasse. Im folgenden werden die Aufgaben aufgeführt, die die Schüler nach der Einführung in das Thema in den jeweiligen Unterrichtseinheiten lösen sollen. Hier einige Anregungen zur Durchführung des Unterrichts. Im Anhang befinden sich die Lösungen zu den Aufgaben. 1. Aufgabe zum Eulerweg: Die Klasse, je nach Größe in ca. 4-5 Gruppen einteilen. Den Schülern mind. 30 Minuten zur Bearbeitung Zeit geben und die Schüler anschließend Ihre Ergebnisse an der Tafel präsentieren lassen und gemeinsam besprechen. 2. Aufgabe zum Eulerkreis: Einzelarbeit 3. Aufgabe zum Hamiltonweg: 4 Gruppen, jede bearbeitet und präsentiert eine Aufgabe an der Tafel 4. Aufgabe zum Hamiltonkreis: Gruppenarbeit möglich bei stärkeren Klassen (Oberstufe, FOS oder Fachgymnasium), ansonsten an der Tafel vorstellen. 11

12 Graphentheorie Übungsblatt 1: Eulerwege Datum: Klasse: In einem Einkaufszentrum befinden sich 4 Eingänge zum Besuch verschiedener Passagen. Die Eingänge zu den Passagen stellen die Knoten dar bzw. die Kanten die Einkaufsstraßen. a) Um alle Passagen besuchen zu können und möglichst nur jede Einkaufsstraße einmal zu benutzen soll auf dem gegebenen Graphen ein Eulerweg gefunden werden. Nehmen Sie Ihre Formelsammlung zur Hilfe. b) Ist es möglich, zum gewählten Eingang zurückzukehren, auch wiederum möglichst nur jede Einkaufsstraße einmal benutzen? Wie nennt sich solch ein spezieller Weg? Tipp: Überlegen Sie, welcher Startknoten am sinnvollsten zu wählen ist. 12

13 Graphentheorie Übungsblatt 2: Eulerkreise Datum: Klasse: Es sind mehrere Graphen gegeben. Überprüfen Sie, ob in den Graphen ein Eulerkreis existiert. (Anm.: Die Knickpunkte und die Schnittpunkte der Linien sind in diesem Fall die Knoten. Endpunkte von Linien sind ebenfalls Knoten) 13

14 Graphentheorie Übungsblatt 3: Hamiltonwege Datum: Klasse: 1. Die 'klassische' Variante: Finde eine Rundreise mit dem Start FDCBG 2. Es werden drei Startorte und der Zielort für eine nicht geschlossene Reise vorgegeben: starte mit FDC und ende bei T 3. Einige Startorte sind vorgegeben, dann soll es nach einer gewissen Anzahl von Zügen keine Möglichkeit der Reisefortsetzung mehr geben (Sackgasse): starte mit QXYT, nach 6 weiteren Stationen soll die Fortsetzung unmöglich sein. 4. Reisen mit ausgeschlossenen Städten: der Beginn der Reise lautet FDC, B soll die letzte Station sein, der Knoten M darf nicht besucht werden. 14

15 Graphentheorie Übungsblatt 4: Hamiltonkreise Datum: Klasse: Für Schachspieler: Auch auf dem Schachbrett kann man die Graphentheorie anwenden. Wenn man sich die Frage stellt, ob ein Turm so ziehen kann, dass er alle Felder durchläuft und wieder am Ausgangsfeld ankommt, können Graphen bei der Beantwortung der Frage helfen. Zur Vereinfachung kann man die Situation zunächst mit einem 4x4-Schachbrett betrachten. Die einzelnen Felder werden jetzt durch Knoten, die Zugmöglichkeiten von jeweils einem Schritt als Kanten dargestellt. Die Aufgabe lautet: Finden Sie in dem entstandenen Graphen einen Hamiltonkreis! Gibt es auf dem 4X4-Schachbrett für den Springer einen Hamiltonkreis? 15

16 7. Literatur Bodendiek, R.;: Ecken-Wege-Bäume-Zahlen: Graphentheorie in der Jeuck, R.; Schule; Verlag Herder KG 1973 Rasch, J. Bräsel, H.: Skript zur Vorlesung: Algorithmenorientierte Graphentheorie 2008/09 Müller, K.P.;: Wölpert, H.; Anschauliche Topologie- Die Einführung in die elementare Topologie und Graphentheorie; B.G. Teubner Stuttgart

17 Anhang Beispiele für Graphen (Folien) Formelsammlung Lösungen der Übungsaufgaben Zusatzmaterial 17

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21 Formelsammlung: Graphentheorie Was ist ein Graph? Grad eines Knotens (Valenz) Kantengewichtung gerichteter/ungerichteter Graph Schlinge schlichter Graph vollständiger Graph Ein Graph ist ein Tupel (V,E), wobei V eine Menge von Knoten und E eine Menge von Kanten bezeichnet.(eine Kante ist die Verbindung zweier Knoten) Der Grad oder die Valenz eines Knotens gibt immer die Anzahl der Kanten an, die mit einem Knoten verbunden sind. Bei manchen Problemen ist es sinnvoll auch den Kanten einen Wert zuzuweisen, der dann z.b. für die Entfernungen zwischen zwei Orten steht. Diesen Wert bezeichnet man dann als Kantengewicht. In gerichteten Graphen bzw. orientierten Graphen werden Kanten statt durch Linien (ungerichteter Graph) durch Pfeile gekennzeichnet, wobei der Pfeil vom ersten zum zweiten Knoten zeigt. Ein gerichteter Graph heißt auch Digraph. Einer Schlinge ist eine Kante mit gleichem Anfangs- und Endknoten. Ein Graph heißt schlicht, wenn er weder Schlingen (Anfangs- = Endpunkt), noch parallele Kanten (haben gleichen Anfangs- und Endpunkt) besitzt. Ein vollständiger Graph ist ein Graph, bei dem jeder Knoten mit jedem anderen Knoten durch genau eine Kante verbunden ist. Den vollständigen Graphen mit n Knoten bezeichnet man mit K n

22 Nachbar Kantenzug Weg Zusammenhangskomponente Zusammenhängender Graph Kreis Zyklus Eulerweg Ein Knoten x ist Nachbar eines Knotens y genau dann, wenn sie durch eine Kante verbunden sind. Ein Kantenzug ist eine Folge von Knoten, wobei zwei aufeinander folgende Knoten durch eine Kante verbunden sind. Ein Weg ist ein Kantenzug, bei dem keine Kante doppelt vorkommt. Eine Zusammenhangskomponente eines ungerichteten Graphen ist eine maximale Teilmenge seiner Knoten, in der zwischen je zwei beliebigen Knoten dieser Menge mindestens ein Weg e- xistiert. Ein zusammenhängender Graph ist ein Graph, der nur aus einer Zusammenhangskomponente besteht Ein Kreis ist ein geschlossener Weg. Ein Zyklus in einem Graphen ist ein Weg, der im selben Knoten beginnt und endet. Sei G = (V,E) ein zusammenhängender Graph. Ein Weg W heißt Eulerscher Weg, wenn W jede Kante aus E genau ein Mal durchläuft. Ein eulerscher Weg ist also ein Weg, der alle Kanten enthält. Der Graph ist dann "in einem Zug" zeichenbar. 22

23 Eulerkreis Satz von Euler Hamiltonweg Hamiltonkreis Sei G = (V,E) ein zusammenhängender Graph. Ein Weg W heißt Eulerscher Kreis, falls W jede Kante genau ein Mal berührt und wieder am Ausgangsknoten rauskommt. Ein eulerscher Kreis ist also ein geschlossener eulerscher Weg. Er enthält also alle Kanten genau einmal und kehrt an seinen Anfangspunkt zurück. Sei G (V,E) ein zusammenhängender Graph. Dann gilt: 1. Ein Graph hat einen offenen eulerschen Weg genau dann, wenn genau zwei Ecken einen ungeraden Grad haben und er zusammenhängend ist. 2. Ein Graph hat einen eulerschen Kreis genau dann, wenn alle Ecken einen geraden Grad haben und er zusammenhängend ist. Ein Weg, der jeden Knoten des Graphen genau ein Mal berührt, nennt man Hamiltonscher Weg. Graphen genau einmal passiert und schließlich wieder am Ausgangsknoten ankommt, nennt man Hamiltonschen Kreis. 23

24 Lösungen: Übungsblatt 1: a) 2./5. 6./8. 1./3. 4./7. b)nein, es gibt keinen solchen Weg, da es zwei Knoten mit ungeradem Grad gibt. Dieser Weg nennt sich Eulerkreis. 24

25 Lösungen: Übungsblatt 2: kein Eulerkreis, da der Graph einen Knoten mit ungeradem Grad besitzt. alle Knoten haben den Grad (Valenz) 4. D. h. es existiert ein Eulerkreis. kein Eulerkreis, da der Graph einen Knoten mit ungeradem Grad besitzt. kein Eulerkreis, da der Graph einen Knoten mit ungeradem Grad besitzt. kein Eulerkreis, da der Graph einen Knoten mit ungeradem Grad besitzt. alle Knoten haben den Grad (Valenz) 4. D. h. es existiert ein Eulerkreis. 25

26 Lösungen: Übungsblatt 3: 1.FDCBGRSHJKLMNPQXWVTY 2.FDCBGRQPNMLKJHSYXWVT 3.QXYT JHBGRS 4. FDCKLVTJHSYXWNPQRGB Übungsblatt 4: [Für ein Schachbrett der Größe 5x5 ist diese Aufgabe nicht lösbar. Der Beweis dafür ist relativ einfach: Sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit das Startfeld des Turms weiß, dann steht er nach einem Zug auf einem schwarzen Feld, ebenso nach drei, fünf, sieben und auch 25 Zügen, die er benötigen würde, um wieder zum Startfeld zu gelangen. Dann aber wäre das Startfeld ein schwarzes, was offensichtlich ein Widerspruch ist. Die Aufgabe ist also auf einem nxn-schachbrett lösbar, falls n gerade ist.] Für die Figur des Springers sind diese Überlegungen äquivalent. Auch für den Springer gibt es auf einem nxn-schachbrett nur dann einen Hamiltonkreis, wenn n gerade ist, allerdings mit der Ausnahme n=4 S Angenommen, S sei das Startfeld. Von S gelangt man nur zum Feld 1 (oder 2, aber das macht keinen wesentlichen Unterschied). Die eine Möglichkeit ist nun, sofort das Feld 3 aufzusuchen, danach kann man nur auf Feld zwei ziehen, um wieder zum Startfeld zu kommen. Es ergibt sich also die Zugfolge S S, die zwar einen Kreis, aber keinen Hamiltonkreis darstellt. Die andere Möglichkeit wäre, vom Feld 1 auf ein anderes Feld zu ziehen. Um aber einen Hamiltonkreis zu erhalten, muss man irgendwann Feld 3 mit einbeziehen, und unmittelbar davor kann man nur auf Feld 2 stehen. Es ergibt sich also die Zugfolge S Dann a- ber kommt man von Feld 3 nicht mehr weg, da Feld 1 und Feld 2 als einzige Möglichkeiten schon besucht waren. Somit gibt es auf dem 4x4-Schachbrett für den Springer keinen Hamiltonkreis. 26

27 Graphentheorie: Zusatzmaterial Datum: Klasse: 1. Welche der Figuren kann man in einem Zug und ohne doppelte Linien zeichnen? 2. Bei manchen Figuren kann man nicht in jedem beliebigen Knoten anfangen. Was unterscheidet die Anfangsknoten von den anderen? 3. Woran kann man erkennen (nur durch hingucken ), ob eine Figur ohne abzusetzen und ohne doppelte Linien gezeichnet werden kann, wenn man es nicht direkt ausprobieren will oder kann, z.b. weil es eine riesengroße Figur ist? 4. Bastele dir selber Beispiele (im Heft): Figuren, bei denen man sogar wieder zum Ausgangspunkt zurückkehrt; Figuren, die man zwar ohne Absetzen zeichnen kann, bei denen man aber woanders endet, als man angefangen hat; Figuren, bei denen man den Stift zwischendurch anheben muss, um sie zu zeichnen. Beobachte, woran es liegt, ob man ohne abzusetzen zeichnen kann. Schreibe deine Beobachtungen ins Heft. 27

28 Graphentheorie: Zusatzmaterial Datum: Klasse: Finden Sie eine Lösung für das Rundreiseproblem: Es soll ein geschlossener Weg durch alle Knoten gefunden werden. 28

29 Systematische Lösung (nur die möglichen Fälle):