Die 4 Dimensionen Quaternionen in der Kinematik
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- Felix Fürst
- vor 7 Jahren
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1 Die Dimensionen Quaternionen in der Kinematik. Workshop Robotik Hochschule Mittweida (FH Institut für Automatisierungstechnik 00 Dipl.-Ing. (FH Falko Neubert
2 Die Dimensionen - Quaternionen in der Kinematik Inhalt. Historie. Mathematische Grundlagen. Koordinatentransformation.. Ausgangssituation.. Vortransformation.. Rücktransformation. Praktische Bedeutung
3 Die Dimensionen - Quaternionen in der Kinematik Lagebestimmung eines Körpers im Raum durch Beziehungen zwischen Koordinatensystemen (KS Framekonzept
4 Die Dimensionen - Quaternionen in der Kinematik Welt- und Werkzeug-KS an einem 6-achsigen Knickarm-IR
5 Die Dimensionen - Quaternionen in der Kinematik. Historie - Entdeckung der Verwendbarkeit der Ausdrücke x y in der Ebene Versuche für komplexe Zahlen im Raum - Ab 8 W. R. HAMILON Rechnungen mit Raumvektoren und Darstellung durch komplexe Zahlen - 8 HAMILON s heorie der goniometrischen Quaternionen mit Nichtkommutativität in der Multiplikation - Ansatz über die Verknüpfung von h i j hij - Definition des Quaternion H mit Q Q h Q i Q j 5
6 Die Dimensionen - Quaternionen in der Kinematik. Mathematische Grundlagen - Vierdimensionale Divisionsalgebra über dem Körper von R mit nicht kommutativer Multiplikation - Erweiterung von C hyperkomplexe Zahlen (nur bedingt - Schiefkörper durch Übertragung von Addition und Multiplikation aus R und C auf H - Ursprungsdefinition Q Qh Qi Q j Q, Q, Q, Q reelle und h, i, j imaginäre Zahlen - h, i, j drei unterschiedliche Arten von Imaginärzahlen (Richtungen Nichtkommutativität 6
7 Die Dimensionen - Quaternionen in der Kinematik. Mathematische Grundlagen - Nichtkommutativität in der Multiplikation laut abelle - Substitution zur Vereinfachung Q ; Qh ; Qi ; Q j Q Qh Qi Q j 7
8 8 Die Dimensionen Die Dimensionen - Quaternionen in der Kinematik Quaternionen in der Kinematik. Mathematische Grundlagen - Für jedes Quaternion existiert ein konjugiertes Quaternion - Bildung des Betrages von
9 Die Dimensionen - Quaternionen in der Kinematik. Mathematische Grundlagen - Definition des Inversen von - Betrag von gleich Einheitsuaternion Orientierungsbeschreibung i.d.r. mit Einheitsuaternion! 9
10 Die Dimensionen - Quaternionen in der Kinematik. Koordinatentransformation - Quaternionentransformation mittels Multiplikation - Addition zur Verrechnung interner Komponenten - Vor- und Rücktransformation durch Definition von Bezügen 0
11 Die Dimensionen Die Dimensionen - Quaternionen in der Kinematik Quaternionen in der Kinematik.. Ausgangssituation - Allgemeine Darstellung der komplexen Ebene - Darstellung der Orientierung des Einheitsuaternions sin( sin( sin( cos( sin( cos( j i h z y x ] sin( [cos( sin( ; cos( ϕ ϕ ϕ ϕ i r ri bi r a bi a z
12 Die Dimensionen - Quaternionen in der Kinematik.. Ausgangssituation - Die Rotationskoordinaten der Punkte P A, P B und P C bzgl. des zugehörigen Einheitsuaternions in der Abbildung ergeben sich dann nach folgender Bildungsvorschrift: P A P0 A ; PB PB ; P C P0 C
13 Die Dimensionen - Quaternionen in der Kinematik.. Ausgangssituation - Ursprungsuaternion bzw. Startuaternion cos( ; hsin( x ; i sin( y ; j sin( z cos( hsin( x i sin( j sin( - Neu gebildetes Quaternion bzw. Zieluaternion y z cos( ; x h sin( ; y i sin( ; z j sin( cos( x h sin( y i sin( z j sin(
14 Die Dimensionen - Quaternionen in der Kinematik.. Ausgangssituation - ransformationsuaternion bzw. Relativuaternion cos( ; x h sin( ; y i sin( ; z j sin( cos( x h sin( y i sin( z j sin(
15 5 Die Dimensionen Die Dimensionen - Quaternionen in der Kinematik Quaternionen in der Kinematik.. Vortransformation - Aufstellen der ransformationsgleichung - Lösung der Gleichung (hier ohne Herleitung
16 Die Dimensionen - Quaternionen in der Kinematik Vortransformation des KS x y z nach x y z mit x y z 6
17 7 Die Dimensionen Die Dimensionen - Quaternionen in der Kinematik Quaternionen in der Kinematik.. Rücktransformation - Aufstellen der ransformationsgleichung - Lösung der Gleichung (hier ohne Herleitung ( ( (
18 Die Dimensionen - Quaternionen in der Kinematik Rücktransformation des KS x y z nach x y z mit x y z 8
19 Die Dimensionen - Quaternionen in der Kinematik. Praktische Bedeutung / Fazit - Eindeutige Beschreibung von Orientierungen im Raum - Vorwiegend für interaktive Computergrafiken Spiele - Kaum in der Robotertechnik Rotationsmatrizen ABER... - Sehr kompakte Schreibweise geringere Redundanz RO ; x rot rot rot z x z y z z x x x y x z ; y z y x rot y y rot y z ( ; ; ; rot rot rot rot 9
20 Die Dimensionen - Quaternionen in der Kinematik. Praktische Bedeutung / Fazit - Geringere Redundanz höhere numerische Stabilität - Weniger Rechenzeit, besonders bei vielen Orientierungen - Keine Beachtung der Reihenfolge von Einzeltransformationen Paralleltransformation JEDOCH... - Wesentlich höheres Vorstellungsvermögen ( D-Denken des Anwenders 0
21 Die Dimensionen - Quaternionen in der Kinematik Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit
22 Die Dimensionen - Quaternionen in der Kinematik Räumliche Orientierung mit einem Quaternion
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