Einführung in die Finite Elemente Methode für Bauingenieure

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1 Diethard Thieme Einführung in die Finite Elemente Methode für Bauingenieure 3., überarbeitete Auflage mit 145 Abbildungen, 71 Tafeln und 53 Berechnungsbeispielen Shaker Verlag Aachen 2008

2 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Copyright Shaker Verlag 2008 Alle Rechte, auch das des auszugsweisen Nachdruckes, der auszugsweisen oder vollständigen Wiedergabe, der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen und der Übersetzung, vorbehalten. Printed in Germany. ISBN Shaker Verlag GmbH Postfach Aachen Telefon: / Telefax: / Internet: info@shaker.de

3 Vorwort Die Methode der finiten Elemente hat wegen seiner Anschaulichkeit, seiner hervorragenden Anpassungsfähigkeit an Tragwerksformen, Materialeigenschaften, Belastungen, Stützbedingungen und leichter Algorithmierung unter den Ingenieuren große Verbreitung gefunden. Um den Einstieg in das Verfahren zu erleichtern, werden viele Beispiele von Hand durchgerechnet. Die explizite Angabe der Elementmatrizen wichtiger technischer Elemente liefert dem Ingenieur die für die FEM typische Anschaulichkeit im Elementebereich. Im ersten Kapitel werden ausführlich die Stäbe behandelt, da bei ihnen die Gedankengänge der FEM besonders durchsichtig sind und gleichzeitig die Anwendung des Verfahrens auf vielfältige Probleme, die dem Bauingenieur vertraut sind, gezeigt werden kann. In den nachfolgenden Kapiteln wird das Verfahren auf die Scheiben, Platten, Zylinderschalen und den dreidimensionalen Spannungszustand erweitert. Im letzten Kapitel werden Konvergenzbedingungen erläutert. Anhand der zahlreichen Beispiele wird auf die Verantwortung des Ingenieurs für die Deutung der vom Rechenverfahren gelieferten Ergebnisse und deren Weiterverwendung hingewiesen. Der sachkundige Umgang mit der FEM erfordert neben Kenntnissen in den klassischen Ingenieurfächern ein ausreichendes Wissen um die diesem Näherungsverfahren zu Grunde liegenden Annahmen, Voraussetzungen und Vereinfachungen. Die Vermittlung dieser Kenntnisse im Sinne einer Einführung ist das Grundanliegen des Buches. Diethard Thieme

4

5 Inhaltsverzeichnis 1 Stäbe Stabförmiges Einzelelement Bezeichnungen Ansatzfunktionen Verformungsparameter Längsverschiebung und Biegelinie Mechanische Deutung der Formfunktionen Schnittkräfte als Funktion der Verformungsparameter Potenzielle Energie Potenzielle Energie der inneren Kräfte Mechanische Deutung der Steifigkeitsmatrix Potenzielle Energie der äußeren Kräfte Mechanische Deutung der Belastungsparameter Gesamte potenzielle Energie des Elements Zusammensetzen der stabförmigen Elemente zum Tragwerk Globale Form der potenziellen Energie des Tragwerks Aufstellen des Gleichungssystems Einarbeiten der Verträglichkeits- und Randbedingungen Indexsteuerung Beispiel Aufbau des Gleichungssystems durch blockweises Speichern Blockweises Speichern Numerische Erfüllung der Randbedingungen Blockweises Speichern durch Indexsteuerung Erfüllung der Randbedingungen durch Streichen von Zeilen und Spalten Trennung der Wirkung aus Biegung und Längskraft Elastisch gebetteter Balken Steifigkeitsmatrix und Belastungsparameter Einzelfedern Beispiele Schräge Stäbe Transformation der Verformungsparameter Transformation der Belastungsparameter 42

6 VIII Literaturverzeichnis Transformation der Steifigkeitsmatrix Beispiel Theorie 2. Ordnung Potenzielle Energie und Steifigkeitsmatrix Beispiel Stabilitätsprobleme Allgemeines Matrizeneigenwertproblem Beispiele Vorverformungen Steifigkeitsmatrizen und Schnittkräfte Beispiel Temperaturwirkung Stützenverrückungen Numerische Erfassung der Auflagerverrückungen Beispiel 60 2 Scheiben Grundbeziehungen für den ebenen Spannungszustand Dreieckselement D Ansatzfunktionen Verformungsparameter Formänderungen und Schnittkräfte Verzerrungen Verschiebungen Schnittkräfte Steifigkeitsmatrix Belastungen Massenkräfte Randlasten Einzellasten Aufbau des Gleichungssystems Kodierung Günstige Knotennummerierung Randbedingungen Erfüllung der Gleichgewichtsbedingungen Beispiel Rechteckselement R Ansatzfunktionen Formänderungen und Schnittkräfte Elementsteifigkeitsmatrix Ermittlung der Knotenlasten Knotenkräfte Beispiel Rechteckselement R Ansatzfunktionen und Schnittkräfte Elementsteifigkeitsmatrix 91

7 Literaturverzeichnis IX Knotenlasten Beispiel Scheibenelemente in Polarkoordinaten Ringelement für rotationssymmetrische Beanspruchung Elementsteifigkeitsmatrix Elementknotenlasten Beispiel Sektorelement S Transformationen Elemente mit Seitenknoten Rechteckselement R Rechteckselement R Dreieckselement D Beispiele Rotationssymmetrisch beanspruchte Körper Grundbeziehungen Ringkörperelement RK Ringkörperelement DK Temperaturwirkung Isoparametrische Elemente Koordinatentransformation Eindimensionale Elemente Scheibenelemente Elementsteifigkeitsmatrix Operatorenmatrix in krummlinigen Koordinaten Elementsteifigkeitsmatrix Numerische Integration Beispiel Schnittkräfte Knotenlasten Massenkräfte Temperaturwirkung Probleme bei der praktischen Scheibenberechnung Singuläre Punkte Punktförmige Stützungen Ende von Linienstützungen Einspringende Ecken Konzentrierte Lasten Kopplung von stabartigen Bauteilen mit Scheiben Scheibe mit Randbalken Wandscheibe auf Einzelstützen Wandartiger Rahmen Platten Grundbeziehungen für die Berechnung dünner Platten Rechteckselement R Ansatzfunktionen und Verformungsparameter 154

8 X Literaturverzeichnis Formänderungen und Schnittkräfte Elementsteifigkeitsmatrix Elementknotenlasten Flächenlasten Linienlasten Einzellasten Elastische Bettung Theorie 2. Ordnung Stabilität Schwingungen Beispiel Rotationssymmetrische Beanspruchung Elementsteifigkeitsmatrix Elementknotenlasten Flächenlasten Linienlasten Elastische Bettung Theorie 2. Ordnung Stabilität Schwingungen Beispiele Weitere Plattenelemente Zylindrische Schalen Rotationssymmetrische Beanspruchung Elementsteifigkeitsmatrix Elementknotenlasten Flächenlasten Linienlasten Elastische Bettung Theorie 2. Ordnung Stabilität Schwingungen Vorverformumgen Beispiele Weitere Zylinderelemente Dreidimensionaler Spannungszustand Grundbeziehungen für das dreidimensionale Elastizitätsproblem Hexaederelement H Ansatzfunktionen und Verformungsparameter Spannungen Elementsteifigkeitsmatrix Belastungsparameter Beispiel Leistungsfähigere dreidimensionale Elemente 203

9 Literaturverzeichnis XI 6 Konvergenzbedingungen Vollständigkeit Starrkörperverrückungen Konstanter Verzerrungszustand Verträglichkeit Geometrische Isotropie Drehungsinvarianz 212 Literatur 215 Sachverzeichnis 221

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