Hydrosystemanalyse: Finite-Elemente-Methode (FEM)

Transkript

1 Hydrosystemanalyse: Prof. Dr.-Ing. habl. Olaf Koldtz 1 Helmholtz Centre for Envronmental Research UFZ, Lepzg 2 Technsche Unverstät Dresden TUD, Dresden Dresden, 03. Jul /31 Prof. Dr.-Ing. habl. Olaf Koldtz Hydrosystemanalyse 2013

2 Vorlesungsplan SoSe 2015: Hydrosystemanalyse # Datum Vorlesung Übung Skrpt Dfferenzen-Verfahren, Randbedngungen Grundwasserhydraulk: Fnte-Elemente- Verfahren UFZ-Exkurson: VISLAB Klausurvorberetung Enführung, Systemanalyse Grundwasserhydraulk: Enzugsgebet Blanzerung, Vorlesung Grundwasserhydraulk: Enzugsgebet Blanzerung, Übung Grundwasserhydraulk: Fnte-Dfferenzen- Verfahren, Rechteckaqufer Grundwasserhydraulk: Fnte-Dfferenzen- Verfahren, Selke Grundwasserhydraulk: Fnte-Dfferenzen- Verfahren, OOP, VTK, FDM Grundwasserhydraulk: mplztes Fnte- BHYWI- 22-E3 BHYWI- 22-E4 BHYWI- 22-E , , /31 Prof. Dr.-Ing. habl. Olaf Koldtz Hydrosystemanalyse 2013

3 Lecture Table of Contents mplztes Verfahren - Grunddee mplzte FD Glechungen Implementerung Testbespel 3/31 Prof. Dr.-Ing. habl. Olaf Koldtz Hydrosystemanalyse 2013

4 Wr haben uns sehr ntensv mt der Methode der fnten Dfferenzen beschäftgt. Be der Enführung der numerschen Berechnungsmethoden n der Hydronformatk II Veranstaltung haben wr gesehen, dass es en ganzes Arsenal von Verfahren gbt (Abb. 2.1, Hydronformatk II Skrpt), welche für bestmmte Problemstellungen geegnet oder ungeegnet snd. In den Vsualserungsübungen m VISLab werden wr sehen, dass FD Verfahren Grenzen haben, wenn es um de exakte Beschrebung komplexer Geometren geht. Her snd Verfahren m Vortel, de sogenannte unstrukturerte Rechengtter benutzen können. Herzu zählt z.b. de Fnte Elemente Methode, mt der wr uns nun etwas näher beschäftgen möchten. De Abb. 1 zegt uns en aktuelles Bespel aus enem Forschungsvorhaben zusammen mt der Bundesanstalt für Geowssenschaften und Rohstoffe (BGR) n Hannover 4/31 Prof. Dr.-Ing. habl. Olaf Koldtz Hydrosystemanalyse 2013

5 Abbldung: Modellerung enes Kluftsystems m Krstalln (Herbert Kunz, BGR) 5/31 Prof. Dr.-Ing. habl. Olaf Koldtz Hydrosystemanalyse 2013

6 - Motvaton Abbldung: Bodensäulenmodell zur Erläuterung der FE Methode nach Istok (1989) 6/31 Prof. Dr.-Ing. habl. Olaf Koldtz Hydrosystemanalyse 2013

7 - Konzept Wr betrachten en 1D statonäres Grundwasserströmungsproblem. ( ) h K x = 0 (1) x x En Näherungsverfahren wrd uns ene Näherungslösung ĥ lefern, welche de Blanzglechung (1) ncht mehr ganz korrekt erfüllt. ( ) ĥ K x = R(x) 0 (2) x x 7/31 Prof. Dr.-Ing. habl. Olaf Koldtz Hydrosystemanalyse 2013

8 Dabe st R(x) der Fehler, das sogenannte Resduum. Das Resduum kann n den verschedenen Gtterpunkten, unterschedlche Wert R R annehmen. Am Knoten 3 hängen de Elemente (2) und (3) (Abb. 2). Daher ergbt sch das Resduum m Knoten 3 aus den Elementwerten we folgt. R 3 = R (2) 3 + R (3) 3 (3) 8/31 Prof. Dr.-Ing. habl. Olaf Koldtz Hydrosystemanalyse 2013

9 Ohne Beschränkung der Allgemenhet können wr für eden Knoten, das Resduum we folgt schreben. R = p e=1 R (e) Dabe st p de Anzahl der Elemente, de am Knoten angebunden snd. (4) 9/31 Prof. Dr.-Ing. habl. Olaf Koldtz Hydrosystemanalyse 2013

10 Der Elementbetrag zum Resduum lässt sch we folgt berechnen. ( ) x e R (e) = N (e) x e K x (e) 2 ĥ (e) x 2 dx (5) Dabe st N (e) W (x) ene Interpolatonsfunkton auf dem Element (e) (Abb. 3). 10/31 Prof. Dr.-Ing. habl. Olaf Koldtz Hydrosystemanalyse 2013

11 Abbldung: Interpolatonsfunkton für de Galerkn-Methode nach Istok (1989) 11/31 Prof. Dr.-Ing. habl. Olaf Koldtz Hydrosystemanalyse 2013

12 De gleche Bezehung lässt sch den anderen Element-Knoten schreben. (e) ( ) x R (e) = N (e) x (e) K x (e) 2 ĥ (e) x 2 dx (6) 12/31 Prof. Dr.-Ing. habl. Olaf Koldtz Hydrosystemanalyse 2013

13 De lnearen Interpolatonsfunktonen für 1D Elemente snd N (e) (x) = x (e) x L (e), N (e) (x) = x x (e) L (e) (7) 13/31 Prof. Dr.-Ing. habl. Olaf Koldtz Hydrosystemanalyse 2013

14 De approxmerte Feldgröße h kann nun we folgt auf dem 1D fnten Element nterpolert werden (Abb. 3). ĥ (e) (x) = N (e) = x (e) L (e) h + N (e) x h h + x x (e) L (e) h (8) 14/31 Prof. Dr.-Ing. habl. Olaf Koldtz Hydrosystemanalyse 2013

15 Abbldung: Interpolerte Näherungslösung auf enem 1D Element nach Istok (1989) 15/31 Prof. Dr.-Ing. habl. Olaf Koldtz Hydrosystemanalyse 2013

16 Jetzt stoßen wr auf en ernsthaftes Problem. In den Glechungen (5) und (6) müssten wr Abletungen zweter Ordnung berechnen, unsere Interpolatonsfunktonen snd aber lnear - also exsteren kene zweten Abletung - was tun? Wr machen ene mathematschen Trck n desen Glechungen. En partelle Integraton von (5) ergbt. x e = x e K (e) x N (e) x x e x e ĥ (e) x N (e) ( K (e) x dx + N(e) ) 2 ĥ (e) x 2 dx (9) K x (e) ĥ (e) x x e x e 16/31 Prof. Dr.-Ing. habl. Olaf Koldtz Hydrosystemanalyse 2013

17 We können wr de Umformung n Glechung (10) überprüfen? Der zwete Term auf der rechten Sete von (10) N (e) K x (e) ĥ (e) x e x x e (10) entsprcht der Vorgabe von Werten auf den Randknoten x e und x e des Elements (e). Handelt es sch um enen Randknoten, dann geht es um Randbedngungen. 17/31 Prof. Dr.-Ing. habl. Olaf Koldtz Hydrosystemanalyse 2013

18 Um welchen Randbedngungstypen handelt es be (10)? Welche Randbedngung st es, wenn der Wert von (10) glech Null st? Was passert mt nneren Knoten? 18/31 Prof. Dr.-Ing. habl. Olaf Koldtz Hydrosystemanalyse 2013

19 Nun setzen wr de Bezehung (10) n de Glechung (5) en und erhalten. R (e) = x e x e x e = x e N (e) ( K (e) x K (e) x N (e) x ) 2 ĥ (e) x 2 dx ĥ (e) x dx + N(e) K (e) x ĥ (e) x x e x e (11) 19/31 Prof. Dr.-Ing. habl. Olaf Koldtz Hydrosystemanalyse 2013

20 Jetzt müssen wr uns um ĥ (e) / x kümmern. ĥ (e) x = ( x N (e) ) h + N (e) h = N(e) x h + N (e) x h (12) 20/31 Prof. Dr.-Ing. habl. Olaf Koldtz Hydrosystemanalyse 2013

21 Nach Ensetzen der Interpolatonsfunktonen erhalten wr schleßlch. ĥ (e) x = 1 L (e) ( h + h ) (13) 21/31 Prof. Dr.-Ing. habl. Olaf Koldtz Hydrosystemanalyse 2013

22 Für de Abletungen der lnearen Interpolatonsfunktonen folgt. N (e) = x (e) x x x L (e) = 1 L (e) (14) N (e) x ( ) = x x (e) x L (e) = 1 L (e) (15) 22/31 Prof. Dr.-Ing. habl. Olaf Koldtz Hydrosystemanalyse 2013

23 Setzen wr etzt de Bezehungen n de Glechung (11) en, ergbt sch. x e ( R (e) = K x (e) 1 ) ( ) 1 L (e) L (e) ( h + h ) x e = K x (e) L (e) (h h ) (16) In glecher Wese bekommen wr. R (e) = K x (e) L (e) ( h + h ) (17) 23/31 Prof. Dr.-Ing. habl. Olaf Koldtz Hydrosystemanalyse 2013

24 Bede Glechungen (16) und (17) lassen sch zusammen n ener Matrzen-Form schreben. { R (e) R (e) } = K x (e) L (e) [ +1 ] 1 } 1 +1 {{ } 2 2 { h h } (18) 24/31 Prof. Dr.-Ing. habl. Olaf Koldtz Hydrosystemanalyse 2013

25 Letfähgketsmatrx [K (e) ] = K x (e) L (e) [ +1 ] 1 } 1 +1 {{ } 2 2 (19) 25/31 Prof. Dr.-Ing. habl. Olaf Koldtz Hydrosystemanalyse 2013

26 Aufgrund der Elementgeometren L (e) (Abb. 2) ergeben sch folgende Elementmatrzen. [ ] [ ] [K (1) +1/2 1/2 ] =, [K (2) +1 1 ] = 1/2 +1/ [ ] [ ] +1/3 1/3 +1/3 1/3 K (1) =, [K 1/3 +1/3 (2) ] = 1/3 +1/3 (20) 26/31 Prof. Dr.-Ing. habl. Olaf Koldtz Hydrosystemanalyse 2013

27 Zusammenbauen des Glechungssystems. {R} = [K]{h} = 0 (21) {R} = R 1 R 2 R 3 R 4 R 5, {h} = h 1 h 2 h 3 h 4 h 5 (22) [K] = [K (1) ] + [K (2) ] + [K (3) ] + [K (4) ] (23) 27/31 Prof. Dr.-Ing. habl. Olaf Koldtz Hydrosystemanalyse 2013

28 [K] = = 1/2 1/ / / /3 1/ /3 1/3 + 1/3 1/ /3 1/3 1/2 1/ /2 3/ /3 1/ /3 2/3 1/ /3 1/3 (24) 28/31 Prof. Dr.-Ing. habl. Olaf Koldtz Hydrosystemanalyse 2013

29 1/2 1/ /2 3/ /3 1/ /3 2/3 1/ /3 1/3 h 1 h 2 h 3 h 4 h 5 = (25) 29/31 Prof. Dr.-Ing. habl. Olaf Koldtz Hydrosystemanalyse 2013

30 - Implementerung Verglechen wr de Quelltexte der man Funktonen für FD und FE Verfahren, sehen wr kaum Unterschede. Das hesst de Abläufe (Algorthmen) snd sehr ähnlch. 30/31 Prof. Dr.-Ing. habl. Olaf Koldtz Hydrosystemanalyse 2013

31 extern vod Gauss(double*,double*,double*,nt); nt man() { // FEM* fem = new FEM(); fem->setintalcondtons(); fem->setboundarycondtons(); // nt tn = 10; for(nt t=0;t<tn;t++) { fem->assembleequatonsystem(); Gauss(fem->matrx,fem->vecb,fem->vecx,fem->IJ); fem->savetmestep(); fem->outputresults(t); } // return 0; } 31/31 Prof. Dr.-Ing. habl. Olaf Koldtz Hydrosystemanalyse 2013