Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 1etv3-4

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1 Prof. Dr.- ng. Herzg.6 Spezelle erechnungsverfahren lnearer Netzwerke.6. Überlagerungsverfahren Der Lernende kann - den Überlagerungssatz und das darauf beruhende erechnungsprnzp lnearer Netzwerke erklären - den nnenwderstand ener dealen Spannungsquelle und den nnenletwert ener dealen Stromquelle angeben - en lneares Netzwerk mt n Quellen n n lneare Netzwerke mt jewels ener Quelle skzzeren - de vorzechenbehaftete ddton der Telwrkungen zur Gesamtwrkung durchführen - de erechnungsschrtte des Überlagerungsverfahrens angeben Der Überlagerungssatz lautet: n lnearer System überlagern sch de durch Telursachen entstehenden Telwrkungen lnear zur Gesamtwrkung n der nwendung auf lneare Netzwerke bedeutet das: De Gesamtwrkung st bespelswese der Zwegstrom n enem ausgewählten Zweg. rsache für den Zwegstrom st de Gesamthet aller n Quellen des Netzwerkes, Telursachen snd also de n Quellen. Jede Quelle des Netzwerkes lefert enen etrag (Telwrkung) zum Zwegstrom. Dese Telwrkung lässt sch bestmmen, ndem nachenander de n Quellen n hrer Wrkung enzeln betrachtet werden. lle anderen n- Quellen treten m Netzwerk nur mt hrem nnenwderstand oder nnenletwert auf, hre Quellenwrkung wrd mt Null angesetzt ( q 0; q 0). Der nnenwderstand ener deale Spannungsquelle st 0 (Kurzschluss), der nnenletwert ener deale Stromquelle st G 0 ( ) Letungsunterbrechung. Durch de Elmnerung aller Quellen bs auf ene entstehen Wderstandsnetzwerk mt nur ener Quelle, de mt Stromteler- und Spannungstelerregel enfach berechnet werden kann. Dese Methode kann wegen des Überlagerungsprnzps nur für lneare Systeme verwendet werden. Se st also ncht allgemen anwendbar. n der nwendung auf Wderstandsnetzwerk mt mehreren Quellen ergeben sch de nachstehend angeführten erechnungsschrtte:. Festlegung des Zählpfels des zu berechnen Zwegstromes. erechnung des. Telzwegstroms als Enzelwrkung der. Quelle des Netzwerkes. lle Quellen bs auf de. werden n hrer Quellenwrkung unwrksam gemacht. Spannungsquellen werden überbrückt, Stromquellen herausgelöst.. erechnung des. bs n-ten Telzwegstroms als Enzelwrkung der. bs n-ten Quelle des Netzwerkes. 4. ddton der n Telzwegströme zum Gesamtzwegstrom. Dabe wrd en Telstrom mt postvem Vorzechen be der ddton erfasst, wenn sene Stromrchtung mt der n. festgelegten Zählrchtung des Zwegstromes überenstmmt.

2 Prof. Dr.- ng. Herzg espel.6.0 K q 6V Ω Ω 50Ω K q erechnung des Stromes. Entragung des Zählpfels des Stromes bb..6. espelaufgabe Da m Netzwerk Quellen vorhanden snd, müssen de zwe Telströme und berechnet werden.. erechnung des. Telstromes aus der Wrkung der Spannungsquelle. De Stromquelle wrkt nur mt hrem Wderstand q, m Netzwerk entsteht ene Trennstelle. Da nur de Spannungsquelle m Netzwerk wrkt. kann de Stromrchtung auf Grund der Polartät der Spannungsquelle engetragen werden. q bb..6. erechnung des. Telstromes G G + G q + + / 50Ω 6V /Ω+ / 50Ω Ω 50Ω Ω+ Ω+ 50 Ω erechnung des zweten Telstromes aus der Wrkung der Stromquelle. De Spannungsquelle wrkt dabe mt hrem Wderstand q 0, se wrd überbrückt. K G G + G + G K / 50Ω / Ω + / Ω+ / 50 Ω 0.0 bb..6. erechnung des. Telstromes 4. ddton der Telströme, bede Telströme fleßen n chtung des Zählpfels (.6.0)

3 Prof. Dr.- ng. Herzg espel : q 4.5 V q 6.0 V q 7.5 V Ω 5 Ω 4 Ω 4 0 Ω q q Ω 0.8 5Ω + 4Ω + 0Ω q + ( + ) V Ω(5Ω+ 0 Ω) Ω+ 4 Ω+ 5 Ω+ 0 Ω q q q + 6V Ω4Ω 5Ω + 0Ω + Ω + 4Ω 0.5 q Ω 0.07 Ω+ 5Ω+ 0Ω + q ( + 7.5V. Ω(5Ω + 0Ω) 4Ω + Ω + 5Ω + 0Ω ) 4 q 4

4 Prof. Dr.- ng. Herzg 4.6. Zwepolverfahren Der Lernende kann - den Satz von Helmholtz erklären - de egrffe aktver und passver Zwepol erläutern - aus jedem Netzwerk Zwepole herauslösen - enen aktven Zwepol durch ene Spannungsquellen- oder Stromquellen-Ersatzschaltung darstellen - de earbetungsschrtte des Zwepolverfahrens nennen Grundlage des Zwepolverfahrens st der Satz von Helmholtz und Mayer: Jeder lneare aktve Zwepol, der aus Quellen und lnearen Wderständen besteht, kann bezüglch senes Klemmenverhaltens durch ene Spannungsquellen- oder Stromquellen-Ersatzschaltung ersetzt werden. Jeder passve Zwepol, der aus lnearen Wderständen besteht, lässt sch zu enem lnearen Wderstand zusammenfassen. X X n enem Netzwerk besteht de ufgabe, den Zwegstrom x, der durch den Zwegwderstand x fleßt, zu berechnen. Dazu wrd der Wderstand x wrd an senen nschlüssen mt Klemmen versehen (bb..6.4) und der Zählpfel des Stromes x engetragen. nschleßende wrd der Wderstand aus dem Netzwerk herausgelöst. Dadurch entstehen zwe Zwepole: bb..6.4 Zwepol m Netzwerk Der. Zwepol st der herausgetrennte Wderstand x. Es st en passver Zwepol, der n bb..6.6 dargestellt st. Der. Zwepol st der verblebender est des Netzwerkes. Es st der n bb..6.5 gezegte aktve Zwepol, der Quellen und lneare Wderstände enthält. Nach dem Satz von Helmholtz kann nun deser Netzwerksrest,, durch ene Spannungsquellen-Ersatzschaltung mt 0 und oder ene Stromquellen-Ersatzschaltung mt K und G ( ) ersetzt werden. X bb..6.5 aktver Zwepol bb..6.6 passverzwepol erechnet man de Elemente der Spannungsquellen- oder Stromquellen- Ersatzschaltung und fügt bede Zwepole weder zusammen, so ergeben sch Grundstromkrese mt o ; und x (bb..6.7) oder K ; und x (bb.6.8), n denen der fleßende Strom der gesuchte Zwegstrom x st, und auf enfache Wese berechnet werden kann.

5 Prof. Dr.- ng. Herzg 5 X X 0 X X K X X bb..6.7 Spannungsquellenersatzschaltung bb..6.8 Stromquellenersatzschaltung K o X X + x + x (.6.0) Das Zwepolverfahren lässt sch ncht formal nach enem lgorthmus anwenden, sondern erfordert auf jeden Fall gedanklche Vorarbet. Es st zu entscheden, n welche Zwepole das Netzwerk für de erechnung enes Stromes aufzutelen st und ob es zweckmäßg st, de Spannungsquellen- oder de Stromquellen- Ersatzschaltung zu verwenden. uf jeden Fall gbt es mehrere Lösungsmöglchketen unterschedlchen ufwandes. De Schwergket besteht n der erechnung der Parameter der Quellen-Ersatzschaltungen, und nur durch das earbeten ener möglchst großen Zahl von ufgaben werden Se sch de notwendgen Fertgketen erwerben können. espel.6.0 q 6V q Ω Ω 50Ω erechnung des Stromes! q bb..6.9 espel q uftelungsvorschlag n de zwe Zwepole: q q bb..6.0 espel, a) aktver Zwepol b) aktver Zwepol

6 Prof. Dr.- ng. Herzg 6 erechnung der Parameter der Ersatzspannungsquelle: Der nnenwderstand der Ersatzspannungsquelle st der zwschen den Klemmen und messbare Wderstand. m hn zu berechnen, werden de Quellenspannungen und Quellenströme der Quellen Null gesetzt. De Quellen wrken dann nur mt hren Wderständen: Spannungsquelle: q 0 Stromquelle: G q 0; q n bb..6. st de Wderstandsschaltung zur estmmung des nnenwderstandes gezegt. Der Wderstand zwschen den Klemmen und wrd durch zusammenfassen der Wderstände der Schaltung berechnet. Ω Ω 0 + Ω+ Ω.667Ω bb..6. espel, estmmung des nnenwderstandes De Leerlaufspannung o st de Spannung zwschen den offenen Klemmen des Zwepols, der das verblebende Netzwerk beschrebt. Zur erechnung der Spannung 0 wenden wr zunächst den Maschensatz n der Masche M des Netzwerks der bb..6. an. Masche M: + 0 q 0 q q M 0 q bb..6. espel, estmmung der Leerlaufspannung Da m verblebenden Netzwerk zwe Quellen vorhanden snd, muss de erechnung von mt dem Überlagerungsverfahren durchgeführt werden. n bb..6. snd de Netzwerke zur estmmung der Telspannungen und dargestellt. De erechnung der Telspannungen erfolgt mt der Spannungs- und der Stromtelerregel.

7 Prof. Dr.- ng. Herzg 7 q q bb..6. espel, estmmung von ' mt der Überlagerungsmethode 4.00V q q V K K + + De Vorzechen der Telspannungen be der ddton ergeben sch aus dem Verglech der Telspannungsrchtungen mt dem Zählpfel von V V.V + 6V.V.67V 0 q Nachdem de Parameter der Spannungsquellenersatzschaltung bestmmt wurden, kann, we n bb..6.4 gezegt, der Strom berechnet werden 0.67V Ω+ 50Ω 0 a bb..6.4 espel, erechnung des Stromes mt der Spannungsquellenersatzschaltung Zur Übung wollen wr m Folgenden de gleche erechnung unter Verwendung der Stromquellen-Ersatzschaltung für den aktven Zwepol durchführen. Der nnenwderstand der Stromquellen-Ersatzschaltung wrd we be der Spannungsquellen-Ersatzschaltung bestmmt. Der nnenletwert G.5S 0.667Ω Der Kurzschlussstrom K des Zwepols st der zwschen den wderstandslos überbrückten Klemmen des Zwepols fleßende Strom. q q K K Durch de Kurzschlussverbndung st 0und damt q 6V 0 Ω Der Wderstand kann herausgenommen werden. bb..6.5 espel, erechnung von K

8 Prof. Dr.- ng. Herzg 8 De Knotenglechung lautet dann: K: q + K 0 K q Zum Verglech soll daraus de Leerlaufspannung berechnet werden: Ω.67V 0 K Mt den Parametern der Stromquelle wrd nun der Strom n bb..6.6 berechnet. K bb..6.6 espel, erechnung des Stromes K Ω Ω+ 50Ω Verglecht man den erechnungsaufwand für den Strom zwschen der Verwendung der Spannungsquellen- und der Stromquellen- Ersatzschaltung, so zegt es sch, dass mt der Stromquellen-Ersatzschaltung das Ergebns mt wenger ufwand errecht wurde. espel.6.0 q 0V; 0kΩ; 6.67kΩ; 47kΩ q S erechnung der Spannung be a) geöffnetem Schalter S Leerlauf: 0 b) geschlossenem Schalter S bb..6.7 espel Das espel soll zunächst mt der Spannungsquellen-Ersatzschaltung bearbetet werden. De erechnung der Leerlaufspannung erfolgt mt der Spannungstelerregel nach bb q V + q 0 bb..6.8 espel, erechnung der Leerlaufspannung

9 Prof. Dr.- ng. Herzg 9 De erechnung des nnenwderstandes wrd nach der bb..6.9 durchgeführt. 4kΩ + bb..6.9 espel, erechnung des nnenwderstandes 0 De erechnung der Spannung erfolgt mt der Spannungstelerregel nach bb kΩ V.06V 4kΩ + 47kΩ bb..6.0 espel, erechnung der Spannung Enfacher st wederum de erechnung der Spannung mt der Stromquellen- Ersatzschaltung. Der Kurzschlussstrom wrd nach bb..6. bestmmt. Durch den Kurzschluss der Klemmen wrd der Wderstand stromlos und kann herausgelöst werden. q K S bb..6. espel, erechnung des Kurzschlussstromes 0V 0kΩ q K m Mt Kenntns des Kurzschlussstromes kann de Leerlaufspannung bestmmt werden. 0 K m 4kΩ V De wetere erechnung erfolgt we be der Verwendung der Spannungsquellen- Ersatzschaltung.

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