Bestimmung des Conditional Value-at-Risk (CVaR) bei Normal- bzw. Lognormalverteilung

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1 Mannheimer Manuskripte u Risikotheorie, Portfolio Management und Versicherungswirtschaft r. 4 Bestimmung des Conditional Value-at-Risk (CVaR bei ormal- bw. Lognormalerteilung on PETER ALBRECHT UD SVE KORYCIORZ Mannheim 0/003

2 Bestimmung des Conditional Value-at-Risk (CVaR bei ormal- bw. Lognormalerteilung Peter ALBRECHT / Sen KORYCIORZ. Definitionen und Eigenschaften Gegeben: Konfidennieau 0 < <. a Versicherungsfall: Betrachte X = S E( S, S : Gesamtschaden eines Kollektis. b Inestment-/ Bankenfall: Betrachte X V = L, = t t+ h h Periodenerlust einer Finanposition über betrachtete Haltedauer h. [Vgl. ALBRECHT/MAURER (00, S. 673 f..] Annahme: Die Verteilungsfunktion F( x on X besite eine Dichtefunktion f ( x 0. Definition : (Value-at-Risk um Konfidennieau P( X VaR ( X =. [Bedingungsgleichung für VaR] Folgerung: VaR entspricht dem ( -Quantil der Verteilung F on X; formal: VaR ( X = FX (. Ökonomische Interpretation: otwendige Kapitalunterlegung/Reserebildung, um Periodenerlust der Höhe X aufufangen [ Quantilresere ]. Statistische Interpretation: 00 ( %-Maximalerlust.

3 Definition : (Conditional Value-at-Risk um Konfidennieau CVaR ( X = E[ X X VaR ( X ]. [Vgl. ALBRECHT/MAURER (00, S. 675.] Anmerkung: CVaR ist ein Speialfall des Tail-Conditional-Expectation (TCE. TCE ( X : = E[ X X ]. Anmerkung: Es gilt: TCE ( X = + E [ X X ] = + MEL ( X, MEL (X = Mean Excess Loss on X relati u. Folgerung/Interpretation: CVaR ( X = VaR ( X "00( %- Maximalerlust" + E[ X VaR ( X X VaR ( X ], mittlere Überschreitung im Überschreitungsfall (mittlere bedingte Überschreitung oder: Quantil-Resere + Exess-Resere, bw.: CVaR beinhaltet usätliche Resere für die mittlere Überschreitung im Überschreitungsfall. Folgerung: CVaR VaR. Statistische Interpretation: Durchschnittlicher Maximalerlust in den 00 % schlimmsten Fällen.

4 3 Versicherungsfall: f(s E(S Q Q + MEL Q(S S Quantil-Resere Exess- Resere Wobei: Q : = VaR ( S = FS (, MEL Q ( S : = E[ S Q S Q]. Eigenschaft des CVaR: Kohärentes Risikomaß im Sinne on ARTZER ET AL. (999, wenn X Verteilung mit Dichtefunktion ( stetige Verteilung. [Vgl. ACERBI/TASCHE (00, S. 490 f..] Anmerkung: Im diskreten bw. gemischten Falle ist Modifikation notwendig, um kohärentes Risikomaß u erhalten. [Vgl. ACERBI/TASCHE (00.]

5 4. Allgemeine Berechnung Annahme: Existen einer Dichte. P( X Direkt: E[ X X ] = x f ( x dx. Über MEL: E [ X X ] = + E[ X X ] E = + = + [ max( X, 0 ] P( X mittlere Exess - Erwartung Exess - Wahrschein lichkeit UPM( ; X. UPM ( ; X 0 Anmerkung u : Letteres ist die analoge Konstruktion für den Exess-Fall, wie die Berechnung des MEL im Shortfall. [Vgl. ALBRECHT/MAURER (00, S. 0.] D. h.: [ max( X, 0 ] = P( X E[ X X ] E. Hier: [ max( X, 0 ] = P( X E[ X X ] E. Anmerkung u : Definieren wir E ( X x f( x dx, das obere partielle Moment. Ordnung, so = gilt: E E ( X [ X X ] =, P( X und man kann ur Berechnung des TCE direkt auf die Resultate on WIKLER ET AL. (97 urückgreifen.

6 5 3. ormalerteilungsfall Gegeben: X ~ ( µ, σ. Es gilt: VaR ( X = E( X + σ ( X, wobei das ( -Quantil der Standard-ormalerteilung beeichnet. [Vgl. ALBRECHT/MAURER (00, S. 675.] Bestimmung des TCE: Sei µ = : und beeichne Φ (x die Verteilungsfunktion einer standardnormaler- σ teilten Zufallsgröße bw. ϕ (x deren Dichte, so gilt: P( X = Φ (. E ( X = µ [ ] +σ ϕ (. [Vgl. etwa ALBRECHT (994, S. 337.] 3 TCE ( X = E ( X P( X ϕ( = µ + σ. Bestimmung des CVaR: = VaR = µ + σ, =. = ( = ebenrechnung: Φ =.

7 6 Fait: CVaR ϕ( ( X = E( X + σ( X Im Vergleich u VaR wird somit auf E( X ein höheres (da CVaR VaR Multipel der Standardabweichung hinuaddiert, d. h. ϕ /. ( CVaR ( X VaR ϕ( ( X = ϕ( = σ ( X σ( X. ϕ( Folgerung: Exess-Resere E[ X X ] = σ ( X. umerisches Beispiel: ϕ( / Anmerkung: Relatie Differen ( rel wird immer geringer. Anmerkung: Es gilt: ϕ( / ϕ( / rel : = = fällt monoton gegen ull für 0.

8 7 Verlauf der Funktion: ? rel a 4. Lognormalerteilungsfall Gegeben: ln X ~ ( m,. Es gilt: VaR ( X = exp( m +. [( -Quantil der Lognormalerteilung, gl. ALBRECHT/MAURER (00, S. 4.] Bestimmung des TCE: Sei : = (ln m /, so gilt: L P( X = P(ln X ln =. L L m+ E ( X = e [ ]. L [Vgl. ALBRECHT (994, S. 337.]

9 8 3 TCE ( X = E = e L m+ ( X / P( X = E( X L L L. L Bestimmung des CVaR: = VaR. L ln m = =. Wie uor: =. L Fait: CVaR ( E( X = X Beiehung um VaR? Umrechnung on VaR : VaR ( X = e m = E( X exp( + +. Zuschlag u E( X ist im Gegensat ur ormalerteilung hier nicht additi, sondern multiplikati.

10 9 Wegen CVaR VaR müsste also gelten: exp(. umerisches Beispiel: Multiplikatie Zuschlagsfaktoren für und repräsentatie -Werte. Möglicher Ansatpunkt: Gehe aus on der Hypothese Var( X = λ E( X. Es gilt dann [gl. ALBRECHT/MAURER (00, S. 96]: Var( X = ln + E( X = ln( + λ bw. = ln( + λ. Zahlenbeispiel: l Multipel des Erwartungswerts im Falle des VaR : Mult VaR = exp(. Multipel des Erwartungswerts im Falle des CVaR : Mult CVaR =.

11 0 = 0.64: = 0.83: Mult CVaR Mult VaR Mult CVaR Mult VaR = 0.96: =.05: Mult CVaR Mult VaR Mult CVaR Mult VaR =.: =.8: Mult CVaR Mult VaR Mult CVaR Mult VaR Exess - Resere = E [ X X ] = CVaR ( X VaR ( X = E( X exp( exp( = E( X. Mult ExR Weitere Aufschlüsse lassen sich nur numerisch erreichen.

12 Graphisches Beispiel: Verlauf des Multipels on E( X im Falle der Exess-Resere Mult für = / 0,5 / 0,5 in Abhängigkeit on : ( ExR Mult ExR = = 0,5 = 0,5 0,0 0,04 0,06 0,08 0, Die Entwicklung der Exess-Resere (in absoluten Termen ist uneinheitlich. Während in den obigen numerischen Beispielfällen mit abnehmendem das Multipel on E( X und damit die Exess-Resere (der MEL kontinuierlich ansteigt, ergibt sich für weniger riskante Zufallsariable X ein anderes Bild. Für kleine Werte on, das heißt bei geringer Schiefe γ ( X = exp( ( + exp( > 0, lässt sich beobachten, dass das Multipel Mult ExR (mit sinkendem abnimmt (siehe Abbildung für = 0, 5. Die Relation Exess-Resere/Quantil-Resere nimmt stets ab (mit unehmendem, das heißt, im Falle eines Anstiegs der Exess-Resere wächst die Quantil-Resere e r- hältnismäßig stärker an.

13 Appendix: CVaR-Berechnung im Renditefall Während im Haupttext auf die CVaR-Berechnung auf der Basis on Verlustpositionen eingegangen wurde, soll nunmehr der Renditefall (bw. der Fall einer absoluten Gewinn-/Verlustposition beleuchtet werden. Gegeben: X = Rendite oder absolute Gewinn-/Verlustposition. Definition A: (Tail Conditional Expectation TCE ( X : = E [ X X ] = P( X E ( X x df( x = F(, mit: : Target, F : Verteilungsfunktion, E : partielles Moment. Definition A: (Conditional Value-at-Risk CVaR [ X X VaR ( ] ( X = E X, d. h. CVaR ( X = TCE ( X für = VaR (X. I. ormalerteilung: X = R ~ ( µ, σ a E ( X = µ σ ϕ(, wobei: : = ( x µ σ, µ = E( X, σ = σ (X. [Vgl. ALBRECHT (993, S. 60.] b F( = Φ (.

14 3 ϕ( c TCE ( X = µ σ. d = VaR ( X = σ, µ µ σ µ = = = σ [ ( ], = Φ Φ = ϕ ( x = ϕ( x, d. h. ϕ ϕ(. ( =, Fait: CVaR ϕ( ( X = µ σ II. Lognormalerteilung: X = + R ~ L( m, L ln( + m : =. L a E ( X = exp( m +. [Vgl. ALBRECHT (993, S. 60.] b F( =. L c TCE ( X = exp( m + = E( X L, L L L = VaR ( X = exp( m,

15 4 m m L = = = Φ (. =, Fait: CVaR ( X = E( X

16 5 Literatur: ACERBI, C.; D. TASCHE (00: On the coherence of Expected Shortfall, in: Journal of Banking and Finance 6, o. 7, S ALBRECHT, P. (993: Analyse der Zufallsgesetmäßigkeit on Unterrenditen, in: HIPP, C. et al. (Hrsg.: Geld, Finanwirtschaft, Banken und Versicherungen, Karlsruhe, S ALBRECHT, P. (994: Dimensionen des ersicherungstechnischen Risikos, in: HESBERG, D.; M. ELL; W. SCHOTT (Hrsg.: Risiko Versicherung Markt, Festschrift für Walter Karten ur Vollendung des 60. Lebensjahres, Karlsruhe, S ALBRECHT, P.; R. MAURER (00: Inestment- und Risikomanagement: Modelle, Methoden, Anwendungen, Stuttgart. ARTZER, P.; F. DELBAE; J.-M. EBER; D. HEATH (999: Coherent Measures of Risk, in: Mathematical Finance 9, o. 3, S WIKLER R. L.; G. M. ROODMA; R. B. BRITEY (97: The determination of partial moments, in: Management Science 9, o. 3, S