Sterne der Platonischen Körper

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1 Der Griechische Philosoph Platon ( v. Chr.) ordnete die regelmässigen geometrischen Körper den Naturelementen und dem Himmelsraum zu. Feuer Luft Wasser Erde Himmelsraum Wie präsentieren sich die Platonischen Körper als Sterne, wenn deren Strukturprinzipien in den Umraum strahlend eingehalten werden? Dazu werden die ebenen Seitenflächen der Körper über ihre Kanten hinaus so weit ausgedehnt, bis sie sich mit einer anderen erweiterten Seitenfläche schneiden. Dadurch werden über die Flächen des Körpers Sternzacken errichtet. Die auf diese Art gebildeten Sterne sind charakteristisch für die Platonischen Körper und verstärken deren Eindruck in Bezug zu den Naturelementen. Die fünf einfachen Sterne Pentagondodekaeder (Himmelsraum) Als Erweiterung der Fünfeckoberflächen ergeben sich Fünfsterne (Pentagramme). Ihre 12 x 5 Spitzen errichten über den 12 Fünfecksflächen steile Pyramiden. Das Pentagondodekaeder wird zum echten Stern, dem Kleinen Keplerstern. Dodekaederstern / Kleiner Keplerstern 12 identische Bauelemente werden zum Stern zusammengefügt Eine fortgesetzte Flächenerweiterung führt noch zu zwei weiteren sternartigen Stufen: Poinsots Sternkörper und zum grossen Ikosaederstern mit 20 Zacken, dem Grossen Keplerstern. (siehe unten: Sterne des Pentagondodekaeders). Ueli Wittorf 1

2 geometricdesign Ikosaeder (Wasser) Über den 20 Dreiecksflächen bilden sich aus den 20 sechseckigen Bauelementen über den Dreiecksflächen sehr flache Pyramiden als Sternzacken. Das Ikosaeder ist der rundeste aller Platonischen Körper, aber auch sein erster Stern ist sehr rund. Erster Ikosaederstern / Pyramidenikosaeder / Bindelstern 20 identische Sechseckselemente werden zum Pyramidenikosaeder zusammen gefügt. Wird die Flächenerweiterung fortgesetzt, so ergeben sich stufenweise eine ganze Reihe sehr verschieden geformter Sterne (siehe weiter unten: Sterne des Ikosaeders) Mit Ikosaedern wie auch mit Pentagondodekaedern lässt sich keine raumfüllende Struktur bilden. Ikosaeder und Pentagondodekaeder sind als kugelig, sphärische Körper Individualisten. Oktaeder (Luft) Die Erweiterung der Seitenflächen führt zu vier Mal so grossen Dreiecken. Über jeder Oktaederfläche kommt ein kleines Tetraeder als Sternzacke zu liegen. Johannes Kepler nannte diesen Stern auch stella octangula. Man erkennt aber den Körper auch als zwei sich durchdringende grosse Tetraeder, die als gemeinsamen Kern das Oktaeder einschliessen. Oktaederstern / stella octangula / Doppeltetraeder 8 identische Dreieckselemente werden zu einem Doppeltetraeder zusammengefügt Mit seinen Spitzen spannt dieser Stern einen Würfel auf. In den Lücken zwischen den Zacken würden weitere Oktaeder hineinpassen, und zusammen mit weiteren kleinen Tetraedern könnte diese Struktur in allen drei Dimensionen den Raum lückenlos füllend fortgesetzt werden. 2 Ueli Wittorf

3 Hexaeder/Würfel (Erde) Die Bauelemente sind Kreuze, deren Enden ins Unendliche gedacht werden müssen. Der Würfelstern hat seine Spitzen im Unendlichen (gemäss der Projektiven Geometrie schneiden sich Parallelen im Unendlichen). Mit Würfeln allein lässt sich der Raum in allen drei Dimensionen lückenlos füllen. Der Würfel gehört ganz der Mineralwelt an. Hexaeder- Stern 6 identische, kreuzförmige Bauelemente werden zu einem räumlichen Kreuz zusammengefügt Teraeder (Feuer) Die vier Bauelemente sind eine Art dreiflüglige Propeller (das Warnzeichen für Stahlung im Dreieck zeigt auch dieses Bild). Über den vier Dreiecken des Tetraeders kommt es nicht zur Bildung einer Spitze, sondern im Gegenteil zu einem Trichter, der sich nach aussen öffnet. Vier Zacken aus dem Umkreis einstrahlend durchdringen sich gegenseitig und schaffen das Tetraeder (den göttlichen Funken). Das Tetraeder ist ein Antistern. Tetraeder- Stern, ein Antistern 4 identische Bauelemente werden zu einem Antistern zusammengefügt. Ueli Wittorf 3

4 geometricdesign Kantenwinkel und Sternbildung Die grosse Verschiedenheit der fünf Sterne hat seinen Grund in den Winkeln, in welchen sich zwei benachbarte Körperflächen treffen. Tetraeder Hexaeder Oktaeder Flächen 6 Flächen 8 Flächen Dodekaeder Ikosaeder Flächen 20 Flächen Kantenwinkel der Platonischen Körper in zunehmender Reihenfolge Die Platonischen Körper sind orthogonal, d.h. senkrecht zu einer Kante geschnitten dargestellt. Mit zunehmender Flächenzahl vergrössert sich der Kantenwinkel. Die gelben Rechtecke zeigen die Massverhältnisse in der Projektionsrichtung an. Der Kantenwinkel des Tetraeders ist um den gleichen Winkel kleiner als der Winkel des Würfels von 90, wie der Kantenwinkel des Oktaeders grösser ist. Sie ergänzen sich auf = 180. Der Stern des Oktaeders ist ein Doppeltetraeder im Würfel. Das Oktaeder ist der gemeinsame Kern der Tetraeder-Durchdringung. 8 kleine Tetraeder bilden die Sternspitzen. Würfel, Oktaeder und Tetraeder vereinen sich ineinander liegend dicht gepackt in der kubischen Struktur, welche in alle drei Raumesrichtungen erweitert werden kann. Die Lücken zwischen den Zacken liessen sich mit weiteren Oktaedern ausfüllen. Den stumpfesten Winkel von finden wir beim Ikosaeder. Als Projektion im Quadrat (Würfe) eingeschrieben, erscheint das Dodekaeder mit dem Kantenwinkel von wesentlich kantiger. Doppeltetraeder mit Oktaeder-Kern in der Würfelstruktur 4 Ueli Wittorf

5 Die Elemente Je nach Kriterium ergibt sich offenbar eine andere Reihenfolge der Platonischen Körper. An die Darstellung der Platonischen Körper als Stern sei hier eine kurze Betrachtung im Hinblick auf die Elemente gewagt. Feuer Erde Luft Himmelsraum Wasser Strahlt aus dem Unendlichen ein und muss sich dauernd erneuer. Erscheint als ewig Festes und Ruhendes. Mit seinen Enden ist das Element im Unendlichen verankert. Sich ausbreitend, aufsteigend, von der Erde zurückgehalten. Sie facht das Feuer auf der Erde an (Doppeltetraeder). Stellt den unendlichen Raum zur Verfügung, in den alles eingebettet ist. Es vermittelt zwischen Himmel und Erde, bringt das Leben auf die Erde und macht es möglich. Erweiterte Sterne Oktaeder, Ikosaeder und Pentagondodekaeder sind die Platonischen Körper, welche Sternenstationen durchmachen, wenn ihre Flächen erweitert werden. Eine weitere Ausdehnung der Flächen wird so lange weitere Sternstadien ergeben, wie es Flächen gibt, die zusammenlaufen. Laufen sie parallel oder auseinander, wie beim Hexaeder oder Tetraeder, so sind keine Pyramidenbildungen mehr zu erwarten. Das Doppetetraeder (stella octangula) ist der einzige Sternzustand des Oktaeder. Am Pentagondodekaeder beobachtet man fünf interessante Zustände und das Ikosaeder soll, wie es in der Literatur heisst, 58 Stufen aufweisen. Oktaeder Die Flächen des Oktaedersterns laufen parallel oder bilden nach aussen geöffnete Tricher, laufen also ausseinander und es kommt zu keinem weiteren Sternzustand. Die Oktaederstern-Struktur spannt einen Würfelstumpf auf und zeigt damit ihre kubischen Eigenschaften. Oktaederstern-Struktur Oktaederstern Bauelement des Oktaedersterns, darunter die Erweiterung des Bauelementes Ueli Wittorf 5

6 geometricdesign Sterne des Pentagondodekaeders Der erste Dodekaederstern, d.h. der kleine Kepplerstern (in der Mitte) wird aus 12 Pentagrammen zusammengebaut. Das Sternelement, zum Fünfeck ausgedehnt, führt zur ikosaedrischen Struktur von Poinsots Sternkörper (rechts). Auch dieses Fünfeck lässt sich zum Fünfstern erweitern. Zusammengebaut erhalten wir den grossen Keplerstern mit 20 Spitzen, auch Ikosaederstern genannt. Dieser spannt mit seinen Enden wieder ein Dodekaeder auf, dessen 12 Flächen allerdings als Fünfsterne erscheinen. Man könnte ihn Pentagramm-Dodekaeder nennen. Ausgehend vom Pentagondodekaeder enthält er den Dodekaederstern, Poinsots Sternkörper (mit ikosaedrischen Umrissen), den Ikosaederstern und dieser das Pentagramm-Dodekaeder, also fünf Körper übereinander, gebaut aus 12 identischen ebenene Bauelementen. Links von oben unten: Kleiner Keplerstern, Poinsots Sternkörper, Grosser Keplerstern und Pentagrammdodekaeder. Rechts: die entsprechenden Bauelemente, von denen jeweils 12 identische zusammengebaut werden. 6 Ueli Wittorf

7 Die Schnittstrukturen von Oktaeder, Pentagondodekaeder und Ikosaeder Zum Entwerfen der Bauelemente der Sterne muss man sich die Schnittstrukturen der Flächen der Grundkörper vergegenwärtigen. Die Schnittstruktur der erweiterten Ikosaederseiten reichen wesentlich weiter in den Umraum als die diejenige des Pentagondodekaeders. Oktaeder Pentagondodekaeder Ikosaeder Schnittstrukturen von Oktaeder, Pentagondodekaeder und Ikosaeder Ueli Wittorf 7

8 geometricdesign Sterne des Ikosaeders Einige Sterne des Ikosaeders wurden, wie auch die oben beschriebenen, aus transparentem, 0.25 mm dickem Hart-PVC-Platenmaterial nach dem System der Verschränkung von geschlitzten Bauelementen angefertigt. Neben dem Bild des Modells ist jeweils das 20-fach verwendete Bauelement in der Schnittstruktur getönt eingezeichnet, beginnend beim Ikosaeder, das in allen weiteren Sternkörper als Kern vorhanden ist. Ikosaeder (Kern aller Sterngebilde) erster Ikosaederstern Pyramidenikosaeder Bindelstern Oktaederfünfling Tetraederfünfling 8 Ueli Wittorf

9 Ikosaederstern mit 20 sechsflächigen Zacken Baravalle-Stern Ikosaederstern mit 12 fünfflächigen Spitzen blauer Baravalle-Stern im transparenten Dodekaederstern Ab einer bestimmten Komplexität sind durchgehende Flächenelemente nicht mehr möglich, der Kern muss weggelassen werden. Zürich, im Jahre 2012 Ueli Wittorf Ueli Wittorf 9