Technische Universität Berlin. Klausur Analysis I

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1 SS 2008 Prof. Dr. John M. Sullivan Kerstin Günther Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik Klausur Analysis I Name: Vorname: Matr.-Nr.: Studiengang: Mit der Veröffentlichung des Ergebnisses meiner Klausur (nur Matrikelnummer und Punktzahl) im Internet sowie am schwarzen Brett neben dem Raum MA 320 bin ich einverstanden: Unterschrift (optional): Geben Sie bei allen Antworten einen Beweis bzw. ein Gegenbeispiel an. Bitte beginnen Sie für jede Aufgabe ein neues Blatt und beschriften Sie dieses mit Ihrem Namen sowie Ihrer Matrikelnummer. Die Klausur ist mit 30 Punkten bestanden. Die Bearbeitungszeit beträgt 90 Minuten. Schreiben Sie nicht mit Bleistift. Aufgabe Summe Punkte Korrektor Aufgabe (Bernoullische Ungleichung) Sei t [, ). Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle n N gilt: (5 Punkte) ( + t) n + nt. Gibt es ein n N und t <, so dass die obige Ungleichung nicht gilt? Aufgabe 2 Sei (a n ) n N eine Folge in R, die gegen a R konvergiert. Sei (b n ) n N ebenfalls eine Folge in R. Beweisen Sie folgende Implikation (mittels der Definition von Konvergenz): (b n a n ) n N Nullfolge = (b n ) n N konvergiert gegen a. Aufgabe 3 Überprüfen Sie die Richtigkeit der folgenden Gleichung, indem Sie Partialsummen betrachten: ( log + ) = +. k

2 Aufgabe 4 Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch? (2 Punkte) (a) Sei A eine Indexmenge. Seien U α R offen für alle α A. Dann ist α A U α offen. (b) Die Reihe sin k + konvergiert. (Hinweis: Es gilt sin x x für alle x 0; muss nicht bewiesen werden.) (c) Eine reelle Zahl kann gleichzeitig ein innerer Punkt sowie ein Randpunkt einer Teilmenge D von R sein. (d) Sei D R folgenkompakt. Dann ist jede abgeschlossene Teilmenge von D ebenfalls folgenkompakt. Aufgabe 5 Bestimmen Sie folgende Grenzwerte - falls diese existieren: (6 Punkte) (a) lim (tan ) 2 sin x x 0 +, (Hinweis: Es gilt lim x x 0 x (b) lim x 0 cos(x 2 ) x 2 sin(x 2 ). = ; muss nicht bewiesen werden.) Aufgabe 6 Seien L > 0, D R und f : D R, so dass f(x) f(y) L x y für alle x,y D gilt. Zeigen Sie, dass f gleichmäßig stetig ist. Aufgabe 7 Entscheiden Sie, ob die Funktion f : R R definiert mit { x 3 sin für x R\ {0}, x f(x) := 0 für x = 0 (6 Punkte) in 0 differenzierbar ist. Aufgabe 8 Geben Sie das zweite Taylorpolynom der Funktion f : R R definiert mit (9 Punkte) f(x) := exp(cosx), x R an der Entwicklungsstelle p = 0 an. Zeigen Sie, dass der Fehler im Intervall [ π, π] 6 6 nicht größer als eπ 3 7 ist (bessere Abschätzungen sind ebenfalls möglich), indem Sie das Restglied in Lagrange scher Form nach oben abschätzen. (Hinweis: Es gilt sin π = ; muss 6 2 nicht bewiesen werden.) (Gesamtpunktzahl: 50 Punkte)

3 SS 2008 Prof. Dr. John M. Sullivan Kerstin Günther Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik Lösungen zur Klausur Analysis I vom Aufgabe Induktionsbeginn: Für n = 0 gilt ( + t) 0 + 0t Induktionsschritt: Für n N fest gelte ( + t) n + nt. Dann ( + t) n+ = ( + t)( + t) n ( + t)( + nt) (nach IV und da + t 0) + (n + )t + nt 2 + (n + )t (da nt 2 0). Damit ist die Bernoullische Ungleichung gezeigt. Beispielsweise gilt die Ungleichung nicht für t = 3 und n = 5: ( + t) n = ( 2) 5 = 32 < 4 = + 5( 3) = + nt. Aufgabe 2 Sei ε > 0. Nach Voraussetzung existieren n > 0 sowie n 2 > 0 mit a n a < ε 2 n n, b n a n 0 < ε 2 n n 2. Für n 0 := max {n,n 2 } folgt mit der Dreiecksungleichung: b n a = b n a n + a n a b n a n + a n a < ε n n 0. Damit konvergiert (b n ) n N gegen a. Aufgabe 3 Es gilt s n = = n log( + n k ) = n log( k + k ) n log(k + ) log(k + ) (Teleskopsumme) k=0 = log(n + ) log = log(n + ). (3 Punkte)

4 4 Wegen folgt die Gleichung. Aufgabe 4 lim s n = lim log(n + ) = +, n n (a) Falsch: Für A = N + und α N + sei U α := (, + ). α α Die Menge U α ist für jedes α N + offen (Vorlesung) und es gilt U α = {}. α A Aber die Menge {} ist in R nicht offen, da es keine ε-umgebung um in R gibt, die in der Menge {} enthalten ist. (b) Wahr: Es gilt sin k + k + für alle k N +. Da die Reihe konvergiert (Vorlesung), ist die Reihe nach dem Vergleichskriterium ebenfalls konvergent. sin k+ (c) Falsch: Ein Randpunkt kann per Definition kein innerer Punkt sein. (d) Wahr: Wenn D folgenkompakt ist, dann ist D nach dem Satz von Bolzano- Weierstraß beschränkt. Da eine abgeschlossene Teilmenge der beschränkten Menge D ebenfalls beschränkt ist, folgt nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß, dass diese Teilmenge folgenkompakt ist. Aufgabe 5 (a) Es gilt (tan ) 2 für x (0, π ). Damit folgt 2 x = sin sin (cos ) 2 = ( sin ) 2 (cos ) 2 (tan x) 2 lim x 0 + x = lim x 0 + ( sin ) 2 (cos ) 2 = lim y 0 + ( sin y y ) 2 (cosy) 2 =.

5 (b) Aus der Regel von l Hospital erhalten wir (da lim z 0 von l Hospital anwendbar) cos(x 2 ) lim x 0 x 2 sin x 2 = lim z 0 cosz z sin z = lim z 0 cos z 2cos z z sin z sin z sin z + z cosz = lim z 0 5 existiert, ist die Regel cosz 2 cosz z sinz = 2. Aufgabe 6 Sei ε > 0. Wähle δ := ε. L Für x,y D mit x y < δ gilt dann: f(x) f(y) L x y < Lδ = ε. Damit ist die gleichmäßige Stetigkeit von f gezeigt. Aufgabe 7 Für h 0 gilt h 3 sin h 0 h = h 2 sin h h2. Da h 3 sin h 0 h = h 2 sin h > 0 und lim h 0 h2 = 0, (3 Punkte) folgt Somit ist f in 0 differenzierbar. lim h 0 h 3 sin h 0 h = 0 Aufgabe 8 Es gilt f(0) = exp, f (x) = exp(cosx)( sinx), f (0) = 0, f (x) = exp(cosx)((sinx) 2 cosx), f (0) = exp. Damit ist T 2 (x) = exp()( x2 ) das zweite Taylorpolynom an der Entwicklungsstelle 2 p = 0. Berechnung des Fehlers auf dem Intervall [ π, π ] mittels des Restglieds in Lagrange scher 6 6 Form: Für x [ π, π ] existiert ein y zwischen 0 und x, so dass 6 6 f(x) T 2 (x) = f(3) (y) x3 3!.

6 6 Insbesondere ist y [ π 6, π 6 ]. Es gilt f (x) = exp(cosx) ( (sin x) sinxcosx + sin x ). Damit ergibt sich folgende Abschätzung: { } max { f(x) T 2 (x) } max max f (3) (y) x3 x [ π 6, π 6 ] x [ π 6, π 6 ] y [ π 6, π 6 ] 3! max f (3) (y) y [ π 6, π 6 ] ( exp(cosy) (siny) siny cosy + siny ) ( ) 3 π 6 3! e ( ) ( ) 3 (siny) 3 π + 3 sin y cosy + sin y 6 3! [ ( e ) ]( ) 3 ( ) 3 π π 2 6 3! = e7 7 = eπ ! Bessere Abschätzungen sind ebenfalls möglich. ( ) 3 π 6 3!

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