Mikroökonomik B 4.4 Spiele in strategischer Form, unvollständige Information

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1 Mikroökonomik B 4.4 Spiele in strategischer Form, unvollständige Information Dennis L. Gärtner 13. Juli / 30

2 Motivation Unter vollständiger Info / Nash-GG: Spieler haben korrekte Beliefs über Aktionen anderer setzt Wissen über Präferenzen voraus. Aber: Spieler sind oft nicht perfekt über Charakteristiken anderer informiert. Beispiele: Oligopolisten kennen Kosten der Wettbewerber nicht. Bieter in Auktion kenne Zahlungsbereitschaft der Mitbieter nicht. Ebenso werden Spieler unsicher darüber sein, was andere Spieler über sie selbst wissen. Spiele mit unvollständiger Info / Bayesianische Spiele 2 / 30

3 Übersicht Annahmen Statisches Spiel: Spieler wählen Aktionen simultan. Unvollständige Information: Präferenzen der Spieler über Ergebnisse sind nicht allgemein bekannt. Konzepte Harsanyi s Interpretation von unvollst. Info: Spieler-Typen & Natur als Spieler Bayesianisches Nash-Gleichgewicht Anwendungen/Beispiele Geschlechterkampf mit unbekannten Präferenzen Cournot-Wettbewerb mit Nachfrageunsicherheit Purifikation gemischter Strategien Auktionen 3 / 30

4 Literaturangaben Gibbons: Kapitel 3 Osborne (2004): Kapitel 9 Mas-Collel et al.: Kapitel 8 Kreps: Kapitel 13 Jehle & Reny (2001): Kapitel / 30

5 Beispiel: Geschlechterkampf mit unbekannten Präferenzen Betrachten wir eine Variante des Geschlechterkampfs mit Unsicherheit über Chris Präferenzen. Genauer: Es gibt folgende zwei Fälle, je mit gleicher Wahrscheinlichkeit: Fall 1: Chris will Pat treffen Pat O F Chris O F 2, 1 0, 0 0, 0 1, 2 Fall 2: Chris will Pat meiden Pat O F Chris O F 0, 1 1, 0 1, 0 0, 2 Chris kennt eigene Präferenzen (also Fall ), aber Pat nicht! Was sollten Spieler rationalerweise tun? Welches Ergebnis sollten wir erwarten? 5 / 30

6 Harsanyi s Bayesianische Sicht der Welt Fall 1: θ Chris = treffen Natur Fall 2: θ Chris = meiden Chris 1 / 2 1 / 2 Chris Pat O F Pat Pat O F Pat O F O F O F O F Harsanyi s Trick : Modellieren wir das Spiel als eines mit vollständiger aber imperfekter Info, mit Natur als zusätzlichem Spieler Im ersten Zug zieht Natur Chris Typ θ Chris ; Zug der Natur wird von Chris beobachtet, aber nicht von Pat. 6 /

7 Harsanyi s Bayesianische Sicht der Welt Die Idee des Bayesianischen Nash-Gleichgewichts Chris wählt beste Antwort gegeben seinen Typ θ Chris und seine Beliefs darüber, was Pat tun wird. Pat wählt beste Antwort gegeben 1. was er glaubt Chris in jedem Fall (also je nach Typ) tun wird, 2. was er glaubt wie sich Natur bei der Wahl von Chris Typ verhält (also: wie sie mischt ). Plus: Alle Beliefs sind korrekt (Nash)! 7 / 30

8 Behauptung: Es gibt ein Bayesianisches Nash-GG (in reinen Strategien) in welchem Chris zum Boxkampf geht, falls er sich treffen will, und zur Oper falls nicht; Pat zum Boxkampf geht. Warum? Gegeben, dass Pat zum Kampf geht, ist Chris Strategie optimal. Gegeben Chris Strategie ist Pat s erwarteter Payoff gehe zu F : gehe zu O : ÈÖ[ Chr. will treffen ] 2+ÈÖ[ Chr. will meiden ] 0 = 1 }{{}}{{} = 1 / 2 = 1 / 2 1 ÈÖ[ Chr. will treffen ] 0+ÈÖ[ Chr. will meiden ] 1 = }{{}}{{} 2 = 1 / 2 = 1 / 2 Zum Kampf zu gehen ist für Pat optimal. 8 / 30

9 Theorie: Bayesianische Spiele allgemein Definition: Statisches Bayesianisches Spiel Ein statisches Bayesianisches Spiel (mit unvollständiger Information) ist gegeben durch {N, A, π, Θ, u}, wobei N die Spielermenge ist, A i die Menge der reinen Aktionen ist, welche Spieler i zur Verfügung stehen (A = i A i ), θ i Θ i eine von Natur gezogene Zufallsvariable ist, die nur vom privat informierten Spieler i beobachtet werden kann; wir sagen der Spieler i ist vom Typ θ i (Θ = i Θ i ), π(θ 1,...,θ n ) ist die allgemein bekannte, gemeinsame a-priori Wahrscheinlichkeitsverteilung der Spielertypen, Erwartungsnutzen für i N durch die Funktion u i : (A 1 )... (A n ) Θ R gegeben sind. 9 / 30

10 Theorie: Bayesianische Spiele allgemein Informationsstruktur Bevor er seine Aktion wählt, kennt jeder Spieler i die a-priori Verteilung π(θ 1,...,θ N ), von welcher Typen gezogen werden, seinen eigenen Typ θ i. Strategien in einem Bayesianischen Spiel Spieler i s Strategie s i : Θ i A n spezifiziert eine Aktion s i (θ i ) A n für jeden möglichen Typ θ i Θ i. 10 / 30

11 Bayesianisches Nash-Gleichgewicht Bayesianisches Nash-Gleichgewicht Ein Strategienprofil (s 1 (θ 1 ),..., s N (θ N )) ist ein Bayesianisches Nash-Gleichgewicht falls für jeden Spieler i und jeden möglichen Typ θ i Θ i gilt: s i (θ i ) argmax ai A i θ [u i (a i, s i (θ i );θ i,θ i ) θ i ] ( ) In Worten: Für jeden Spieler i und Typ θ i ist die eigene Aktion s i (θ i ) optimal gegeben die Strategien s i (θ i ) anderer Spieler (d.h. was andere Spieler in Abhängigkeit ihres Typs tun); im Erwartungswert über mögliche Typen anderer Spieler θ i. 11 / 30

12 Bayesianisches Nash-GG: Anmerkungen Berechnung des Erwartungsnutzens: θ [u i (a i, s i (θ i );θ i,θ i ) θ i ] = Für unabhängig verteilte Typen: θ i Θ i π(θ i θ i ) u i (a i, s i (θ i );θ i,θ i ) π(θ i θ i ) = p(θ 1 ) p(θ i 1 ) p(θ i+1 ) p(θ N ). Ex-ante Formulierung: ( ) ist die ex-post-formulierung, wonach für jeden Spieler und Typ die Aktion optimal sein muss, welche s i (θ i ), für seinen Typ vorschreibt. Alternativformulierung: Die Funktion s i : Θ i A i soll den ex-ante Erwartungsnutzen (also auch über den eigenen Typ) maximieren: s i argmax si S i θ[u i ( s i (θ i ), s i (θ i );θ i,θ i )] 12 / 30

13 Beispiel: Cournot mit unsicherer Nachfrage Zwei Firmen, Grenzkosten von Null, wählen simultan q 1, q 2. Nachfrage ist p(q) = a Q, wobei a {a, a} und ÈÖ(a = a) = β. Nur Firma 1 kennt a (und dies ist allgemein bekannt). Schritt 1: Harsanyi s Bayesianische Formulierung Natur wählt Firma 1 s Typ a {a, a} gemäss Verteilung ÈÖ(a = a) = β welche allgemein bekannt ist. Nur Firma 1 beobachtet diesen Zug der Natur. 1 q 1 q 2 Natur a β a 1 β 1 q 1 2 q 2 13 / 30

14 Schritt 2: Strategien Identifizieren Strategien in diesem Beispiel sind Spieler 2: Eine Menge q2 Spieler 1: Eine Menge q1 (a) für jeden Möglichen Typ a { q1 = q 1 falls a = a q 1 falls a = a Schritt 3: Gleichgewichtsbedingungen aufstellen Optimalität bedingt: Spieler 1 (falls a): q 1 = argmax q1 (a q 1 q 2 )q 1 Spieler 1 (falls a): q 1 = argmax q1 (a q 1 q 2 )q 1 Spieler 2: q 2 = argmax q 2 β (a q 1 q 2 )q 2 +(1 β) (a q 1 q 2 )q 2 14 / 30

15 Dies führt zu folgendem Gleichungssystem (in q 1, q 1 und q 2 ): q 1 = 1 2 (a q 2 ) q 1 = 1 2 (a q 2 ) q 2 =..., Lösung: q 2 = [βa+(1 β)a]/3 q 1 = a/3+(1 β)(a a)/6 q 1 = a/3 β(a a)/6 Etwas Intuition (komparative Statik in β): Wenn β, Firma 2 (uninformiert) wird optimistischer bezügl. Nachfrage, daher q 2. q 1 und q 1 wegen strategischer Substitutabilität (Firma 1 s beste Antwort fällt in q 2!) 15 / 30

16 Terminologie: Common vs. Private Values Im obigen Beispiel: Für beliebige Aktionen q 1 q 2 und Typen a sind Payoffs Firma 1: (a q 1 q 2 )q 1 Firma 2: (a q 1 q 2 )q 2 Nicht nur kennt Firma 2 die Präferenzen von Firma 1 über Ergebnisse nicht, sondern sie kennt auch die eigenen nicht. Allgemeiner wäre vorstellbar: Common Values : Firma 1 hat Info, welche Firma 2 s Payoff direkt beeinflusst. Private Values : Firma 1 hat keine Info, welche Firma 2 s payoff direkt beeinflusst, aber Firma 1 s Info beeinflusst Wahl von q 1 und damit Firma 2 s Payoff. Beispiel: Firmen haben private Info über Grenzkosten. 16 / 30

17 Terminologie: Common vs. Private Values Allgemeiner... Definition: Common vs. Private Values Für eine beliebige Payoff-Funktion u i (a i, a i ;θ i,θ i ) sprechen wir von Common Values falls u i von θ i abhängt, und von Private Values falls nicht. 17 / 30

18 Harsanyi s Purifikationstheorem Betrachten wir nochmals Chris und Pat s Entscheidungsproblem unter vollständiger Information: Pat O (1 q) F (q) Chris O (p) F (1 p) 2, 1 0, 0 0, 0 1, 2 Zur Erinnerung: Neben Nash-GG in reinen Strategien hat Spiel eines in gemischten Strategien, in welchem jeder Spieler mit Wahrscheinlichkeit p = q = 2 / 3 zu seinem bevorzugten Ort geht. Problem: p, q werden dadurch bestimmt, dass anderer indifferent gemacht werden muss (da indifferent, ist Spielern eigenes Mischverhältnis egal) scheint etwas viel Koordination / 30

19 Betrachten wir das folgende leicht geänderte ssf, in welchem Chris und Pat private Information darüber besitzen, wie stark sie ihren jeweiligen Ort präferieren: P2 a 1 = O a 2 = F wobei P1 a 1 = O a 2 = F 2+θ 1, 1 0, 0 0, 0 1,2+θ 2 θ i [θ i,θ i ], mit θ i < 0 < θ i, und θ i klein (so klein, dass Präferenzreihung sich nicht ändert) θ i ist nur Spieler i bekannt; Spieler j hat Belief π(θ i ) über θ i (ein W keits-verteilung), welche allgemein bekannt ist. Behauptung (Harsanyi): Es gibt ein Bayesianisches Nash- GG in reinen ( puren ) Strategien, welches für θ i,θ i 0 zum gemischten Nash-GG konvergiert. 19 / 30

20 In einem Bayesianischen Nash-GG dieses Spiels haben Spieler Strategien s i : [θ i,θ i ] {a 1, a 2 } welche eine Aktion für jeden Spieler und Typ vorschreiben; Strategien sind optimal gegeben eigenen Typ und korrekte Erwartungen darüber, was der andere gegeben seine Strategie und Erwartungen über seinen Typ tut. Bemerkung: Es gibt 2 Bayesianische Nash-GG in welchen Typen keine Rolle spielen ( pooling ): (1) P1 wählt a 1 für alle θ 1 und P2 wählt a 1 für alle θ 2 ; (2) P1 wählt a 2 für alle θ 1 und P2 wählt a 2 für alle θ 2 (entsprechen den Nash-GG in reinen Strategien des ursprünglichen Spiels ). Aber: Es existieren auch Bayesianische Nash-GG in welchen Typen eine Rolle spielen / 30

21 Intuition: Gegeben Strategie des anderen steigt Spieler i s Anreiz, an bevorzugten Ort a i zu gehen in θ i. suchen wir nach GG-Strategien mit cut-off -Eigenschaft, d.h.: sodass ein θ i (θ i,θ i ) existiert, sodass s i (θ i ) = { a j für θ i < θ i, a i für θ i > θ i, θi Optimalität einer solchen Strategie bedingt Indifferenz von Spieler i für Typ θ i = θ i (was mit W keit 0 eintritt): θ i a j bevorz. Ort a i (2+ θ i ) ÈÖÓ [ Pj wählt a i ] = 1 ÈÖÓ [ Pj wählt a }{{} j ] }{{} erw. Payoff von bevorz. Ort erw. Payoff von anderem Ort Benützen wir ÈÖÓ [ Pj wählt a i ] = 1 ÈÖÓ [ Pj wählt a j ] und lösen wir nach ÈÖÓ [ Pj wählt s j ] auf, so erhalten wir... θ i θ i 21 / 30

22 ÈÖÓ [ Pi wählt a i ] = 2+ θ i 3+ θ i θ i,θ i (beachte: θ i (θ i,θ i ) und θ i,θ i 0 implizieren gemeinsam θ i 0). Gleiches beobachtetes Mischverhalten, obwohl Spieler nun reine (und: strikt bevorzugte) Strategien spielen basierend auf privater Information über kleine Schocks in den Präferenzen. 22 / 30

23 Auktionen Kategorisierung anhand Informationsstruktur und Regeln (Auktionsformat): Informationsstruktur Zwei Typen von Informationssituationen in Auktionen: Independent- (Private-) Value -Auktionen: Jeder Bieter kennt seine Wertschätzung ( Value ) für das Gut, aber nicht die Wertschätzung der anderen. Common-Value -Auktionen: Wahre Wertschätzung der Bieter ist die selbe, aber Spieler sind unsicher über diese gemeinsame Wertschätzung (haben unabhängige Signale darüber). Beispiele: Auktionen für Öl-Bohr-Rechte Winner s Curse : Der optimistischste Bieter gewinnt. 23 / 30

24 Auktionsformate (Regeln) Im Gegensatz zu Duopolsituationen (Cournot vs. Bertrand, etc.) haben Auktionen klar definierte Spielregeln (und Strategien). Standard-Auktionsformate sind: Englische Auktion (offene Gebote, steigende Preise) Holländische Auktion (offene Gebote, fallende Preise) Erstpreis-Auktion mit versiegelten Geboten Zweitpreis- (Vickrey-) Auktion mit versiegelten Geboten Notation Zwei potentielle Käufer, Typ θ i [0, 1]: Wertschätzung für das Gut Wertschätzung des Verkäufers für das Gut ist 0. Gebote der Bieter sind b i ( Bid ). 24 / 30

25 Independent-Value-Auktionen θ i [0, 1] sind unabhängig verteilt ( Independent Values ); wir nehmen gleichförmige Verteilung an. Die Vickrey-Auktion Regel: Bieter geben versiegelte Gebote b 1, b 2 ; Bieter i bekommt Gut falls b i > b j und zahlt b j. (Schwach) dominante Strategie: Jeder Bieter bietet wahre Wertschätzung: b i (θ i ) = θ i. Warum? Falls man gewinnt: Payoff θ i b j man will nur gewinnen falls θ i > b j Das kriegt man hin, indem man b i (θ i ) = θ i setzt! Intuition: Vickrey-Auktion hat Eigenschaft, dass das Gebot nur die Wahrscheinlichkeit des Gewinnens beeinflusst, nicht was man bezahlt, falls man gewinnt. Weniger als θ i zu bieten reduziert nur die W keit, das Gut zu bekommen! 25 / 30

26 Vickrey-Auktion grafisch Gebot b i = θ i : Gebot b i < θ i : Gebot b i > θ i : u i u i u i b i = θ i b j b i θ i b j θ i b i b i = θ i zu bieten (wahre Wertschätzung) ist schwach dominante Strategie für jeden Spieler. Damit insbesondere: Beste Antwort (auf bel. Strategie der Anderen). Ein Bayesianisches Nash-GG ist: jeder Bieter bietet b i = θ i. Anmerkung: Nash-GG ist nicht eindeutig (d.h., es gibt auch andere). 26 / 30 b j

27 Die Englische Auktion (Steigender Preis) Regel: Auktionator erhöht kontinuierlich Gebotshöhe, Bieter können bei jeder Erhöhung entscheiden auszusteigen. Sobald nur noch ein Bieter übrig ist, zahlt dieser die aktuelle Gebotshöhe. Bezeichne b i die Gebotshöhe, bei welcher Bieter i aussteigt (d.h., das Drop-Out-Level b i (θ i ) ist i s Strategie). Bieter i gewinnt g.d.w. b i > b j, und erhält Payoff θ i b j falls er gewinnt. Vickrey- und Englische Auktion sind strategisch äquivalent. Gleiches Resultat! 27 / 30

28 Erstpreis-Auktion mit versiegelten Geboten Regel: Bieter reichen versiegelte Gebote b 1, b 2 ein; Bieter i bekommt das Gut falls b i > b j und zahlt b i. Erwarteter Payoff Bieter i: Π i = ÈÖ(b i > b j ) }{{} W keit des Gewinnens φ(b i ) (θ i b i ) }{{} Payoff bei Gewinn Intuition: Wahre Wertschätzung b i (θ i ) = θ i zu bieten bringt nun Payoff von Null in jedem Fall. Ein Senken des Gebots wird 1. die W keit des Gewinnens leicht reduzieren, aber 2. im Falle eines Gewinns einen strikt positiven Payoff bringen! 28 / 30

29 Formal: FOC ist b i Π i = φ(b i )+(θ i b i )φ (b i ) = 0 Annahme: Symmetrische und zunehmende Gebotsfunktionen. Damit erhalten wir: ÈÖ(i gewinnt) = ÈÖ(b i > b j ) = ÈÖ(θ i > θ j ) = θ i (θ j ist gleichförmig auf [0, 1]). Dies führt zur Differentialgleichung deren Lösung φ(b) = 2b ist. Somit haben wir (da φ(b) = θ) φ(b)+[φ(b) b]φ (b) = 0, b = θ/2, Bieter bieten also die Hälfte ihrer Wertschätzung. 29 / 30

30 Anmerkungen Effizienz Sowohl Vickrey als auch Erstpreis-Auktion sind effizient: Bieter mit höchster Wertschätzung bekommt das Gut. Erlös des Verkäufers Nicht offensichtlich: Auktionsformat, welches Verkäufer höchsten (erwarteten) Erlös bringt? Vickrey: (θ 1,θ 2 )[min{θ 1,θ 2 }] 1 θ θ θ 1 Erstpreis: (θ 1,θ 2 )[max{ 1 2 θ 1, 1 2 θ 0 2}] 0 1 θ 1 Berechnung zeigt (integrieren!): Erw. Verkäufererlös ist in beiden Fällen derselbe (gleich 1/3)! Erlös-Äquivalenz ( Revenue Equivalence ) zwischen verschiedenen Auktionsformaten gilt viel allgemeiner (Hauptannahmen: Risikoneutralität, unabhängige private Valuations, Kontinuum von Typen). 30 / 30 θ 2 θ 2