Visualisierung der geometrischen Abhängigkeiten an N- Bogengleichdick-Formen mit dem Computeralgebra- System Maple V

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Angela Fried
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1 9. SYMPOSIUM FERTIGUNGSGERECHTES KONSTRUIEREN SCHNAITTACH, 15. UND 16. OKTOBER 1998 Visualisieung de geometischen Abhängigkeiten an N- Bogengleichdick-Fomen mit dem Computealgeba- System Maple V Chistian Webe, Wene Bitten, Olive Thome Zusammenfassung Die gundlegenden geometischen Abhängigkeiten an den in de Fetigung von zylindischen Flächenelementen häufig zu beobachtenden eichdickabweichungen weden zunächst am Beispiel des Fünfbogengleichdickes abgeleitet. Nach de Übetagung de eabeiteten Fomeln in die Syntax des Computealgeba-Systems Maple V wid dessen Funktionalität dazu benutzt, weitee Fomeln zu Abhängigkeit de elativen Maß- und Fomabweichung von den eichdickadien abzuleiten und zu visualisieen. Die Visualisieung beschänkt sich dabei nicht nu auf die Dastellung von zwei bzw. deidimensionalen Funktionsgaphen, sonden beücksichtigt auch die geometischen Funktionen, mit denen die Umisse von beliebigen eichdickqueschnittfomen in Maple V geneiet weden können. 1 Motivation Die unabhängige Püfung von Maß- und Fomabweichungen gemäß ISO 8015 bigt insbesondee bei sogenannten eichdickfomen nicht unehebliche Gefahen. Beim eichdick handelt es sich um eine tückische, da egelmäßige Fomabweichung an Zylindequeschnitten, wie sie beispielsweise nach einem Einspannen und Beabeiten von ohfömigen Wekstücken im Deibackenfutte eine Dehmaschine aufteten können (Deibogengleichdick) [Joden98]. Hinsichtlich de Quantifizieung de bei eine Zweipunktmessung unekannt bleibenden Fomabweichung findet sich in de Liteatu meist nu de Hinweis, daß diese bis zu 15% des efaßten Istmaßes beim "schafkantigen" Deibogengleichdick betagen kann [Webe92]. Zweipunktmaß I Paaungsmaß M P 1,077 I Abb. 1: Zweipunktmaß I und Paaungsmaß M P am Deibogengleichdick mit R gl / gl 3 bzw. a/ gl 2 (Bezeichnungen entspechen Abb. 2) De Betag jedoch, um den sich das Paaungsmaß M P vom Zweipunktmaß I an einem beliebig "abgeundeten" eichdickqueschnitt untescheidet (in Abb. 1 sind dies z.b. 7,7 %), bedaf eine gesondeten Untesuchung, die duch den Einsatz eine zeitgemäßen Computealgeba-Softwae wesentlich eleichtet wid.

2 124 Visualisieung de geometischen Abhängigkeiten an N-Bogengleichdick-Fomen... 2 Ableitung de geometischen Abhängigkeiten am eichdick Die Konstuktion eines egelmäßigen n-bogengleichdicks geht von einem Gundpolygon de Seitenlänge a aus, um dessen n Eckpunkte jeweils ein Bogen mit Radius und um 180 vesetzt ein weitee Bogen mit Radius R geschlagen weden. Die Fomabweichung an egelmäßigen eichdickqueschnitten hängt dabei von de Anzahl de Bögen des eichdicks n und dem Vehältnis de beiden eichdickadien R gl / gl bzw. dem Quotienten aus de Kantenlänge a des Gundpolygons und dem kleinen eichdickadius gl, wie in Abb. 2 gezeigt, ab. Dabei wid exemplaisch das Fünfbogengleichdick zu Ableitung de fü alle n-bogengleichdicke gleichemaßen gültigen Gundfomeln benutzt. I R + s + 2 U ψ s a 90 + φ φ R MIC 2 (R - U ) M P 2 ( U + ) Abb. 2: Geometische Zusammenhänge am egelmäßigen n-bogengleichdick (abgeleitet am Fünfbogengleichdick mit eingezeichnetem Gundpolygon de Kantenlänge a) De Winkel φ zwischen dem Umkeisadius u und de Kante a des Gundpolygons im n- Bogengleichdick sowie de Winkel ψ zwischen dem Umkeisadius u und de Sehne s beechnen sich wie folgt: φ + 2 n (. 2.1) ψ 2 φ 2 2n (. 2.2) Die Länge de Sehne s zwischen zwei "gegenübeliegenden" Eckpunkten des Gundpolygons ist gleich de Diffeenz aus den beiden eichdickadien R und. De Umkeis um das Gundpolygon u läßt sich dann mit dem Cosinussatz emitteln: s R (. 2.3) u s RGL 2 2 sin 2 2cos + φ 2 ( φ) (. 2.4)

3 Visualisieung de geometischen Abhängigkeiten an N-Bogengleichdick-Fomen Das Zweipunktmaß I, das Paaungsmaß M P (entspicht dem angenzenden Hüllkeis MCC) und de gößte eingeschiebene Keis MIC egeben sich mit dem kleinen und goßen eichdickadius und R wie folgt: I R + (. 2.5) M 2( + ) MCC (. 2.6) P u MIC 2( R u ) (. 2.7) Um emessen zu können, welchen Fehle man beim Benutzen des Zweipunktmaßes I am eichdick macht, wid de Quotient M P /I bzw. die Diffeenz von MCC und MIC als Maß fü die Keisfomabweichung f K gebildet: M I p 2 ( R ) cos( n ) R + (. 2.8) fk ( R ) cos( n ) (. 2.9) Zu Vebesseung de Tanspaenz de nachfolgenden Visualisieung von Abhängigkeiten wid nun de Quotient q de eichdickadien R und so eingefüht, daß die Summe de beiden Radien (also das Istmaß I) unabhängig von q konstant gleich Eins bleibt. q R (. 2.10) q (. 2.11) Mit q gemäß (. 2.10) und gl nach (. 2.11) egeben sich die eichungen (. 2.8) und (. 2.9) wie folgt: M I q ( q + 1) 1+ cos ( ) ( ) p n cos n (. 2.12) f K ( ( n )) 1 1 ( ) ( 1 q ) 2 1+ cos ( q + ) + cos n (. 2.13) 3 Visualisieung de Abhängigkeiten mit Maple V Zu Visualisieung de Abhängigkeiten wude die PC-gestützte Vesion 5.0 des von Wateloo Maple Inc. entwickelten Computealgeba-Systems Maple V eingesetzt. Maple V gehöt neben Mathematica (von Wolfam Reseach) zu den leistungsfähigsten Mathematik-Softwae- Paketen [Scham98]. Das Paket elaubt sowohl die zwei- und deidimensionale Dastellung von Funktionsgaphen als auch das Zeichnen von geometischen Elementen. 3.1 Visualisieung de Funktionsgaphen In Abb. 3 ist fü die Bogenanzahl 3, 5, 7, 9 und 11 aufgezeichnet, wie sich M P /I in Abhängigkeit vom Vehältnis de eichdickadien q vehält. Jede de fünf Veläufe zeigt, daß M P /I mit wachsendem q zunächst stak ansteigt, um sich dann de jeweils von de Bogenzahl n abhängenden Asymptote M P /I max anzunähen. Um ein Gefühl fü die Göße von q zu vemitteln, ist links in Abb. 3 zusätzlich das in Abb. 1 gezeichnete Deibogengleichdick eingetagen. De Wet M P /I max betägt beim Deibogengleichdick 1,155, was de so oft zitieten, fast 16 pozentigen Abweichung des Paaungsmaßes vom Zweipunktmaß entspicht (Abb. 4). Mit zunehmende Bogenanzahl n nimmt M P /I max jedoch exponentiell ab und betägt beim Elfbogengleichdick nu noch ein Pozent (M P /I max [n11] 1,01).

4 126 Visualisieung de geometischen Abhängigkeiten an N-Bogengleichdick-Fomen... {M P /I} eichdickbogenanzahl n 3 M P /I max Zweipunktmaß I Zweipunktmaß I min Paaungsmaß M P 1,077 I Paaungsmaß M P 1,155 I n Zweipunktmaß I min Paaungsmaß M P 1,051 I n n n {q R gl / gl } Abb. 3: Paaungs-/Zweipunktmaß an eichdickqueschnitten in Abhängigkeit von Bogenanzahl n und Radienvehältnis q (mit eingezeichnetem Beispiel nach Abb. 1) {M P /I} n 3 n 5 n 7 n 9 n 11 M P /I max {R gl / gl } Abb. 4: Abnahme des maximalen Paaungs-/Zweipunktmaßes an eichdickqueschnitten in Abhängigkeit von de Bogenanzahl n (2D- und 3D-Maple-Gaph)

Visualisieung de geometischen Abhängigkeiten an N-Bogengleichdick-Fomen... 127 3.

sowie des eichdickadien-quotienten q den Queschnitt eines beliebigen eichdickqueschnittes visualisieen kann.

5 Visualisieung de geometischen Abhängigkeiten an N-Bogengleichdick-Fomen Visualisieung von beliebigen n-bogengleichdick-queschnitten Mit geingem Aufwand elaubt das Paket "geomety" von Maple die Estellung eine einfachen Zeichenpozedu, welche nach Vogabe de Bogenanzahl n sowie des eichdickadien-quotienten q den Queschnitt eines beliebigen eichdickqueschnittes visualisieen kann. Quelltext "Pozedudefinition" > estat; with (geomety): with(plottools): >Zeichneeichdick: poc(n,q) local gl,rgl,im,s,u,phi,a,psi,ep,win,l,z,c,lim, MP_IM_el, Bezeich: Rgl:q*gl: gl:1/(1+q): IM : Rgl+gl; s: Rgl-gl: phi: Pi/2-Pi/n: psi:pi/(2*n): u:evalf(s/sqt(2-2*cos(pi/2+phi))): MP_IM_el :(2*(u+gl)/IM -1): Bezeich: cat( "Fomabw. ( n", n,", Rgl/gl", q, " ) " ): pint(); pint(bezeichmp_im_el); RegulaPolygon(GP, n, geomety[point](m,0,0), u): Quelltext "Pozeduanwendung" und esultieende Bildschimausgabe > n_list:[3,5,7]: q_list:[5,100000]: fo z1 fom 1 to nops(q_list) do Zeichneeichdick(n_list[1], q_list[z1]); od; "Fomabw. ( n3, Rgl/gl5 ) " geomety[cicle](mp,[m,(u+gl)]): geomety[cicle](mic,[m,(rgl-u)]): EP: map(coodinates, DefinedAs(GP)): win:2*pi/n : L: []: "Fomabw. ( n3, Rgl/gl ) " fo z fom 1 to n do c[z,1] : pieslice(ep[z], gl, -psi+(z-1)*win..psi+(z-1)*win, colocyan): c[z,2] : pieslice(ep[z],rgl, -psi+pi+(z-1)*win..psi+pi +(z-1)*win, colocyan): L:[op(L),c[z,1],c[z,2]] od: L:[op(L), daw([mp,mic,m,gp])]:lim:1.05*adius(mp): plots[display](l, view[-lim..lim, -lim..lim]); end; Abb. 5: Quelltext de Definition und Anwendung zu Pozedu "Zeichneeichdick" sowie das Egebnis am Bildschim In Abb. 5 links ist de Quelltext de Pozedu "Zeichneeichdick" wiedegegeben. Die Vewendung de Pozedu und die dazugehöige Bildschimdastellung befinden sich echts im gau untelegten Feld. 4 Egebnis Computealgeba-Systeme fassen das mathematische Expetenwissen zusammen und stellen es dem Benutze in kompakte Fom zu Vefügung. Bei entspechend sogfältige Modellieung de Gundabhängigkeiten eines technischen Poblems können sie den Ingenieu beim fehleanfälligen Umstellen und Lösen von eichungen untestützen. Insbesondee die vielfältigen Visualisieungsmöglichkeiten elauben eine schnelle Plausibilitätsübepüfung von Egebnissen, die bei fehlehafte Poblemfomulieung alledings auch weitehin unsinnig sein können.

6 128 Visualisieung de geometischen Abhängigkeiten an N-Bogengleichdick-Fomen... 5 Liteatuvezeichnis [Joden98] Joden, W.: "Fom- und Lagetoleanzen"; Hanse, München, [ogge93] oggengieße, H.: "Maple V Softwae fü Mathematike"; Makt und Technik, Haa bei München, [Webe92] Webe, A.: "Ein elationsbasietes Datenmodell als Gundlage fü die Bauteiltoleieung"; Diss., Lehstuhl fü Konstuktionstechnik, Univesität Elangen-Nünbeg, [Scham98] Schamm, T.: "Mathe-As Maple V Release 5.0"; c't, Heft 2, Autoen Pof. D.-Ing. Chistian Webe, Dipl.-Ing. Wene Bitten, Dipl.-Ing. Olive Thome Lehstuhl fü Konstuktionstechnik/CAD Univesität des Saalandes Postf Saabücken Telefon: (0681) , -6114, Telefax: (0681) webe@cad.uni-sb.de, bitten@cad.uni-sb.de, thome@cad.uni-sb.de WWW:

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