Komplexe Zahlen - Rechenregeln

Transkript

1 Technische Univesität Desden Fakutät Maschinenwesen / IFKM Pofessu fü Dynamik und D. C. Wadewitz Kompexe Zahen - Rechenegen Rechenegen Kompexe Zahen ϕ x + iy e e i cosϕ + i sinϕ x ϕ e i cosϕ isinϕ iy e x + y Kompexes Podukt (Dehsteckung i( α +β ( x + i y ( x + i y e kommutativ ( + C C + C distibutiv ( C ( C assoziativ i α β a b e ( ( a, b Innees Podukt (Skaapodukt, Punktpodukt (, ( + x x + y y cos( α β ( (,, ( +, C (, C + (, C ((,, C (, (, C Äußees Podukt (Vektopodukt, Keuzpodukt [, ] ( x y y x sin( β α i [ ] [ ],, [ +, C] [, C] + [, C] [ [, ], C] [, [, C] ] π i e i atenieend Weitee Rechenegen (, Re (, x + y ( i, [, ] [, ] Im (, + i [, ] [, i] (, [, ]( C, D [ C, D] + [ D C],,,, +, [ ]( [ ] [ ] [, ] _, _ (, und [ _, _ ], c c, c, C, C CC, CC,, C C,, i i, e, e, Dehege

2 Zwangauf und Getiebefeiheitsgad De Getiebefeiheitsgad F gibt die nzah de ntiebspaamete eines Getiebes an, damit ae Getiebegiede eindeutige ewegungen ausfühen. Die meisten Getiebe haben den Getiebefeiheitsgad F. Lehsatz: Ein Getiebe ist zwangäufig, wenn de Steung des ntiebsgiedes bzw. de ntiebsgiede die Steungen de übigen Getiebegiede eindeutig zugeodnet sind. gemeine Zwangaufgeichung F b( n ( b f e g f id Im Raum mit b 6 und 5 f Feiheiten fogt: F 6( n ( 6 f e g f id Ebene Getiebe In de Ebene mit b und e f Feiheiten fogt : F ( n ( f g Ebene Getiebe, die nu Deh- und Schubgeenke mit dem Geenkfeiheitsgad f aufweisen, weden mit dem Zwangaufkiteium nach GRÜLER bewetet: F ( n e. Ebene Getiebe, die Deh- und Schubgeenke mit dem Geenkfeiheitsgad f und Kuvengeenke mit f aufweisen, weden mit dem Zwangaufkiteium nach LT bewetet: F ( n e e. e - nzah de Geenke mit f ( Dehgeenke, Schubgeenke e - nzah de Geenke mit f ( Kuvengeenke Pofessu fü Dynamik und Umduckbatt

3 Übetagungswinke nach LT De Übetagungswinke µ titt im Geenkpunkt zwischen Übetagungsgied und angetiebenem Gied auf. E ist stets de spitze Winke zwischen absoute und eative ewegungsichtung dieses Geenkpunktes. 0 µ 90 µ + α 90 Übetagungsgied t a α µ µ n t angetiebenes Gied µ 0 keine ewegung mögich µ 90 optimae ewegungsübetagung 0 n a Koppegetiebe : µ 0 as gobe Richtwet min Kuvengetiebe : µ 50 as gobe Richtwet min De minimae Übetagungswinke µ titt beim Viegeenkgetiebe in eine de min Gesteagen (Deckage ode Steckage von Geste und ntiebsgied auf. eispie µ 89 µ 9 µ min ϕ Pofessu fü Dynamik und Umduckbatt

4 Poygonmethode Die Poygonmethode ist ein gaphisches Vefahen zu Emittung von Momentanpoen. Insbesondee bei höhegiedigen Getieben besteht eine bessee Übesicht hinsichtich de Reihenfoge de zu emittenden Poe. Vogehensweise ezeichnung ae Getiebegiede im Lagepan (Geste, ntieb usw. bis Gied n. Zeichnen des Poygons as n-eck mit den n Getiebegiednummen. Kennzeichnen de sofot ekennbaen Momentanpoe (Stuktupoe bzw. Geenke duch Vebinden de jeweis entspechenden Poygonpunkte. Emitten und Makieen weitee Momentanpoe de Pokonfiguation duch entspechende Vebindungsinien im Poygon. Nach dem Theoem von RONHOLD/KENNEDY (Satz von den Momentanpoen egibt sich ein gesuchte Momentanpo im Schnittpunkt zweie Pogeaden. Diese Pogeaden können im Lagepan gezeichnet weden, wenn im Poygon übe de dem gesuchten Momentanpo entspechenden Vebindungsinie beeits zwei "Deiecke" existieen. z.. Momentanpo : Deieck mit den Seiten Deieck mit den Seiten eispiee Lagepan Lagepan Poygon 6 Poygon usw Pofessu fü Dynamik und Umduckbatt

5 Posteckenvefahen Das Posteckenvefahen ist ein gaphoanaytisches Vefahen zu Emittung von Übesetzungsvehätnissen. Das Übesetzungsvehätnis wid as Quotient zweie Winkegeschwindigkeiten definiet und ässt sich as Vehätnis zweie Postecken dasteen. Pobahn C( C( Pobahn Die eative ewegung de Giede und ist duch das boen de zu diesen Gieden C de gehöigen Pobahnen bestimmt. Im Momentanpo iegen die Punkte ( Giede und. C und ( Die etachtung de Reativbewegung de Ebenen, und füht zu fogenden eziehungen. Pinzip de zykischen Vetauschung C + v + v 0 v C vc + vc vc C C Da C ( und ( C im Po iegen, ist v C 0 und v v. C C v v C C mit mit M M i Die Postecken sind geichtete Stecken. geichgeichtet positive Übesetzung entgegengesetzt geichtet negative Übesetzung Pofessu fü Dynamik und Umduckbatt

6 Dehschubstecke Die Dehschubstecke nach HIN entspicht eine Postecke und ist stets positiv. s einfache Dehschubstecke stet sie den Zusammenhang bei de Reativbewegung deie Ebenen da, wobei eine Ebene eine Tansationsbewegung ausfüht. Damit existiet ein fomemäßige Zusammenhang zwischen eine Geschwindigkeit v und eine Winkegeschwindigkeit. v C v C v v - C v Fü das gezeigte Getiebe autet die Dehschubstecke : v M mit M as Zeichenmaßstab. Heeitung Im Po wid ein Punkt C angenommen, de sowoh zu Gied as auch zu Gied gehöt. Die Reativgeschwindigkeit v ist geich Nu, nicht abe C v und C v. C v C v vc Da ein Punkt, de zu zwei Ebenen gehöt, die geiche Geschwindigkeit besitzt, git : v v v v v C v. C C Mit fogt v bzw. vc v Pofessu fü Dynamik und Umduckbatt 5

7 Winkehebepinzip v - Emittung übe das Winkehebepinzip am zweipunktig gesteueten Deigeenkbogen Geg.: v, v, n, Ges.: v, n C C n P C n C t C n C v C P C v C v v v v * n C n C n 0 v v * v C v-pan v C v C v v v + v v + v C C C C v v + v C C v + Fü den Fa v 0 ode v 0 iegt de einpunktig gesteuete Deigeenkbogen vo. Pofessu fü Dynamik und Umduckbatt 6

8 Nomabescheunigung Eine Mögichkeit zu gaphischen Emittung de Nomabescheunigung ist de wechsende Paaeenzug in seinen zwei Vaianten. De Vekto de Nomabescheunigung zeigt stets zum Dehpunkt. Punktfoge: S V T Z n Vaiante ρ v v V Z a n T t beiebige Wah des Punktes S (S 0 0 S Vaiante V T v ρ Z a n beiebige Wah des Punktes S (S 0 n S 0 Pofessu fü Dynamik und Umduckbatt 7

9 ewegungsanayse in kompexen Zahen Gegeben : Gesucht : Viegeenkgetiebe mit Rast- und Gangsystem, Getiebeabmessungen Übetagungsgeichung, Übetagungsfunktionen y P y x ϕ ϕ usgehend von den beiden Vektozügen zum Geenkpunkt, + iψ e e e +, und de Mutipikation de konjugiet kompexen Gößen iψ e + e e iψ e + e e fogt die Übetagungsgeichung ( ϕ ψ cosϕ + cosψ cos( ϕ ψ F., Veeinfacht autet sie : 0 ψ + sinψ + C ϕ 0 0 ψ cos mit ( cosϕ x sinϕ Unte nwendung de Theoeme fü sin ϕ und cos ϕ mit C cosϕ. + + ϕ tan fogt ± + C ψ actan Übetagungsfunktion 0. Odnung C Die Übetagungsfunktionen. und. Odnung auten ψ ψ sinϕ + sinψ + cosϕ + sin sin ( ϕ ψ ( ϕ ψ ( ψ ( ϕ ψ cos sinψ + sin( ϕ ψ ψ cosψ ÜF. Odnung ÜF. Odnung Die zeitabhängigen ewegungsgößen sind ψ ψ ϕ Winkegeschwindigkeit ψ ψ ϕ + ψ ϕ Winkebescheunigung Pofessu fü Dynamik und Umduckbatt 8

10 ewegungsanayse de Schubkube Gegeben : Gesucht : Schubkubegetiebe mit Rastsystem, Getiebeabmessungen Schubweg s, Geschwindigkeit s und escheunigung s des Geitsteins a 0 ϕ ϑ y,s s x,a 0 nsatzgeichung: iϑ e + e a + i s mit s s( ϕ, ϕ ϕ( t Schubweg (Steung des Geitsteins im Koodinatensystem s sinϕ ± a + cosϕ ( a cosϕ, Geschwindigkeit s ( s cosϕ a sinϕ s s v s ϕ sinϕ escheunigung s t ( cosϕ( s a s sinϕ s s a s ϕ + s ϕ sinϕ s Pofessu fü Dynamik und Umduckbatt 9

11 Leistungssatz mit Übesetzung (PSV Momentenbestimmung nach dem Pinzip de vitueen Leistung Gegeben : Lagepan eine Kubeschwinge,, M Gesucht : M M M nsatzgeichung + M M 0 M M mit i + W M + W M Hinweis: Die Vozeichen in de nsatzgeichung sind duch die Oientieung de Momente bestimmt. Fü den Fa, dass eine Kaft (z.. F an einem Getiebegied angeift, so ist die Umechnung in das Moment (z.. M vozunehmen. Die Lage des Momentanpos (z.. P bestimmt die wiksame Hebeänge. Pofessu fü Dynamik und Umduckbatt 0

12 Leistungssatz mit Dehschubstecke Momentenbestimmung nach dem Pinzip de vitueen Leistung Gegeben : Lagepan eine Schubkube,, F Gesucht : M F (F M - (M nsatzgeichung + M ( + F v 0 v M F mit + W v M F Hinweis: Die Vozeichen in de nsatzgeichung sind duch die Oientieung de Momente bestimmt. Die Kaft F wid dabei as F betachtet und ezeugt damit ein Moment um den Po P. Das eingekammete Vozeichen in de nsatzgeichung esutiet aus dem momentan positiven Übesetzungsvehätnis i. Pofessu fü Dynamik und Umduckbatt

13 Leistungssatz mit h - Stecken Käftebestimmung nach dem Pinzip de vitueen Leistung Gegeben : Lagepan eine Schubkube, + ad s v, F F F,, Wikungsinie Gesucht : F F F F F F v h WL F v 0 h 0 nsatzgeichung + F h F h 0 F F h h Hinweis: Die Vozeichen in de nsatzgeichung sind duch die Oientieung de Kaft um die Spitze de gedehten Geschwindigkeit des jeweiigen Kaftangiffspunktes bestimmt. Die dasteende Göße de ntiebsgeschwindigkeit kann beiebig gewäht weden. Die maßstabsunabhängige h - Stecke ist de otechte bstand de i Kaftwikungsinie zu Spitze de gedehten Geschwindigkeit. Pofessu fü Dynamik und Umduckbatt