Schwerkraft auf Erdoberfläche: r â r F à const im Bereich r da dort r à const gilt

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1 2.4 Konservative Kräfte und Potential lap2/mewae/scr/kap2_4s Einige Begriffe: Begriff des Kraftfeldes: Def.: Kraftfeld: von Kraft-Wirkung erfüllter Raum. Darstellung: F r z.b. Gravitation: 2. Masse m 2 in Umgebung einer Masse m : spürt Kraft: F f m m 2 F zwischen m,m 2 f Ý andere Betrachtungsweise: Anwesenheit von m alleine schon verändert den Raum, erfüllt ihn mit einer Kraftwirkung, die durch 2. Masse nachgewiesen werden kann ( m 2 spürt F ja in r 2, also an Punkt im Raum, der i.a. von m entfernt ist r! r 2... Wirkung in Raum...) Gedanke des Kraftfeldes: E g F g m 2 r,m,m E gm,r Ýf m e r Ýf E g...gravitations - Feldstärke. Dieser Begriff ist nicht allgemein üblich, wird aber hier gebracht, da das elektrische Feld E analog gebildet wird. Darstellung durch Feldlinien: in jedem Punkt des Raumes ist die Richtung der F eine Tangente an die Feldlinien. Also für die Gravitation: radiale Feldlinien. wenn F ß (Gravitation, Coulomb-Feld) N F Ar Dichte der Feldlinien NFm 4 ebenfalls N : F kann daher als Maß A für Stärke des Feldes verwendet werden: N f Ý m E N f fm N 4 f m 4f m dann ist F m 2 E m N f Ar analog in Elektrostatik etc. mr r 3 Schwerkraft auf Erdoberfläche: r â r F à const im Bereich r da dort r à const gilt F m g E g Begriff der konservativen Kraft: Definition: in einem konservativen Kraftfeld ist die Arbeit, die das Kraftfeld beim Verschieben eines Objektes, das diese Kraft spürt,verrichtet, unabhängig vom Weg, d.h. sie ist nur eine eindeutige Funktion des Anfangs- und Endpunktes dieser Bewegung. 2 2 d.h. weiter: Þ Fds 0 denn: Þ Fds Ý Þ2 Fds Þ Þ Þ2 0 F const : Þ r Fds F Þr ds F r F r 2 Ý r

2 W pot relativ zu einem beliebigen Bezugspunkt ist eine eindeutige Ortsfunktion. Ý Warum ist das wichtig? Feld kann dann statt als Vektorr durch Skalar r beschrieben werden: wesentlich einfacher ( dim statt 3 dim.) Skalares Potentialfeld statt vektoriellem Kraftfeld. Ý offene Fragen: a) Wie sieht V aus? b)wie bekomme ich F aus V? c)wann ist Þ 0? ad a) Def. des Potentials: Analog zu potentieller Energie: r2 V W pot Ý Þ F ds r dv ÝF dr ÝF x dx Ý F y dy Ý F z dz dv x dv y dv z d.h. die Änderung des Potentials dv setzt sich aus Anteilen der Arbeit gegen F x,f y,f z entlang dx,dy,dz zusammen. (Angabe eines Bezugspunktes r : V V wenn Vr 0 gewählt wird) ad b) Umgekehrt kann dann aus diesen Anteilen die entsprechende Kraftkomponente berechnet werden: Änderung von W bei Verschieben um dx: entspricht Ý F x! ( d.h. wenn dx m wäre...) F x Ý V x, F y Ý V y, F z Ý V F Ý V x e x V y e y V e z (Zeichen der partiellen Ableitung gibt an, daß V(x,y,z) nur nach einer dieser Variablen abgeleitet wird.) Formal: F F x e x F y e y F z e z Ý V x e x Ý V y e y Ý V e z... kann geschrieben werden als: Gradient von V F Ý V wenn man den Vektor-Operator einführt, der z.b. in kartesischen Kooerdinaten folgende Gestalt hat: : x e x y e y e z NABLA-Operator ; Differentialoperator, (Nabla: Griechisches Saiteninstrument) z.b.heben im Schwerefeld: F m g Ým g e z const F, W für gegebene Masse m:

3 V W pot Ý Þ F dr ÝF Þ dr ÝF r ÝÝmge zr mg rcose z, r mg'h 'h V V relat.z.erdoberfl. mgh daraus dann mit Gradientenbildung die Kraft F. Das wird hier anhand einer anderen Möglichkeit, nämlich der Darstellung über das Feld E durchgeführt: (gleicher Formalismus wie zuvor, nur mit m E V, F m U) e ze r U Ý Þ E gdr mit E g m g F U Ý Þ E gdr Ýg r g h F m l Joule kg U...Gravitationspotential, ist jetzt unabhängig von gewählter Masse m Aus Ur kann E r jetzt wieder berechnet werden (analog zu F aus V): E Ý U e x x Ý U e y y Ý U e U z U g h U x y x E Ý U e z Ýge z, U g y 0 F me Ýmge z... wie zu erwarten Kompaktere Schreibweise: E Ý U Ý gh Ýg h h Ý k x k e k Ý kz e k E Ýge z mit x k kz... Kronecker-Symbol kz 0 für k! z und kz für k z. Darstellung des Potentials: durch Äquipotentiallinien: U 0; Þ E dr 0 d.h. E dr 0 d.h. dr auf E : Höhenlinien im Falle der Schwerkraft! U 0,U const : g h const : h const F s zu Höhenlinie: â maximale Komponente der Schwerkraft â maximale Steilheit V ÝF s ds Schon bekannt: Geogr. Karte: Wo Höhenlinien eng: groß (Steigung tan 'h 's,f s m g sin groß! ad c) Wie können wir feststellen, ob ein Kraftfeld konservativ ist? Naheliegend: Þ Fds 0 für gesamtes Feld beweisen; mühsam bis unmöglich Ausweg: Þ wird auf Anwendung eines Differentialoperators auf den Vektor zurückgeführt, der leichter zu berechnen ist ( Diff. immer leichter als Integr.!) Satz von Stokes: Þ F r dr Ý Þ rotf r da rotf F rotf x lim daû0 A Þ F s d s mit A Þ e x etc..)

4 Der Satz von Stokes muß hier für beliebig große und bel. orientierte Flächen (Bahnen am Rand dieser Flächen) gelten, daher auch für Integranden: Þ F r dr 0 wenn rotf F 0 F ist Wirbelfrei Beispiel: Gravitationsfeld Beispiel: Berechnung von rot F für das Gravitationspotential damit rot F 0: fm r 3 r fm r r 3 0 E Ý fm e r Ý fm r r 3 hier müßte nun in Kugelkoordinaten umgeschrieben werden, da es aber hier keine,-anhängigkeit gibt, kann die r-abhängigkeit in kartesischen Koordinaten dargestellt werden. ( sieht in jedem Koordinatensystem anders aus!) r Ý x k e k r Ý x k 2 r 3 Ý x k Ý x 2 y 2 z 3 damit wird: r 2 Ý Ý x 3 r 3 k 2 r In Matrixschreibweise: z.b. x-komponente: x y z x y xý x k Ý 3 2 yý x k Ý 3 2 zý x k Ý 3 2 r r 3 x y 3 Ý z 2 Ý x k 2 Ý Ý y 2 Ý x 3 k 2 zý 3 Ý x k Ý 5 2 2y Ý yý 3 Ý x k Ý 5 2z 0 Analog verschwinden auch die anderen Komponenten Gravitationsfeld ist ein konservatives Kraftfeld, kann also mit einem Potential beschrieben werden. Berechnung des Gravitationspotentials: r 2 U Ý Þ E r dr Ý Þ r r Wahl: r Ý, r : Ý fm e re r dr fm Þ r dr Ýfm r Þr Ý fm fm r Ur Ý fm r mit UÝ 0 (U 0, da Bezugspunkt in r Ý gewählt, um dorthin zu gelangen, muß Arbeit aufgebracht werden, Masse im Gravitationsfeld eine. Masse sieht einen Potential-Trichter!). Wges 0, Wkin Wges - Wpot) Berechnung der Gravitationskraft aus Ur : (Skizze! Potentialtrichter mit kreisender Masse, F Ým U Ým U x k e k z-richtung jeweils in r-richtung gelegt:

5 F U Ým e r r fm m r r e r Ýf m m e r