Ergänzende Materialien zur Vorlesung Theoretische Mechanik, WS 2005/06

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1 Ergänzende Materialien zur Vorlesung Theoretische Mechanik, WS 2005/06 Dörte Hansen Seminar 4 1 Bemerkungen zu Potential, Energiesatz und Drehimpuls In diesem Abschnitt sollen noch einmal einige wichtige Begriffe und Erhaltungssätze wiederholt werden. 1.1 Konservative Kräfte und Potentiale Beginnen wir mit einer intuitiven Betrachtung: Wird ein Massenpunkt unter Einwirkung einer äußeren Kraft von einem Punkt P 1 zu einem Punkt P 2 verschoben, so leistet die Kraft die Arbeit P2 W := F dr. P 1 Führt man den Massenpunkt schließlich wieder zum Ausgangspunkt zurück (geschlossener Weg), so kann man prinzipiell zwei unterschiedliche Fälle unterscheiden: im ersten Fall verschwindet das Ringintegral W = F dr = 0, (1) d.h. die Gesamtarbeitsbilanz längs des geschlossenen Weges ist Null. Dem System wird also weder Energie zugeführt noch geht Energie verloren. Kräfte, für die das Ringintegral (1) jedes geschlossenen Weges im betrachteten Gebiet veschwindet, heißen konservative Kräfte. Es ist leicht einsehbar, dass die von einer konservativen Kraft verrichtete Arbeit wegunabhängig ist. Es spielt also keine Rolle, auf welchem Wege man vom Punkt P 1 zu Punkt P 2 gelangt, die dabei verrichtete Arbeit ist immer die gleiche. Es zeigt sich, dass konservative Kräfte immer als negativer Gradient einer zeitunabhängigen, skalaren Größe U(r) darstellbar sind, F = U(r). (2) 1

2 Diese Größe U(r) wird als Potential bezeichnet. Integriert man (2), so ist leicht einzusehen, dass die von der konservativen Kraft F entlang eines Weges zwischen P 1 und P 2 verrichtete Arbeit W gerade die Differenz der Potentiale am Punkt P 2 bzw. am Punkt P 1 ist, d.h. P2 U(P 2 ) U(P 1 ) = F dr. P 1 Wählen wir nun einen Ausgangspunkt P 0 so, dass das Potential U(r) an diesem Punkt gerade verschwindet, so wird die physikalische Bedeutung des Potentialbegriffs klar: das Potential U(r) in einem Punkt P ist gerade die Arbeit, die die Feldkräfte leisten müssen, um den Massenpunkt m vom Nullpunkt des Potentials P 0 bis zum Punkt P zu verschieben, d.h. P U = F dr, U(P 0 ) = 0. (3) P 0 Besondere Aufmerksamkeit verdienen die Äquipotentialflächen, also jene Flächen, auf denen das Potential U(r) konstant ist. Aus der Beziehung F = U läßt sich leicht erkennen, dass die zum Potential U gehörige Kraft senkrecht auf den Äquipotentialflächen steht. Bei der Verschiebung eines Massenpunktes auf einer Äquipotentialfläche wird somit keine Arbeit verrichtet. Wie aber kann man erkennen, ob eine gegebene Kraft konservativ ist? Wir haben gelernt, dass das Ringintegral längs eines beliebigen geschlossenen Weges für konservative Kräfte verschwinden muss (siehe Gl. (1)). Allerdings ist es in der Regel mühselig, wenn nicht sogar unmöglich, dieses Ringintegral tatsächlich auszurechnen. Man sucht daher nach einer einfacheren Möglichkeit, die Konservativität von Kräften nachzuweisen. In der Tat erweist sich hierbei der Stokessche Satz als nützlich. Mit seiner Hilfe kann man das Ringintegral (1) über einen geschlossenen Weg C in ein Oberflächenintegral über die von C eingeschlossene Fläche umwandeln, F dr = ( F) da. (4) C A Ist das Kraftfeld wirbelfrei, F = 0, so scheint (4) zu implizieren, dass damit auch das entsprechende Ringintegral verschwinden muss. Für einfach zusammenhängende Gebiete bzw. wenn F keine Singularitäten aufweist, ist das auch tatsächlich der Fall. Mit anderen Worten, in einfach zusammenhängenden Gebieten ist F = 0 (5) eine notwendige und zugleich hinreichende Bedingung für die Konservativität der Kraft F. Anders die Situation, wenn F im betrachteten Gebiet Singularitäten aufweist. In diesem Fall ist (5) nur eine notwendige, nicht aber eine hinreichende Bedingung. Hat man sich in diesem Fall davon überzeugt, dass die gegebene Kraft wirbelfrei ist, so 2

3 muss man nun zusätzlich prüfen, ob auch das Ringintegral (2) verschwindet 1. Ist das nicht der Fall, so gibt es kein globales Potential zu F, wohl aber kann in einem einfach zusammenhängenden Gebiet, das diese Singularität ausspart, ein eindeutiges Potential konstruiert werden. Der zweite Fall, wenn nämlich das Ringintegral (2) nicht verschwindet, soll hier nur kurz diskutiert werden. Die Kraft F ist dann nicht konservativ, d.h. Bewegungen entlang eines geschlossenen Weges sind mit dem Gewinn oder Verlust von Energie bzw. Arbeit verbunden. Derartige dissipativen Kräfte lassen sich nicht als Gradient eines skalaren Feldes darstellen, mit anderen Worten, es gibt kein zugeordnetes zeitunabhängiges Potential U(r) Beispiel Betrachten wir als Beispiel die Kraft F = (2xy + z 3 )e x + (x 2 + 2y)e y + (3xz 2 2)e z. Wir überprüfen zunächst, ob die Kraft konservativ ist, ob also die lokale Bedingung F = 0 erfüllt ist. Da F keine Singularitäten aufweist, ist das eine hinreichende Bedingung für die Existenz eines Potentials. In der Tat sehen wir leicht, dass 2 F 1 = 2x = 1 F 2, 3 F 1 = 3z 2 = 1 F 3, 2 F 3 = 0 = 3 F 2, die Kraft ist also konservativ. Das Potential berechnen wir nun als Wegintegral über F. Als Ausgangspunkt wählen wir dabei den Ursprung des Koordinatensystems. (Es wird sich in der Tat zeigen, dass das Potential an diesem Punkt verschwindet.) Da wir aufgrund der Wegunabhängigkeit des Potentials die freie Wahl des Weges haben, wählen wir die einfachste Variante die Integration parallel zu den Koordinatenachsen. Explizit erhalten wir damit U(r) = (x,y,z) (0,0,0) F dr [ (x,0,0) = F x (x, 0, 0)dx + (0,0,0) = [ 0 + (x 2 y + y 2 ) + (xz 3 2z) ] = x 2 y y 2 xz 3 + 2z. (x,y,0) (x,0,0) 1.2 Einige Bemerkungen zum Energiesatz F y (x, y, 0)dy + (x,y,z) (x,y,0) F z (x, y, z )dz ] Abgesehen vom Universum als Ganzes gibt es genau genommen keine konservativen Systeme, da immer eine Wechselwirkung mit der Außenwelt, d.h. der nicht in das System 1 Da die einzigen gefährlichen Stellen jene sind, an denen F singulär wird, untersucht man das zweckmäßigerweise das Ringintegral über geschlossene Wege, die diese Singularitäten einschließen. 3

4 integrierten Umgebung, stattfinden wird 2. Wenn wir dennoch von Energieerhaltung in einem System sprechen können, so beruht das auf dem Modellcharakter des Systems; wir haben sozusagen künstlich alle äußeren Einflüsse abgeschaltet. In diesem Sinne sollen die folgenden Bemerkungen verstanden werden. Gemäß dem 2. Newtonschen Axiom ist die Kraft gleich der Änderung des Impulses, F = ṗ. Bei konstanter Masse m ergibt sich daraus die bekannte Bewegungsgleichung eines Massenpunktes m r = F. Skalare Multiplikation beider Seiten dieser Gleichung mit ṙ führt auf m r ṙ = m 2 d dt ṙ2 = F ṙ. (6) Auf der linken Seite von (6) steht nun die zeitliche Ableitung der kinetischen Energie. Um die rechte Seite der Gleichung umzuformen, zerlegen wir die auf m wirksame Kraft in einen konservativen und einen dissipativen Anteil und erhalten somit d ( m dt 2 ṙ2) = F kons ṙ + F diss ṙ. Eine konservative Kraft aber läßt sich als negativer Gradient eines Potentials darstellen. Damit ist F kons ṙ = 3 i=1 U x i dx i dt = du dt, wobei wir im letzten Schritt die Kettenregel der Differentiation verwendet haben. Setzen wir das ein, so ergibt sich der Energiesatz d dt (T + U) = F diss ṙ. (7) In der Abwesenheit dissipativer Kräfte oder aber wenn F diss senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor ṙ steht, verschwindet die rechte Seite von (7). Die Gesamtenergie, die ja gerade die Summe aus kinetischer und potentieller Enmergie ist, ist dann eine Erhaltungsgröße. 1.3 Drehimpuls Bei Rotationsbewegungen (aber nicht nur!) tritt häufig an die Stelle des gewöhnlichen Impulses der sogenannte Drehimpuls L := r p = mr v. (8) 2 So werden zum Beispiel beim berühmten Zwei-Körperproblem der Planetenbewegung alle Wechselwirkungen mit anderen Himmelskörpern, aber auch mit dem interplanetaren Medium vernachlässigt. 4

5 Offensichtlich steht der Drehimpuls L(r(t), t) zu jedem Zeitpunkt senkrecht auf r(t), d.h. L(t) r(t) = 0. Ist zumindest die Richtung des Drehimpulses zeitlich erhalten, so folgt daraus eine weitaus stärkere Forderung: Es ist dann nämlich nicht nur r(t) senkrecht zu L(t), sondern auch zu L(0), d.h. 0 = L(t) r(t) = L(0) r(t). Wenn aber der Vektor r(t) für alle Zeiten senkrecht zum Vektor des Drehimpulses zur Zeit t = 0 ist, so bedeutet das nichts anderes, als dass der Massenpunkt eine ebene Bewegung in der Ebene senkrecht zu der (festen) Drehimpulsachse L(0) ausführt. Unter welchen Umständen ist nun der Drehimpuls des Massenpunkts erhalten? Aus der Definition des Drehimpulses folgt unter der Voraussetzung p = mṙ (also m =const.) L = ṙ} {{ mṙ} +r m r = r F =: M. (9) 0 Der Vektor M = L wird als Drehmoment bezeichnet. Aus Gl. (9) sehen wir sofort, dass der Drehimpuls für alle Zentralkräfte 3 eine Erhaltungsgröße ist. Insbesondere gilt das natürlich für die Newtonsche Gravitationskraft. Eine unmittelbare Folge der Drehimpulserhaltung im Zentralpotential ist das berühmte Zweite Keplersche Gesetz, auch bekannt als Flächensatz: Ein Fahrstrahl von Sonne zu Planet überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Strecken. Der Beweis dieses Satzes ist schnell erbracht. Da der Drehimpuls in Betrag und Richtung konstant ist, wählen wir das Koordinatensystem so, dass die z-achse gerade mit der Achse des Drehimpulses zusammenfällt. Führen wir nun Kugelkoordinaten ein und setzen θ = π 2 (ebene Bewegung), so ergibt sich L = Le z, L = mr 2 ϕ. (10) Nun betrachten wir die Positionen des Planeten zur Zeit t und zu einer Zeit t + dt. Die Fahrstrahlen r(t) und r(t + dt) schließen ein infinitesimales, rechtwinkliges Dreieck mit der Fläche da ein (siehe Skizze). Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks aber ist gerade die Hälfte des Produktes der beiden Katheten, also da = 1 2 r2 sin(dϕ) = r2 2 Unter Verwendung von (10) ergibt sich damit dϕ, sin(dϕ) dϕ. da dt = r2 2 ϕ = L 2m = const., d.h. die pro Zeiteinheit überstrichene Fläche ist konstant. 3 Zentralkräfte im engeren Sinn lassen sich als F(r) = f(r)r schreiben. 5

6 2 Zentralkraftfelder - Teil I 2.1 Allgemeine Bemerkungen Zentralkraftfelder also Kraftfelder, die nur vom radialen Abstand r vom Kraftzentrum abhängen spielen in vielen Bereichen der Mechanik eine wichtige Rolle. So bewegt sich zum Beispiel der dreidimensionale harmonische Oszillator unter dem Einfluss der Rückstellkraft F = kr. Vor allem aber können sowohl die elektrostatische Wechselwirkung zweier elektrischer Ladungen als auch die gravitative Wechselwirkung zwischen zwei Massen durch Zentralkraftfelder beschrieben werden. Ein Zentralkraftfeld im engeren Sinne läßt sich immer in der Form F(r) = f(r)r schreiben. Es ist leicht einzusehen, dass ein solches Kraftfeld immer konservativ ist und somit auch als negativer Gradient eines Potentials darstellbar ist. Die Energie eines Massenpunktes, der sich in einem Zentralpotential bewegt, ist daher eine Erhaltungsgröße. Wir haben bereits gelernt, dass man immer versuchen wird, Koordinaten zu wählen, die der jeweiligen Problemstellung besonders gut angepaßt sind. Im Falle von Zentralkräften ist es zweckmäßig, Kugelkoordinaten zu wählen. Aus dem vorigen Abschnitt wissen wir bereits, dass für Zentralkraftfelder neben der Energie auch der Drehimpuls erhalten ist. Damit erfolgt die Bewegung des Massenpunktes in einer Ebene. Entscheidende Aussagen über die qualitative Bewegung des Massenpunktes ergeben sich aus dem Energiesatz. Schreiben wir die Gesamtenergie E gemäß E = T + U(r) = m 2 [ṙ2 + r 2 ϕ 2] + U(r) (10) = m 2 ṙ2 + L2 + U(r), (11) 2mr2 so haben wir unser ursprünglich dreidimensionales Problem auf die eindimensionale Bewegung eines Massenpunktes in einem effektiven Potential U eff (r) = L2 + U(r) (12) 2mr2 zurückgeführt. Der erste Term in (12) ist Folge der Rotation des Massenpunktes um das Zentrum; er verschwindet, wenn L = 0 ist. Mit Hilfe des effektiven Potentials läßt sich die Bewegung des MP qualitativ beschreiben. Wir wollen uns hierzu drei Beispiele anschauen: Beispiel 1: Planetenbewegung Die Bewegung eines Planeten im Gravitationsfeld der Sonne kann aufgrund der vergleichsweise geringen Masse m des Planeten als Bewegung eines Testteilchens im Zentralkraftfeld der Sonne (Masse M) aufgefaßt werden. Mit dem klassischen Newtonschen Gravitationspotential U(r) = GmM r ist das effektive Potential durch U eff (r) = GmM r + L2 2mr 2, L 0 (13) gegeben. Der durch den Drehimpuls bedingte, abstoßende Term wirkt für die Bewegung des Planeten wie eine undurchdringliche Zentralbarriere, denn für kleine r überwiegt 6

7 in jedem Fall der L 2 /2mr 2 -Term. Für große Entfernungen hingegen folgt das effektive Potential im wesentlichen der Form des Newtonschen Gravitationspotentials (siehe Abb. 1). Betrachten wir nun den Energiesatz, so ist offensichtlich, dass die Energie E nicht kleiner sein kann als das Minimum des effektiven Potentials (ansonsten müßte die unphysikalische Bedingung ṙ 2 < 0 gelten). Für E = E 0 ist ṙ = 0, d.h. der Planet befindet sich immer im selben Abstand von der Sonne, er beschreibt eine Kreisbahn. Für E 0 < E < 0 kann die Bewegung des Planeten nur zwischen den beiden Umkehrpunkten r 1 und r 2 erfolgen, es handelt sich also um eine gebundene Bewegung. In der Tat zeigt sich im Fall des Newtonschen Gravitationspotentials sogar, dass der Planet eine Ellipsenbahn beschreibt. Betrachten wir nun nicht nur Planeten, sondern auch Meteoriten und Kometen, so sind noch zwei andere Bahnformen möglich. Wie aus Abb. 1 ersichtlich, stellt der Fall E = 0 offenbar einen Grenzfall dar. Der Himmelskörper (z.b. ein Komet) kann sich bis zu einem Abstand r 3 dem Zentrum der Sonne nähern, wird dann sozusagen von der Zentrifugalbarriere zurückgeschleudert und entweicht wieder aus dem Gravitationsfeld der Sonne, wobei er jedoch das Unendliche erst nach unendlich langer Zeit erreicht. Er beschreibt also eine Parabelbahn. Ist schließlich E > 0, so kommt der Komet aus dem Unendlichen, wird an der Zentrifugalbarriere reflektiert ( Swing-by ) und entweicht wieder ins Unendliche. Derartige Hyperbelbahnen sind typisch für Kometen, die aus der Oortschen Wolke ins Innere des Sonnensystems gelenkt wurden. U eff PSfrag replacements E 3 r E 2 Abbildung 1: Effektives Potential für die Bewegung im Newtonschen Gravitationspotential. E 0 : stabile Kreisbahn, E 1 : gebundene Bewegung (Ellipsenbahn), E 2 : Parabelbahn, E 3 : Hyperbelbahn E 1 E Beispiel 2: Bewegung eines Testteilchen im Schwerefeld eines statischen, ungeladenen Schwarzen Loches (Schwarzschild Black Hole) Die Allgemeine Relativitätstheorie stellt einen Zusammenhang zwischen der Materie und der Krümmung des Raumes dar. Die Berechnung der Dynamik eines Körpers im Rahmen der ART ist häufig sehr kompliziert und nur in wenigen Fällen exakt lösbar. Für die Bewegung eines Testteilchens m im Schwerefeld eines Schwarzen Loches jedoch 7

8 kann man das effektive Potential exakt angeben, U eff (r) = GmM r + L2 2mr 2 GML2 mc 2 r 3. (14) Die ersten beiden Terme treten auch im Newtonschen Fall auf, der dritte hingegen repräsentiert den Einfluss der ART auf die Bewegung des Massenpunktes. Dieser zu 1/r 3 proportionale Term wird für kleine Abstände stets überwiegen 4. Die Größe des Drehimpulses ist offenbar entscheidend für die möglichen Bewegungsformen des Testteilchens. Für geeignete Werte von L wird das effektive Potential je ein Maximum und ein Minimum haben, die dann einer stabilen Kreisbahn (Minimum) bzw. einer instabilen Kreisbahn (Maximum) entsprechen. Unterschreitet jedoch L einen kritschen Wert, so gibt es überhaupt keine stabilen Bahnen und der Massenpunkt stürzt unweigerlich ins Zentrum. Bevor wir uns der Frage nach diesem kritischen Wert L krit zuwenden, wollen wir Extrema des effektiven Potentials berechnen. In solchen Extrema beschreibt der Massenpunkt m eine stabile (Minimum von U eff ) bzw. eine instabile (Maximum von U eff ) Kreisbahn. Die Bedingung für ein Extremum ist U eff GmM (r) = 0 = r 2 L2 mr 3 + 3GML2 mc 2 r 4 = 1 r 4 ] [GmMr 2 L2 m r + 3GML2 mc 2. Die Lösung der quadratischen Gleichung führt auf [ ] L 2 r 2,1 = 2Gm 2 1 ± 1 12G2 m 2 M 2 M L 2 c 2, (15) wobei r 2 der größere der beiden Werte ist. Um zu überprüfen, ob ein Maximum oder ein Minimum vorliegt, berechnen wir noch die zweite Ableitung von U eff (r). Es zeigt sich, dass U eff 1) < 0 Maximum U eff 2) > 0 Minimum. Für r = r 2 beschreibt unser Testteilchen eine stabile Kreisbahn um das Schwarze Loch, während es sich für r = r 1 auf einer instabilen Kreisbahn bewegt. Kommen wir zum Schluss zu der Frage nach dem kritischen Wert des Drehimpulses. Aus (15) sehen wir, dass das effektive Potential nur für bestimmte Werte von L Extrema im Bereich der reellen Zahlen hat. Die Bedingung hierfür ist offenbar, dass der Wurzelausdruck größer als Null sein muss. Das ist gleichbedeutend mit der Forderung L 2 12G2 m 2 M 2 c 2. 4 Da dieser Term die relativistische Korrektur zum klassischen Newtonschen Potential darstellt, ist es verständlich, dass er dort am stärksten wirksam sein sollte, wo auch die Krümmung des Raumes am stärksten ist. 8

9 Für L krit = 12G2 m 2 M 2 c 2 fallen Maximum und Minimum des effektiven Potentials zusammen. Der zugehörige Abstand r LSO ist der Radius der letzten stabilen Kreisbahn (last stable orbit). Setzen wir L krit in (15) ein, so ergibt sich r LSO = 6GM c 2 = 3r s, r s = 2GM c 2, wobei r s der Schwarzschildradius des Schwarzen Lochs ist 5. Mit anderen Worten: die letzte stabile Kreisbahn für ein Testteilchen m liegt weit außerhalb des Schwarzschildradius. U eff 1/r 2 PSfrag replacements r 1 r 2 r 1/r 3 1/r Abbildung 2: Effektives Potentials für ein Testteilchen im Schwerefeld eines Schwarzen Loches Beispiel 3: Bewegung eines rotierenden Teilchens auf einer Tischplatte Das Konzept des effektiven Potentials ist längst nicht nur auf die Bewegung eines Teilchens im Gravitationsfeld beschränkt, wie das folgende Beispiel zeigen soll. Betrachten 5 Der Schwarzschildradius bezeichnet jenen Abstand vom Zentrum, ab dem nicht einmal Licht dem Gravitationsfeld des Schwarzen Lochs entkommen kann. 9

10 wir dazu zwei Massen m und M, die durch ein Seil der Länge l miteinander verbunden sind (Abb. 3). Die Masse m kann sich nur auf einer Tischplatte bewegen, während M unter dem Einfluss des homogenen Schwerefeldes der Erde steht. Vernachlässigen wir die Reibung, so liegt wieder ein konservatives System zweier Massen vor uns. Wir wählen zunächst problemangepaßte Variablen, in unserem Fall also Zylinderkoordinaten. Als Nullpunkt des Koordinatensystems wählen wir die Tischplatte. Die Geschwindigkeit in Zylinderkoordinaten ist ṙ = ṙe r + r ϕe ϕ + że z. Die kinetische Energie des Gesamtsystems setzt sich aus den kinetischen Energien der beiden Einzelmassen zusammen, wobei sich m nur auf der Tischplatte bewegen kann, während die Bewegung von M auf die Richtung senkrecht zur Tischplatte beschränkt bleibt. Außerdem muss aufgrund der konstanten Seillänge ż = ṙ gelten, denn M kann aufgrund der festen Seillänge nur in dem Maße fallen oder steigen, wie sich der Abstand r der Masse m vom Loch ändert. Damit ist T = m 2 v2 + M 2 v2 z = m 2 (ṙ2 + r 2 ϕ 2 ) + M 2 ṙ2 = m + M ṙ 2 + m 2 2 r2 ϕ 2. Der Drehimpuls der Masse m ist eine Erhaltungsgröße, so dass wir mit unserer Wahl des Koordinatensystems wieder ϕ zugunsten von L ersetzen können. Wir erhalten somit T = m + M 2 ṙ 2 + L2 2mr 2. Auf der anderen Seite leistet nur M einen Beitrag zur potentiellen Energie, und zwar Die Gesamtenergie ist daher U = MG(l r) 0 r l. E = m + M ṙ 2 + L2 + MG(r l) X l. (16) 2 rmr2 Wieder taucht in dieser Gleichung nur die zeitliche Ableitung von r auf. Wir haben das ursprünglich dreidimensionale Problem also auf die eindimensionale Bewegung einer Masse m im effektiven Potential U eff (r) = L2 + MG(r l) 2mr2 zurückgeführt. Für kleine r überwiegt wieder die Zentrifugalbarriere, während für große r der in r lineare Term überwiegt. Das einzige Extremum des effektiven Potentials U eff (r 0)! = 0 ist ein Minimum und liegt bei [ ] L 2 1/3 r 0 =. MmG 10

11 r m X F M PSfrag replacements Abbildung 3: Beispiel 2. Die Länge des Seiles ist l = r + X Für einen gegebenen Wert L ist r 0 der Radius der stabilen Kreisbahn der Masse m. Wie wir weiterhin aus der Form des effektiven Potentials ablesen, kann m nur eine gebundene Bewegung zwischen einem minimalen und einem maximalen Abstand vom Zentrum ausführen. Natürlich müssen dabei immer die Grenzen des Modells beachtet werden: Zum einen darf der Drehimpuls nicht so groß gewählt werden, dass m von der Tischplatte geschleudert wird; der maximale Drehimpuls ist durch die Länge l des Seils bestimmt. Zum anderen kann r auch nicht kleiner alss Null werden, mit anderen Worten, die Bewegung von m bleibt immer auf die Tischplatte beschränkt. Für L = 0 bewegt sich M im freien Fall und zieht m mit sich - allerdings nur solange, bis m das Loch in der Tischplatte erreicht hat. 11

12 U eff 1/r 2 PSfrag replacements r 0 l r Abbildung 4: Effektives Potential in Beispiel 2 12