Die Momentenmethode. Vorteil: Oft einfach anwendbar. Nachteil: Güte kann nur schwer allgemein beurteilt werden; liefert zum Teil unbrauchbare

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1 Die Momentenmethode Vorteil: Oft einfach anwendbar. Nachteil: Güte kann nur schwer allgemein beurteilt werden; liefert zum Teil unbrauchbare Lösungen. Sei ϑ = (ϑ 1,...,ϑ s ) der unbekannte, s-dimensionale Parameter. Das k-te Moment m k (ϑ) := E ϑ (X1) k (k = 1,...,s), wird durch das k-te Stichprobenmoment ˆm k (x) = 1 n x k j. geschätzt. Der Momentenschätzer ˆϑ(x) = (ˆϑ1 (x),..., ˆϑ s (x)) ergibt sich durch Auflösen der s Gleichungen m k (ϑ) = ˆm k (x), k = 1,...,s, nach ϑ.

2 17.8 Beispiel (Gammaverteilung) Sei Q ϑ = Γ(α, β) für ϑ = (α, β) Θ := (0, ) 2. Nach Beispiel ist m 1 (α, β) = α β, m 2(α, β) = α(α + 1) β 2. Aus den Gleichungen α β = x, α(α + 1) β 2 = 1 n x 2 j folgt (nach einigen Umformungen) ˆβ(x) = x s, ˆα(x) = ( x)2 2 x s 2 x mit s 2 x = 1 n (x j x) 2 = n 1 n s 2 x.

3 17.2 Gütekriterien für Schätzer Natürliche Forderungen an einen Schätzer T für γ(ϑ) sind: T(X 1,...,X n ) soll im Mittel gleich γ(ϑ) sein. T(X 1,...,X n ) soll wenig um γ(ϑ) schwanken. T(X 1,...,X n ) soll bei großem n mit großer Wahrscheinlichkeit nahe bei γ(ϑ) liegen. Die erste Forderung bedeutet, dass bei der Schätzung von γ(ϑ) der Schätzwert T(x 1,...,x n ) nicht systematisch von γ(ϑ) abweicht, die zweite, dass diese Schätzwerte möglichst wenig streuen.

4 17.9 Definition a) Die Größe ( MQA T (ϑ) := E ϑ T(X1,...,X n ) γ(ϑ) ) 2 heißt mittlere quadratische Abweichung von T (an der Stelle ϑ). b) Die Größe b T (ϑ) := E ϑ (T(X 1,...,X n )) γ(ϑ) heißt Verzerrung (engl.: bias) von T (an der Stelle ϑ). T heißt erwartungstreu für γ(ϑ) (engl.: unbiased), falls gilt: E ϑ (T(X 1,...,X n )) = γ(ϑ) ϑ Θ ( b T (ϑ) = 0 ϑ Θ).

5 17.10 Bemerkung Um die mittlere quadratische Abweichung durch geeignete Wahl einer Schätzfunktion T möglichst klein zu machen, besteht häufig ein Zielkonflikt zwischen Verzerrung b T (ϑ) und Varianz V ϑ (T) von T. Es gilt MQA T (ϑ) = V ϑ (T(X 1,..., X n )) + b T (ϑ) 2. Für den unsinnigen Schätzer T (x) = ϑ x S mit einem festen Wert ϑ Θ gilt stets V ϑ (T ) = 0, b T (ϑ) = ϑ ϑ ϑ Θ. Die Forderung der Erwartungstreue schließt von vornherein Schätzer (wie das obige T ) aus, welche eine zu starke Präferenz für spezielle Parameterwerte besitzen.

6 17.11 Satz Bei beliebiger Verteilungsannahme gilt: a) Der Schätzer T(x 1,...,x n ) := x ist erwartungstreu für E ϑ X 1. b) Der Schätzer T(x 1,...,x n ) := h x (B) ist erwartungstreu für P(X 1 B) für beliebiges B R. c) Der Schätzer T(x 1,...,x n ) := s 2 x = 1 n 1 (x j x) 2 ist erwartungstreu für V ϑ (X 1 ). Bemerkung: Der Schätzer s 2 x := 1 n n (x j x) 2 ist nicht erwartungstreu für V ϑ (X 1 ).

7 17.12 Beispiel (Exponential-Verteilung) Für exponentialverteilte Stichprobenvariablen X 1,...,X n Exp(ϑ), ϑ > 0 ist ˆϑ n (x) := 1 x der Maximum-Likelihood-Schätzer. Da Y := n X j Γ(n, ϑ), folgt nach Beispiel 12.12: EY 1 = ϑ n 1 und somit E ϑ ˆϑn (X 1,...,X n ) = n E ϑ ( X j ) 1 = ϑ n n 1. ˆϑ n ist also nicht erwartungstreu.

8 Von besonderem Interesse sind Schätzer, die erwartungstreu sind und eine möglichst kleine mittlere quadratische Abweichung (also gleichbedeutend eine möglichst kleine Varianz) besitzen Definition (Minimum-Varianz-Schätzer) Der Schätzer T für γ(ϑ) heißt Minimum-Varianz-Schätzer, wenn er erwartungstreu ist und wenn er gleichmäßig in ϑ unter allen erwartungstreuen Schätzer die kleinste Varianz besitzt Satz Unter Normalverteilungsannahme gilt a) x ist Minimum-Varianz-Schätzer für γ(ϑ) = E ϑ X 1. b) s 2 x ist Minimum-Varianz-Schätzer für γ(ϑ) = V ϑ(x 1 ).

9 17.15 Bemerkung und Definition Ist für jedes n N ein Schätzer T n : M n R für γ(ϑ) definiert, so heißt (T n ) n N eine Schätzfolge. Beispiele für solche Schätzfolgen sind der Mittelwert T n (x 1,...,x n ) := 1 n x j und die Stichprobenvarianz T n (x 1,...,x n ) := 1 n 1 (x j x) 2, die für jeden Stichprobenumfang n 2 definiert sind.

10 Die Schätzfolge (T n ) n N heißt a) konsistent (für γ(ϑ)), falls für alle ϑ Θ und ε > 0 gilt: lim P ϑ( T n (X 1,...,X n ) γ(ϑ) ε) = 0. n b) asymptotisch erwartungstreu (für γ(ϑ)), falls für alle ϑ Θ gilt: lim E ϑ(t n (X 1,...,X n )) = γ(ϑ). n Eigenschaft der Konsistenz ist Minimalforderung an eine Schätzfolge! Beispiel Die Schätzfolge (ˆϑ n ) aus Beispiel ist asymptotisch erwartungstreu wegen lim E ˆϑ n ϑ n (X 1,..., X n ) = lim ϑ n n n 1 = ϑ für alle ϑ Θ, aber für festen Stichprobenumfang n ist ˆϑ n nicht erwartungstreu.

11 17.17 Satz Die folgenden Schätzer (genauer Schätzfolgen) sind konsistent bei beliebiger Verteilungsannahme: a) x für den Erwartungswert, b) s 2 x = 1 (x j x) 2 und s 2 x n 1 = 1 n c) h x (B) = 1 n 1 B (X j ) für P(X 1 B). (x j x) 2 für die Varianz Unter schwachen Regularitätsvoraussetzungen ist jeder Maximum-Likelihood-Schätzer ˆϑ n (x) sowohl asymptotisch erwartungstreu als auch konsistent.

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