Frequenzgangmessung, Entwurf eines PID-Reglers nach dem Frequenzkennlinienverfahren

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1 Technische Universität Berlin Fakultät IV Elektrotechnik und Informatik Fachgebiet Regelungssysteme Leitung: Prof. Dr.-Ing. Jörg Raisch Praktikum Grundlagen der Regelungstechnik Frequenzgangmessung, Entwurf eines PID-Reglers nach dem Frequenzkennlinienverfahren 1 Einführung In der Vorlesung Grundlagen der Regelungstechnik wurde die Wirkungsweise einfacher Reglertypen vermittelt und es wurde der Entwurf einfacher Regler nach dem Frequenzkennlinienverfahren oder dem Wurzelortverfahren behandelt. Ein in der Anwendung häufig verwendeter Reglertyp ist der PID-Regler. Ein PID-Regler ist in diesem Laborversuch nach dem Frequenzkennlinienverfahren zu dimensionieren und im Labor praktisch zu erproben. Die zum Reglerentwurf notwendige Kenntnis des Streckenfrequenzganges werden wir uns im ersten Versuchsteil durch Messung verschaffen. Grundlagen.1 Frequenzgangmessung Der Frequenzgang eines Übertragungssystems G( jω) = G( jω) e jϕ(ω) = u a e jϕ a(ω) u e e jϕ e(ω) kann prinzipiell durch eine Reihe von Verfahren ermittelt werden. Am naheliegendsten ist es, die Beträge der Einund Ausgangsspannungen sowie deren Phasendifferenz punktweise (d.h. für diskrete ω) zu messen und daraus gemäß (1) den Frequenzgang zu zeichnen. Bei einem anderen Verfahren sind die Spannungen u e und u a auf die x- und y-ablenkung eines Oszilloskopes zu geben, um dann aus Form und Lage der entstehenden Lissajousfiguren die Werte des Frequenzganges bei festgelegten Frequenzen zu ermitteln. Ein drittes Verfahren, die sog. Korrelationsmethode, wird weiter unten beschrieben und ist im praktischen Teil des Laborversuches anzuwenden. Es zeichnet sich dadurch aus, dass es leicht automatisierbar ist, so dass die Messungen direkt von einem Rechner gesteuert ablaufen können. (1)

2 Das Prinzip der Messschaltung zeigt das Bild 1, wobei der Block TP einen Tiefpass geeigneter Frequenz darstellt. u e (t) = û e sin(ωt) G(jω) u a (t) = û a sin(ωt + ϕ) + Einschwingvorgaenge TP TP ûaû e cosϕ û a Abbildung 1: Frequenzgangmessung mittels Korrelationsverfahren Vorgehensweise bei dem Korrelationsverfahren Nach Aufschalten der Eingangsgröße u e (t)=û e sin(ωt) erhält man im eingeschwungenen Zustand (stabiles System) für das lineare zeitinvariante System die Ausgangsgröße u a (t)=û a sin(ωt+ϕ)=û e G( jω) sin(ωt+ G( jω)). () Die Ausgänge der beiden Multiplizierer im Bild 1 liefern dann nach der Tiefpassfilterung die Messwerte u e (t)u a (t) = û e û a [ sin(ωt) sin(ωt+ϕ) ] = ûeû a cos(ϕ) ûeû a cos(ωt+ϕ) u a (t)u a (t) ûeû a cosϕ (3) = û a[ ] 1 cos(ωt+ϕ) û a, (4) wobei die Näherungen nur gelten, wenn die Tiefpässe die Anteile mit den Frequenzen ω ausreichend unterdrücken. Z.B. bei Tiefpässen 1. Ordnung ist deren Knickfrequenz klein gegenüber ω zu wählen. Andererseits ist eine Begrenzung nach unten durch die auftretende Einschwingzeit der Tiefpässe gegeben.

3 Da û e als bekannt vorausgesetzt werden kann, lassen sich aus den Gleichungen (3) und (4) unmittelbar der Betrag und die Phase des Frequenzganges ermitteln. Das Vorzeichen ist nicht angebbar, da der Phasenwinkel nur in der symmetrischen Funktion cos ϕ in (3) vorkommt. Im Zweifelsfall sollte man sich hierüber z.b. durch Betrachten von u e (t) und u a (t) Klarheit verschaffen. Die punktweise aufgenommenen Messungen sind Stützpunkte, um dann durch Interpolation den Frequenzgang nach Betrag und Phase zu zeichnen.. Der PID - Regler Der ideale PID - Regler wird im Zeitbereich durch die Gleichung u(t) t d e(t) = K p e(t) + K i e(τ) dτ+ K D } {{ } 0 P } {{ }} {{ d t} I D Anteil = K p e(t)+ 1 t d e(t) e(τ) dτ+t v T n d t 0 (5) (6) beschrieben, wobei nach DIN 196 die folgenden Bezeichnungen gelten: K p Proportionalbeiwert, K I Integralbeiwert, K D Differenzierwert, T n Nachstellzeit, T v Vorhaltzeit. Da der D-Anteil in den Gleichungen (5) und (6) nicht realisierbar ist, muss der reale PID - Regler noch eine parasitäre Polstelle enthalten. Wenn diese Polstelle einen großen negativen Realteil besitzt, kann dieser Einfluss beim Entwurf des Reglers in der Regel vernachlässigt werden. In der Tabelle 1 sind die Übertragungsfunktionen, Sprungantworten, Rampenantworten, Frequenzgänge sowie die Pol - Nullstellenverteilungen sowohl für den idealen als auch für den realen PID - Regler zusammengefasst. Die Bedeutung der einzelnen Kennwerte lässt sich hieraus ablesen. 3

4 Tabelle 1: Idealer und realer PID - Regler 4

5 3 Versuchsdurchführung Zur Vorbereitung sind bis zum. Mai die gesamte Aufgabenbeschreibung durchzuarbeiten und die analytischen Aufgaben 3..b zu lösen. Am. Mai findet ein schriftlicher Test im Raum TC006 statt. Anschließend werden die Vorbereitungsaufgaben besprochen und eventuelle Fragen zu den Versuchen geklärt. 3.1 Frequenzgangmessung In diesem Laborversuch stehen ein lineares zeitinvariantes System mit unbekanntem Übertragungsverhalten (blackbox) sowie ein PC mit Datenerfassungskarte zu Verfügung. Über den PC können verschiedene Testsignale generiert werden, die auf den Eingang der Black-Box angewandt werden können. Ein- und Ausgangssignal der Black-Box werden online erfasst und über den PC dargestellt. Eine Weiterverarbeitung der Messungen in Echtzeit ist möglich. Die Echtzeitprogramme werden mittels Scilab/Scicos für RTAI-Linux durch automatische Codegenerierung erzeugt. Zur Steuerung der Programme und Darstellung der Daten wird das Programm XRTAILAB 1 eingesetzt. (a) Zur ersten Orientierung wird die Sprungantwort y(t) des unbekannten Systems aufgenommen. Es ist dazu ein Eingangssignal u(t) = 1 [V]σ(t) auf den Systemeingang zu geben und die Sprungantwort aufzuzeichnen. Daraus sind dann die Grenzwerte lim G( jω) und lim G( jω) (7) ω 0 ω abzulesen und der für den Frequenzgang relevante Frequenzbereich zu schätzen. (b) Mit dem im Abschnitt.1 beschriebenen Verfahren sind die Messwerte des Frequenzganges von dem unbekannten System aufzunehmen. Die Signalverarbeitung ist in Scicos zu realisieren. (c) Aus den Messdaten sind der Frequenzgang nach Betrag und Phase zu berechnen und das Bodediagramm zu zeichnen. 3. Entwurf eines PID - Reglers (a) Realisieren Sie den realen PID Regler unter Scicos. (b) Es sei eine Regelstrecke mit dem in der PDF-Datei Anhang_Frequenzgang.pdf dargestellten Frequenzgang gegeben (Frequenz in [rad/s]). Machen Sie sich anhand der Vorlesungsmitschrift noch einmal mit den Begriffen dominierendes Polpaar und Standardregelkreis vertraut. Es ist nach dem Frequenzkennlinienverfahren ein PID-Regler so zu entwerfen, so dass der geschlossene Regelkreis die folgenden Spezifikationen erfüllt: 1. Kein stationärer Regelfehler, d.h. lim t e(t)=0.. Der geschlossene Regelkreis soll sich in guter Näherung wie ein "dominierendes Polpaar"verhalten. 3. Es darf kein Überschwingen geben. 4. Die Anstiegszeit t r soll minimal sein. 1 bucher/rtai.html 5

6 Hinweis: Die Spezifikationen 3 und 4 bedeuten für die Überschwingweite M p = 1. Wie groß wird t r Ihrer Meinung nach sein? Bei welchem K p = K pkritisch wird die Stabilitätsgrenze erreicht? Zu dem entworfenen Regler sind anzugeben: die Pol- und Nullstellen sowie die Kenngrößen K p, T n, T v, T 1. Hinweis: Für den Reglerentwurf muß zunächst die Übertragungsfunktion der Regelstrecke aus dem Frequenzgang in Anhang_Frequenzgang.pdf genau abgelesen werden. Drucken Sie hierzu das Dokument aus und zeichnen Sie die Asymptoten ein. 3.3 Erprobung des PID-Reglers (a) Zur Veranschaulichung der regelungstechnischen Begriffe Regelgröße y(t), Stellgröße u(t), Sollwert r(t) und Regelfehler e(t) ist im geschlossenen Regelkreis das menschliche Reglerverhalten zu erproben. Erzeugen Sie in Scicos Sollwertsprünge, die später zusammen mit der Ausgangsgröße der Stecke in XRTAILAB angezeigt werden. Es ist zu versuchen, die Regelgrößey(t) durch Handsteuerung der Stellgröße u(t) dem Sollwert r(t) nachzuführen, vgl. Abbildung. Können Sie dabei die Reglerspezifikationen aus 3..b erfüllen? Die beste Sprungantwort ist aufzuzeichnen. Abbildung : Handgeregelte Strecke (b) Sie finden im Labor eine Regelstrecke mit dem Frequenzgang nach Datei Anhang_Frequenzgang.pdf vor. Zur Beurteilung des Verhaltens der ungeregelten Strecke sind ein Testsignal u(t) = 1[V]σ(t) auf den Streckeneingang zu geben und die Sprungantwort aufzuzeichnen. (c) Erstellen Sie einen Regelkreis mit dem PID-Regler aus Abschnitt 3.. Schließen Sie den Regelkreis nach Abbildung 3. (c1) Der Einheitssprung der Führungsgröße r(t) = 1 [V]σ(t) ist auf den Regelkreis anzuwenden und die Antwort y(t) aufzuzeichnen. (c) Ein Einheitssprung der Störgröße d e = 1 [V]σ(t) ist auf den Streckeneingang zu geben und die Störübergangsfunktiony(t) aufzuzeichnen. (c3) Ein Einheitssprung der Störgröße d a = 1 [V]σ(t) ist auf den Streckenausgang zu geben und die Störübergangsfunktiony(t) aufzuzeichnen. 6

7 Abbildung 3: Regelkreisstruktur der Laborübung (c4) Stellen Sie r=0, d e = 0, d a = 0 ein. Der Proportionalbeiwert K p ist bis zur Stabilitätsgrenze (Dauerschwingungen) zu vergrößern. Stimmt K p mit dem theoretisch erwarteten Wert K Pkritisch aus Abschnitt 3..b überein? (d) Tragen Sie in der unten angegebenen Tabelle die Kennwerte des Übertragungsverhaltens aus den erhaltenen Messergebnissen (soweit sinnvoll) und die aufgrund des Regelkreisentwurfs erwarteten Kennwerte ein. e( ) erwartet e( ) gemessen M p erw. M p gem. t r erw. t r gem. t 5% gem. manuelle Regelung ungeregelte Strecke Führungsverhalten (Regelkreis) Eingangsstörverhalten (Regelkreis) Ausgangsstörverhalten (Regelkreis) Hinweis: t 5% ist die Zeit, bis zu der sich e(t) = r(t) y(t) endgültig auf einen Wert 0, 05 e(t) max verringert hat. Vergleichen und Diskutieren Sie die Ergebnisse qualitativ. Vergleich zwischen der manuellen und PID-Regelung. Vergleich zwischen geregelter und ungeregelter Strecke. Vergleich zwischen der Güte des Führungs- und Störverhaltens. Vergleich mit den Spezifikationen aus Abschnitt 3..b. 7

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