II Dreiecksgeometrie. Schülerbuchseiten Lösungshinweise zu den Erkundungen L 22. Gruppe 4 (gegeben 2. = 50 ): Es gilt 2

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1 Schüleruchseiten II reiecksgeometrie Lösungshinweise zu den Erkundungen Seite 44 Ein gnz esonderer Kreis Vorüerlegungen reiecke, ei denen (mindestens) zwei Seiten gleich lng sind, nennt mn gleichschenklige reiecke. Für sie gilt der siswinkelstz. ie zwei gleich lngen Seiten (Schenkel) schließen jeweils mit der dritten Seite (sis) einen siswinkel ein. er siswinkelstz esgt nun, dss diese siswinkel stets gleich groß sind. Schenkel Spitze siswinkel sis Schenkel egründung für den siswinkelstz: ie Mittelsenkrechte der sis ist eine Symmetriechse des reiecks (dies lässt sich mithilfe der Kongruenzsätze us Lerneinheit 5 eweisen). Spiegelt mn ds reieck n ihr, werden die siswinkel ufeinnder geildet. lso sind sie gleich groß. Forschen n eispielen ie Seitenlängen M, M und M sind jeweils gleich lng. mit lässt sich jedes reieck in zwei gleichschenklige reiecke M und M zerlegen. emnch sind die Winkel und 1 sowie die Winkel und stets gleich groß. Gruppe 1 (gegeen = 50 ): Es gilt + + = 180 (Winkelsumme im reieck). Mit = gilt lso: 50 + = = 130 : = 65. ußerdem gilt 1 = 180 = = 130 (Neenwinkel) und = 180 (Winkelsumme im reieck). Mit = 1 gilt lso: = = 50 : = 5. Ergenis: = 1 = 5 ; = = 65 ; 1 = 130 Mit ähnlichen Üerlegungen und egründungen können uch ei den nderen Gruppen lle Winkel estimmt werden. Gruppe (gegeen: = 70 ): Ergenis: 1 = 70, 1 = 40, = 140, = = 0 Gruppe 3 (gegeen: = 40 ): Ergenis: = 40, = 100, 1 = 80, = 1 = 50 Gruppe 4 (gegeen = 7 ): Ergenis: = 7, = 36, 1 = 144, = 1 = 18 Gruppe 5 (gegeen: 1 = 54 ): Ergenis: = 54, 1 = 7, = 108, = = 36 Gruppe 6 (gegeen: 1 = 8 ): Ergenis: = 1 = 49, = 98, = = 41 eispiele vergleichen und Gemeinsmkeiten untersuchen individuelle Lösung er Winkel ist in jedem der sechs reiecke 90 groß. Für lle Werte 0 < < 90 ist 90 groß. Es fällt uf, dss jedes reieck, dessen Eckpunkt uf dem sogennnten Thleskreis üer (lso dem Kreis, der den Mittelpunkt M und den Rdius M ht) liegt, rechtwinklig ei ist (vgl. Lerneinheit 4). Zum Weiterdenken Es gilt = 180 und + + = 180 (Winkelsumme im reieck). her gilt = 360, lso = lso gilt = = 180 : 1 + = 90. & & & 1 Seite 45 δ 1 M δ reiecke sortieren Peter: denn diese reiecke stimmen jeweils in llen drei Winkelgrößen und Seitenlängen üerein. Weitere reieckspre, für die dies zutrifft, sind: (5) und (10) (3) und (6) (15) und (19) (8) und (16) (1) und (4) (9) und (11) L II reiecksgeometrie

2 Schüleruchseiten Luise: weil diese lle stumpfwinklig sind. Weitere mögliche Einteilungen wären: rechtwinklig: (1), (4), (5), (10), (15) und (19) spitzwinklig: (3), (6), (8), (9), (11), (16), (17) und (18) gleichseitig: (3), (6) und (17) gleichschenklig, er nicht gleichseitig: (1), (4), (5), (8), (9), (10), (11), (16) und (18) Sin: weil (), (7), (1), und (0) in llen drei Winkelgrößen üereinstimmen, uch wenn die Seitenlängen verschieden sind. Weitere reiecksgruppen, für die dies zutrifft: (1), (4), (5), und (10) (3), (6), und (17) (8) und (16) (9), (11) und (18) (13) und (14) (15) und (19) 1 Geometrische Grundkonstruktionen Seite 46 Einstiegsufge individuelle Lösung, zum eispiel: Zum Zeichnen von Kreisen knn die Schnur verwendet werden: Ein Ende wird m Mittelpunkt des Kreises fixiert und mit dem nderen Ende läuft mn einen Kreis, woei ds Seil unter ständiger Spnnung steht. Zum Zeichnen von Linien und Verinden von Punkten mithilfe der Kreide knn mn ds rett verwenden. Für eine Windrose wie uf dem Foto im Schüleruch werden noch weitere geometrische Grundkonstruktionen enötigt, die mn mit nur einem Zirkel (Schnur), einem Linel (rett) und einem Stift (Kreide) usführen knn, zum eispiel die Konstruktion einer Mittelsenkrechten zu einer Strecke oder die Konstruktion der Winkelhlierenden zu einem Winkel (siehe Schüleruchseiten 46 und 47). Seite 48 1 ) Mn konstruiert die Mittelsenkrechte der 11,7 cm lngen Strecke. Ihr Schnittpunkt M mit der Strecke teilt diese in zwei gleich lnge Teilstrecken M und M. ) ie 17 cm lnge Strecke wird zunächst mithilfe der Mittelsenkrechten in zwei gleich lnge Teilstrecken M und M geteilt. nn konstruiert mn für die Teil strecken M und M nochmls die zugehörigen Mittelsenkrechten. Ihre Schnittpunkte mit der Strecke teilen zusmmen mit M die Strecke in vier gleich lnge Teilstrecken. ) Mn wählt zunächst zwei Punkte und uf der Gerden g. nn zeichnet mn die Mittelsenkrechte zu mithilfe zweier Kreise. m den Schnittpunkt M der Mittelsenkrechten mit der Gerden g zeichnet mn einen Kreis mit Rdius cm. Seine Schnittpunkte P und Q mit der Mittelsenkrechten hen zu g den stnd cm. Nun knn mn wie in der Konstruktionseschreiung uf Schüleruchseite 46 je eine Prllele zu g durch P und Q ziehen. P cm ) Mn zeichnet zwei Kreise mit Rdius r = 4 cm um die Punkte und. Ihre Schnittpunkte M 1 und M sind dnn jeweils genu 4 cm von und entfernt. eshl liegen die Punkte und uf den Kreisen um M 1 und M mit dem gleichen Rdius 4 cm. 4 cm 4 cm M 6 cm 4 cm M 1 M Q 4 cm 3 ) Mn zeichnet einen Kreis um den Scheitel S des 57 -Winkels, der die Schenkel in den Punkten und schneidet. Zeichnet mn um einen Kreis mit dem Rdius, so schneidet dieser Kreis den ersten Kreis noch in. Weil die Punkte und nun Symmetrieprtner zur Gerden durch S und sind, sind die Winkel ¼ S und ¼ S gleich groß. eshl gilt ¼ S = 114. g II reiecksgeometrie L 3

3 Schüleruchseiten cm 3 cm E F S ) ie Schnittpunkte der eiden Kreise hen von den stnd 4 cm und von den stnd 3 cm. ) ie eiden Schnittpunkte hen etw den stnd 3,6 cm (Messwert). c) Mit der eschriftung in der Zeichnung gilt: = 7 cm; E = 8 cm; F = 13 cm; E = 1 cm; F = 6 cm; EF = 5 cm. d) er größte stnd zweier Punkte uf den Kreisen ergit sich für und F mit 13 cm. Seite 49 ) Mn hliert den 110 -Winkel und erhält zwei Winkel von je 55. Einer dieser Winkel wird wiederum hliert. c) ohne Zeichnung Mn zeichnet z.. eine Strecke und dzu die Mittelsenkrechte mit zugehörigem Schnittpunkt M. mit ht mn ei M einen rechten Winkel konstruiert. ieser wird dnn nochmls hliert, um einen Winkel von 45 zu erhlten. d) eispiele für Winkelgrößen: 135 -Winkel: 135 = Mn konstruiert wie in Teilufge c) einen 45 -Winkel und verlängert einen der eiden Schenkel üer den Scheitelpunkt hinus. er Neenwinkel zum 45 -Winkel ht dnn eine Größe von 135.,5 -Winkel: Einen solchen Winkel erhält mn durch Konstruktion der Winkelhlierenden eines 45 -Winkels. 67,5 -Winkel: Mn konstruiert wie oen geschildert einen Winkel der Größe,5. er Winkel, der den,5 -Winkel zu einem 90 -Winkel ergänzt, ist 67,5 groß. 60 -Winkel Mn konstruiert ein gleichseitiges reieck. Jeder der drei Innenwinkel ist 60 groß. 30 -Winkel Mn konstruiert die Winkelhlierende eines 60 - Winkels. 15 -Winkel: Mn konstruiert die Winkelhlierende eines 30 - Winkels. 10 -Winkel: us einem Winkel der Größe 60 knn mn wie in Teilufge ) geschildert einen 10 -Winkel konstruieren. us den oigen eispielen wird klr, dss uf sis des 90 - zw. 60 -Winkels noch viele weitere Winkelgrößen konstruiert werden können. 5 Zum reieck konstruiert mn die Mittelsenkrechten der drei Seiten und erhält die Mittelpunkte der Seiten. nn verindet mn jeden Eckpunkt des reiecks mit dem Mittelpunkt der gegenüerliegenden Seite. Winkelmessungen ergeen, dss diese Strecken keine Winkelhlierenden sind. y M c = 7 M = M = 108 x L 4 II reiecksgeometrie

4 Schüleruchseiten ) 4 3 F y 3 cm cm E x 10 ) E 4 cm M M 5 cm m M 4 cm 5 m M 6 7 m ie gesuchten Punkte E und F ergeen sich us den Schnittpunkten der Mittelsenkrechten m der Strecke mit den eiden Prllelen zur Gerden durch und im stnd 3 cm. Es gilt in etw: E (,6 3,6 ), F ( 0,7 3 ). ) y g H G E h ie Punkte E, F, G und H ergeen sich ls Schnittpunkte der Winkelhlierenden g und h im Schnittpunkt S der Gerden und mit dem Kreis um S mit Rdius 3 cm. Es gilt in etw: E ( 9 3,6 ), F ( 10,7 1,3 ), G ( 8,5 0,4 ) und H ( 6,8 1,9 ). 7 ) Wenn mn ds ltt mit der Strecke so fltet, dss der Punkt mit dem Punkt zusmmenfällt, dnn ist die Fltlinie die Mittelsenkrechte der Strecke, weil und dnn punktsymmetrisch zu ihr sind. ) m eine Prllele zu einer Gerden g zu flten, fltet mn zunächst wie in ) eschrieen eine Senkrechte h zu g (dzu knn mn uf g zwei elieige Punkte verwenden). Fltet mn nun zu h wieder eine elieige Senkrechte i, so ist diese prllel zu g, d g und i jeweils senkrecht zu h sind. ie Mittelprllele zu zwei zueinnder prllelen Gerden erhält mn, indem mn so fltet, dss die eiden Gerden ufeinnderliegen. Mn erhält die Winkelhlierende eines Winkels, indem mn so fltet, dss die eiden Schenkel ufeinnderliegen. k F x Zur Strecke = 5 cm zeichnet mn zunächst die Mittelsenkrechte. nn zeichnet mn um (oder ) einen Kreis mit Rdius 4 cm. Ein Schnittpunkt mit der Mittelsenkrechten wird mit M eschriftet. er Kreis um M mit Rdius 4 cm verläuft nun durch und. ie eiden Schnittpunkte und E der Kreise hen den gleichen stnd von M und. (Mn knn E und uch ls Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Strecke M und des Kreises um M oder erhlten.) ) h S w 40 R Q w 1 P SP = 5 cm Mn muss die Schnittpunkte der Mittelsenkrechten der Strecke SP mit den Winkelhlierenden der Winkel im Schnittpunkt S der eiden Gerden estimmen. Lösung: ie Punkte Q und R. Seite Irm ht recht. Wenn sie die Mittelsenkrechten der Strecke und zeichnet, dnn schneiden sich diese in einem Punkt M, der den gleichen stnd zu, und ht. Es git lso einen Kreis mit Mittelpunkt M, der durch, und geht. ieser Kreis geht uch durch, d j uf dem Kreis lg, der durch, und ging. Peter ht uch recht, denn Irm enötigt zum Finden des Mittelpunktes j nur die Punkte, und. g II reiecksgeometrie L 5

5 Schüleruchseite 50 1 c) ie ussge ist whr. Mn misst L ist etw hl so groß wie die Rechteckseite. (ies gilt nicht für lle Rechtecke.) M w eide Ideen lösen ds Prolem. In der oigen Skizze ist die Winkelhlierende n der Spitze des Pizzstücks uch die Mittelsenkrechte der Strecke, d ds reieck gleichschenklig ist. M L = 6 cm 13 Mßst 1 : (verkleinert drgestellt) = 10 cm,4 cm Petr 3 cm Pul 5 cm 4 cm Peter us den ngen ergit sich die oige Zeichnung. s Lot von Petr uf die Huptstrße g misst,4 cm. Somit wohnt Petr 40 m von der Hupt strße entfernt. 14 ) Mit einem festen Seil und einem Zollstock knn mn Strecken mit einer gewünschten Länge spnnen und Kreise zeichnen. Nch dem Entwurf in der Figur im Schüleruch wird zuerst ein rechtwinkliges reieck mit den Seiten 8 m und 6 m gezeichnet (um einen rechten Winkel zu erhlten, knn mn eispielsweise eine elieige Strecke mit ihrer Mittelsenkrechten ls Hilfslinien konstruieren). nn wird die Winkelhlierende des rechten Winkels in der Schulhofecke konstruiert. nch wird die Mittelsenkrechte der 8 m lngen Strecke konstruiert. In ihrem Schnittpunkt mit der reiecksseite, die quer im Hof verläuft, wird ein Hlkreis gezeichnet, dessen Rdius hl so groß ist wie die Länge der Querstrecke. Es wird die Prllele zur längsten reiecksseite durch den Mittelpunkt der 8 m lngen Seite gezeichnet. lle Strecken werden dnn so hervorgehoen, dss die gewünschte Figur entsteht. nn können die Flächen frig gestltet werden. ) individuelle Lösung 15 Zeichnung zu ) is c): In ist eine Winkelhlierende konstruiert. Von ist ds Lot L uf die igonle konstruiert. ) Es genügt, eine Winkelhlierende zu zeichnen, d ds Rechteck punktsymmetrisch ist. ie ussge ist flsch: ie Winkelhlierende liegt nicht uf der igonlen. ) ie ussge ist flsch. s Lot von uf die igonle ht den Lotfußpunkt L. ieser stimmt nicht mit dem Schnittpunkt M der igonlen üerein. g Zustzfrge uf der Mrginlie: Wenn ds Rechteck ein Qudrt ist, ist us Symmetriegründen eine igonle gleichzeitig uch eine Winkelhlierende. eshl sind die ussgen us ) und ) richtig. ie ussge us c) ist flsch. Insesondere ist L = M. s Lot von einem Eckpunkt uf eine igonle ist deshl ei Qudrten hl so groß wie eine igonle. 16 ) lle Punkte des Qudrts, die vom igonlenschnittpunkt den stnd 6 cm hen, liegen uf dem Kreis um den Schnittpunkt der igonlen mit dem Rdius 6 cm. Es git insgesmt cht Punkte E 1 is E 8 mit dieser Eigenschft. Wegen der Symmetrie des Qudrts ht jeder Punkt der Lösung von den igonlen den stnd 1, cm zw. 5,9 cm. E E 3 E 1 E 8 1, cm E 4 = 10 cm 6 cm 5,9 cm E 5 E 7 E 6 L 6 II reiecksgeometrie

6 Schüleruchseiten ) ie gesuchten Punkte liegen sowohl uf einem Kreis um den Schnittpunkt der igonlen mit Rdius 4 cm ls uch uf den Prllelen zu den Seiten des Qudrts im stnd 4 cm. ei git es cht Schnittpunkte E 1 is E 8. E 7 E 6 4 cm E 5 E 4 4 cm 3. Möglichkeit: er Rdius des Kreises eträgt,5 cm. ie Punkte E 1 is E 4 ergeen sich us den Schnittpunkten des Kreises mit den Mittelsenkrechten der Seiten. er Punkt E 3 ht eispielsweise von den stnd 5 cm, ws dem doppelten Rdius entspricht. 5 cm 10 cm E 5 cm E cm E 3 E 3,5 cm E 1 E 1 E 8 E 3 E 4 E 1 E cm 4 cm c) Es git viele Möglichkeiten, diese ufge zu lösen, zum eispiel: 1. Möglichkeit: er Rdius wird ls ein rittel von 5 cm gewählt, lso r = 1, 6 cm. ie Punkte E 1 is E 4 ergeen sich ls Schnittpunkte des Kreises mit den Mittelsenkrechten der Seiten. nn ist eispielsweise der stnd von E 3 zur Seite doppelt so groß wie der Rdius. m die Strecke MF zu dritteln, muss mn nicht unedingt messen. Mn knn eine Strecke uch nur mit Zirkel und Linel dritteln. zu zeichnet mn eine Hilfsgerde g durch F, n der mn von F us drei gleich lnge schnitte mit dem Zirkel trägt (mn erhält die Punkte G, G und G ). Nun verindet mn M und G und konstruiert die Prllelen zu MG durch G und G. er Schnittpunkt der Prllelen durch G mit FM ist E 3. Er teilt die Strecke FM im Verhältnis : 1. g F G 3,3 cm G G E E 3 M E 1 1,6 cm E 4 Es git noch viele weitere Möglichkeiten, die llerdings schwieriger zu konstruieren sind. 17 ) ie Vermutung von lex ist flsch. Mn muss dzu nur ein reieck so zeichnen, dss der Schverhlt klr zu sehen ist. ies ist z.. im folgenden reieck der Fll. w M ) eispiel: In einem Qudrt geht die Winkelhlierende in einem Eckpunkt durch den gegenüerliegenden Eckpunkt. egründung: ein Qudrt symmetrisch zur igonlen ist, ist eine igonle im Qudrt uch die Winkelhlierende für die Winkel in den zugehörigen Eckpunkten. Seite ) Schule 4 Schule 3 E 4. Möglichkeit: er Rdius des Kreises eträgt 5 cm. ie Schnittpunkte des Kreises mit den Mittelsenkrechten der Seiten sind die Punkte E 1 is E 4. er Punkt E ht eispielsweise von den stnd 10 cm, ws dem doppelten Rdius entspricht. Schule 1 Schule Für die Grenzen der Schuleinzugsgeiete wurden die Mittelsenkrechten der Verindungsstrecken der Schulorte verwendet. s Schul einzugsgeiet innerhl der roten Grenze esteht us llen Orten, die den kürzesten Weg zu Schule 1 hen. lle Schulwege zu nderen Schulen sind länger. II reiecksgeometrie L 7

7 Schüleruchseite 51 ) m E m E E m m E m P M Q g m m c) individuelle Lösung m 19 ) Es git einen solchen Kreis: Mn konstruiert den Schnittpunkt M der Mittelsenkrechten der Strecke PQ mit der Gerden g. er Kreis um M durch P verläuft dnn uch durch Q, weil M uf der Mittelsenkrechten von PQ liegt. ie Punkte P und Q sind lso gleich weit von M entfernt. usnhme: Wenn PQ senkrecht zu g verläuft, dnn ist m PQ prllel zu g und ht mit g keinen Schnittpunkt. In diesem Fll git es uch keinen Kreis mit der gewünschten Eigenschft. P M m PQ Q ) ie eiden folgenden ildungen zeigen, dss die Konstruktion us ) uch dnn funktioniert, wenn P uf g liegt oder P und Q uf g liegen ( mit der gleichen usnhme wie ei ) ). P M Q m PQ g g m PQ 0 Elementre Lösungsvorschläge (Je nch Progrmm und ereitgestellter Mkros sind unterschiedliche Konstruktionen möglich.) ) Konstruktionseschreiung: 1. Zeichne eine Strecke. (Zum menennen von Punkten stellen viele Progrmme eine Möglichkeit zur Verfügung, die mn etw durch einen Rechtsklick uf die Punkte uswählen knn.). Zeichne um und jeweils einen Kreis mit dem gleichen Rdius so, dss sich die Kreise in zwei Punkten und schneiden. 3. Zeichne die Gerde m =. ie Gerde m ist die Mittelsenkrechte der Strecke. ) Konstruktionseschreiung: 1. Zeichne eine Hlgerde g = mit Endpunkt.. Trge im Punkt n g den Winkel = 37 n. 3. Zeichne um einen Kreis, der die Schenkel des Winkels in den Punkten und schneidet. 4. Konstruiere entsprechend Teilufge ) die Mittelsenkrechte m der Strecke. ie Gerde m ist die Winkelhlierende des Winkels. c) Konstruktionseschreiung: Teil 1: Prllele Gerden g und h im stnd 3 cm 1. Zeichne zwei Punkte und und eine Gerde g =.. Zeichne um und je einen Kreis mit Rdius 3 cm. eschrifte die Schnittpunkte der Kreise mit g mit S 1, S zw. S 3, S Konstruiere die Mittelsenkrechten m 1 und m der Strecken S 1 S und S 3 S 4. eschrifte die oeren Schnittpunkte der Mittelsenkrechten mit den Kreisen mit und. ie Gerde h = ist prllel zu g und ht von g den stnd 3 cm. Teil : Mittelprllele zu g und h Konstruiere die Mittelsenkrechte m der Strecke entsprechend Teilufge ). ie Gerde m ist die gesuchte Mittelprllele zu g und h. 1 Lösungsidee (ohne Zeichnung): ) Konstruiere die Mittelsenkrechten der reiecksseiten. Ihre Schnittpunkte mit den jeweiligen Seiten des reiecks sind die Seitenmitten, E und F. ie reiecke EF und stimmen in llen drei Winkeln üerein. Zudem sind die Seitenlängen des reiecks EF hl so lng wie die entsprechenden des reiecks. Mn nennt ds reieck EF ds Mittendreieck von. Es fällt uf, dss mn ds reieck so in vier Teile zerlegen knn, dss vierml ds reieck EF entsteht. L 8 II reiecksgeometrie

8 Schüleruchseiten ) Konstruiere mithilfe der Mittelsenkrechten den Mittelpunkt M der Strecke. Konstruiere dnn mithilfe der Mittelsenkrechten der Strecken M und M den Mittelpunkt P von M und den Mittelpunkt Q von M. ie Teilstrecken P, PM, MQ und Q sind gleich lng. ) und ) Telle: individuelle Lösung Zwei Kreise hen genu einen gemeinsmen Schnittpunkt, wenn entweder die Summe ihrer Rdien genuso groß ist wie der stnd ihrer Mittelpunkte (lso P + Q = ) oder die ifferenz ihrer Rdien so groß ist wie der stnd ihrer Mittelpunkte ( P Q = ). Zwei Kreise hen zwei Schnittpunkte, wenn sowohl die Summe ihrer Rdien größer ist ls der stnd ihrer Mittelpunkte ls uch die ifferenz ihrer Rdien kleiner ist ls der stnd ihrer Mittelpunkte. In llen nderen Fällen git es keine Schnittpunkte. 3 Lösungsidee (ohne Zeichnung): Zeichne im Kreis zwei Sehnen und. Konstruiere die Mittelsenkrechten m zu und m zu. er Schnittpunkt M von m und m ist der Mittelpunkt des Kreises. Mittelsenkrechte, Winkel- und Seitenhlierende im reieck Seite 5 Einstiegsufge Wenn Hns zwei älle wirft, dnn ht der von ll geworfene ll den gleichen stnd von Hns ällen, wenn der Mittelpunkt von lls ll uf der Mittelsenkrechten der Strecke liegt, die die Mittelpunkte von Hns ällen verindet. Wirft Hns llerdings drei älle, so git es drei Strecken, die je zwei llmittelpunkte miteinnder verinden. ll müsste lso den Schnittpunkt der drei zugehörigen Mittelsenkrechten estimmen. (für reicht es llerdings, den Schnittpunkt von zwei zu estimmen.) ieser hätte den gleichen stnd von llen drei ällen von Hns. Will Hns lso gewinnen, so sollte er drei älle werfen, denn ddurch wird die ufge für ll viel schwieriger. () er mkreismittelpunkt liegt uf der Winkelhlierenden des Winkels und ist ußerhl des reiecks. 6 cm (3) er mkreismittelpunkt ist der Mittelpunkt der Seite. 6 cm 6 cm (4) er mkreismittelpunkt liegt uf dem Schnittpunkt der Winkelhlierenden, der in einem gleichseitigen reieck dem Schnittpunkt der Mittelsenkrechten und dem Schnittpunkt der Seitenhlierenden entspricht. 6 cm 6 cm 6 cm ) Konstruktionseschreiung: 1. Zeichne den Kreis k mit Mittelpunkt und Rdius R = 4 cm.. Wähle uf k einen Punkt. 3. Zeichne um einen Kreis mit dem Rdius = 3 cm. ezeichne einen der Schnittpunkte dieses Kreises mit k mit. 4. Zeichne um einen Kreis mit dem Rdius = 5 cm. ezeichne die Schnittpunkt dieses Kreises mit k mit 1 und. Es git zwei Lösungsdreiecke 1 und. Seite 53 1 ) und ) (1) er mkreismittelpunkt ist der Mittelpunkt der Strecke cm R k II reiecksgeometrie L 9

9 Schüleruchseiten ) Konstruktionseschreiung: 1. Zeichne den Kreis k mit Mittelpunkt und Rdius R = 6 cm.. Wähle uf k einen Punkt. 3. Zeichne um einen Kreis mit dem Rdius c = 8 cm. ezeichne einen der Schnittpunkte dieses Kreises mit k mit. 4. Trge in n c den Winkel = 50 n. 5. er Schnittpunkt des freien Schenkels von mit k ist der Punkt. Es git nur ein Lösungsdreieck. 1 R 1 k 1 R c d) Konstruktionseschreiung: 1. Zeichne einen Strhl mit nfngspunkt.. Trge in n den Strhl den Winkel = 50 n. 3. Zeichne die Winkelhlierende w. 4. Zeichne um einen Kreis mit dem Rdius R = 4,5 cm. 5. ieser Kreis schneidet w im Punkt. 6. Zeichne um den Kreis k durch, lso mit dem Rdius R = 4,5 cm. 7. k schneidet die Schenkel von in und. Es git nur ein Lösungsdreieck. R c) Konstruktionseschreiung: 1. Zeichne den Kreis k mit Mittelpunkt und Rdius R = 5 cm.. Wähle uf k einen Punkt. 3. Zeichne um einen Kreis mit dem Rdius = 5 cm. ezeichne die Schnittpunkte dieses Kreises mit k mit 1 und. 4. Zeichne die Mittelsenkrechten m und m der 1 Strecken 1 und. 5. Einer der Schnittpunkte von m 1 mit k wird mit 1 ezeichnet, einer der Schnittpunkte von m mit k mit. chte druf, dss der mluf von, 1 und 1 sowie, und jeweils gegen den hrzeigersinn verläuft. Es git zwei Lösungsdreiecke 1 1 und. Seite 54 R 3 ) (ohne Zeichnungen) Zeichne zuerst ds reieck us den gegeenen Größen. estimme dnn den Inkreismittelpunkt I ls Schnittpunkt zweier Winkelhlierender. er Rdius des Inkreises wird durch ds Lot von l uf eine reiecksseite estimmt. ) esonderheiten: In () und (3) liegt der Inkreismittelpunkt uf einer Mittelsenkrechten, weil gleichschenklige reiecke vorliegen. In (4) ist ds reieck gleichseitig. er Inkreismittelpunkt fällt mit dem mkreismittelpunkt und dem Schwerpunkt zusmmen. w k L 30 II reiecksgeometrie

10 = 3 cm = 4 cm Schüleruchseite 54 4 ) 5 ) = 7 cm s c = 5 cm M c M s c = 6,4 cm M c = 6,4 cm ) s c = 4,8 cm M = 5,9 cm s M c 60 s c 6 M 1. Zeichne die Seite mit = 7 cm.. Zeichne einen Kreis um mit dem Rdius r 1 = c = 3, cm. 3. Zeichne einen Kreis um mit dem Rdius r = s c = 5 cm. 4. iese eiden Kreise schneiden sich in M c. 5. Verlängere die Strecke M c üer M c hinus um c = 3, cm. er Endpunkt ist. 6. Verinde mit. ie zwei Kreise hen noch einen zweiten Schnittpunkt M c. rus ergit sich ds deckungsgleiche reieck (uchsten in flscher Reihenfolge), ws eine Spiegelung von n = drstellt. ) s s M = 5 cm c) d) 60 M M c 8 s c s c = 7 cm Mc = 4,5 cm = = 74 s M c s = 4,3 cm 1. Zeichne die Seite mit = 4 cm.. Zeichne einen Kreis um mit dem Rdius r 1 = =,5 cm. 3. Zeichne einen Kreis um mit dem Rdius r = s = 4,3 cm. 4. iese eiden Kreise schneiden sich in M. 5. Verlängere die Strecke M üer M hinus um =,5 cm. er Endpunkt ist. 6. Verinde mit. Ein zweiter Schnittpunkt der Kreise ist M rechts von. Es entsteht ein deckungsgleiches reieck, ws eine Spiegelung des reiecks n = drstellt. c) M = 5,8 cm s c M c M s s 74 3 M s = 3,4 cm c Zeichne die Seite mit = 3 cm.. Trge ei n den Winkel mit = 70 n. 3. Zeichne einen Kreis um mit dem Rdius r = s = 3,4 cm. 4. er Kreis schneidet den freien Schenkel von in M. 5. Verlängere die Strecke M üer M hinus um M. er Endpunkt ist. II reiecksgeometrie L 31

11 Schüleruchseite Verinde mit. ie Konstruktion ist eindeutig. d) 1 Pul knn drei Punkte des Inkreises durch Strecken verinden. Pul ht es einfcher. 11 ) M 1 M 61 s s 1 c = 6,6 cm 1. Zeichne die Seite c mit c = 6,6 cm.. Trge in n c den Winkel mit = 61 n. 3. Zeichne einen Kreis um mit dem Rdius r = s = 5,8 cm. 4. er Kreis schneidet den freien Schenkel von in M 1 und M. 5. Verlängere die Strecke M 1 üer M 1 hinus um M 1 zw. die Strecke M üer M hinus um M. er Endpunkt ist 1 zw.. 6. Verinde mit 1 zw.. ie Konstruktion ist offenr nicht eindeutig. 6 Für die ereitung dieser ufge mit einer GS empfiehlt es sich, zunächst ein reieck zu zeichnen und dnn die esonderen Linien zu konstruieren. Färt mn sie unterschiedlich ein, knn mn sie esser voneinnder unterscheiden. Nun wählt mn ds Werkzeug zum ewegen, klickt einen der Punkte, oder n und ewegt diesen. Wenn die esonderen Linien richtig konstruiert wurden, ewegen sie sich nun mit. Mn knn jetzt usproieren, unter welchen edingungen die Mittelsenkrechten, Winkelhlierenden und Seitenhlierenden üereinstimmen. Mn erhält folgendes Ergenis: Wenn für eine Seite zwei esondere Linien üereinstimmen (z.. w = m ), stimmt die dritte esondere Linie utomtisch uch mit ihnen üerein (lso z.. s = w = m ). Ist dies der Fll, ist ds reieck gleichschenklig (im eispiel gilt = c). Stimmen in einem reieck lle neun esonderen Linien üerein, ist es gleichseitig. Es git kein reieck, in dem nur sechs esondere Linien üereinstimmen. 7 Peter konstruiert den mkreis des reiecks, verindet die Eckpunkte, und mit dem mkreismittelpunkt und knn dnn mithilfe der zugehörigen Rdien die Tngenten n den Kreis n den Punkten, und zeichnen, indem die zu, und senkrechten Gerden durch, und gezeichnet werden. ie Schnittpunkte der Tngenten ergeen ds reieck EF. Peter muss er druf chten, dss die drei Punkte so verteilt sind, dss nicht lle Punkte uf dem ogen eines Hlkreises liegen. 48 w = 6,3 cm c = 5,8 cm 1. Zeichne die Seite c mit c = 5,8 cm.. Trge in n c den Winkel mit = 48 n. 3. Konstruiere w mit w = 6,3 cm. er Endpunkt von w sei. 4. er Schnittpunkt des zweiten Schenkels von und der Gerden ist. 5. Konstruiere w. 6. er Schnittpunkt von w und w ist der Inkreismittelpunkt I des reiecks. 7. Konstruiere ds Lot von I uf eine der reiecksseiten, um den Rdius r des Inkreises zu estimmen. ) = 5,5 cm I I w 113 c w =,7 cm 1. Zeichne die Seite mit = 5,5 cm.. Trge in n den Winkel mit = 113 n. 3. Konstruiere w mit w =,7 cm. er Endpunkt von w sei. 4. er Schnittpunkt des zweiten Schenkels von und der Gerden ist. 5. Konstruiere w. 6. er Schnittpunkt von w und w ist der Inkreismittelpunkt I des reiecks. 7. Konstruiere ds Lot von I uf eine der reiecksseiten, um den Rdius r des Inkreises zu estimmen. L 3 II reiecksgeometrie

12 Schüleruchseiten c) 60 w I w = 4,6 cm c = 4,8 cm 1. Zeichne die Seite c mit c = 4,8 cm.. Trge in n c den Winkel mit = 60 n. 3. Konstruiere w mit w = 4,6 cm. er Endpunkt von w ist. 4. er Schnittpunkt des zweiten Schenkels von und der Gerden ist. 5. Konstruiere w. 6. er Schnittpunkt von w und w ist der Inkreismittelpunkt I des reiecks. 7. Konstruiere ds Lot von I uf eine der reiecksseiten, um den Rdius r des Inkreises zu estimmen. d) 65 w I c w = 6, cm 1. Zeichne w mit w = 6, cm. ezeichne die Endpunkte mit und.. Trge in n w eidseitig den Winkel = 0 n. 3. Trge n einem der eiden freien Schenkel den Winkel mit = 65 durch n. 4. er Schnittpunkt der eiden Schenkel ist. 5. er Schnittpunkt des. Schenkels in und der Gerden durch und ist. 6. Konstruiere w. 7. er Schnittpunkt von w und w ist der Inkreismittelpunkt I des reiecks. 8. Konstruiere ds Lot von I uf eine der reiecksseiten, um den Rdius r des Inkreises zu estimmen. 1 Es wird ds reieck EF und sein mkreis (mit Mittelpunkt ) konstruiert. Mithilfe der Rdien, E und F werden die Tngenten senkrecht zu den Rdien durch die Punkte, E und F gezeichnet. ie Schnittpunkte der Tngenten ergeen ds gesuchte reieck F y E Wenn mn die Figur us Pppe usschneidet, knn mn die Figur n einer Ecke ufhängen. Ein Lot, ds mn eenflls n dieser Ecke nringt, verläuft dnn genu entlng einer Schwerelinie. er Schnittpunkt zweier Schwerelinien ist uch hier der Schwerpunkt. 14 Jons ht recht. eim gleichseitigen reieck stimmen die Winkel- und Seitenhlierenden üerein. Seite s mittlere reieck leit stehen. Wenn der Fußpunkt des Lotes durch den Schwerpunkt uf der Stndseite ußerhl des reiecks liegt, dnn kippt es um. 16 Es wird der Zusmmenhng zwischen den Mittelsenkrechten und dem mkreis eines reiecks erreitet (vgl. Schüleruch S. 5). ) ie stände von zu jedem der eiden nderen Eckpunkte müssen genuso groß sein wie der stnd von zu. ) uf der Mittelsenkrechten der Strecke liegen lle Punkte, die den gleichen stnd zu und hen. uch uf der Mittelsenkrechten der Strecke liegt, ht zu eenflls den gleichen stnd wie zu und. c) ie fehlende Mittelsenkrechte m muss eenflls durch den Schnittpunkt gehen. d) Er geht durch lle drei Eckpunkte des reiecks. e) individuelle Lösung 17 ) individuelle Lösung Form und Größe des reiecks sind zunächst egl, d mn die Eckpunkte später elieig verschieen knn. x II reiecksgeometrie L 33

13 Schüleruchseite 55 ) Es können eispielsweise folgende eochtungen gemcht werden: er mkreismittelpunkt liegt genu dnn ußerhl des reiecks, wenn ds reieck einen stumpfen Winkel esitzt. Ht ds reieck einen rechten Winkel, liegt der mkreismittelpunkt uf dem Mittelpunkt der gegenüerliegenden reiecksseite. Erklärung: er mkreismittelpunkt liegt innerhl des reiecks, wenn lle Winkel, und (vgl. Zeichnung) kleiner ls 180 sind. Ist einer dieser Winkel genu 180 groß, liegt uf einer der reiecksseiten, und zwr uf ihrem Mittelpunkt, d er zusätzlich uf jeder Mittelsenkrechten liegen muss. liegt ußerhl des reiecks, wenn einer der Winkel, und größer ls 180 ist. Im Folgenden wird gezeigt, dss der Winkel genu dnn kleiner ls 180 ist, wenn der Winkel ¼ spitz (lso kleiner ls 90 ) ist, dss der Winkel genu dnn 180 groß ist, wenn der Winkel ¼ ein rechter Winkel (lso 90 groß) ist und dss der Winkel genu dnn größer ls 180 ist, wenn der Winkel ¼ stumpf (lso größer ls 90 ) ist. die reiecke,, und jeweils gleichschenklig sind, hen sie uch gleich große siswinkel, die in der Zeichnung durch gleiche ezeichnungen (, und ) gekennzeichnet sind. Ist ds reieck spitzwinklig, gilt: = 360 = 360 (180 ) (180 ) = + = ¼ < 180. & Winkelsumme im reieck & Winkelsumme im reieck r r ρ Für und verläuft die egründung nlog. er mkreismittelpunkt stimmt ei einem gleichseitigen reieck mit dem Inkreismittelpunkt I und dem Schwerpunkt S üerein. Erklärung: Im gleichseitigen reieck sind die Mittelsenkrechten gleichzeitig uch die Seiten- und Winkelhlierenden. 18 ) individuelle Lösung ) (1) s reieck ist gleichschenklig. () s reieck ist gleichschenklig. (3) s reieck ist gleichseitig. (4) er Mittelpunkt des mkreises liegt innerhl des reiecks: spitzwinkliges reieck. er Mittelpunkt des mkreises liegt uf einer Seite des reiecks: rechtwinkliges reieck. er Mittelpunkt des mkreises liegt u erhl des reiecks: stumpfwinkliges reieck. 19 Idee: ie usgngsfiguren sind Rechtecke und reiecke mit gegeenen messungen. lle vorkommenden Kreise sind Inkreise von Teildrei ecken in der jeweiligen usgngsfigur. In Fig. 4 und Fig. 5 sieht mn nicht uf den ersten lick, von welchen Teildreiecken die Inkreise konstruiert werden müssen. Fig. 4: ie Inkreise der Teildreiecke,, und müssen konstruiert werden. Fig. 5: ie Inkreise der Teildreiecke, E und FG müssen konstruiert werden. δ ε r r F G r ρ δ ε r E In einem rechtwinkligen reieck (¼ = 90 ) ergit sich mit den gleichen ezeichnungen wie im stumpfwinkligen reieck: = ( + ) = ¼ = 180. In einem stumpfwinkligen reieck gilt: = 360 = 360 (180 (180 Winkel-& Winkel-& summe im reieck summe im reieck = ( + ) + > 180 & > 180 L 34 II reiecksgeometrie

14 Schüleruchseiten Seite 56 0 (1) Stimmt llgemein nicht, ist jedoch für gleichseitige reiecke richtig. () Stimmt nicht. (3) Stimmt nicht. (4) Stimmt. (5) Stimmt nicht. Mn zeichne hierzu ein stumpfwinkliges reieck, dessen stumpfer Winkel fst 180 eträgt. 1 ) er Punkt M ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. ) m den Eckpunkt uf dem Kreis zu ewegen, stellen einige GS Mkros zur Verfügung, mit denen mn Punkte n ndere Ojekte nhängen knn. Mögliche Entdeckungen: Wenn ds reieck einen stumpfen Winkel ht, dnn liegt der mkreismittelpunkt u erhl des reiecks. Wenn ds reieck einen rechten Winkel ht, dnn ist der mkreismittelpunkt der Mittelpunkt der Gegenseite. Wenn ds reieck nur spitze Winkel ht, dnn liegt der mkreismittelpunkt innerhl des reiecks. ei gleichschenkligen reiecken liegt der mkreismittelpunkt uf der Winkelhlierenden des Winkels n der Spitze. ruckfehler im 1. ruck der 1. uflge: Es fehlt die Krte ie Strecken Y und YS sind gleich lng. Zudem muss die dritte Krte von links oen luten: nloge Üerlegungen zeigen, dss S dnn uch die Seitenhlierende F im Verhältnis : 1 teilt und dmit F uch durch den Punkt S verläuft. 1. Mn setzt vorus, dss S die Seitenhlierende im Verhältnis : 1 teilt, woei S doppelt so lng wie S ist.. X ist der Mittelpunkt der Strecke S. 3. ie Strecken X, XS und S sind gleich lng. 4. Y ist der Mittelpunkt der Strecke S. 5. ie Strecken Y und YS sind gleich lng. 6. XE ist die Mittelprllele im reieck S. 7. Y ist die Mittelprllele im reieck S. 8. XE und Y sind zueinnder prllel. 9. XY ist die Mittelprllele im reieck S. 10. E ist die Mittelprllele im reieck. 11. XY und E sind zueinnder prllel. 1. XYE ist ein Prllelogrmm. 13. In jedem Prllelogrmm hlieren sich die igonlen und sind gleich lng. 14. ie Strecken YS und SE sind gleich lng. 15. S teilt die Seitenhlierende E im Verhältnis : ie Seitenhlierenden und E schneiden sich im Punkt S 17. nloge Üerlegungen zeigen, dss S dnn uch die Seitenhlierende F im Verhältnis : 1 teilt und dmit F uch durch den Punkt S verläuft. 3 Höhen im reieck und Flächeninhlt eines reiecks Seite 57 Einstiegsufge ie reiecke 1, und 3 sehen zwr unterschiedlich us, hen er lle eine gemeinsme Seite und die gleiche Höhe h zu dieser Seite. Mn knn nchweisen, dss solche reiecke den gleichen Flächeninhlt hen. Seite 59 1 ) Spitzwinkliges reieck: er Schnittpunkt der Höhen liegt innerhl des reiecks. Stumpfwinkliges reieck: er Schnittpunkt der Höhen liegt ußerhl des reiecks. Rechtwinklinges reieck: er Schnittpunkt der Höhen liegt im Scheitelpunkt des rechten Winkels. ) zwei Höhen des rechtwinkligen reiecks fllen mit den Schenkeln des rechten Winkels zusmmen. estimmung der Schnittpunktkoordinten: individuelle Lösung Gilt eispielsweise h c = s c, so ist h c zw. s c eine Spiegelchse im reieck. Folglich gilt dnn =. Es hndelt sich lso um ein gleichschenkliges reieck. h c = s c M II reiecksgeometrie L 35

15 Schüleruchseite 59 3 ) h c = 4, cm = 5,6 cm c h c 65 = 4,5 cm 1. Zeichne die Seite c mit c = 4,5 cm.. Zeichne einen Kreis um mit dem Rdius r = = 4 cm. 3. Konstruiere eine Prllele zu c im stnd h c = 3,5 cm. 4. ie Prllele schneidet den Kreis in und. 5. Verinde und mit zw.. ) ) h = 1,5 cm c = 4, cm c = 4, cm h = 4 cm 5 = 3,8 cm 66 = 3,4 cm c) h = 4,0 cm h 1. Zeichne die Seite mit = 3,4 cm.. Zeichne einen Kreis um mit dem Rdius r = c = 4, cm. 3. Konstruiere eine Prllele zu im stnd h = 4 cm. 4. ie Prllele schneidet den Kreis in und. 5. Verinde zw. mit und. c) 35 d) h = c = 3 cm = 5 cm c = 7 cm = 4 cm = 5 cm h = 5 cm 40 = 4,4 cm h c = 4, cm 40 = 4,4 cm F 1. Zeichne die Höhe h c mit h c = 4, cm mit den Endpunkten F und. er Fußpunkt ist F.. Konstruiere in F eine Senkrechte zu h c. 3. Zeichne einen Kreis um mit dem Rdius r = = 4,4 cm. 4. er Kreis schneidet die Senkrechte in und. 5. Trge in n zw. den Winkel mit = 40 n. 6. er zweite Schenkel von schneidet die Senkrechte in zw.. h = c = 3 cm 4 ) h c = 3,5 cm = 4 cm = 4 cm c = 4,5 cm L 36 II reiecksgeometrie

16 Schüleruchseiten d) = 4,4 cm h c = 4, cm = 4,6 cm F 1. Zeichne die Höhe h c mit h c = 4, cm. er Fußpunkt ist F.. Konstruiere in F eine Senkrechte zu h c. 3. Zeichne einen Kreis um mit dem Rdius r 1 = = 4,4 cm. 4. er Kreis schneidet die Senkrechte in und. 5. Zeichne um einen weiteren Kreis mit dem Rdius r = = 4,6 cm. 6. er Kreis schneidet die Senkrechte in und, woei nur mit zw. und im mthemtisch positiven mlufsinn liegt. 7. ie reiecke und sind jeweils Lösungsdreiecke. e) 50 = 3,8 cm h c = 3,6 cm = 3,8 cm = 4,4 cm 1. Konstruiere zwei Prllelen im stnd h c = 3,6 cm. Lege uf einer der Prllelen fest und trge in n die Prllele den Winkel mit = 50 n. 3. er freie Schenkel von schneidet die ndere Prllele in. 4. Zeichne einen Kreis um mit dem Rdius r = = 3,8 cm. 5. er Kreis schneidet die erste Prllele in und. 6. ie reiecke und sind jeweils Lösungsdreiecke. f) = 3,8 cm h c = 3 cm = 3,8 cm 1. Konstruiere zwei Prllelen im stnd h c = 3 cm. Lege uf einer der Prllelen fest und trge in n die Prllele den Winkel mit = 8 n. 3. er freie Schenkel von schneidet die ndere Prllele in. 4. Zeichne einen Kreis um mit dem Rdius r = = 3,8 cm. 5. er Kreis schneidet die erste Prllele in und. 6. ie reiecke und sind jeweils Lösungsdreiecke. 8 5 ) 15,84 cm ) 98,9 cm c) 680 cm d) 69,7 cm 6 O G I y J : = 5 cm h = 3 cm = 7,5 cm EF: e = 3 cm h e = 4,5 cm = 6,75 cm GHI: i = 4 cm h i = 5 cm = 10 cm l 7 c h ) 3 cm 9 cm 8 cm 7,8 cm ) 1 dm 15 dm 9 dm 9 dm c) 1 m 0 m 30 m 13,417 m d) 8 dm 4 dm 1 m 3,8 dm h h c ),6 cm,95 cm 11,7 c m 0 cm ) 7, dm 1 dm 54 d m 36 dm c) 8,05 m 5,367 m 80,5 m 6 m d) 7,6 dm 3,04 dm 0,15 m dm Seite ) reieck = 105 cm, lso reite des Rechtecks: 0,75 cm ) reieck = 64,065 cm, lso Seitenlänge des Qudrts: c. 8 cm H L F K E x II reiecksgeometrie L 37

17 Schüleruchseiten Es gilt h = h = h c = 7,5 cm und = = = 60. h c = 7,5 cm 60 Konstruktionseschreiung: 1. Konstruiere zwei Prllelen im stnd von h c = 7,5 cm.. Lege uf einer der Prllelen den Punkt fest. Trge n dieser Prllelen den Winkel = 60 in n. 3. er freie Schenkel von schneidet die ndere Prllele in. 4. er Kreis mit Mittelpunkt und Rdius schneidet die erste Prllele in. 5. Verinde und mit. 1 er Schwerpunkt knn nicht ußerhl des reiecks liegen, denn die Seitenhlierenden sind die Verindungsstrecken von Seitenmitten und Eckpunkten des reiecks und liegen somit lle innerhl des reiecks. Gleiches gilt für ihren Schnittpunkt, den Schwerpunkt. 13 ) = 7,35 cm ) = 5 cm; = 30 cm c) = 8,55 cm ; h c Verdoppelt mn lle drei Seiten und verindet die neuen Eckpunkte zu einem großen reieck, so erhält mn ein reieck, dss den 7-fchen Flächeninhlt des unsprünglichen reiecks ht. egründung: Es wurde ereits gezeigt, dss die reiecke,, und jeweils den gleichen Flächeninhlt hen. m zu zeigen, dss uch ds reieck den gleichen Flächeninhlt ht (und mit nloger egründung uch die reiecke und ), etrchtet mn ds reieck. Zerlegt mn dieses in die Teildreiecke und, erhält mn zwei reiecke mit gleichem Flächeninhlt, denn = und h = h. nn gilt = = =. mit gilt = 7. m zu zeigen, dss sich eim Verdoppeln der Seite üer hinus die Höhe h verdoppelt, etrchtet mn den Flächeninhlt des reiecks : (1) = 1 h c = 1 h c = h c =. Es gilt ußerdem () = 1 h. Zudem gilt (3) = 1 h. Setzt mn () und (3) in (1) ein, erhält mn 1 h = 1 h, lso h = h. nlog erhält mn h = h und h c = h c. 14 ie eiden nderen Seiten sind 5 cm und 6 cm lng. 15 ) = 9 cm ; neu = 10 cm; h neu = 1,8 cm ) h neu = 1,5 cm; neu = 18 cm ; neu = 4 cm 16 ) c muss hliert werden. ) h muss durch 6 dividiert werden. 17 Huswnd = 34,77 m Es werden 5,795 ø Fre enötigt, mn muss lso 6 Eimer Fre kufen. 18 Verdoppeln der Seite üer hinus (reieck ): h c leit gleich, h verdoppelt sich, h verändert sich. sich c verdoppelt ht, verdoppelt sich uch der Flächeninhlt. Verdoppeln der Seite üer hinus (reieck ): h leit gleich, h c verdoppelt sich, h verändert sich. er Flächeninhlt verdoppelt sich. Verdoppeln der Seite üer hinus (reieck ): h leit gleich, h verdoppelt sich, h c verändert sich. er Flächeninhlt verdoppelt sich. Seite ) er symmetrische rchen knn entweder in zwei gleich große reiecke (oen/unten) zerlegt werden oder in zwei ungleiche gleichschenklige (rechts/links). Zum Rechnen ist die erste Möglichkeit geschickter. rchen = 1 e ( 1 f ) = 1 e f ) e = f ; e = 10 c m 3 cm L 38 II reiecksgeometrie

18 Schüleruchseiten Mßst 1 : 000 (1 cm š 0 m) h 100 m h 3 ) ie Seitenmitten, E, F, die Fußpunkte G, J, K der Höhen und die drei Mittelpunkte L, N, P der Höhenschnitte vom Höhenschnittpunkt H is zu den drei Eckpunkten liegen uf dem Kreis mit Mittelpunkt M und Rdius R, woei R der mkreisrdius ist. ieser Kreis heißt Feuerch-Kreis oder Neun-Punkte-Kreis. ) er Mittelpunkt M des Feuerch-Kreises liegt uf der Euler-Gerden. c) er Feuerch-Kreis schließt den Inkreis ein und erührt ihn n einem Punkt (Feuerch-Punkt). Zeichnung zu ) und ): m 1 M st: 1 : 600 (1 cm š 6 m) K P Euler-Gerde F H J E Leiter L M S N 30 m h h 8, m G 70 Fhrzeughöhe 3 m oden ie Leiter reicht etw is in eine Höhe von 31, m. Zeichnung zu c): K P ) F H J E M I h h c H s c S s m Euler- Gerde c m c ) In einem gleichschenkligen reieck stimmt die Euler- Gerde mit der zur sis gehörigen Mittelsenkrechten (zw. Höhe, Winkelhlierenden) üerein. eim gleichseitigen reieck fllen lle Punkte, H und S zu einem Punkt zusmmen; so knn mn nicht mehr von der Euler-Gerden sprechen. In einem rechtwinkligen reieck geht die Euler-Gerde durch die Spitze des rechten Winkels, d diese der Höhenschnittpunkt H ist. 4 Stz des Thles Seite 6 L S Einstiegsufge er Eckpunkt des rechten Winkels liegt stets uf der Kreislinie; die zwei Ndeln estimmen den urchmesser des Kreises. urch die lngsme rehung der Postkrte zwischen den zwei Ndeln wird eine Kreislinie eschrieen. G N II reiecksgeometrie L 39

19 Schüleruchseite 63 Seite 63 1 ) 1 3 = 5 cm 3 ) Konstruktionseschreiung mit Thleskreis: 1. Zeichne die Strecke c = der Länge 6 cm.. Zeichne den Thleskreis üer der Strecke. 3. Trge in n c den Winkel = 50 n. 4. eschrifte den Schnittpunkt des freien Schenkels von mit dem Thleskreis mit. Lösung: reieck M Vorgehen (in der ufge nicht explizit gefrgt): Mn zeichnet die Strecke = 5 cm, konstruiert den Mittelpunkt M dieser Strecke und zeichnet den Thleskreis üer. lle reiecke, ei denen der Punkt uf dem Thleskreis liegt, hen ei einen rechten Winkel. ) Eine der drei reiecksseiten, z.., muss durch den Mittelpunkt des Kreises gehen. Ihre Länge entspricht dnn dem urchmesser des Kreises. Nun knn mn für irgendeinen nderen Punkt uf dem Kreis wählen, weil der ursprüngliche Kreis der Thleskreis üer der Strecke ist. 50 c = 6 cm ) Konstruktionseschreiung mit Thleskreis: 1. Zeichne die Strecke = der Länge 7 cm.. Zeichne den Thleskreis üer der Strecke. 3. Trge in n den Winkel = 50 n. 4. eschrifte den Schnittpunkt des freien Schenkels von mit dem Thleskreis mit. Lösung: reieck M = 7 cm lle Punkte mit der geforderten Eigenschft liegen uf dem Thleskreis üer der Strecke. Gitterpunkte uf dem Kreis sind und sowie P ( 1 4 ) und Q ( 1 ). Nhe ei Gitterpunkten liegen z.. die Punkte P 1 ( 3,8 ), P ( 3,1 3,1 ), P 3 ( 3,8 ), P 4 ( 3,8 0 ), P 5 ( 3,1 1,1 ), P 6 ( 0 1,8 ), P 7 ( 1,1 1,1 ), P 8 ( 1,1 3,1 ), P 9 ( 0 3,8 ) y 50 c) Konstruktionseschreiung mit Thleskreis: Wegen = 180 ( ) = 90 knn der Stz des Thles ngewndt werden. 1. Zeichne die Strecke = der Länge 5 cm.. Trge in n den Winkel = 40 n. 3. Zeichne den Thleskreis üer der Strecke. 4. eschrifte den Schnittpunkt des freien Schenkels von mit dem Thleskreis mit. Lösung: reieck x = 5 cm 40 L 40 II reiecksgeometrie

20 Schüleruchseite 63 d) und gleich lng sind, muss c die dem rechten Winkel gegenüerliegende Seite und der rechte Winkel sein; und sind dnn jeweils 45 groß. Konstruktionseschreiung mit Thleskreis: 1. Zeichne die Strecke c = der Länge 8 cm.. Zeichne den Thleskreis üer c.. Trge in n c den Winkel = 45 n. 4. eschrifte den Schnittpunkt des freien Schenkels von mit dem Thleskreis mit Lösung: reieck c) Konstruktionseschreiung: 1. Zeichne die Strecke = der Länge 7,8 cm.. Zeichne den Thleskreis üer der Strecke. 3. Konstruiere eine prllele Gerde g zu im stnd h = 3, cm. 4. eschrifte die Schnittpunkte von g mit dem Thleskreis mit 1 und. Lösungen: reiecke 1 und = 7,8 cm h = 3, cm 1 45 c = 8 cm 4 ) Konstruktionseschreiung: 1. Zeichne die Strecke c = der Länge 6 cm.. Zeichne den Thleskreis üer der Strecke. 3. Konstruiere eine prllele Gerde g zu c im stnd cm. 4. eschrifte die Schnittpunkte von g mit dem Thleskreis mit 1 und. Lösungen: reiecke 1 und 1 cm c = 6 cm ) ein rechter Winkel ist, gilt h c =. Konstruktionseschreiung: 1. Zeichne die Strecke = der Länge 5 cm.. Zeichne den Thleskreis üer der Strecke. 3. Zeichne einen Kreis um mit Rdius 1,5 cm. 4. eschrifte einen Schnittpunkt des Kreises mit dem Thleskreis mit. Lösung: reieck ; der ndere Schnittpunkt liefert eenflls ein reieck, ei dem der mlufsinn von, und jedoch nicht gegen den hrzeigersinn verläuft. g g d) er Punkt liegt uf dem Thleskreis üer, weil 90 groß ist. Konstruktionseschreiung: 1. Zeichne die Strecke c = der Länge 5,4 cm.. Zeichne den Thleskreis üer der Strecke. 3. Trge n c in den Winkel = 35 n. 4. eschrifte den Schnittpunkt des freien Schenkels von mit dem Thleskreis mit. s reieck löst die ufge. c = 5,4 cm 5 ) ie Höhe h c zur Seite = 6 cm muss cm lng sein. nn erechnet sich der Flächeninhlt zu 1 6 cm cm = 6 cm². Konstruktionseschreiung (in der ufge nicht gefordert): 1. Zeichne die Strecke c = der Länge 6 cm.. Zeichne den Thleskreis üer der Strecke. 3. Zeichne eine prllele Gerde g zu c im stnd h c = cm. 4. eschrifte die Schnittpunkte von g mit dem Thleskreis mit 1 und. ie reiecke 1 und sind Lösungen. 35 = h c = 1,5 cm 1 g = 5 cm h c = cm c = 6 cm II reiecksgeometrie L 41

21 Schüleruchseiten ) ei dem gesuchten reieck muss der Punkt uf dem Thleskreis üer der Strecke liegen. us der Zeichnung von ) erkennt mn, dss ein solches reieck die größtmögliche Höhe h c ht, wenn der Punkt uf der Mittelsenkrechten der Strecke liegt. Vorschlg : Mn eginnt wie ei Vorschlg 1 und erhält die Eckpunkte, und. nn spiegelt mn den Punkt m Mittelpunkt der igonlen und erhält den Eckpunkt. größtmöglicher Flächeninhlt: 1 6 cm 3 cm = 9 cm 5 cm M 6 1 M δ δ 1 m = h c = 3 cm c = 6 cm Weil der Punkt uf dem Thleskreis üer liegt, gilt 1 = = 90. die Winkelsumme in jedem reieck 180 ergit, knn mn für ds reieck schließen: = = 4. ds reieck gleichschenklig ist, gilt nch dem siswinkelstz: 1 + =. Zudem gilt (wieder wegen der Winkelsumme im reieck): ( 1 + ) = 180. Folglich gilt 1 + = = 66. Zuletzt knn mn 1 erechnen: 1 = = 66 4 = 4. 7 Vorschlg 1: Mn zeichnet die igonle der Länge 6 cm mit dem zugehörigen Thleskreis. nn zeichnet mn einen Kreis um mit dem Rdius 5 cm und erhält eim Schnittpunkt mit dem Thleskreis die Ecke des Rechtecks. uf die gleiche rt knn mn mit einem gleich großen Kreis um den Punkt den noch fehlenden Eckpunkt konstruieren cm 5 cm Vorschlg 3 (ohne Thleskreis): Mn zeichnet eine Strecke der Länge 5 cm und trägt n ihr ei den Winkel = 90 n. Mn zeichnet um einen Kreis mit Rdius 6 cm und enennt seinen Schnittpunkt mit dem freien Schenkel von mit. ie Spiegelung von n M ergit den Punkt. Seite 64 M 6 cm 5 cm 10 ) Wenn im Inneren des Thleskreises liegt, ist der Winkel größer ls 90. Wenn uf dem Thleskreis liegt, ist ein rechter Winkel. Wenn ußerhl des Thleskreises liegt, dnn ist der Winkel kleiner ls cm cm 5 cm ) s reieck ist rechtwinklig. Wenn mn die Lge der Hlgerden vriiert, indem mn den Winkel verändert (0 < < 90 ), ewegt sich der Punkt uf dem Thleskreis üer der Strecke. L 4 II reiecksgeometrie

22 Schüleruchseite ) Wenn in einem rechtwinkligen reieck ein weiterer Winkel 45 misst, muss uch der dritte Winkel 45 messen (Winkelsumme). s gesuchte reieck ist dnn rechtwinklig und gleichschenklig. Konstruktion: Mn eginnt mit einer Strecke und dem zugehörigen Thleskreis. nn konstruiert mn die Mittelsenkrechte zur Strecke. Ein Schnittpunkt mit dem Thleskreis ergit ds gesuche reieck. 14 Mßst 1 : (1 cm š 1 km) u 1 km K 3 km 19,5 ie Strße schließt mit der mgehungsstrße einen Winkel von c. 19,5 ein er Winkel oerhl von ist so groß wie, denn er ist ein Stufenwinkel zu. Zusmmen mit dem Winkel ergit er einen rechten Winkel, weil der Scheitel von uf dem gezeichneten Thleskreis liegt. eshl ht die Größe 60, wenn die Größe 30 ht. llgemein: = 90. ) Wenn in einem rechtwinkligen reieck ein weiterer Winkel 30 groß ist, muss der dritte Winkel 60 groß sein (Winkelsumme). s gesuchte reieck ist dnn ein hles gleichseitiges reieck. Konstruktion: Mn konstruiert ein gleichseitiges reieck und die Mittelsenkrechte einer der Seiten. ei entstehen zwei reiecke mit der gesuchten Eigenschft Mn führt folgende ezeichnung für die Gerden ein: g 1 : Gerde durch 1 und, g : Gerde durch 1 und, g 3 : Gerde durch 1 und, g 4 : Gerde durch 1 und, g 5 : Gerde durch E 1 und E. lle fünf Gerden verlufen entweder durch den Punkt 1 oder. Zeichnet mn den Thleskreis üer der Strecke 1, so erkennt mn, dss sich die Gerden g 1 und g sowie g 4 und g 5 rechtwinklig schneiden, d ihre Schnittpunkte jeweils uf dem gennnten Thleskreis liegen. ie ürigen sieen der insgesmt zehn Schnittwinkel etrgen nicht 90. y g 3 g g 1 E 1 1 x ie Zuschuer der ersten Reihe sehen die urchmesser der kreisförmigen ühne unter einem lickwinkel von ie Strecke verläuft nicht durch den Mittelpunkt des Kreises. mit ist der Kreis nicht der Thleskreis üer der Strecke. ie von t gezeichneten reiecke sind lso nicht rechtwinklig. g E 1 g5 II reiecksgeometrie L 43

23 Schüleruchseiten Kongruente reiecke Seite 65 Einstiegsufge Ev muss nton mindestens drei pssende Größen des reiecks mitteilen. ei ht sie folgende Möglichkeiten: die Längen ller drei Seiten, die Längen zweier Seiten und die Größe des dzwischen eingeschlossenen Winkels, die Länge einer Seite und die Größe der zwei n der Seite nliegenden Winkel, die Längen zweier Seiten und die Größe des Winkels, der der längeren Seite gegenüer liegt. Seite 67 1 ) (1) Im VW-Zeichen sind einnder entsprechende Zwischenräume jeweils zueinnder kongruent. () Im Wppen von yern sind jeweils die zwei Löwen zueinnder kongruent, die Zcken m oeren Rnd des Schildes sowie lle Ruten im Inneren. (3) s Mitsuishi-Mrkenemlem esteht us drei zueinnder kongruenten Ruten. (4) Im Yin- und Yng-Zeichen sind die schwrzen und die weißen Flächen jeweils zueinnder kongruent. ) und c) individuelle Lösung ) Folgende Figuren sind zueinnder kon gruent:, und, E und G, F und J. ) individuelle Lösung 3 ) Es git viele Möglichkeiten, z..: c) Idee: Mn konstruiert ein gleichseitiges reieck und führt n zwei Seitenmitten eine Punktspiegelung m Seiten mittelpunkt durch. M 1 M 4 ie reiecke (1) und (5) sind nch dem Kongruenzstz sws zueinnder kongruent. ie reiecke (3) und (4) sind nch dem Kongruenzstz wsw zueinnder kongruent. Seite 68 ) Idee: s Rechteck wird zunächst in eine estimmte nzhl zueinnder kongruenter Rechtecke zerlegt (z.. durch wiederholtes Einzeichnen von Mittelsenkrechten). Wenn in diesen Rechtecken jeweils eine igonle eingezeichnet wird, entstehen zueinnder kongruente reiecke. 5 ) (1) ie reiecke sind nch dem Kongruenzstz sss zueinnder kongruent. Plnfigur: = = c c = () ruckfehler im 1. ruck der 1. uflge des Schüleruches. Es muss = 5 cm, = 4,5 cm, = 70 heißen. ie reiecke sind nch dem Kongruenzstz sws zueinnder kongruent. Plnfigur: = = = (3) ie reiecke sind nch dem Kongruenzstz wsw zueinnder kongruent. Plnfigur: = c = = L 44 II reiecksgeometrie

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