Beispiel-Prüfungsfragen Effiziente Algorithmen M. Dietzfelbinger, Stand 29. Juli 2013.

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1 Beispiel-Prüfungsfragen für Effiziente Algorithmen M. Dietzfelbinger, Stand 29. Juli Vorbemerkung: Die Liste der Beispielfragen soll bei der Vorbereitung helfen. Sie definiert nicht den Prüfungsstoff um. (Der Prüfungsstoff ist, was in der Vorlesung besprochen wurde. Mit weniger Gewicht auch Erweiterungen oder Ergänzungen, die in der Übung behandelt wurden.) Allgemein: Der größte Teil der Vorlesung handelt von Berechnungsproblemen und Algorithmen, die diese lösen. Wenn man (in der Prüfung) über eine solche Situation spricht, sind stets folgende Aspekte wesentlich. Problembeschreibung: Input. Frage bzw. Aufgabenstellung. Ausgabe. Manchmal ist schon die Beschreibung des Problems nicht ganz einfach. Beispiel: Beim MST-Problem ist die Eingabe ein ungerichteter zusammenhängender Graph G = (V, E) mit Kantengewichten c(e) R, e E. Ein Spannbaum ist eine Kantenmenge T E derart, dass (V, T ) zusammenhängend und kreisfrei ist. Gesucht ist ein Spannbaum T, der die Gesamtkosten c(t ) = e T c(e) minimiert, ein sogenannter minimaler Spannbaum. Algorithmus 1: Name: Zur Beschreibung des Algorithmus gehört unbedingt der Name (z. B. Algorithmus von Kruskal ). Diese Namen sind nicht Zierrat, sondern gehören zur Fachsprache, damit man sich gegebenenfalls rasch mit anderen verständigen kann, welche Methode benutzt wird. Algorithmus 2: Methode: Man muss beschreiben können, wie der Algorithmus abläuft. Dazu ist Pseudocode meistens zu umständlich. Also: kompaktere Beschreibungen zurechtlegen. Beispiel: Man sortiert die Kanten aufsteigend nach Gewicht. Ergebnis: e 1,..., e m. Man beginnt mit R = und geht in Runden voran. In Runde i wird e i betrachtet. Wenn e i mit R keinen Kreis schließt, wird e i zu R hinzugefügt, sonst nicht. Algorithmus 3: Ausgabe In welcher Form wird das Ergebnis ausgegeben und was bedeutet die Ausgabe? Beispiel: Die schließlich entstandene Menge R wird ausgegeben. Wir behaupten, dass sie einen minimalen Spannbaum darstellt. 1

2 Rechenzeitanalyse: Zunächst muss man unbedingt die Rechenzeit benennen können. Beispiel: Der Algorithmus von Kruskal hat bei simpler Implementierung der Union-Find-Datenstruktur eine Laufzeit von O(m log n), wobei m = E und n = V ist. Dann sollte man die Überlegungen zur Rechenzeitanalyse kennen. Beispiel: Das Sortieren der Kanten kostet (z. B. mit MergeSort) Zeit O(m log m) = O(m log n). Wenn wir die Implementierung der Union-Find-Datenstruktur mit Arrays, Rängen und verketteten Listen benutzen, benötigt jede der 2m Find- Operationen Zeit O(1), zusammen O(m). Die n 1 union-operationen zusammen benötigen Zeit O(n log n). Zusammen erhalten wir eine Laufzeitschranke von O(m log m)+o(m)+o(n log n) = O(m log n). (Man beachte, dass m n 1 ist, weil G zusammenhängend ist.) Korrektheit: Bei manchen Algorithmen ist die Korrektheit aus den Vorüberlegungen beim Entwurf schon offensichtlich. Beim Algorithmus von Kruskal ist dies nicht so. Der Korrektheitsbeweis ist nicht einfach. Bitte nicht täuschen lassen: Manchmal sieht man Korrektheitsbeweise, die kompakter und einfacher aussehen als die Beweise in der Vorlesung. Das Risiko, dass sie falsch sind, liegt aber ganz beim Prüfling. Für den Algorithmus von Kruskal etwa kursieren zum Beispiel unter Ilmenauer Studierenden einige falsche oder unvollständige Beweise. Die sichere Methode: So argumentieren wie in der Vorlesung. Das heißt: Schnitteigenschaft formulieren und dann in einem Induktionsbeweis anwenden. Man kann die Prüfung bestehen, wenn man nur die Problembeschreibungen, Algorithmen und Datenstrukturen (Namen, Vorgehensweisen) mit ihren Laufzeiten kennt diese Grundanforderung sollte man bei der Vorbereitung aber unbedingt für alle Kapitel der Vorlesung sicherstellen. Bei der Algorithmenbeschreibung ist eine allgemeine Beschreibung der Vorgehensweise besser als die Fähigkeit, den Algorithmus an einem Beispiel auszuführen. Aber auch dies sollte man üben. Ganz wichtig ist, dass man die asymptotischen Laufzeiten der Algorithmen kennt. (Tipp: Wenn es nicht anders geht, herausschreiben und auswendiglernen.) Also: Zunächst flächendeckend lernen, Beweisdetails auslassen, erst wenn man den ganzen Stoff gut überblickt, kann man noch so weit wie möglich in die Tiefe zu kommen versuchen. Für eine gute oder sehr gute Note ist es notwendig, auch Implementierungsdetails und Beweise für Korrektheit bzw. Laufzeitschranken vortragen zu können. Für ein sehr gut wird das Beherrschen des (gesamten) Stoffes der Vorlesung verlangt. Soweit Übungen sich direkt auf den Vorlesungsstoff beziehen ( führen Sie Algorithmus XYZ auf der folgen- 2

3 den Eingabe aus, oder wenn Algorithmen angewendet oder verallgemeinert werden), sind sie ebenfalls gut zur Prüfungsvorbereitung geeignet. Wenn Sie Erklärungen in den Folien nicht verstehen: Sie können auch in einem der in Kapitel 0 Vorbemerkungen angegebenen Bücher nachsehen. Es folgen Beispielfragen. 1 Divide-and-Conquer-Algorithmen 1.1 Beschreiben Sie die prinzipiellen Schritte eines Algorithmus, der nach dem Divide-and-Conquer(D-a-C)-Paradigma gebaut ist. 1.2 Zählen Sie Berechnungsprobleme auf, die wir in der Vorlesung mit diesem Prinzip bearbeitet haben. 1.3 Wieviele Bitoperationen werden bei der Schulmethode für die Multiplikation n-ziffriger ganzer Zahlen benötigt? Wieviele beim Karatsuba-Algorithmus? 1.4 Wieso möchte man überhaupt Zahlen mit Tausenden von Bits multiplizieren? 1.5 Wie werden beim Karatsuba-Algorithmus die a Teilprobleme gebildet? ( Trick in der Vorlesung.) Was ist a? 1.6 Beschreiben Sie den Algorithmus von Karatsuba, für n-bit-zahlen. Was ist die Rolle der Zahl n 0? Wie wird sie gewählt? 1.7 Schreiben Sie die Rekurrenz für die Anzahl der Bitoperationen beim Algorithmus von Karatsuba auf. Was ist die Lösung? Wie erhält man diese Lösung durch direkte Rechnung, wie mit dem Master-Theorem? Wieso ist die Laufzeit besser als die Schulmethode? 1.8 Was ist die Anzahl der benötigten Operationen, wenn man zwei n n-matrizen mit der Standardmethode multipliziert? Welche Laufzeit erreicht der Algorithmus von Strassen? 1.9 Wie erhält man einen D-a-C-Ansatz für das Problem Multiplikation zweier n n-matrizen mit 8 Teilproblemen? Wieso ist dieser nicht ausreichend? 3

4 1.10 Wie, im Prinzip (nicht die Formeln auswendiglernen), erhält man einen D-a-C- Ansatz für das Problem Multiplikation zweier n n-matrizen mit 7 Teilproblemen? 1.11 Schreiben Sie die Rekurrenzungleichung für die Anzahl der Ringoperationen beim Algorithmus von Strassen auf. Was ist die Lösung? Wieso ist das besser als die naive Methode? 1.12 Mergesort ist als bekannt vorausgesetzt. Wieviele Vergleiche benötigt man für das Mischen oder Zusammenfügen von zwei Folgen der Länge n/2 und n/2? Welche Rekurrenzgleichung ergibt sich für die Anzahl der Vergleiche von Mergesort, angewendet auf n Schlüssel? Welche Möglichkeiten gibt es, die Mergesort-Rekurrenz zu lösen? (Direkt bzw. mit dem Master-Theorem.) Schreiben Sie die Induktionsbehauptung für die direkte Lösung auf. Skizzieren Sie den Induktionsbeweis Welche Art von Rekurrenz können wir mit dem Master-Theorem bearbeiten? (Hinschreiben!) Aus welcher Art von D-a-C-Algorithmus ergibt sich diese Rekurrenz? (Rolle der Parameter a, b, f(n).) Formulieren Sie das Master-Theorem! 1.15 Zum Beweis des Master-Theorems: Wie wird der Rekursionsbaum gebildet? Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Einträgen im Rekursionsbaum und der Lösung der Rekurrenzungleichung? (Lemma ) 1.16 Welche drei Fälle gibt es? Wie lautet die Lösung der Rekurrenzungleichung in jedem der drei Fälle? Wie lässt sich die Lösung erklären/berechnen? (Verhalten einer bestimmten geometrischen Reihe.) Geben Sie für zwei der Fälle Beispielalgorithmen an Zum Master-Theorem: Eine konkrete Rekurrenzungleichung wird vorgelegt. Stellen Sie fest, welcher Fall zutrifft, und geben Sie die Lösung an Der QuickSort-Algorithmus wird als bekannt vorausgesetzt Erklären Sie den Ansatz der neuen Analyse! (Folien ) Leiten Sie die Formel für E(C) (erwartete Anzahl von Vergleichen) her. Führen Sie die für die Analyse nötige Rechnung durch. 1 Siehe auch Folien 9 19 in 4

5 1.20 Was ist das Ergebnis der Analyse (auf zufällig angeordnetem Input)? Was ist randomisiertes Quicksort, was folgt hierfür aus der Analyse? 1.21 Was ist das Selektionsproblem? Was ist das Problem, den Median zu berechnen? Welche (beiden) Algorithmen für dieses Problem haben wir betrachtet? 1.22 Beschreiben Sie den Algorithmus Quickselect. Geben Sie eine obere Schranke für seine Laufzeit (sowie die Anzahl der Vergleiche) an. Ist dies eine deterministische Schranke? 1.23 Wie setzt die Analyse von Quickselect an? (Definition der Zufallsvariablen C k und X ij, Bestimmung der Erwartungswerte.) Führen Sie die Analyse durch Beschreiben Sie den deterministischen Linearzeitalgorithmus für das Selektionsproblem. (BFPRT-Algorithmus, Median der Mediane.) 1.25 Stellen Sie die Rekurrenzungleichung für die Analyse des BFPRT-Algorithmus auf (mit Begründung für jeden der Terme). Lösen Sie die Rekurrenz Was ist das Polynomproduktproblem? Welche Laufzeit hat der naive Algorithmus? Welche Laufzeit lässt sich mit Hilfe der FFT erreichen? 1.27 Geben Sie die Grundstruktur des Polynomproduktalgorithmus mit FFT an. Was ist der zentrale Trick? 1.28 Welcher Zusammenhang besteht zwischen Koeffizientenvektor und Wertevektor eines Polynoms? 1.29 Was ist eine primitive n-te Einheitswurzel? Welche Argumente ( Stützstellen ) benutzt man bei der FFT? Was ist die diskrete Fourier-Transformierte eines Koeffizientenvektors (a 0,..., a n 1 )? 1.30 Wie wird das D-a-C-Paradigma bei der FFT eingesetzt? (Aus Koeffizienten eines Polynoms gewinne Koeffizienten zweier halb so großer Polynome. Wie?) 1.31 Wie sieht der endgültige FFT-Algorithmus aus? 1.32 Wie löst man das umgekehrte Problem, aus dem Wertevektor den Koeffizientenvektor zu berechnen? (Trick: Die Matrix M(ω) hat eine Inverse, die man ganz leicht hinschreiben kann. Wie sieht sie aus?) 1.33 Wie sieht der endgültige Algorithmus zur Polynommultiplikation aus, der die FFT und ihre Umkehrung benutzt? 5

6 2 Graphdurchläufe 2.1 Stellen Sie sicher, dass Sie die grundlegenden Konzepte für Graphen und Digraphen und ihre Darstellung in Programmen kennen. 2.2 Welche Probleme für gerichtete Graphen können mit Breitensuche (BFS) gelöst werden? Welche Datenstruktur spielt bei BFS die zentrale Rolle? Beschreiben Sie den BFS-Algorithmus. Was ist die Rechenzeit von BFS? 2.3 Welches Problem kann man mit BFS von einer Knotenmenge aus lösen? 2.4 Erläutern Sie BFS in ungerichteten Graphen. Wie läuft es ab, welche Probleme kann man damit lösen? 2.5 Welche Probleme bei gerichteten Graphen können mit DFS gelöst werden? (Alle Knoten und Kanten sehen, Erreichbarkeit zwischen Knoten, Kreisfreiheitstest, topologische Sortierung bei kreisfreien Graphen, Erweiterung: starke Zusammenhangskomponenten.) 2.6 Welche Probleme bei ungerichteten Graphen können mit DFS gelöst werden? (Zusammenhangskomponenten, Kreisfreiheitstest, Spannbaum für jede Komponente, Ausrichtung von Kanten von Wäldern auf eine Wurzel pro Baum; und weitere, nicht in der Vorlesung behandelt.) 2.7 Führen Sie den DFS-Algorithmus an einem gegebenen Beispieldigraphen aus. (Vollversion, mit dfs-nummern und fin-nummern, mit Kantenklassifikation.) 2.8 Wie sind T -, B-, F - und C-Kanten definiert? Wie erkennt der Algorithmus, ob eine Kante (v, w) eine T -, B-, F - oder eine C-Kante ist? (Dies hat etwas mit dem Status von w zu tun und mit den dfs-nummern von v und w.) Was ist der rote Weg? 2.9 Was ist die Laufzeit von DFS? 2.10 Was ist die transitive Hülle eines Digraphen G? Wie berechnet man sie? 2.11 Formulieren Sie den Satz vom weißen Weg. (Tief ins Detail: Wie beweist man ihn?) 6

7 2.12 Wenn man DFS auf G ausführt, entstehen Bäume (die Tiefensuchbäume ). Wann wird Knoten v eine Wurzel eines solchen Baums? Welche Bedeutung haben die dfs-nummern und die fin-nummern im Bezug auf diesen Wald? Wie kann man aus den Nummern von v und w ablesen, ob v Vorfahr/Nachfahr von w ist? 2.13 Wie kann man aus dem Ergebnis von DFS(G) ablesen, ob der Digraph G azyklisch ist? (Es gibt keine B-Kante.) Beweisen Sie, dass dieses Kriterium korrekt ist. (Unterscheiden Sie sorgfältig die beiden Beweisrichtungen.) 2.14 Was ist eine topologische Sortierung der Knoten eines azyklischen Digraphen? Wie kann man aus dem Ergebnis von DFS(G) eine solche topologische Sortierung erhalten? Was hat eine topologische Sortierung mit dem Ermitteln eines kritischen Pfads in einem Schaltnetz oder einem Netzwerk von Tasks mit Abhängigkeiten zu tun? 2.15 Was sind die starken Zusammenhangskomponenten eines Digraphen G? (Klassen einer bestimmten Äquivalenzrelation.) Geben Sie den Algorithmus (von Kosaraju) für die Ermittlung der starken Zusammenhangskomponenten eines Digraphen G an. Laufzeit? 2.16 Beweisen Sie die Korrektheit des Algorithmus von Kosaraju zur Berechnung der starken Zusammenhangskomponenten Welche Kantentypen gibt es bei UDFS (Tiefensuche in ungerichteten Graphen)? Wie kann man mit UDFS testen, ob der ungerichtete Graph G einen Kreis enthält? 2.18 Was sind die Knotenmengen der Bäume, die bei UDFS(G) für einen ungerichteten Graphen G entstehen? 3 Greedy-Algorithmen: Prinzipien 3.1 Was sind die charakteristischen Eigenschaften eines Algorithmus, der nach dem Greedy-Prinzip gebaut ist? (Folien 1 und 26.) 3.2 Welche Berechnungsprobleme haben wir mit dem Greedy-Ansatz gelöst (Kapitel 3 und 4)? 7

8 3.3 Beschreiben Sie das Hörsaalbelegungsproblem und den Greedy-Algorithmus für dieses Problem. Was ist die Rechenzeit? 3.4 Beweisen Sie, dass der Hörsaalbelegungs-Algorithmus eine optimale Lösung ausgibt. 3.5 Beschreiben Sie das fraktionale Rucksackproblem und den Greedy-Algorithmus für dieses Problem. Was ist die Rechenzeit? 3.6 Beweisen Sie, dass der Greedy-Algorithmus für das fraktionale Rucksackproblem eine optimale Lösung ausgibt. (Hier gibt es eine anschauliche Begründung und einen rechnerischen Beweis.) 3.7 Was ist ein binärer Präfixcode (oder präfixfreier Code)? Was ist ein Codierungsbaum für einen solchen Code? Sei ein endliches Alphabet Σ mit Wahrscheinlichkeiten/Häufigkeiten p(σ), σ Σ, gegeben; was sind die Kosten B(T, p) eines Codierungsbaums T für Σ? 3.8 Wann heißt ein Codierungsbaum redundanzminimal? Welches Problem wird durch den Algorithmus von Huffman gelöst? 3.9 Führen Sie den Huffman-Algorithmus auf einer gegebenen Beispiel-Eingabe durch. Konstruieren Sie den Kodierungsbaum Beschreiben Sie, wie der Huffman-Algorithmus allgemein funktioniert. Welche Datenstruktur wird benötigt, um den Algorithmus effizient zu implementieren? Was ist die resultierende Laufzeit? 3.11 Beweisen Sie, dass der Huffman-Algorithmus (in der rekursiven Formulierung) das korrekte Ergebnis liefert. Insbesondere: Formulieren und beweisen Sie Lemma und Wie ist die Entropie definiert? Wie lautet die Ungleichung von Kraft/McMillan? Wie hängen die Kosten eines redundanzminimalen Baumes mit der Entropie der Verteilung p(σ), σ Σ bzw. (p 1,..., p n ) zusammen? (Satz ) Können Sie den Beweis hierfür skizzieren? 3.13 Welche Operationen müssen von Priority-Queues ausgeführt werden? In unserer Implementierung mit binären Heaps: Was sind die Rechenzeiten für diese Operationen? 8

9 3.14 Was ist ein binärer Heap, wie wird er dargestellt? (Stoff aus AuD, muss man hier aber wissen.) 3.15 In binären Heaps: Wie läuft ein insert ab? Wie läuft ein decreasekey ab, wie ein extractmin? Weshalb ist die Laufzeit logarithmisch? Wie kann man beweisen, dass beim bubbledown und beim bubbleup die Heapeigenschaft wieder hergestellt wird? 3.16 Skizzieren Sie das Problem (und eine mögliche Lösung), einem Heap bei der Operation decreasekey mitzuteilen, auf welchen Eintrag sich die Operation bezieht. Beschreiben Sie den Datentyp Addressable Priority Queue. 4 Greedy-Algorithmen für Graphprobleme 4.1 Welches Problem wird vom Algorithmus von Dijkstra gelöst? (Das Single- Source-Shortest-Paths (SSSP) -Problem. Was bedeutet das?) Was sind die Voraussetzungen, die man an den Graphen und die Kantenlängen stellen muss? 4.2 Führen Sie den Algorithmus von Dijkstra auf einer gegebenen Beispiel-Eingabe durch. Konstruieren Sie den Baum der kürzesten Wege. 4.3 Beschreiben Sie das Vorgehen im Algorithmus von Dijkstra allgemein. Welche Information wird für jeden Knoten notiert? (dist[v] und p[v].) 4.4 Beweisen Sie die Korrektheit des Algorithmus von Dijkstra. Formulieren Sie dazu eine geeignete Schleifeninvariante. (Das Bild auf Folie 20 von Kapitel 4 ist zentral.) 4.5 Was ist die zentrale Datenstruktur bei einer effizienten Implementierung des Algorithmus von Dijkstra? (Priority Queue.) Welche Objekte werden in der Priority Queue aufbewahrt? Was sind dabei die Schlüssel/Prioritäten? Welche Operationen auf diesen Objekten werden ausgeführt, und zu welchem Zweck im Rahmen des Algorithmus? 4.6 Wieviele decreasekey-operationen, wieviele extractmin-operationen gibt es maximal? Was folgt für die Laufzeit des Algorithmus von Dijkstra? Was ändert sich an der Laufzeit, wenn man die (schickeren) Fibonacci-Heaps benutzt? 9

10 4.7 Was sind die zentralen Eigenschaften von (freien) Bäumen auf n Knoten? (Gemeint ist das Fundamental-Lemma.) 4.8 Was ist ein Spannbaum T in einem zusammenhängenden Graphen G = (V, E)? Wenn die Kanten von G Gewichte/Kosten c(e) haben, was sind die Kosten von T? Was ist das MST-Problem (das Problem, einen minimalen Spannbaum zu finden)? 4.9 Welche beiden Algorithmen für das MST-Problem haben wir betrachtet? 4.10 Beschreiben Sie das Vorgehen des Algorithmus von Jarník/Prim allgemein. Führen Sie den Algorithmus an einem vorgegebenen Beispiel durch Was ist zur Implementierung zu bemerken, wenn man sie mit der Implementierung des Algorithmus von Dijkstra vergleicht? Können Sie den (winzigen) Unterschied benennen? Welche Laufzeit ergibt sich, analog zum Algorithmus von Dijkstra? 4.12 Was ist ein Schnitt in einem zusammenhängenden Graphen? 4.13 Wann heißt eine Kantenmenge R T erweiterbar? 4.14 Formulieren Sie die Schnitteigenschaft. Beweisen Sie die Schnitteigenschaft Beweisen Sie durch Induktion über die Runden des Algorithmus, und mit Hilfe der Schnitteigenschaft, dass der Algorithmus von Jarník/Prim einen minimalen Spannbaum erzeugt Beschreiben Sie das Vorgehen des Algorithmus von Kruskal allgemein. Führen Sie den Algorithmus an einem vorgegebenen Beispiel durch Beweisen Sie durch Induktion über die Runden des Algorithmus, und mit Hilfe der Schnitteigenschaft, dass der Algorithmus von Kruskal einen minimalen Spannbaum erzeugt Was ist die Aufgabe einer Union-Find-Datenstruktur? Was wird verwaltet (eine Partition einer endlichen Menge in Klassen, mit einem Repräsentanten für jede Klasse)? Welche Operationen gibt es? (Initialisierung: jedes Element ist in einer Klasse für sich; find: zu einem Element finde den Repräsentanten seiner Klasse; union: gegeben zwei Repräsentanten, vereinige die Klassen, bestimme neuen Repräsentanten.) 10

11 4.19 Wie wird eine Union-Find-Datenstruktur im Algorithmus von Kruskal benutzt? Welche auf den ersten Blick schwierige Aufgabe wird dadurch leicht? (Test, ob eine Kante e mit R einen Kreis bildet.) 4.20 Beschreiben Sie die Implementierung der Union-Find Datenstruktur mit einem Array für die Repräsentanten und Listen für die Klassen. Wie wird im Algorithmus die Information im size-array benutzt? 4.21 Geben Sie die Rechenzeiten für eine find-operation in dieser Implementierung an. Geben Sie die Rechenzeit für alle union-operationen zusammen in dieser Implementierung an. Beweisen Sie die letztere Schranke ( amortisierte Analyse ). Welche Rechenzeit für den Kruskal-Algorithmus ergibt sich? 4.22 Wie sind die Klassen in der Baum-Implementierung der Union-Find-Datenstruktur dargestellt? (Können Sie z. B. aus fünf gegebenen Klassen mit Repräsentanten eine solche Baum-Darstellung machen?) 4.23 Wie ist find implementiert? Was sind die Kosten? Wie ist union zu implementieren? 4.24 Was ist in der einfachen Implementierung der Rang eines Knotens? Wie wird der Rang bei der union-operation benutzt und aktualisiert? 4.25 Geben Sie die drei Grundeigenschaften der Größe Rang an! (Fakt 1, Fakt 2, Fakt 3.) Wieso folgt daraus, dass die Kosten für eine find-operation logarithmisch sind? 4.26 Welche Laufzeit für den Kruskal-Algorithmus ergibt sich bei der einfachen Baum-Implementierung der Union-Find-Datenstruktur? 4.27 Was bedeutet Pfadkompression? 4.28 Was bedeutet log n? 4.29 Welche Aussagen zur Rechenzeit für m find-operationen auf n Objekten kann man machen, was ergibt sich daraus für den Teil des Kruskal-Algorithmus nach dem Sortieren? 4.30 Geben Sie die Hauptgedanken der Analyse von Union-Find mit Pfadkompression an. 11

12 5 Dynamische Programmierung 5.1 Benennen Sie die grundlegenden Schritte, die beim Algorithmenentwurf nach dem Paradigma Dynamische Programmierung angewendet werden müssen. (Teilprobleme, Basisfälle, Optimalitätsgleichungen aufstellen unter Verwendung des Prinzips von den optimalen Substrukturen.) 5.2 Was ist das All-Pairs-Shortest-Paths (APSP) -Problem? Welcher Algorithmus löst dieses Problem? 5.3 Man setzt beim APSP-Problem voraus, dass der Graph keine Kreise mit negativer Gesamtlänge hat. Weshalb? 5.4 Wieso kann man o.b.d.a. annehmen, dass auf kürzesten Wegen kein Knoten doppelt vorkommt? Weshalb ist das APSP-Problem wohldefiniert? 5.5 Beschreiben Sie die Grundidee des Algorithmus von Floyd und Warshall. (Dazu gehört: Teilprobleme S(i, j, k) definieren und Bellman-Gleichungen aufschreiben und begründen können.) 5.6 Welches Programm erhält man aus dieser Grundidee? Was ist die Rechenzeit, was der Speicherplatz? 5.7 Welche Verfeinerung erlaubt es, den Platz zu reduzieren? 5.8 Welche Datenstruktur benötigt man, um in der Lage zu sein, zu jedem Knotenpaar (i, j) einen kürzesten Weg von i nach j auszugeben? 5.9 Der Algorithmus von Dijkstra löst das SSSP-Problem, aber nur bei nichtnegativen Kantenkosten. Was tut man, wenn auch negative Kantenkosten vorkommen? 5.10 Beschreiben Sie den Algorithmus von Bellman-Ford. (Er benutzt die relax- Operation.) Was ist seine Laufzeit? 5.11 Beweisen Sie, dass der Algorithmus von Bellman-Ford die korrekte Ausgabe liefert, wenn es keine von s erreichbaren negativen Kreise gibt Beweisen Sie, dass der Algorithmus von Bellman-Ford im abschließ0enden Test korrekt entscheidet, ob es von s aus erreichbare negative Kreise gibt. 12

13 5.13 Was ist das 0-1-Rucksackproblem? Wie unterscheidet es sich vom fraktionalen Rucksackproblem? Vom Rucksackproblem mit Wiederholungen? 5.14 Formulieren Sie das (ganzzahlige) Rucksackproblem mit Wiederholungen. Formulieren Sie die hier zu betrachtenden Teilprobleme und die Bellman-Gleichungen. Wie sieht der resultierende DP-Algorithmus aus? Was ist die Laufzeit? 5.15 Formulieren Sie die Teilprobleme im DP-Algorithmus für das 0-1-Rucksackproblem. Stellen Sie die Bellman-Gleichungen auf. Welche Rolle spielt hierbei das Prinzip der optimalen Substruktur? Welche Laufzeit hat der resultierende Algorithmus? Wie kann man beim Speicherplatz einen Faktor n einsparen? 5.16 Wieso heißt dieser Algorithmus pseudopolynomiell? 5.17 Wie ist die Editierdistanz d(x, y) zwischen zwei Wörtern x = x 1... x n und y = y 1... y m definiert? 5.18 Gegeben x und y, was sind die im DP-Ansatz betrachteten Teilprobleme? Erläutern Sie anhand dieses Beispiels, was die Grundkomponenten eines Algorithmus sind, der nach dem Paradigma Dynamische Programmierung gebaut ist Stellen Sie die Bellmanschen Optimalitätsgleichungen für diese Teilprobleme auf Geben Sie den der resultierenden Algorithmus für die Editierdistanz an. Was ist seine Rechenzeit? 5.21 Wie kann man eine optimale Transformationsfolge ermitteln, die in d(x, y) Schritten von x nach y führt? 5.22 Welche Aufgabe stellt sich beim Problem Traveling Salesperson? 5.23 Welche Teilprobleme benutzt man bei der Lösung? 5.24 Formulieren Sie die Bellman-Gleichungen für dieses Problem Was ist die Laufzeit des Algorithmus für das Problem Traveling Salesperson? 5.26 Welche Aufgabe stellt sich beim Problem Optimale (Klammerung für) Matrixmultiplikation? 13

14 5.27 Welche Teilprobleme benutzt man bei der Lösung? 5.28 Formulieren Sie die Bellman-Gleichungen für dieses Problem Was ist die Laufzeit des Algorithmus für das Problem Optimale Matrixmultiplikation, wenn n Matrizen multipliziert werden sollen? 6 Weiterführende Themen 6.1 Beschreiben Sie den Greedy-Algorithmus für das 0-1-Rucksackproblem. Geben Sie ein Beispiel an, bei dem die Güte der Lösung beliebig schlecht ist. 6.2 Beschreiben Sie den modifizierten Greedy-Ansatz Greedy +. Beweisen Sie, dass die Güte der Lösung, die der Algorithmus liefert, um nicht mehr als den Faktor 2 über dem Optimum liegen kann. 6.3 Beschreiben Sie den Greedy-Algorithmus für das Set-Cover-Problem und seine Analyse (Folien zu Kap. 3, Abschnitt 3.4). Viel Spaß bei der Vorbereitung und viel Erfolg bei der Prüfung! 14