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1 Jürgen Koch Martin Stämpfle Mathematik für das Ingenieurstudium 3., aktualisierte und erweiterte Auflage

2 Koch Stämpfle Mathematik für das Ingenieurstudium

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4 Jürgen Koch Martin Stämpfle Mathematik für das Ingenieurstudium 3., aktualisierte und erweiterte Auflage Mit 627 Abbildungen, 499 durchgerechneten Beispielen und 339 Aufgaben mit ausführlichen Lösungen im Internet

5 Prof. Dr. rer. nat. Jürgen Koch Hochschule Esslingen, Fakultät Grundlagen Prof. Dr. rer. nat. Martin Stämpfle Hochschule Esslingen, Fakultät Grundlagen Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. ISBN E-Book-ISBN Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdruckes und der Vervielfältigung des Buches oder Teilen daraus, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form (Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren), auch nicht für Zwecke der Unterrichtsgestaltung mit Ausnahme der in den 53, 54 URG genannten Sonderfälle, reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden Carl Hanser Verlag München Lektorat: Christine Fritzsch Herstellung: Katrin Wulst Satz: Jürgen Koch, Martin Stämpfle, Esslingen Coverrealisierung: Stephan Rönigk Druck und Bindung: Beltz Bad Langensalza GmbH, Bad Langensalza Printed in Germany

6 5 Vorwort Drei wesentliche Gründe haben uns bewogen, ein Mathematikbuch zu schreiben. Zum einen haben wir unser persönliches didaktisches Konzept umgesetzt. Zum anderen ist dieses Buch so gestaltet, dass es dem Wandel, der durch den Einsatz von Computern entstanden ist, gerecht wird. Schließlich wird durch viele Anwendungsbeispiele die Bedeutung der Mathematik in der Technik sichtbar. In diesem Mathematikbuch haben wir viel Wert auf eine verständliche Sprache gelegt. Begriffe, Regeln und Sätze sind so formuliert, dass sie möglichst leicht zu lesen, schnell aufzufassen und einfach zu merken sind. Bilder sagen mehr als tausend Worte. Gemäß diesem Grundsatz werden Sätze, Regeln und Beispiele mit farbigen Skizzen illustriert. Diese Abbildungen helfen, den Sachverhalt unmittelbar visuell aufzunehmen. Alle Beispiele enthalten einen ausführlichen Rechenweg. Durch die Angabe von vielen Zwischenschritten sind sie auf das Niveau von Studienanfängern zugeschnitten. Dieses Buch ist nicht nach dem strengen Prinzip Definition-Satz-Beweis aufgebaut. In diesem Sinne ist es kein Mathematikbuch für Mathematiker. Trotzdem sind an vielen Stellen Herleitungen oder Beweisskizzen enthalten. Sie fördern das Verständnis über die Zusammenhänge des mathematischen Gedankengebäudes. Querbezüge zur Geschichte der Mathematik verdeutlichen, wie sich die Mathematik über Jahrhunderte aus Ideen genialer Personen entwickelt hat. Kurzporträts einiger bedeutender Mathematiker befinden sich im Anhang. Durch den Einsatz von Computern hat sich die Tätigkeit von Ingenieuren stark gewandelt. Berechnungen und Konstruktionen werden überwiegend mit Softwarewerkzeugen durchgeführt. Dadurch steht die Vermittlung von Rechenschemata und Rechentricks bei der Mathematikausbildung in einem Ingenieurstudium heute nicht mehr im Vordergrund. Computer machen Mathematik aber nicht überflüssig, im Gegenteil: Das Kapital der Ingenieurabsolventen liegt im Verständnis der Mathematik. Das Wissen über die Modellierung und die Kenntnis unterschiedlicher Berechnungsverfahren sowie die Fähigkeit zu einer souveränen Interpretation der Ergebnisse zeichnen einen guten Ingenieur aus. Dieses Buch wird diesem geänderten Anspruch gerecht. Die meisten Kapitel enthalten einen Abschnitt über numerische Verfahren und einen Abschnitt über ausgewählte Anwendungen. Bei diesen Anwendungen sind die technischen Skizzen und Bezeichnungen teilweise vereinfacht dargestellt und deshalb nicht immer normgerecht. Zum Überprüfen des Lernfortschrittes stehen am Ende der Kapitel Aufgaben, unterteilt in die Kategorien Verständnis, Rechentechnik und Anwendungen, zur Verfügung. Durch selbstständiges Üben und mit einer gesunden Portion Hartnäckigkeit beim Bearbeiten der Aufgaben wird sich der gewünschte Studienerfolg einstellen. Lösungen zu den Aufgaben sind über die Internetseiten der Autoren abrufbar: Das Dozentenportal des Carl Hanser Verlags stellt für Mathematikdozenten begleitend zum Buch einen Foliensatz bereit.

7 6 Vorwort Unser Dank richtet sich in erster Linie an unserestudierenden. Ihre Fragen und Bemerkungen über viele Semester hinweg haben uns angeregt, immer wieder über Verbesserungen der Darstellung des Stoffes zu reflektieren. Ebenfalls bedanken möchten wir uns bei unseren Kolleginnen und Kollegen der Fakultät Grundlagen an der Hochschule Esslingen. Zahlreiche Hinweise sind an vielen Stellen eingeflossen. Ein herzlicher Dank geht an den Carl Hanser Verlag, speziell an Frau Christine Fritzsch, Frau Renate Roßbach und Frau Katrin Wulst, für die angenehme Zusammenarbeit bei der Entstehung dieses Buches. Schließlich gilt ein besonderer Dank unseren Familien, die uns Freiräume geschaffen und so die Entstehung des Manuskripts ermöglicht haben. Esslingen, im Juli 2010 Jürgen Koch Martin Stämpfle Die positive Resonanz über unser Buch hat uns sehr gefreut und uns dazu motiviert, in die 2. Auflage eine Reihe von Ergänzungen und Verbesserungen aufzunehmen. Bedanken möchten wir uns bei den Studierenden und Kollegen über die Rückmeldungen zu Tippfehlern und kleinen Unstimmigkeiten. In akribischer Kleinarbeit sind wir allen Hinweisen nachgegangen und haben entsprechende Korrekturen vorgenommen. Auch die Lösungen zu den Aufgaben, die nach wie vor im Internet abrufbar sind, haben wir überarbeitet. Esslingen, im August 2012 Jürgen Koch Martin Stämpfle Wir haben in der 3. Auflage das Thema Funktionen in drei Kapitel aufgeteilt. Der Einstieg in die Funktionen ist nun etwas allgemeiner gehalten und beinhaltet auch Relationen. Ein eigenes klar strukturiertes Kapitel über die elementaren Funktionen verbessert den Überblick über diese Funktionen. Die zentralen Themen Folgen, Grenzwerte und Stetigkeit sind nun in einem separaten Kapitel gebündelt. Mit Ergänzungen bei der z-transformation und den beiden komplett neuen Kapiteln über Differenzengleichungen und elementare Zahlentheorie haben wir weitere Aspekte der diskreten Mathematik hinzugefügt. Einige Aufgaben und Lösungen sind neu hinzugekommen oder wurden überarbeitet. Esslingen, im Februar 2015 Jürgen Koch Martin Stämpfle

8 7 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen Logik und Mengen Aussagenlogik Mengen Zahlen Natürliche Zahlen Ganze Zahlen Rationale Zahlen Reelle Zahlen Ordnung Intervalle Betrag und Signum Summe und Produkt Potenz und Wurzel Potenzen Potenzgesetze Wurzeln Binomischer Satz Trigonometrie Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck Winkel im Grad- und Bogenmaß Sinus- und Kosinussatz Gleichungen und Ungleichungen Lineare Gleichungen Potenzgleichungen Quadratische Gleichungen Wurzelgleichungen Ungleichungen Beweise Direkter Beweis Indirekter Beweis Konstruktiver Beweis Vollständige Induktion Aufgaben Lineare Gleichungssysteme Einführung... 57

9 8 Inhaltsverzeichnis 2.2 Gauß-Algorithmus Äquivalenzumformungen Vorwärtselimination Rückwärtseinsetzen Gaußsches Eliminationsverfahren Rechenschema Spezielle Typen linearer Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme ohne Lösung Lineare Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen Systeme mit redundanten Gleichungen Unterbestimmte lineare Gleichungssysteme Überbestimmte lineare Gleichungssysteme Homogene lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme mit Parametern Numerische Verfahren Jacobi-Iteration Gauß-Seidel-Iteration Anwendungen Produktion Netzwerkanalyse in der Elektrotechnik Aufgaben Vektoren Der Begriff eines Vektors Vektorrechnung ohne Koordinaten Addition und Subtraktion Skalare Multiplikation Skalarprodukt Vektorprodukt Spatprodukt Lineare Abhängigkeit und Komponentenzerlegung Vektoren in Koordinatendarstellung Koordinatendarstellung Addition und Subtraktion Skalare Multiplikation Skalarprodukt Vektorprodukt Spatprodukt Lineare Abhängigkeit und Komponentenzerlegung Punkte, Geraden und Ebenen Kartesisches Koordinatensystem Parameterdarstellung von Geraden und Ebenen Parameterfreie Darstellung von Geraden und Ebenen Schnitte von Geraden und Ebenen Abstände...113

10 Inhaltsverzeichnis Winkel Anwendungen Kraft Arbeit Drehmoment Aufgaben Matrizen Der Begriff einer Matrix Rechnen mit Matrizen Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation Multiplikation von Matrizen Determinanten Determinante einer (2,2)-Matrix Determinante einer (3,3)-Matrix Determinante einer (n,n)-matrix Inverse Matrix Invertierbare Matrizen Inverse einer (2,2)-Matrix Inverse Matrix und lineares Gleichungssystem Lineare Abbildungen Matrizen als Abbildungen Kern, Bild und Rang Eigenwerte und Eigenvektoren Numerische Verfahren Anwendungen Aufgaben Funktionen Relationen und Funktionen Relationen Funktionen Reelle Funktionen Definitionsmenge, Zielmenge und Wertemenge Wertetabelle und Schaubild Explizite und implizite Darstellung Abschnittsweise definierte Funktionen Funktionsschar Verkettung von Funktionen Eigenschaften Symmetrie Periode Monotonie Beschränktheit Das Prinzip der Umkehrfunktion...184

11 10 Inhaltsverzeichnis 5.5 Anwendungen Messwerte Kennfelder Aufgaben Elementare Funktionen Potenz- und Wurzelfunktionen Potenzfunktionen Wurzelfunktionen Polynome und gebrochenrationale Funktionen Polynome Gebrochenrationale Funktionen Sinus, Kosinus, Tangens und Arkusfunktionen Definition am Einheitskreis Eigenschaften Allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion Arkusfunktionen Exponential- und Logarithmusfunktionen Exponentialfunktionen Die e-funktion Logarithmusfunktionen Hyperbel- und Areafunktionen Hyperbelfunktionen Areafunktionen Anwendungen Freileitungen Industrieroboter Aufgaben Folgen, Grenzwert und Stetigkeit Folgen Zahlenfolgen Grenzwert einer Folge Funktionsgrenzwerte Stetigkeit Asymptotisches Verhalten Numerische Verfahren Berechnung von Funktionswerten Bisektionsverfahren Anwendungen Aufgaben Differenzialrechnung Steigung und Ableitungsfunktion Tangente und Differenzierbarkeit Differenzial...265

12 Inhaltsverzeichnis Ableitungsfunktion Mittelwertsatz der Differenzialrechnung Höhere Ableitungen Ableitungstechnik Ableitungsregeln Ableitung der Umkehrfunktion Logarithmisches Differenzieren Implizites Differenzieren Zusammenfassung Regel von Bernoulli-de l Hospital Geometrische Bedeutungder Ableitungen Neigungswinkel und Schnittwinkel Monotonie Krümmung Lokale Extrema Wendepunkte Globale Extrema Numerische Verfahren Numerische Differenziation Newton-Verfahren Sekantenverfahren Anwendungen Fehlerrechnung Extremwertaufgaben Momentan- und Durchschnittsgeschwindigkeit Aufgaben Integralrechnung Flächenproblem Integralsymbol Integral als Grenzwert von Summen Bestimmtes Integral Zusammenhang von Ableitung und Integral Integralfunktion Stammfunktion Bestimmtes Integral und Stammfunktion Mittelwertsatz der Integralrechnung Integrationstechnik Integrationsregeln Integration durch Substitution Partielle Integration Gebrochenrationale Funktionen Uneigentliche Integrale Länge, Flächeninhalt und Volumen Flächeninhalte...341

13 12 Inhaltsverzeichnis Bogenlänge Rotationskörper Numerische Verfahren Trapezregel Romberg-Verfahren Anwendungen Effektivwert Schwerpunkte und statische Momente ebener Flächen Aufgaben Potenzreihen Unendliche Reihen Potenzreihen und Konvergenz Taylor-Reihen Eigenschaften Numerische Verfahren Anwendungen Aufgaben Kurven Parameterdarstellung Kegelschnitte Tangente Krümmung Bogenlänge Numerische Verfahren Anwendungen Mechanik Straßenbau Aufgaben Funktionen mit mehreren Variablen Definition und Darstellung Definition einer Funktion mit mehreren Variablen Schaubild einer Funktion mit mehreren Variablen Schnittkurven mit Ebenen und Höhenlinien Grenzwert und Stetigkeit Grenzwert einer Funktion mit mehreren Variablen Stetigkeit Differenziation Partielle Ableitungen und partielle Differenzierbarkeit Differenzierbarkeit und Tangentialebene Gradient und Richtungsableitung Differenzial Höhere partielle Ableitungen Extremwerte...423

14 Inhaltsverzeichnis Ausgleichsrechnung Methode der kleinsten Fehlerquadrate Ausgleichsrechnung mit Polynomen Lineare Ausgleichsrechnung Vektorwertige Funktionen Numerische Verfahren Mehrdimensionales Newton-Verfahren Gradientenverfahren Anwendungen Aufgaben Komplexe Zahlen und Funktionen Definition und Darstellung Komplexe Zahlen Gaußsche Zahlenebene Polarkoordinaten Exponentialform Rechenregeln Gleichheit Addition und Subtraktion Multiplikation und Division Rechnen mit der konjugiert komplexen Zahl Rechnen mit dem Betrag einer komplexen Zahl Potenzen, Wurzeln und Polynome Potenzen Wurzeln Fundamentalsatz der Algebra Komplexe Funktionen Ortskurven Harmonische Schwingungen Transformationen Anwendungen Aufgaben Gewöhnliche Differenzialgleichungen Einführung Grundbegriffe Anfangswert- und Randwertproblem Richtungsfeld und Orthogonaltrajektorie Differenzialgleichung und Funktionenschar Differenzialgleichungen erster Ordnung Separation der Variablen Lineare Substitution Ähnlichkeitsdifferenzialgleichungen Lineare Differenzialgleichungen Homogene und inhomogene lineare Differenzialgleichungen...484

15 14 Inhaltsverzeichnis Lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung Allgemeine Eigenschaften Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Schwingungsdifferenzialgleichungen Allgemeine Form Freie Schwingung Harmonisch angeregte Schwingung Frequenzgänge Differenzialgleichungssysteme Eliminationsverfahren Zustandsvariablen Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten Lineare Differenzialgleichung als System Stabilität Numerische Verfahren Polygonzugverfahren von Euler Euler-Verfahren für Differenzialgleichungssysteme Anwendungen Temperaturverlauf Radioaktiver Zerfall Freier Fall mit Luftwiderstand Feder-Masse-Schwinger Pendel Wechselstromkreise Aufgaben Differenzengleichungen Lineare Differenzengleichungen Differenzengleichungen erster Ordnung Differenzengleichungen höherer Ordnung Systeme linearer Differenzengleichungen Homogene Systeme erster Ordnung Inhomogene Systeme erster Ordnung Asymptotisches Verhalten Anwendungen Aufgaben Fourier-Reihen Fourier-Analyse Periodische Funktionen Trigonometrische Polynome Fourier-Reihe Satz von Fourier Gibbssches Phänomen Komplexe Darstellung Komplexe Fourier-Reihe...571

16 Inhaltsverzeichnis Berechnung komplexer Fourier-Koeffizienten Spektrum Minimaleigenschaft Eigenschaften Symmetrie Integrationsintervall Mittelwert Linearität Ähnlichkeit und Zeitumkehr Zeitverschiebung Aufgaben Verallgemeinerte Funktionen Heaviside-Funktion Dirac-Distribution Verallgemeinerte Ableitung Faltung Anwendungen Aufgaben Fourier-Transformation Integraltransformation Definition Darstellung mit Real- und Imaginärteil Sinus- und Kosinustransformation Transformation gerader und ungerader Funktionen Darstellung mit Amplitude und Phase Eigenschaften Linearität Zeitverschiebung Amplitudenmodulation Ähnlichkeit und Zeitumkehr Inverse Fourier-Transformation Definition Vertauschungssatz Linearität Differenziation, Integration und Faltung Differenziation im Zeitbereich Differenziation im Frequenzbereich Multiplikationssatz Integration Faltung Periodische Funktionen Fourier-Transformation einer Fourier-Reihe Koeffizienten der Fourier-Reihe Grenzwertbetrachtung...626

17 16 Inhaltsverzeichnis 18.6 Anwendungen Lineare zeitinvariante Systeme Tiefpassfilter Aufgaben Laplace-Transformation Bildbereich Definition Laplace- und Fourier-Transformation Eigenschaften Linearität Ähnlichkeit Zeitverschiebung Dämpfung Differenziation, Integration und Faltung Differenziation Integration Faltung Grenzwerte Transformation periodischer Funktionen Rücktransformation Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungen Anwendungen Aufgaben z-transformation Transformation diskreter Signale Definition z-transformation und Laplace-Transformation Eigenschaften Linearität Dämpfung Verschiebung Vorwärtsdifferenzen Multiplikationssatz Diskrete Faltung Lösung von Differenzengleichungen Anwendungen Aufgaben Elementare Zahlentheorie Teilbarkeit Kongruente Zahlen Primzahlen Aufgaben...690

18 Inhaltsverzeichnis 17 A Anhang 691 A.1 Bedeutende Mathematiker A.2 Trigonometrische Funktionen A.3 Ableitungen A.4 Ableitungsregeln A.5 Integrale A.6 Integralregeln A.7 Potenzreihen A.8 Fourier-Reihen A.9 Korrespondenzen der Fourier-Transformation A.10 Eigenschaften der Fourier-Transformation A.11 Korrespondenzen der Laplace-Transformation A.12 Eigenschaften der Laplace-Transformation A.13 Korrespondenzen der z-transformationen A.14 Eigenschaften der z-transformationen A.15 Griechisches Alphabet Literaturverzeichnis 721 Sachwortverzeichnis 723