Einführung FEM, 1D - Beispiel

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1 Einführung FEM, D - Beispiel home/eichel/lehre/mhs/fem_intro/deckblatt.tex. p./6

2 Inhaltsverzeichnis D Beispiel - Finite Elemente Methode. D Aufbau Geometrie 2. Bilanzgleichungen 3. Herleitung der Finiten Elemente Methode 4. Ansatzfunktionen 5. Erstellen des Gleichungssystem 6. Berechnung der Matrixeinträge 7. Lösen des Gleichungssystems home/eichel/lehre/mhs/fem_intro/inhaltsverzeichnis.tex. p.2/6

3 D-Beispiel Finite Elemente Methode (FEM) Gegeben : H links. Geometrie x = m placements H links k f x = m 4 m Q x Permeabilität k f = 0 5 m/s Randbedingungen Q = 0 4 m 3 /s H links = 50 m Notation bezeichnet Knoten () bezeichnet Element () (2) (3) (4) x x x x home/eichel/lehre/mhs/fem_intro/element.tex. p.3/6

4 D-Beispiel Finite Elemente Methode (FEM) Konti-Gleichung v q = 0 Impuls-Gleichung Darcy-Gleichung v = k f h, h = p ρg + z ( k f h) q = 0 D-Gl. ( k f Annahme q = 0, weder Quellen noch Senken h ) q = 0 k f 2 h 2 = 0 (Laplace Gleichung) home/eichel/lehre/mhs/fem_intro/blz_glg.tex. p.4/6

5 D-Beispiel Ausgangsgleichung (FEM) Laplace-Gleichung: (k f h) + q = 0 Einführung einer Näherungsfunktion h(x)mit ĥj: Standrohrspiegelhöhe an den Knoten und N j (x): Ansatzfunktion: nx h(x) = ĥ j N j (x) Einsetzen in die Laplacegleichung führt zu einem Residuum (Fehler) ε: j= (k f h) + q = ε Durch Einführung einer Wichtungsfunktion W, Umformung mit der Produktregel der Differentation und dem Gauß schen Integralsatz und Ausnutzung der Randbedingung [v o = (k f h) n] erhält man die schwache Formulierung: [ W ] k f [ h]dx = W v o dx W qdx G D : G W k f h dx = τ τ G W v o dx G W qdx home/eichel/lehre/mhs/fem_intro/ausgangsglei.tex. p.5/6

6 D-Beispiel Herleitung der Steifigkeitsmatrix (FEM) Beim Standard-Galerkinverfahren wird die gleiche Funktion als Ansatzfunktion N und Wichtungfunktion W gewählt. X n W i = N i ; h(x) = ĥ j N j (x) j= Ni k f P n j= ĥj N j (x) dx = N i v o dx {z } F luss ueber den Rand N i qdx {z } Quellen/Senken ĥ j ist nicht abhängig von x X Ni ĥj k f N j(x) dx = N i v o dx N i qdx {z } {z } A ij b i nx ĥ j A ij = b i A ĥ = b j= home/eichel/lehre/mhs/fem_intro/steifigkeitsmatrix.tex. p.6/6

7 D-Beispiel Ansatzfunktionen (FEM) rag replacements Aufstellen der lokalen Ansatzfunktionen N und N 2. Wir können lineare Funktionen verwenden, da wir in der Schwachen Formulierung nur Ableitungen erster Ordnung haben. Element : N () N () 2 x ĥ ĥ 2 () x () 2 x=0 x= y= y= 2 x=0 x= x N () = x N () 2 = x () : Element,2 : Knoten x = m x = m Diese Ansatzfunktionen müssen für die Elemente 2 und 3 angepasst werden. Die Steigung ist dieselbe, aber der Achsenabschnitt ändert sich. Für das Element 2 ergibt sich: N (2) = 2 x N (2) 2 = x. home/eichel/lehre/mhs/fem_intro/ansatzfunktion.tex. p.7/6

8 D-Beispiel Nährungsfunktion (FEM) Durch Aufaddieren der Produkte aus Standrohrspiegelhöhe an den Knoten ĥj und der lokalen Ansatzfunktionen N j erhält man eine Näherungslösung h(x) zwischen den Knoten [ h(x) = P n j= ĥj N j (x)]. Element : h i (x) = nx ĥ j Nj(x) i ĥ h () j= h () PSfrag replacements (x) = h ( x) + h 2 x ĥ 2 h () (x) = h + (h 2 h )x () 2 x=0 x= x In diesem Fall ist diese Näherungslösung eine lineare Interpolation. x x = m home/eichel/lehre/mhs/fem_intro/interpolation.tex. p.8/6

9 D-Beispiel Gesamtgleichungssystem (FEM) 0 K () K () K () 2 K () 22 + K(2) 22 K (2) K (2) 32 K (2) 33 + K(3) 33 K (3) K (3) 34 K (3) 44 + K(4) 44 K (4) K (4) 54 K (4) 55 0 C B h h 2 h 3 h 4 h 5 C A = 0 Q Q 2 Q 3 B Q 4 A Q 5 h ist bekannt (Dirichletsche Randbedingung) Streichen der zugehörigen eile und der Spalte bei gleichzeitigem Übertragen des Eintrages in der ersten Spalte auf die rechte Seite. 0 K () 22 + K(2) 22 K (2) K (2) 32 K (2) 33 + K(3) 33 K (3) K (3) 34 K (3) 44 + K(4) 44 K (4) K (4) 54 K (4) 55 0 C B h 2 h 3 h 4 h 5 C A = 0 Q 2 h K () 2 Q 3 B Q 4 A Q 5 home/eichel/lehre/mhs/fem_intro/gesamtgleichungssystem.tex. p.9/6

10 D-Beispiel Berechnung der Matrixeinträge (FEM) Beispiel : Berechnung des Matrixeintrag A 23 (Wichtungsfunktion zu Knoten 2, Ansatzfunktion zu Knoten 3).Das Steifigkeitsintegral lässt sich in verschiedene Teilintegrale aufteilen.bei A 23 ist mit Ausnahme von Element 2 bei jeder der anderen Elemente die Ansatzfunktion oder die Wichtungsfunktion gleich Null. A 23 = K () 23 + K(2) 23 + K(3) 23 ; K () 23 = K(3) 23 = 0 ; A 23 = K (2) 23 2 A 23 = K (2) 23 = 2 A 23 = K (2) 23 = 2 A 23 = K (2) 23 = N (2) k f (2 x) k f N (2) 2 dx (x ) dx k f dx = k f [ x] 2 A 23 = K (2) 23 = k f [ (2 )] = k f home/eichel/lehre/mhs/fem_intro/beispiel.tex. p.0/6

11 D-Beispiel Berechnung der Matrixeinträge (FEM) Beispiel 2 : Berechnung des Matrixeintrag A 55. Das Steifigkeitsintegral lässt sich in verschiedene Teilintegrale aufteilen A 55 = K () 55 + K(2) 55 + K(3) 55 + K(4) 55 ; K () 55 = K(2) 55 + K(3) 55 = 0 ; A 55 = K (4) 55 4 A 55 = K (4) 55 = 4 A 55 = K (4) 55 = A 55 = K (4) 55 = N (4) 2 k f (x 3) 3 k f N (4) 2 dx (x 3) k f dx = k f [x] 4 3 A 55 = K (4) 55 = k f [(4 3)] = k f dx home/eichel/lehre/mhs/fem_intro/beispiel2.tex. p./6

12 D-Beispiel Berechnung der Matrixeinträge (FEM) Beispiel 3 : Berechnung des Matrixeintrag A 22. Das Steifigkeitsintegral lässt sich in verschiedene Teilintegrale aufteilen.hier haben die Wichtungsfunktion und die Ansatzfunktion nur im Element 3 den Wert Null. A 22 = K () 22 + K(2) 22 + K(3) 22 + K(4) 22 ; K (3) 22 = K(4) 22 = 0 ; A 22 = K () 22 + K(2) 22 K () 22 = 0 K () 22 = K () 22 = 0 N () k f 0 N () k f dx dx k f dx = k f [x] 0 K () 22 = k f [ 0] = k f home/eichel/lehre/mhs/fem_intro/beispiel3.tex. p.2/6

13 D-Beispiel Berechnung der Matrixeinträge (FEM) 2 K (2) 22 = 2 K (2) 22 = 2 K (2) 22 = N (2) k f (2 x) k f N (2) dx (2 x) dx k f dx = k f [x] 2 K (2) 22 = k f [(2 )] = k f A 22 = K () 22 + K(2) 22 = 2k f home/eichel/lehre/mhs/fem_intro/beispiel3a.tex. p.3/6

14 D-Beispiel Berechnung der Matrixeinträge (FEM) Alle anderen noch fehlende Matrixeinträge können analog berechnet werden. A 32 = A 34 = A 43 = A 45 = A 54 = k f A 33 = A 44 = 2k f A 2 = A 2 = k f ; A = k f Setzt man diese Werte ein erhält man folgendes Gleichungssystem: k f B C h 2 h 3 h 4 h 5 C A = 0 Q 2 h A 2 Q 3 B Q 4 A Q 5 Q 2 = Q 3 = Q 4 haben den Wert Null, da es in diesem Gebiet keine Quellen oder Senken gibt und die Strömungsbilanz an den Rändern der Elemente aus Kontinuitätsgrunden zu Null wird.q 5 ist die bekannte Neumann-Randbedingung. home/eichel/lehre/mhs/fem_intro/analogie.tex. p.4/6

15 D-Beispiel Lösen des Gleichungssystems (FEM) Man erhält durch Umformung der vektoriellen Schreibweise ein lineares Gleichungssystem k f [2h 2 h 3 ] = h k f k f [ h 2 + h 3 h 4 ] = 0 k f [ h 3 + h 4 h 5 ] = 0 k f [ h 4 + h 5 ] = Q 5 daraus folgt: 2h 2 h 3 = 50 h 2 + 2h 3 h 4 = 0 h 3 + 2h 4 h 5 = 0 h 4 + h 5 = 04 k f home/eichel/lehre/mhs/fem_intro/lgs.tex. p.5/6

16 D-Beispiel Lösen des Gleichungssystems (FEM) Durch Umformen und Einsetzen der Gleichungen und mit k f folgenden einfachen Abhängigkeiten. = 0 5 erhält man die h 2 = h 3 h 3 = h 4 h 4 = h 5 h 5 = 4» Diese Gleichungen können dann direkt gelöst werden. h = 50m ; h 2 = 40m ; h 3 = 30m ; h 4 = 20m ; h 5 = 0m Test: Q + Q 5 = 0 muss erfüllt sein. h A () + h 2 A () 2 = Q 50 k f + 40 k f = Q = Q = 0 4 m/s = Q + Q 5 = 0 home/eichel/lehre/mhs/fem_intro/lgs2.tex. p.6/6