Produktregel (Ableitung von f g)

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1 Produktregel (Ableitung von f g) f f g 0 f 0 g g 0 Wir aben die Hoffnung, dass die Ableitung von f g mit Hilfe der Ableitungen von f und g ermittelt werden kann. f ( 0 ) = lim 0 f( 0 +) f( 0 ) g ( 0 ) = lim 0 g( 0 +) g( 0 ) f = lim 0 g = lim 0 mit f = f( 0 +) f( 0 ) mit g = g( 0 +) g( 0 ) Für das Produkt der Funktionen gilt dann: (f g) ( 0 ) = lim 0 f( 0 +) g( 0 +) f( 0 ) g( 0 ) Mit f( 0 +) = f( 0 )+ f und g( 0 +) = g( 0 )+ g multiplizieren wir aus: f( 0 +) g( 0 +) = (f( 0 )+ f) (g( 0 )+ g) = f( 0 ) g( 0 )+f( 0 ) g+ f g( 0 )+ f g Dies setzen wir in ein, es ergibt sic: (f g) ( 0 ) = lim 0 f( 0 ) g + f g( 0 )+ f g Indem wir zu den Grenzwerten übergeen, eralten wir die Produktregel: (f g) ( 0 ) = f( 0 ) g ( 0 )+f ( 0 ) g( 0 ) oder kurz (f g) = f g +f g a) f() = 1 3 b) f() = ( 1)( +1) c) f() = e d) f() = e e) f() = 1

2 Produktregel (Ableitung von f g) a) f() = 1 3 b) f() = ( 1)( +1) c) f() = e d) f() = e e) f() = Lösungen a) f () = b) f () = 4 3 c) f () = e (1+) d) f () = e (+) e) f () = 3

3 Produktregel Ableitung von f() = u() v() Wir aben die Hoffnung, dass die Ableitung von f() mit Hilfe der Ableitungen von u() und v() ermittelt werden kann. f ( 0 ) = lim 0 f( 0 +) f( 0 ) = lim 0 u( 0 +) v( 0 +) u( 0 ) v( 0 ) Der Zäler kann durc zwei zusammen null ergebende Terme so ergänzt werden, dass durc Ausklammern die Differenzenquotienten der Funktionen u() und v() entsteen. = 0 {}}{ u( 0 +) v( 0 +) u( 0 ) v( 0 +)+u( 0 ) v( 0 +) u( 0 ) v( 0 ) = lim 0 = lim 0 (u( 0 +) u( 0 )) v( 0 +) + u( 0 ) (v( 0 +) v( 0 )) u( 0 +) u( 0 ) v( 0 +) v( 0 ) = lim v( 0 +) + lim u( 0 ) 0 0 Indem wir zu den Grenzwerten übergeen, eralten wir die Produktregel: (u( 0 ) v( 0 )) = u( 0 ) v ( 0 )+u ( 0 ) v( 0 ) oder kurz: (u v) = u v +u v a) f() = 1 3 b) f() = ( 1)( +1) c) f() = e d) f() = e e) f() = 3

4 Ableitungsregeln vermuten 1. Produktregel Die Ableitung des Produkts u() v() kann vermutet werden. Hierzu zerlegen wir eine Funktion, z.b. f() = 6, die wir ableiten können, in ein Produkt. In diesem Fall gibt es merere Möglickeiten. a) f() = 3 3 b) f() = 4 c) f() = 5 Um den Zusammenang zwiscen der Ableitung f () = 6 5 und den Ableitungen der Faktoren aufzudecken, leiten wir zunäcst nur einen Faktor ab, dann stimmt zumindest die Potenz. a) f () = }{{} b) f() = }{{} c) f() = }{{} Nun probieren wir es auc mit dem zweiten Faktor: a) f () = }{{}}{{} b) f() = c) f() = 1 }{{}}{{} }{{}}{{} Die Vermutung (u() v()) = u () v()+u() v () oder kürzer: (u v) = u v +u v liegt nun nae.. Kettenregel für e-funktionen Um die Ableitungsregel für f() = e zu erkennen, zerlegen wir die Funktion in ein Produkt. f() = e = e + = e e Begründe, dass f () = e gilt. Wie wird wol f() = e g(), z.b. f() = e +4, abgeleitet? 3. Quotientenregel Die Ableitung der Funktion f() = u() v(), kurz f = u, kann mit einem gescickten Ansatz v one Müe ergeleitet werden. u v v = u (beide Seiten mit der Produktregel ableiten) ( u v ) v + u v v = u ( u v ) v = u u v v ( u v ) = u v uv v 4

5 Produktregel (Ableitung von f g an der Stelle = 0) f f g g Wir geen von Näerungen durc Tangenten an der Stelle = 0 aus f() f (0) +f(0) und g() g (0) +g(0) und bilden das Produkt: f() g() (f (0) +f(0)) (g (0) +g(0)) =(f (0) g(0)+f(0) g (0)) }{{} + f(0) g(0) + g (0) f (0) Ableitung Zwiscenscritt: Ermittle für f() = +b+c die Gleicung der Tangente an der Stelle = 0. Für eine lineare Näerung (Tangente) bleibt der quadratisce Restterm unberücksictigt. Allgemein lautet die Produktregel: (f g) () = f() g ()+f () g() oder kurz (f g) = f g +f g a) f() = b) f() = ( 3)( +3) c) f() = e oder (u v) = u v +u v d) f() = e e) f() = 5

6 Produktregel (Ableitung von f g an der Stelle = a) f f g g a a a Wir geen von Näerungen durc Tangenten aus f() f(a)+f (a) ( a) und g() g(a)+ g (a) ( a) und bilden das Produkt: f() g() (f(a)+f (a) ( a)) (g(a)+g (a) ( a)) = f(a) g(a) + (f(a) g (a)+f (a) g(a)) }{{} ( a) + g (a) f (a) ( a) Ableitung Zwiscenscritt: Ermittle für f() = ( a) +b+c die Gleicung der Tangente an der Stelle = a. Beacte: Für g() = ( a) (verscobene Normalparabel) gilt g (a) = 0. Für eine lineare Näerung (Tangente) bleibt der quadratisce Restterm unberücksictigt. a) f() = b) f() = ( 3)( +3) c) f() = e d) f() = e e) f() = 6

7 Produktregel a) f() = b) f() = ( 3)( +3) c) f() = e d) f() = e e) f() = Lösungen a) f () = 3 b) f () = 4 3 c) f () = e ( +) d) f () = e (1 ) e) f () = 5 3 7

8 Ableitung von f() f() a b f 0 m 1 = a b g() = f() a b 0 m = a b Der Grap von g() = f() ist gegenüber f() mit dem Faktor 1 in -Rictung gestauct. Den Funktionswert, den f an der Stelle 0 annimmt, nimmt g scon an der Stelle 0 an. Die Steigungen an entsprecenden Stellen verdoppeln sic: g ( 0 ) = f ( 0 ) = g () = f () (Das recte Argument ist doppelt so groß wie das linke.) 8

9 Ableitung von f() f() d d f 0 f ( 0 ) = d d g() = f() d d 0 g ( 0 ) = d d = f ( 0 ) Der Grap von g() = f() ist gegenüber f() mit dem Faktor 1 in -Rictung gestauct. Den Funktionswert, den f an der Stelle 0 annimmt, nimmt g scon an der Stelle 0 an. Die Steigungen an entsprecenden Stellen verdoppeln sic: g ( 0 ) = f ( 0 ) = g () = f () (Das recte Argument 0 ist doppelt so groß wie das linke 0.) 9

10 Produktregel a) f() = e 4 b) f() = e c) f() = ( 5)( +5) d) f() = sin e) f() = cos f) f() = sincos Lösungen a) f () = (1 )e 4 b) f () = e (1 ) c) f () = 4 3 d) f () = sin+ cos e) f () = cos() sin() f) f () = cos sin = cos 10

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